王延忠，鄂世元，賈彥蓉，馬新忠，謝斌

(1.北京航空航天大學，北京 100191；2.洛陽軸承研究所有限公司，河南 洛陽 471039；3.高性能軸承數(shù)字化設(shè)計國家國際科技合作基地，河南 洛陽 471039；4.河南省高性能軸承技術(shù)重點實驗室，河南 洛陽 471039)

滾動軸承是機械領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)零部件，角接觸球軸承能同時承受徑向、軸向載荷，且剛性及高速性能優(yōu)越，在各類精密機械上廣泛應(yīng)用，其性能將直接影響主機的性能[1]。

國內(nèi)外學者均采用擬靜力學分析軸承的變形及載荷分布等[2-6]：文獻[7]最先提出球軸承擬靜力學模型，將溝道控制理論作為球運動的邊界條件，使軸承運動非線性方程組存在唯一解，但模型求解速度慢，且計算結(jié)果存在一定的誤差；文獻[8]基于經(jīng)驗拖動力計算公式取代溝道控制理論改進擬靜力學模型，計算結(jié)果誤差較小，但模型求解速度慢。擬靜力學模型多采用牛頓-拉弗森迭代法求解，迭代初值選取不當易導(dǎo)致計算結(jié)果收斂困難。隨計算機技術(shù)的發(fā)展，文獻[9]基于迭代變量之間的幾何約束關(guān)系，由程序計算出合理的迭代初值，避免了迭代初值選取的盲目性；文獻[10]提出了一種牛頓-拉弗森迭代法的改進算法，引入中間變量，減少了未知量數(shù)目，提高了計算速度；但上述模型均未考慮軸承內(nèi)圈偏移對其受力平衡的影響。

針對上述模型的不足，考慮軸承內(nèi)圈偏移對其受力平衡的影響，建立角接觸球軸承擬靜力學模型，在傳統(tǒng)牛頓-拉弗森迭代求解的基礎(chǔ)上引入對迭代初值的幾何約束，并與傳統(tǒng)算法對比驗證優(yōu)化算法的正確性。

1 角接觸球軸承擬靜力學模型

傳統(tǒng)角接觸球軸承擬靜力學分析方法是在軸承靜力學基礎(chǔ)上，考慮球的離心效應(yīng)、陀螺力矩和接觸變形，計算得到某一瞬時軸承內(nèi)部載荷分布、球轉(zhuǎn)速、內(nèi)圈位移等。由于軸承運動狀態(tài)復(fù)雜，為簡化計算，建立擬靜力學分析模型時通常做以下假設(shè)：1)球軸承符合剛性套圈假設(shè)；2)可以采用溝道控制理論建立球與內(nèi)、外圈之間的運動關(guān)系；3)忽略球沿運動方向的作用力以及內(nèi)圈、球與保持架之間的相互作用；4)不考慮球與內(nèi)、外圈之間的潤滑。

軸向載荷一般通過套圈或與軸承相連的軸的軸肩周向施加，理論計算中將其等效為軸向載荷Fa、徑向載荷Fr(通過軸傳遞給內(nèi)圈的徑向載荷)以及傾覆力矩M(軸向載荷施加過程中可能存在的偏心現(xiàn)象而產(chǎn)生的力矩)，如圖1所示。

1.1 單個球的幾何變形協(xié)調(diào)方程

Δij=Dw(fi-0.5)+δij，

(1)

Δej=Dw(fe-0.5)+δej，

(2)

式中：fi，fe分別為內(nèi)、外圈溝曲率半徑系數(shù)；Dw為球直徑；δij，δej分別為球與內(nèi)、外圈的接觸變形量；ri，re分別為內(nèi)、外圈溝道半徑。

內(nèi)、外圈溝曲率中心的軸向、徑向距離分別為

A1j=Asinα0+δa+risinθcosφj，

(3)

A2j=Acosα0+δrcosφj-Ri(1-cosθ)cosφj，

(4)

A=ri-re-Dw，

α0=arccos(1-Gr/2A)，

Gr=Di-De-2Dw，

φj=2π(j-1)/Z，

式中：A為內(nèi)、外圈溝曲率中心距；α0為初始接觸角；δa，δr，θ分別為內(nèi)圈的軸向位移、徑向位移和傾角；Gr為徑向游隙；Di，De分別為內(nèi)、外圈溝底直徑；φj為第j個球方位角；Z為球數(shù)。

根據(jù)幾何關(guān)系可知，第j個球與內(nèi)、外圈的接觸角可表示為

(5)

(6)

(7)

(8)

式中：X1j，X2j分別為球與外圈溝曲率中心的軸向距離和徑向距離。

由(1)～(8)式可得單個球的幾何變形協(xié)調(diào)方程為

(9)

(A1j-X1j)2+(A2j-X2j)2-

[Dw(fi-0.5)+δij]2=0。

(10)

1.2 球受力平衡方程

根據(jù)溝道控制理論，當軸承高速運轉(zhuǎn)時，球受離心力作用會與內(nèi)圈分離，陀螺力矩完全由球與外圈的摩擦力平衡。球受力示意圖如圖4所示，受力平衡方程為

(11)

式中：Qij，Qej分別為球與內(nèi)、外圈的接觸載荷；Mg j為球所受陀螺力矩；Fcj為球所受離心力；λij，λej為修正系數(shù)，隨載荷變化，且λij+λej=2；ωm為球公轉(zhuǎn)角速度；ωR為球自轉(zhuǎn)角速度；ω為內(nèi)圈角速度；Dpw為球組節(jié)圓直徑；J為球轉(zhuǎn)動慣量；m為球質(zhì)量；β為球姿態(tài)角。

1.3 內(nèi)圈受力平衡方程

xwj=X1j-Dw(fe-0.5)sinα0，

(12)

(13)

考慮內(nèi)圈質(zhì)心從(0，0)移動至(δa，δrcosφj)，球與內(nèi)圈接觸點的坐標為

(14)

(15)

第j個球?qū)?nèi)圈的作用力矩對應(yīng)的力臂hj為

(xij-δa)tanαijsinαij,

(16)

內(nèi)圈受力平衡方程組為

(17)

2 牛頓-拉弗森迭代法的初值約束

上述模型通常采用牛頓-拉弗森(N-L)迭代法求解，但易因迭代初值選取不當導(dǎo)致計算結(jié)果收斂困難，在此基于軸承幾何關(guān)系約束初值[10]。該算法迭代包括δa，δr，θ和球心與外圈溝曲率中心的位置關(guān)系X1j，X2j。由圖2幾何關(guān)系可知，球與內(nèi)、外圈的接觸變形量δij，δej均為正值，以此約束X1j，X2j初值，X1j，X2j初值應(yīng)滿足Δij>Dw(fi-0.5)，Δej>Dw(fe-0.5)，即球心位于以外圈溝曲率中心為圓心，半徑為Dw(fe-0.5)的圓和以內(nèi)圈溝曲率中心(A1j，A2j)為圓心，半徑為Dw(fi-0.5)的圓之外，如圖6所示。

以(0.5A1j，0.5A2j)為初始點，上述兩圓會出現(xiàn)相交的情況，將初始點沿與內(nèi)、外圈溝曲率中心連線的垂直方向向上平移，得到新的初始點，判斷其是否在兩圓內(nèi)，并循環(huán)直至得到合適的初始點。軸承擬靜力學分析模型算法流程圖如圖7所示。

3 實例分析

以NSK 7016A5角接觸球軸承為例進行分析，其主要結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。軸向載荷為3 500 N,徑向載荷為88.5 N[11]。

表1 7016A5角接觸球軸承主要結(jié)構(gòu)參數(shù)

當轉(zhuǎn)速為8 000 r/min時，收斂精度相同的情況下，優(yōu)化前、后的算法計算結(jié)果見表2，優(yōu)化后的算法迭代次數(shù)少，且規(guī)避了因初值選取不當而導(dǎo)致算法收斂困難的問題，使角接觸球軸承非線性方程組的求解速度進一步加快。

表2 優(yōu)化前、后的算法對比

在Fa=3 500 N，F(xiàn)r=88.5 N的聯(lián)合載荷下，不同方位角的球與溝道的接觸角、接觸載荷隨轉(zhuǎn)速的變化分別如圖8、圖9所示：1)隨轉(zhuǎn)速升高，內(nèi)圈接觸角增大，外圈接觸角減?。?)不同方位角的球與套圈的接觸載荷不同，方位角為0°的球與套圈的接觸載荷最大；3)隨轉(zhuǎn)速升高，內(nèi)圈接觸載荷減小，外圈接觸載荷增大。

4 結(jié)束語

針對傳統(tǒng)角接觸球軸承擬靜力學分析模型的不足，考慮軸承內(nèi)圈偏移對其力學平衡的影響，建立軸承擬靜力學分析模型，在牛頓-拉弗森迭代法求解的基礎(chǔ)上引入了對迭代初值的幾何約束，選取合適的初值，解決了因初值不當導(dǎo)致算法收斂困難的問題，并提高了計算速度。文中方法可為該類軸承的設(shè)計和分析提供參考。