王 丹, 劉金枝, 梅志強(qiáng), 梁家敏

(重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院, 重慶 400065)

0 引 言

隨著5G無線通信網(wǎng)絡(luò)的商業(yè)化,人們渴望獲得更快的數(shù)據(jù)傳輸速度。大規(guī)模多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)、毫米波通信等5G關(guān)鍵技術(shù)為實(shí)現(xiàn)此功能做出了有效貢獻(xiàn)。然而,額外的高硬件成本,巨大的功耗/能源消耗以及5G基站的選址是其在實(shí)踐中實(shí)施的主要障礙[1-2]。因此,為了在5G和無線網(wǎng)絡(luò)之外實(shí)現(xiàn)綠色和可持續(xù)發(fā)展,尋找頻譜和高能效技術(shù)的研究對于可持續(xù)容量增長仍然至關(guān)重要。為了解決上述挑戰(zhàn),在5G和下一代移動通信系統(tǒng)中,智能反射面(intelligent reflecting surface,IRS)被認(rèn)為是一種有前途的、綠色、高成本效益的技術(shù)。IRS是由電磁材料組成的人造表面[3]。具體來說,IRS可以通過在表面上集成大量低成本的無源反射元件來智能地調(diào)整無線傳播環(huán)境[4]。此外,IRS外形小巧,重量輕,可以輕松地從墻壁,天花板,廣告面板甚至衣服上安裝/拆卸[5-7],為實(shí)際實(shí)施提供了很高的靈活性。并且,與傳統(tǒng)的多用戶通信系統(tǒng)相比,多天線基站若使用線性預(yù)編碼器去同時(shí)服務(wù)不同的用戶,這比單天線的基站極大地提高了頻譜效率,但是當(dāng)不同的用戶靠得比較近時(shí),會產(chǎn)生較嚴(yán)重的共信道干擾,那么傳統(tǒng)的線性預(yù)編碼器對消除用戶間的干擾無效[8]。但是，通過有效地布置IRS可以解決上述問題,因?yàn)镮RS通過優(yōu)化其反射系數(shù)來提供附加的控制信號路徑,可以有效地減少多用戶之間不期望的信道干擾[9]。因此,IRS具有良好的干擾相消能力?；谏鲜鰞?yōu)點(diǎn),IRS在未來的無線網(wǎng)絡(luò)中具有廣闊的前景。

針對先前有關(guān)IRS輔助無線通信系統(tǒng)中IRS反射優(yōu)化的工作。在文獻(xiàn)[7]中,針對IRS輔助的多用戶多輸入單輸出(multi input single output, MISO)通信系統(tǒng),通過利用半正定松弛(semi-definite relaxation, SDR)方法和交替優(yōu)化技術(shù)來最大化每個(gè)用戶的接收功率。但是,SDR方法不僅具有高復(fù)雜度,并且只能獲得近似解。此外,該系統(tǒng)中IRS上的每個(gè)反射元素都具有連續(xù)的相移,由于硬件的限制,這會使制造成本高昂,甚至無法實(shí)際應(yīng)用。在文獻(xiàn)[10]中,作者在設(shè)計(jì)資源分配時(shí)采用了梯度下降搜索和順序分?jǐn)?shù)規(guī)劃(sequential fraction programming, SFP),以最大程度地同時(shí)提高能量或頻譜效率。然而,IRS引起的單位模量約束是通過SFP方法中的一系列近似子問題解決的,這可能會導(dǎo)致一些誤差并導(dǎo)致性能損失。在文獻(xiàn)[11]中,通過利用連續(xù)凸逼近來增強(qiáng)物理層的安全性,研究了IRS輔助通信中用于安全通信的資源分配設(shè)計(jì)。在文獻(xiàn)[12]中,作者提出基于梯度下降算法的復(fù)圓流形(complex circle manifold, CCM)法來解決單位模量約束。雖然可以獲得相移的全局解,但是CCM法是黎曼一階算法,越接近目標(biāo)值,步長會越小時(shí),進(jìn)而收斂速度會變慢,求解會需要多次迭代。綜上所述,在IRS輔助通信系統(tǒng)中,目前沒有一種方法可以在具有較低復(fù)雜度和快速收斂速度時(shí)保持優(yōu)異的性能。因此,提供有效的IRS反射優(yōu)化算法是對于提高IRS輔助通信系統(tǒng)的性能是很有必要的。

因此,在基站(base station, BS)功率限制和IRS單位模量約束下,本文通過共同優(yōu)化BS預(yù)編碼矩陣和IRS相移向量來實(shí)現(xiàn)所有用戶信道容量的最大化。但是由于優(yōu)化變量高度耦合,以及單位模量約束是高度非凸的,容量最大化問題較為棘手。本文的貢獻(xiàn)總結(jié)如下:

(1) 針對非凸非確定性多項(xiàng)式(non-deterministic polynomial, NP)難優(yōu)化問題,通過利用基于信道容量與加權(quán)最小均方誤差(weighted minimum mean square error, WMMSE)之間的等價(jià)關(guān)系,將原問題轉(zhuǎn)換成一個(gè)易解決的問題形式。再利用交替優(yōu)化算法對預(yù)編碼矩陣和相移向量進(jìn)行交替優(yōu)化。

(2) 當(dāng)固定相移向量時(shí),預(yù)編碼矩陣優(yōu)化問題變成一個(gè)凸優(yōu)化問題,由約束條件將其看作一個(gè)二階錐規(guī)劃問題(second order cone problem, SOCP),然后使用標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)化包[13]求解最優(yōu)預(yù)編碼矩陣。當(dāng)固定預(yù)編碼矩陣時(shí),經(jīng)過復(fù)雜的矩陣變換將相移優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為受單位模量約束的非凸二次規(guī)劃(quadratic programming, QP)問題。然后,根據(jù)黎曼流形優(yōu)化技術(shù)[14],單位模量約束條件可以構(gòu)成一個(gè)復(fù)圓流形并嵌入搜索空間后,使問題變成一個(gè)無約束問題。最后,然后,利用黎曼信賴域(Riemannian trust-region, RTR)算法獲得局部最優(yōu)解。

(3) 數(shù)值結(jié)果表明,相比于基準(zhǔn)算法,RTR算法在保持較低復(fù)雜度和快速收斂速度的同時(shí)提高了性能。

1 系統(tǒng)模型

如圖1所示,本文研究了一個(gè)IRS輔助多用戶MIMO通信系統(tǒng)。

圖1 IRS輔助多用戶MIMO通信系統(tǒng)模型

該系統(tǒng)中,由N個(gè)反射元件組成的IRS協(xié)助帶有M1根天線的BS和帶有M2根天線的K個(gè)用戶之間的下行鏈路通信。由于路徑損耗的影響,本文僅考慮由IRS首次反射的路徑,不考慮二次及之后的反射路徑。此外,假設(shè)所有信道都是準(zhǔn)靜態(tài)平坦衰落信道,并且其信道狀態(tài)信息(channel state information, CSI)在BS處是已知的。因此,用戶k處的基帶接收信號yk可以寫成:

(1)

此外,本文考慮一個(gè)實(shí)用的離散相移的IRS模型,為了利于實(shí)現(xiàn),設(shè)置振幅系數(shù)α=1,θn僅可取值為Lps=2b個(gè)離散值,其中b為位數(shù)[15]。那么,θn在間隔[0,2π)將被均勻量化,滿足集合θn∈F={0,Δθ,…,(Lps-1)Δθ},其中Δθ=2π/Lps。那么,對于用戶k而言,信道容量表示為

(2)

(3)

式中:Pmax>0是BS的最大發(fā)射功率閾值。然后,針對IRS處的反射優(yōu)化約束,已知IRS反射矩陣φ中的φn=ejθn,注意到離散相移θn通常很難解決。因此,取出φ的對角元素定義為向量ζ=[ζ1,ζ2,…,ζN]H,其中ζn=ejθn,?n∈N。那么,離散相移約束θn∈F可以等價(jià)于單位模量約束[12]:

|ζn|=1,?n∈N

(4)

因此,信道容量最大化問題可以寫成:

(5)

式中:ωk表示用戶k權(quán)重因子,限制條件C1表示所有用戶的發(fā)射功率之和不能超過其最大發(fā)射功率Pmax,C2表示IRS處的單位模量約束。

2 問題變形

從式(5)中可以觀察到,此時(shí)的預(yù)編碼矩陣和相移向量是耦合的,并且約束條件C2是高度非凸的,故該問題是一個(gè)非凸NP難問題。因此,本文首先利用最優(yōu)解碼矩陣的均方誤差(mean square error, MSE)和信道容量表達(dá)式之間的關(guān)系[16]對式(5)進(jìn)行變形。為利于實(shí)現(xiàn),本文考慮使用線性解碼矩陣,那么估計(jì)信號向量表示為

(6)

(7)

rk(W,D,G,ζ)=log2|Wk|-tr(WkEk)+q

(8)

因此,通過利用信道容量表達(dá)式和MSE矩陣之間的關(guān)系[16-17],可以建立式(5)與上述函數(shù)之間的聯(lián)系。那么,式(5)重新表示為

s.t. C1, C2

(9)

與式(5)相比,盡管式(9)引入了兩個(gè)優(yōu)化變量,但更易于解決。因?yàn)閷τ谑?9),當(dāng)給定G或ζ時(shí),如果輔助矩陣W和解碼矩陣D也固定時(shí),則rk(W,D,G,ζ)對于每組優(yōu)化矩陣都是一個(gè)凹函數(shù),可以利用交替優(yōu)化算法對預(yù)編碼矩陣G或相移向量ζ進(jìn)行求解。

3 預(yù)編碼矩陣優(yōu)化

利用交替優(yōu)化算法,首先考慮解碼矩陣D與輔助矩陣W,因?yàn)檫@兩個(gè)優(yōu)化變量僅與函數(shù)rk(W,D,G,ζ)有關(guān)。當(dāng)求解碼矩陣Dk的最優(yōu)解時(shí),通過固定W,G,ζ,并將函數(shù)rk(W,D,G,ζ)關(guān)于Dk求一階導(dǎo)數(shù)后令其等于零。最優(yōu)解碼矩陣Dk為

(10)

同理,最優(yōu)輔助矩陣Wk為

(11)

然后,在對發(fā)射預(yù)編碼矩陣G的優(yōu)化時(shí)。對于任何給定的W,D,ζ,將Ek代入式(9)后,通過忽略常數(shù)項(xiàng),可以將發(fā)射預(yù)編碼矩陣優(yōu)化問題表示為

(12)

s.t. C1

由式(12)易知,該問題是一個(gè)凸優(yōu)化問題,并且約束條件C1是一個(gè)二階錐約束條件。因此,該問題可看作是一個(gè)SOCP問題,可以利用現(xiàn)有的標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)化工具包例如CVX[13],直接求得發(fā)射預(yù)編碼矩陣的最優(yōu)解。

4 相移向量優(yōu)化

同理,在固定矩陣W,D,G時(shí),將Ek代入式(9)并忽略常數(shù)項(xiàng),關(guān)于相移向量的優(yōu)化問題可以表示為

s.t. C2

(13)

s.t. C2

(14)

式中:

ζ是由φ的對角元素的收集向量,那么根據(jù)文獻(xiàn)[18]中的矩陣等式,有以下等式:

tr(φHBφC)=ζH(B⊙C)ζ

(15)

同理,令v=[[V]1,1,[V]2,2,…,[V]N,N]H為矩陣V對角元素的收集向量,有tr(φHVH)=vTζ,tr(Vφ)=ζHv*。那么,式(15)中的問題可以變成以下等效問題:

s. t. C2

(16)

式中:矩陣U=B⊙C。顯然,約束條件C2中的單位模量約束是解決式(16)中問題的主要障礙。針對該非凸約束條件,本文決定利用黎曼流形優(yōu)化工具將該約束條件嵌入搜索空間[19],求解基于約束空間的無約束優(yōu)化問題。

首先,該問題的單位模量約束可看作是N個(gè)復(fù)數(shù)圓的乘積。那么,定義一個(gè)如圖2所示的復(fù)圓乘積流形M:

圖2 黎曼流形幾何釋義

MSN={ζ∈CN:|ζn|=1,?n∈N}

(17)

式中:S{ζ∈C:ζ*ζ=Re{ζ}2+lm{ζ}2=1}表示一個(gè)復(fù)數(shù)圓。在算法闡述之前,首先提供關(guān)于流形優(yōu)化的背景知識[14]。

根據(jù)圖2,設(shè)當(dāng)前迭代點(diǎn)為ζ(i)?？梢钥闯鰧τ诔朔e流形M,切空間Tζ(i)M對算法搜索方向ηi∈Tζ(i)M的確定意義重大。對于任何點(diǎn)ζ(i)∈M,切空間由所有經(jīng)過該點(diǎn)的切向量組成。那么,在點(diǎn)ζ(i)∈M上的切空間Tζ(i)M如下所示:

(18)

式中:z是在點(diǎn)ζ(i)上的切向量;0N是N維零向量。

在歐氏空間中,歐氏梯度表示某一函數(shù)在該點(diǎn)處變化最快的方向。那么在點(diǎn)ζ(i)∈M,式(16)目標(biāo)函數(shù)f(ζ(i))的歐氏梯度Gradζ(i)f具體如下所示:

Gradζ(i)f=2(Uζ(i)+v)

(19)

與歐式梯度相似,黎曼梯度是目標(biāo)函數(shù)增長最快的切線方向。并且目標(biāo)函數(shù)的黎曼梯度gradf(ζ(i))被定義為滿足以下條件的切空間中的獨(dú)特元素[14]:

Df(ζ(i))[ζ(i)]=〈gradf(ζ(i)),ζ(i)〉

(20)

式中:Df(ζ(i))為在點(diǎn)ζ(i)時(shí)f(ζ(i))的方向?qū)?shù)。如圖2所示,在切空間Tζ(i)M上,黎曼梯度是歐氏梯度的正交投影,如下所示:

(21)

如圖2所示,在流形上,沿著點(diǎn)ζ(i)∈M的切線向量方向移動來找到在流形上的目標(biāo)點(diǎn)定義為收縮Rζ(i)(ηi):Tζ(i)M→M,是從切線空間Tζ(i)M到流形M的映射[14]。黎曼指數(shù)收縮是在黎曼流形優(yōu)化時(shí)最常用的收縮,但其計(jì)算成本可能很高。因此,本文決定使用二階收縮替代指數(shù)收縮,因?yàn)槠洳粌H具有較低的計(jì)算成本,并且是指數(shù)映射的近似值[20]。因此,點(diǎn)ζ(i)∈M處的收縮Rζ(i)(ηi)定義為

(22)

黎曼黑塞是梯度向量場相對于Levi-Civita連接的協(xié)變導(dǎo)數(shù),當(dāng)在點(diǎn)ζ(i)處時(shí),是從切空間Tζ(i)M到自身的線性映射Hessf(ζ(i))[14],如下所示:

(23)

(24)

式中:DGradf(ζ(i))[ηi]是Gradf(ζi)在ζ(i)上沿搜索方向ηi∈Tζ(i)M的方向?qū)?shù),根據(jù)式(20)計(jì)算如下:

DGradf(ζ(i))[ηi]=〈2U,ηi〉

(25)

在文獻(xiàn)[12]提出的CCM方法,是一種一階黎曼流形優(yōu)化方法,主要利用的是黎曼最速下降方法。該方法得到的是全局解,但不能保證全局最優(yōu)解,并且越接近目標(biāo)值,步長越小時(shí),收斂速度會變慢,求解會需要多次迭代。因此,本文提出一種二階黎曼流形優(yōu)化方法——RTR算法。該算法利用二階幾何形狀能夠避開鞍點(diǎn)并獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果,同時(shí)具有低復(fù)雜度和快速收斂速度。

首先,需要構(gòu)造一個(gè)信賴域子問題。在第i次迭代時(shí)利用二次逼近,在流形M上將目標(biāo)函數(shù)f(ζ(i))的二階泰勒展開定義一個(gè)二次模型是足夠的[14]。那么,在點(diǎn)ζ(i)∈M的由二次模型構(gòu)成的信賴域子問題,如下所示:

(26)

式中:ηi∈Tζ(i)M是當(dāng)前迭代的搜索方向;Δi是當(dāng)前迭代的信賴域半徑。對于式(26)中的信賴域子問題,截?cái)喙曹椞荻?truncated conjugate-gradient, TCG)算法特別適用于解決該問題[14]。因?yàn)楸M管隨著IRS反射元件數(shù)量N增加時(shí),問題規(guī)模也逐漸變大,TCG算法依舊可以快速地處理每個(gè)信賴域子問題。

然后,是否調(diào)整信賴域半徑Δi和更新下一迭代變量ζ(i+1),由以下評價(jià)函數(shù)確定:

(27)

根據(jù)式(27)可以看出,該評價(jià)函數(shù)[14]定義是在第i次迭代時(shí)目標(biāo)函數(shù)的實(shí)際下降量f(ζ(i))-f(Rζ(i)(ηi))與二次模型函數(shù)的預(yù)測下降量mζ(i)(0)-mζ(i)(ηi)的比值。根據(jù)計(jì)算的ρi,如果ρi<1/4,那么需要減小信賴域半徑Δi和重新計(jì)算搜索方向ηi;如果ρi→1時(shí),這表明二次模型和目標(biāo)函數(shù)在信任區(qū)域中具有良好的近似性,可以在下一次迭代時(shí)擴(kuò)展信賴域半徑。RTR算法的關(guān)鍵步驟如算法1所示。

算法 1 RTR算法步驟 1 初始化:最大信賴域半徑Δ>0,初始信賴域半徑Δ0∈(0,Δ), 步長接受閾值ρ'∈0,14 ,初始迭代點(diǎn)ζ(0)∈M和算法迭代停止門限值ε。步驟 2 for i=0,1,… do

步驟 3 求解式(26)中的信賴域子問題獲得搜索方向ηi步驟 4 根據(jù)式(27)計(jì)算比值ρi步驟 5 調(diào)整信賴域半徑Δi+1=min(2Δi,Δ), ρζi>34; ηi=Δi14Δi, ρζi<14Δi, 其他步驟 6 計(jì)算下一迭代變量ζ(i+1)if ρi>ρ', then ζ(i+1)=Rζ(i)(ηi)elseζ(i+1)=ζ(i)步驟 7 i←i+1步驟 8 untilgradf(ζ(i))2≤ε步驟 9 end for步驟 10 輸出:當(dāng)前迭代點(diǎn)ζ(i)

參考文獻(xiàn)[14]中有關(guān)RTR算法的收斂性分析,表明RTR算法產(chǎn)生的序列{ζ(i)}將收斂至目標(biāo)函數(shù)f(ζ(i))的固定點(diǎn)集合,即利用該算法將最終收斂于目標(biāo)函數(shù)的局部最優(yōu)值。

5 交替優(yōu)化算法與復(fù)雜度分析

5.1 交替優(yōu)化算法

基于上述對預(yù)編碼矩陣和相移向量的優(yōu)化分析,解決式(9)的關(guān)鍵步驟總結(jié)在算法2中。

算法 2 交替優(yōu)化算法步驟 1 初始化:當(dāng)前迭代次數(shù)i=0,最大迭代次數(shù)imax,初始預(yù)編碼矩陣G(0)和初始相移向量ζ(0),誤差容忍值ε,計(jì)算式(5)中的目標(biāo)函數(shù)值R(G(0),ζ(0))步驟 2 給定G(i)和ζ(i)時(shí),計(jì)算式(10)中的最優(yōu)解碼矩陣D(i)步驟 3 給定G(i),ζ(i),D(i)時(shí),計(jì)算式(11)中的最優(yōu)輔助矩陣W(i)步驟 4 給定W(i),ζ(i)和D(i)時(shí),利用CVX工具求解獲得最優(yōu)預(yù)編碼矩陣G(i+1)步驟 5 給定G(i),W(i)和D(i)時(shí),利用RTR算法求解相移向量ζ(i+1)步驟 6 if|R(G(i+1),ζ(i+1))-R(G(i),ζ(i))|R(G(i),ζ(i))<ε or i>imaxBreak;else i=i+1;返回步驟2;end if

5.2 復(fù)雜度分析

(28)

此外,與本文提出的RTR算法相比較的CCM算法,其計(jì)算復(fù)雜度為O(TCCMN2+N3)。其中TCCM代表CCM算法的總迭代次數(shù),下一節(jié)的數(shù)值結(jié)果將比較其收斂速度。

6 仿真與數(shù)值結(jié)果分析

在本節(jié)中,提供數(shù)值結(jié)果來證明本文的理論分析以及所提出算法的出色性能。參照文獻(xiàn)[7],本文考慮一個(gè)IRS輔助的下行鏈路通信系統(tǒng),該系統(tǒng)由具有M1=4根天線的BS和M2=2根天線K=4個(gè)用戶組成,數(shù)據(jù)流q=2,IRS反射元件數(shù)量N=20。假定所有涉及的信道都服從獨(dú)立瑞利分布,呈現(xiàn)平坦衰落,其中以dB為單位的路徑損耗模型[12]表示為

(29)

式中:PL0為參考距離d0=1 m時(shí)的路徑損耗,設(shè)定為-30 dB;α為路徑損耗指數(shù),均設(shè)定為3。除稍后指定的某些特定參數(shù)外,其他參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

根據(jù)表1,已知BS和IRS的固定位置,那么假設(shè)用戶隨機(jī)地分布在以(xu,0)為中心,半徑為10 m的圓內(nèi),如圖3所示。為了便于實(shí)施,假設(shè)xu=90 m,即用戶位于IRS附近。

圖3 IRS輔助MIMO多用戶情況 (俯視圖)

然后,本文將以下方案作為基準(zhǔn)方案與RTR算法進(jìn)行比較。

(1) CCM算法:交替優(yōu)化算法的步驟5用文獻(xiàn)[12]中的CCM算法代替求解。

(2) 隨機(jī)相移:假設(shè)每個(gè)反射元素的相移是從集合θn∈F ={0,Δθ,…,(Lps-1)Δθ}獨(dú)立隨機(jī)生成的。那么在交替優(yōu)化算法中,可以直接跳過步驟5。

(3) Without-IRS:通過設(shè)置不使用IRS的系統(tǒng)。

在圖4中,比較了RTR算法與CCM算法進(jìn)行的收斂性能。從圖4中可以看出,RTR算法的收斂速度比CCM算法的收斂速度要快得多,并且RTR算法收斂后達(dá)到信道容量值比CCM算法的值要大。并且,在表2中比較了RTR算法與CCM算法在圖4中達(dá)到收斂時(shí)對應(yīng)迭代次數(shù)的運(yùn)行時(shí)間。結(jié)合第5節(jié)中分析了RTR算法與CCM算法的復(fù)雜度,已知兩者復(fù)雜度都較低?？梢缘贸鼋Y(jié)論,RTR算法具有更快的收斂速度、更短的運(yùn)行時(shí)間和更高的信道容量值,這說明了RTR算法比CCM算法具有更好的優(yōu)化性能。

圖4 RTR算法與CCM算法的收斂性比較

表2 RTR算法與CCM算法的仿真時(shí)間

在圖5中,可以看到所有方案的信道容量值與IRS上反射元件數(shù)量N的關(guān)系?？梢杂^察到,隨著反射元件數(shù)量的增加,相比較于其他3種基準(zhǔn)方案,本文提出的算法的性能增益越來越明顯。例如,相比較于Without-IRS情況,當(dāng)N=20時(shí)RTR算法的性能增益僅為14.2%,但當(dāng)N=70時(shí),性能增益提升至43.8%。這主要是因?yàn)殡S著N變大,可以增強(qiáng)在IRS處接收信號功率,從而獲得更高的陣列增益;并且通過適當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)相移,用戶接收到的反射信號功率將隨著N的增加而增加。因此,所提出的IRS輔助系統(tǒng)不僅可以利用陣列增益,還可以利用IRS處的反射波束成形增益。此外,隨著N值的增加,可以注意到所有With-IRS的方案都比Without-IRS方案具有更高的信道容量值,并且由于IRS是無源的,不需要額外的射頻鏈和額外的功耗。因此,可以得出結(jié)論,在無線通信系統(tǒng)中部署IRS的有效和可行的。

圖5 信道容量與IRS反射原件數(shù)量關(guān)系

在圖6中,比較了所有方案實(shí)現(xiàn)的信道容量值與基站到用戶分布圓心點(diǎn)(xu,0)之間的水平距離xu的關(guān)系?？梢杂^察到,與其他3個(gè)基準(zhǔn)方案相比,隨著xu的增加,即當(dāng)用戶遠(yuǎn)離BS,越來越靠近IRS時(shí),RTR算法的性能增益也越明顯。這是因?yàn)橛脩魰腎RS接收到強(qiáng)烈的反射信號,進(jìn)而可以減輕小區(qū)內(nèi)用戶間干擾。

圖6 信道容量與用戶位置的關(guān)系

假定圖3中IRS坐標(biāo)為(xIRS,0)。圖7中,比較了IRS的位置從xIRS=20 m到xIRS=100 m對信道容量的影響。可以觀察到,當(dāng)2050時(shí)隨著xIRS增大而增加。這是因?yàn)楫?dāng)IRS位于BS與用戶的中間點(diǎn)時(shí),組合的信道增益也將達(dá)到其最小值。并且可以再次觀察到,RTR算法與其他基準(zhǔn)方案相比,大大提高了信道容量性能。例如,相比較于Without-IRS情況,當(dāng)xIRS=20 m時(shí)RTR算法的性能增益僅為2.1 bps/Hz;但當(dāng)xIRS=100 m時(shí)RTR算法的性能增益為4.8 bps/Hz,相比于xIRS=20 m時(shí)的性能增益提升了128.6%。這歸因于IRS與用戶之間的良好鏈路。同時(shí)應(yīng)仔細(xì)設(shè)計(jì)IRS相移,因?yàn)楫?dāng)xIRS=50 m時(shí),注意到RandPhase的實(shí)際性能比Without-IRS時(shí)的性能還差。

圖7 信道容量與IRS位置的關(guān)系

在圖8中繪制了信道容量性能與最大發(fā)射功率的關(guān)系。從圖8可以看出,當(dāng)最大發(fā)射功率太小而無法實(shí)際實(shí)現(xiàn)時(shí),即如果從BS到用戶的發(fā)射功率不足以滿足用戶的速率需求,那么所有方案的性能都對應(yīng)于非常低的值。然后,隨著最大發(fā)射功率值的增加,曲線的斜率顯然會增加,并且RTR算法的性能依舊是最優(yōu)異的。因此,可以結(jié)合圖5和圖8的分析得出結(jié)論,IRS輔助通信系統(tǒng)應(yīng)該在IRS的反射元件數(shù)量和BS的發(fā)射功率之間做出最佳折衷。

圖8 信道容量與最大發(fā)射功率的關(guān)系

如式(5)中所述,權(quán)重ωk用于控制用戶之間的公平性。假設(shè)4個(gè)用戶的位置分別在圖3中坐標(biāo)為(30,0),(50,0),(70,0)和(90,0)的位置。其中,第1個(gè)用戶比第2個(gè)用戶離BS更近,第4個(gè)用戶比第3個(gè)用戶離IRS更近。測試了兩組權(quán)重值:①ωk=0.25,?k;②ω1=0.15,ω2=0.35,ω3=0.3,ω4=0.2。從圖9中可以發(fā)現(xiàn),在權(quán)重相同時(shí),用戶1的數(shù)據(jù)速率值最高,這是因?yàn)橛脩?與基站離得最近;用戶4的數(shù)據(jù)速率值比用戶1的略低一點(diǎn),但比其他兩個(gè)用戶都要高,這是因?yàn)楸M管用戶4離BS較遠(yuǎn)但是離IRS最近,進(jìn)而使該用戶信道增益增加;在權(quán)重不等時(shí),為了保證用戶之間的公平性,通過給信道增益低的用戶分配更高的權(quán)重值,使得用戶的數(shù)據(jù)速率分布更平衡。但是,還可從圖9中發(fā)現(xiàn),信道容量增益存在損耗,權(quán)重相等時(shí),該系統(tǒng)的信道容量約為28.2 bps/Hz;在權(quán)重不等時(shí),該系統(tǒng)信道容量約為23.1 bps/Hz。這說明存在最大化信道容量和用戶之間的公平性的矛盾。因此,若要使得信道容量與用戶之間的公平性達(dá)到平衡,在分配權(quán)重時(shí)盡量在滿足各個(gè)用戶的最低質(zhì)量要求時(shí),保證達(dá)到信道容量最大化。

圖9 權(quán)重影響

7 結(jié) 論

本文針對IRS輔助多用戶通信系統(tǒng)中的信道容量最大化問題,首先由于優(yōu)化變量是高度耦合,所產(chǎn)生的優(yōu)化問題是一個(gè)非凸NP難問題。因此,通過利用基于信道容量與最優(yōu)解碼矩陣的均方誤差之間的等價(jià)關(guān)系,將原問題轉(zhuǎn)換成一個(gè)易解決的形式。再利用交替優(yōu)化算法對預(yù)編碼器和相移器進(jìn)行交替優(yōu)化。為求解在單位模量約束下的相移向量,本文提出使用RTR算法,將單位模量約束條件構(gòu)成一個(gè)CCM并嵌入搜索空間后,使問題變成一個(gè)無約束問題再獲得局部最優(yōu)解。數(shù)值結(jié)果表明,相比于基準(zhǔn)算法,RTR算法在保持較低復(fù)雜度和快速收斂速度的同時(shí)提高了性能。