游致遠(yuǎn), 胡國(guó)平, 周 豪

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)雷達(dá)理論被人提出后[1],因其可以發(fā)射特殊的波形信號(hào)以及更高的自由度[2-4],受到國(guó)內(nèi)外廣大學(xué)者的關(guān)注和研究。因?yàn)镸IMO雷達(dá)經(jīng)過(guò)“和聯(lián)合”陣列形成的陣列與普通陣列在信號(hào)處理方面大致相同,所以在MIMO雷達(dá)進(jìn)行波達(dá)方向角(direction of arrival, DOA)估計(jì)時(shí),也可以使用很多經(jīng)典空間譜估計(jì)算法。直到現(xiàn)在,大量的空間譜估計(jì)算法[5-9]被學(xué)者們提出并開(kāi)展深入研究,這些算法也被學(xué)者用來(lái)解決二維空間譜峰搜索和角度匹配所形成的算法高復(fù)雜度問(wèn)題,并且解決角度估計(jì)精度不理想的問(wèn)題。為了解決傳統(tǒng)均勻線陣陣列孔徑過(guò)小、信源個(gè)數(shù)不能多于天線陣元個(gè)數(shù)和自由度性能差等問(wèn)題,又有學(xué)者提出將稀疏陣列引入目標(biāo)參數(shù)聯(lián)合估計(jì)中,常見(jiàn)的稀疏陣列主要包含互質(zhì)陣列[10]、嵌套陣列[11]、最小冗余陣列[12]等。

文獻(xiàn)[13]通過(guò)二維擴(kuò)展對(duì)基于旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)的信號(hào)參數(shù)估計(jì)(estimating signal parameter via rotational invariance techniques, ESPRIT)算法進(jìn)行改進(jìn),很好地將其應(yīng)用到雙基地MIMO雷達(dá)對(duì)目標(biāo)的收發(fā)角估計(jì)上,但該算法存在要對(duì)收發(fā)角進(jìn)行手動(dòng)角度配對(duì)的問(wèn)題,算法的復(fù)雜度較大。一種適用于雙基地嵌套MIMO雷達(dá)的算法在文獻(xiàn)[14]中提出,此算法可以利用目標(biāo)距離信息解決角度歧義的問(wèn)題,從而實(shí)現(xiàn)目標(biāo)收發(fā)角的自動(dòng)匹配,同時(shí)保證對(duì)目標(biāo)收發(fā)角的高精度估計(jì),但該算法在自由度性能方面效果不理想,無(wú)法對(duì)多個(gè)目標(biāo)進(jìn)行有效估計(jì)。文獻(xiàn)[15]研究了雙基地嵌套MIMO雷達(dá)目標(biāo)估計(jì)中的自由度擴(kuò)展問(wèn)題,提出了盡可能多地構(gòu)造連續(xù)的“差聯(lián)合”結(jié)構(gòu)形式的虛擬陣元,能充分地通過(guò)稀疏陣列孔徑擴(kuò)展來(lái)實(shí)現(xiàn)目標(biāo)收發(fā)角聯(lián)合估計(jì)在自由度方面的提升,但是存在估計(jì)精度和分辨性能不理想的問(wèn)題。在文獻(xiàn)[16]中,提出了一種結(jié)合張量分解和雙基地嵌套MIMO雷達(dá)估計(jì)的算法,該算法通過(guò)二維空間平滑算法重構(gòu)了新的協(xié)方差矩陣,并從波離方向角(direction of departute,DOD)和DOA維度推廣了三階張量模型,并利用現(xiàn)有的復(fù)平行因子(complex parallelism factor, COMFAC)技術(shù)進(jìn)行角度估計(jì),但該算法與文獻(xiàn)[14]所提出的方法相比,在估計(jì)精度上仍有不足。本文改進(jìn)了二維空間平滑算法,通過(guò)重建Toeplitz矩陣以及虛擬發(fā)射陣列和虛擬接收陣列的空間平滑矩陣的方法,來(lái)解決因向量化協(xié)方差矩陣導(dǎo)致的單快拍問(wèn)題和自由度性能不足的問(wèn)題,并能對(duì)多目標(biāo)收發(fā)角進(jìn)行自動(dòng)配對(duì),并與文獻(xiàn)[17]提出的傳統(tǒng)雙基地均勻線陣MIMO雷達(dá)進(jìn)行了對(duì)比。為了能減小信息損失、提高角度估計(jì)精度,本文還針對(duì)在傳統(tǒng)算法中沒(méi)有充分利用的“差聯(lián)合陣列”位置上的冗余陣元,通過(guò)充分利用每個(gè)位置上的冗余陣元,不斷優(yōu)化接收信號(hào)中的目標(biāo)參量信息,并與文獻(xiàn)[18]提出的算法進(jìn)行比較,仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法在DOD和DOA的估計(jì)分辨性能和估計(jì)精度方面比雙基地[19-24]嵌套MIMO雷達(dá)常規(guī)算法效果更理想。

1 雙基地嵌套MIMO雷達(dá)模型

雙基地嵌套MIMO雷達(dá)模型如圖1所示,發(fā)射陣列由兩個(gè)發(fā)射子陣組成,分別有M1和M2個(gè)陣元。同理,接收陣列由兩個(gè)接收子陣組成,分別有N1和N2個(gè)陣元,陣元間距d=λ/2,λ為信號(hào)波長(zhǎng)。陣列位置可表示為

圖1 雙基地嵌套MIMO雷達(dá)結(jié)構(gòu)圖

St={0,…,(M1-1)d,[(M1+1)-1]d,…,

[M2(M1+1)-1]d}

(1)

Sr={0,…,(N1-1)d,[(N1+1)-1]d,…,[N2(N1+1)-1]d}

(2)

若空域內(nèi)有K個(gè)不相干目標(biāo),其中第k個(gè)目標(biāo)的DOD和DOA由φk、θk來(lái)表示,k=1,2,…,K。其中,第k個(gè)信源的發(fā)射角由φk來(lái)表示,接收角由θk來(lái)表示。信號(hào)模型為

x(t)=[at(φ1)?ar(θ1),at(φ2)?ar(θ2),…,at(φK)?ar(θK)]s(t)+n(t)=(At°Ar)s(t)+n(t)=As(t)+n(t)

(3)

式中:s(t)=[s1(t),s2(t), …,sK(t)]T,sK(t)代表第K個(gè)目標(biāo)的發(fā)射系數(shù);n(t)表示均值為0、方差為σ2的高斯白噪聲組成的矩陣; °和?分別表示Khatri-Rao積和Kronecker積。導(dǎo)向向量A可表示為

At=[at(φ1),at(φ2),…,at(φK)]

(4)

Ar=[ar(θ1),ar(θ2),…,ar(θK)]

(5)

式中:at(φk)和ar(θk)分別代表發(fā)射陣列和接收陣列的第k個(gè)目標(biāo)的導(dǎo)向向量,其結(jié)構(gòu)可表示為

at(φk)=[1,e-jπ sin φk,…,e-j(M2(M1+1)-1)π sin φk]T

(6)

ar(θk)=[1,e-jπ sin θk,…,e-j(N2(N1+1)-1)π sin θk]T

(7)

由式(3)可得到接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣為

(8)

(9)

(10)

2 基于冗余虛擬陣元優(yōu)化的二維空間平滑算法

2.1 冗余虛擬陣元優(yōu)化利用

通常在進(jìn)行協(xié)方差矩陣向量化時(shí),傳統(tǒng)算法都是將冗余的虛擬陣元?jiǎng)h除后重新排序,這種做法沒(méi)有利用冗余虛擬陣元所帶有的目標(biāo)參量信息,角度估計(jì)的性能不理想。所以本文提出了一種基于冗余虛擬陣元再利用的二維空間平滑算法,該算法充分利用了虛擬接收信號(hào)冗余的虛擬陣元,使得算法分辨性能上優(yōu)于常規(guī)算法。

(11)

ac(φK,θK)=[at(φK)?ar(θK)]*?[at(φK)?ar(θK)]

(12)

所以根據(jù)新形成的虛擬陣列,可以得到和差陣列為

(13)

(14)

(15)

(16)

式中:x表示虛擬陣列中同一位置上冗余陣元個(gè)數(shù);Rp(i)表示在虛擬陣列p位置上的第i個(gè)協(xié)方差數(shù)值;Rp′表示在重新賦值后虛擬陣列p位置上的協(xié)方差數(shù)值。

現(xiàn)將新的協(xié)方差矩陣向量化,可以獲得一個(gè)新的等效虛擬信號(hào),即

(17)

上述操作雖然會(huì)增加算法的時(shí)間復(fù)雜度,但是增加的運(yùn)算量全部來(lái)自于未利用到的協(xié)方差矩陣數(shù)據(jù),將協(xié)方差矩陣中的冗余虛擬陣元信息利用后,目標(biāo)的DOD和DOA聯(lián)合估計(jì)性能將得到提高。

2.2 重建Toeplitz矩陣的二維空間平滑算法

通常對(duì)傳統(tǒng)均勻線陣雙基地MIMO雷達(dá)進(jìn)行角度聯(lián)合估計(jì)使用二維多重信號(hào)分類(multiple signal classification, MUSIC)算法或ESPRIT算法,但是向量化樣本協(xié)方差矩陣引起的單快拍問(wèn)題依舊沒(méi)有解決,而且針對(duì)多目標(biāo)聯(lián)合估計(jì),通常都會(huì)存在陣列自由度問(wèn)題。為此,先定義兩個(gè)選擇矩陣,一個(gè)選擇矩陣選擇平滑虛擬發(fā)射陣列,另一個(gè)選擇矩陣選擇平滑虛擬接收陣列,在虛擬發(fā)射陣列和虛擬接收陣列中構(gòu)建空間平滑子陣并且重新構(gòu)建Toeplitz矩陣,根據(jù)新的Toeplitz矩陣再次構(gòu)建全新的協(xié)方差矩陣,最后利用常規(guī)子空間類算法對(duì)虛擬接收信號(hào)進(jìn)行空間譜估計(jì)得到目標(biāo)的發(fā)射角和接收角。

通過(guò)將冗余陣元再利用后,得到具有連續(xù)虛擬陣元的等效虛擬信號(hào)向量,即

(18)

(19)

(20)

式中:M0=M2(M1+1),N0=N2(N1+1)。

(21)

(22)

(23)

重新構(gòu)建的Toeplitz矩陣為

(24)

根據(jù)式(23),每個(gè)子陣的協(xié)方差矩陣為

(25)

(26)

(27)

(28)

式中:En代表協(xié)方差矩陣的信號(hào)子空間。

(29)

因此,式(28)可以表示為

(30)

再定義式(30)中的一個(gè)分式為

(31)

所以,式(28)還可以表示為

(32)

則第k個(gè)目標(biāo)的DOA可表示為

(33)

式中:e1=[1,0,…,0]T。

具體步驟如算法1所示。

算法 1 重建Toeplitz矩陣的二維空間平滑算法輸入 x(t)=As(t)+ν(t),t=1,2,…,L;輸出 {φ^k,θ^k},k=1,2,…,K;步驟 1 推導(dǎo)經(jīng)過(guò)匹配濾波后的虛擬接收信號(hào)R,并對(duì)其近似表示為R^;步驟 2 將冗余虛擬陣元充分利用,得到新的協(xié)方差矩陣R^-,對(duì)其向量化得到觀測(cè)向量r-;步驟 3 對(duì)觀測(cè)向量r-引入兩個(gè)選擇矩陣分別對(duì)應(yīng)虛擬發(fā)射陣列和虛擬接收陣列,通過(guò)選擇矩陣,重新構(gòu)建Toeplitz矩陣Rc;步驟 4 利用Toeplitz矩陣重構(gòu)的二維空間平滑方法,得到了虛擬陣列的協(xié)方差矩陣R-c;步驟 5 通過(guò)降維MUSIC算法實(shí)現(xiàn)DOD和DOA自動(dòng)匹配,并得到{θ^k,φ^k}。

3 仿真實(shí)驗(yàn)和結(jié)果分析

3.1 場(chǎng)景設(shè)定

假設(shè)本文中的的發(fā)射子天線陣元數(shù)為M1=2,M2=3;接收子天線陣元數(shù)為N1=2,N2=3,即M=N=5。設(shè)定本次實(shí)驗(yàn)次數(shù)為200次,均方根誤差(root mean squared error, RMSE)的計(jì)算表達(dá)式為

(34)

3.2 目標(biāo)DOD和DOA估計(jì)的自由度性能和分辨性能

本文通過(guò)對(duì)比基于本文改進(jìn)算法的雙基地嵌套MIMO雷達(dá)與文獻(xiàn)[17]的傳統(tǒng)雙基地均勻線陣MIMO雷達(dá)的歸一化空間譜等高線圖,驗(yàn)證了本文提出的重建Toeplitz矩陣的二維空間平滑算法得到的自由度M0N0大于傳統(tǒng)雙基地均勻線陣MIMO雷達(dá)的自由度MN,同時(shí)能保證其能對(duì)多個(gè)目標(biāo)進(jìn)行角度估計(jì);然后通過(guò)對(duì)比文獻(xiàn)[18]提出的雙基地嵌套MIMO雷達(dá)的常規(guī)算法與本文提出改進(jìn)算法的歸一化空間譜峰圖,可以說(shuō)明本文提出的利用冗余虛擬陣元算法在分辨性能上比常規(guī)算法效果更優(yōu)。

若實(shí)驗(yàn)的信噪比(signal to noise ratio,SNR)大小為10 dB,快拍次數(shù)為500,目標(biāo)的收發(fā)角在0°至30°范圍內(nèi)分布,DOD估計(jì)值為1°∶2°∶3°∶9°∶12°∶14°∶25°∶26°∶28°,DOA估計(jì)值為5°∶15°∶28°∶2°∶13°∶24°∶4°∶14°∶27°,估計(jì)目標(biāo)數(shù)目為9。圖2(a)給出了傳統(tǒng)雙基地均勻線陣MIMO雷達(dá)的空間譜等高線圖,圖2(b)給出了基于改進(jìn)算法的雙基地嵌套MIMO雷達(dá)的空間譜等高線圖。從圖2可以看出,傳統(tǒng)MIMO雷達(dá)在估計(jì)目標(biāo)數(shù)目為6,譜峰數(shù)小于目標(biāo)數(shù),目標(biāo)分辨性能弱,不能較好地測(cè)得目標(biāo)數(shù)量和目標(biāo)方向。而改進(jìn)算法的嵌套MIMO雷達(dá)可以準(zhǔn)確分辨9個(gè)目標(biāo)的方位,并且等高線無(wú)重疊現(xiàn)象出現(xiàn),在相同物理陣元的情況下,基于本文改進(jìn)算法的雙基地嵌套陣MIMO雷達(dá)在自由度方面優(yōu)于傳統(tǒng)均勻線陣雙基地MIMO雷達(dá)。

圖2 兩種MIMO雷達(dá)空間譜等高線圖

在同樣假設(shè)的情況下,對(duì)文獻(xiàn)[14]提出的基于常規(guī)算法的雙基地嵌套MIMO雷達(dá)和基于本文改進(jìn)算法的雙基地嵌套MIMO雷達(dá)的空間譜峰圖進(jìn)行對(duì)比分析。圖3(a)表示基于常規(guī)算法的雙基地嵌套MIMO雷達(dá)的空間譜峰圖,圖3(b)表示基于改進(jìn)算法的雙基地嵌套MIMO雷達(dá)的空間譜峰圖。從圖3可以看出,改進(jìn)算法相較于常規(guī)算法充分利用了虛擬冗余陣元,極大減小了虛擬陣列信號(hào)的信息損失,明顯提升了對(duì)目標(biāo)角度估計(jì)的分辨性能。

圖3 基于兩種算法嵌套MIMO雷達(dá)空間譜峰圖

3.3 目標(biāo)DOD和DOA估計(jì)的RMSE

假設(shè)空間中目標(biāo)數(shù)目為3個(gè),其角度信息為(φ1,θ1)=(11°,19°),(φ2,θ2)=(15°,17°),(φ3,θ3)=(22°,27°),對(duì)目標(biāo)方位角度的搜索步長(zhǎng)為0.1°。圖4(a)表示傳統(tǒng)雙基地均勻線陣MIMO雷達(dá)、基于常規(guī)算法的雙基地嵌套MIMO雷達(dá)和基于改進(jìn)算法的雙基地嵌套MIMO雷達(dá)的角度RMSE隨SNR變化圖, SNR的變化范圍為-10 dB至10 dB,其間隔為2 dB。為凸顯變化程度，縱軸采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)。圖4(b)表示傳統(tǒng)雙基地均勻線陣MIMO雷達(dá)、基于常規(guī)算法的雙基地嵌套MIMO雷達(dá)和基于改進(jìn)算法的雙基地嵌套MIMO雷達(dá)的角度RMSE隨快拍數(shù)變化圖,SNR設(shè)置為10 dB,快拍數(shù)設(shè)置為從100次到500次,間隔50次。從圖4可知,在相同物理陣元的情況下,嵌套陣結(jié)構(gòu)MIMO雷達(dá)在估計(jì)精度方面優(yōu)于傳統(tǒng)均勻線陣結(jié)構(gòu)的MIMO雷達(dá)。在算法不同的情況下,由于本文的改進(jìn)算法利用了冗余的虛擬陣元,目標(biāo)角度信息都已充分利用,因此算法性能優(yōu)于常規(guī)算法。

圖4 RMSE隨SNR和快拍數(shù)的變化關(guān)系

3.4 目標(biāo)DOD和DOA估計(jì)的算法復(fù)雜度

根據(jù)前文可知,本文提出的基于冗余陣元優(yōu)化利用的二維空間平滑算法在自由度性能和估計(jì)精度方面分別優(yōu)于文獻(xiàn)[17]的雙基地均勻線陣MIMO雷達(dá)傳統(tǒng)算法和文獻(xiàn)[14]提出的雙基地嵌套陣MIMO雷達(dá)常規(guī)算法,但本文提出的算法仍有不足。圖5表示幾種算法的時(shí)間復(fù)雜度對(duì)比圖,在算法復(fù)雜度方面,本文提出的算法復(fù)雜度略高。

圖5 算法復(fù)雜度對(duì)比圖

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于冗余虛擬陣元再利用的二維空間平滑算法,該算法充分地利用冗余虛擬陣元,有效地減小了虛擬陣列信號(hào)的信息損失,明顯提升了對(duì)目標(biāo)角度估計(jì)的分辨性能。針對(duì)多目標(biāo)問(wèn)題,本文選擇了一種重建Toeplitz矩陣的空間平滑算法,不僅很好地?cái)U(kuò)展了虛擬陣列提升了自由度,并且利用降維MUSIC算法解決了DOD和DOA自動(dòng)配對(duì)的問(wèn)題。然而,本文提出的算法也仍存在不足,雖然算法估計(jì)精度較高,但是其時(shí)間復(fù)雜度也高。而且,此算法雖然有較高的自由度,但是自由度性能并不能到達(dá)理論推導(dǎo)的效果,在目標(biāo)數(shù)目估計(jì)上仍存在一定自由度損失的情況，這將成為下一步研究的重點(diǎn)。