辛懷聲, 宋鵬漢, 曹 晨

(中國電子科技集團公司電子科學研究院, 北京 100041)

0 引 言

隨時間傳遞多目標后驗密度的貝葉斯多目標濾波器是解決多目標跟蹤問題的貝葉斯最優(yōu)解[1]。在標準多目標系統(tǒng)建模下,由于多目標后驗密度服從廣義標簽多伯努利(generalized gabeled multi-Bernoulli, GLMB)分布[2],因此基于GLMB分布得到的貝葉斯濾波器就成了最優(yōu)的多目標濾波器,也就是GLMB濾波器或Vo-Vo濾波器[3-4]。但值得注意的是,GLMB濾波器并沒有對目標的運動模型進行深入分析。

研究表明,運動模型與真實運動之間的失配是機動目標跟蹤面臨的一個最主要的挑戰(zhàn)[5],在隨機有限集多目標跟蹤算法中這也是影響跟蹤機動目標的最關(guān)鍵因素之一。運動模型的失配往往導致時間預測步驟得到的狀態(tài)轉(zhuǎn)移密度與目標的真實運動狀態(tài)完全背離,進而引起后續(xù)關(guān)聯(lián)和跟蹤的徹底失敗。針對這個問題的一個有效解決手段是引入馬爾可夫跳變系統(tǒng)(jump Markov system,JMS)。引入JMS后目標的運動模型可以在一個運動模型集之內(nèi)切換。一些基于JMS的多模型隨機有限集濾波器被陸續(xù)提出,例如多模型概率假設(shè)密度(multiple model probability hypothe-sis density, MM-PHD)[6-9],多模型勢集概率假設(shè)密度(multiple model cardinalized probability hypothesis density, MM-CPHD)[10],多模型多伯努利(multiple model multi-Bernoulli, MM-MB)[11-12],多模型標簽多伯努利(multiple model labeled multi-Bernoulli, MM-LMB)[13-15]。近期為了擴展GLMB在機動目標跟蹤領(lǐng)域的適用性,多模型GLMB(multiple model GLMB, MM-GLMB)算法[16-18]被提出來,這類MM-GLMB算法首先對帶標簽的目標運動狀態(tài)進行擴展,然后基于JMS和目標的擴展運動狀態(tài)對GLMB的預測和更新方程進行推導,從而得到多模型算法的閉式解,所以MM-GLMB算法也被稱為JMS-GLMB算法。然而,完整的JMS-GLMB算法存在JMS分支規(guī)模成指數(shù)增長的問題,無法實現(xiàn),因此已有的JMS-GLMB算法都采取了剪枝近似的方式控制跳變分支的規(guī)模。

與剪枝策略對應的,目前流行的多種經(jīng)典多模型算法,例如交互多模型(interacting multiple model, IMM)、變結(jié)構(gòu)多模型(variable-structure multiple model, VS-MM)[19-23]和廣義偽貝葉斯(generalized pseudo Bayes, GPB)[24],均采用基于條件概率的分支合并策略解決JMS分支的規(guī)模膨脹問題,在跟蹤精度和計算復雜度方面均優(yōu)于采取剪枝策略的多模型算法,而已有的MM-GLMB算法還沒有采用分支合并策略的解決方案。

本文將馬爾可夫分支合并策略與GLMB算法結(jié)合,提出了3種多模型GLMB算法,分別為IMM-GLMB、一階GPB-GLMB (GPB1-GLMB),以及二階GPB-GLMB (GPB2-GLMB),并通過蒙特卡羅仿真對所提算法與JMS-GLMB進行比較,驗證了所提算法在精度和計算時間兩個方面都優(yōu)于JMS-GLMB,尤其在計算時間上優(yōu)勢明顯。

下面章節(jié)中,第1節(jié)首先簡要介紹JMS和JMS-GLMB濾波算法的背景知識,在第2節(jié)至第4節(jié)中參照IMM和GPBn的分支合并策略給出IMM-GLMB、GPB1-GLMB和GPB2-GLMB這3種濾波器的遞推公式和高斯混合實現(xiàn)。第5節(jié)通過仿真對所提出的3種算法與JMS-GLMB進行對比。第6節(jié)對所提的3種濾波器做出結(jié)論。

1 背 景

1.1 JMS簡介

(1)

定義馬爾可夫模式跳變概率矩陣為

(2)

式中:χi, j表示模式rj跳變到模式ri的概率。

接下來對目標狀態(tài)轉(zhuǎn)移密度使用貝葉斯規(guī)則,可以得到馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移密度如下所示:

(3)

1.2 JMS-GLMB濾波算法

假設(shè)目標的運動模式跳變歷史可以用索引?進行標記。p?為跳變歷史?的概率。因此,按照貝葉斯全概率公式單目標的分布密度可以寫為

(4)

假設(shè)經(jīng)過k次迭代后多目標后驗分布滿足標簽多伯努利分布,如下所示:

(5)

式中:X為多目標狀態(tài)的隨機有限集;o′表示多假設(shè)的索引。將帶標簽和模式變量的目標增廣狀態(tài)分布s(x,l,r)以及式(1)～式(4)代入GLMB的時間預測方程中，可以得到JMS-GLMB的時間預測步驟結(jié)果,如下所示:

(6)

式中:

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

假設(shè)k+1時刻量測集合為Zk+1,則JMS-GLMB的觀測更新步驟如下所示:

(13)

式中:

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

新的運動模型跳變分支概率如下所示：

(20)

式中:歸一化參數(shù)

?k+1表示k+1時刻的模式跳變分支索引,由k+1時刻的模式r與k時刻的跳變歷史索引?k組合而成,如下所示:

?k+1=(r,?k)

(21)

θ函數(shù)為航跡標簽到量測的關(guān)聯(lián)映射;κ(z)函數(shù)為雜波強度函數(shù),κ(z)=λ·c(z),c(z)為雜波空間密度,雜波數(shù)量服從泊松分布;λ為泊松分布的均值。

通過式(10)可知,在JMS-GLMB濾波迭代過程中,單目標的模式跳變分支數(shù)量會隨每次預測迭代增長R倍,即按照運動模型集合的勢成指數(shù)增長。為了易于實現(xiàn),在觀測更新結(jié)束后需要進行剪枝,以保持分支總體規(guī)模的穩(wěn)定。

2 IMM-GLMB濾波器

參考IMM在預測前進行目標運動狀態(tài)混合的思路,IMM-GLMB可以通過模式條件概率將多目標狀態(tài)分布進行多模式合并近似,解決馬爾可夫模式跳變分支的數(shù)量爆炸問題。

2.1 IMM-GLMB濾波算法

假設(shè)經(jīng)過k輪迭代后多目標GLMB先驗密度如下所示:

(22)

(23)

單目標分布混合密度:

(24)

(25)

根據(jù)IMM算法有:

完成狀態(tài)混合后,進行時間預測步驟,多目標時間預測分布密度函數(shù)為

(26)

式中:

(27)

ps(x′,l,r)·fr,l(x|x′)dx′

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

假設(shè)k+1時刻觀測集合為Zk+1,則觀測更新步驟后多目標密度可以表示為

(33)

式中:

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

模式概率更新方程如下所示:

(39)

2.2 IMM-GLMB的高斯混合實現(xiàn)

(40)

目標的狀態(tài)混合密度為

(41)

式中:

(42)

(43)

將式(41)代入式(25)可以得到多目標時間預測表達式：

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

目標狀態(tài)提取方程為

(57)

對應協(xié)方差為

(58)

模式概率更新方程為

(59)

3 GPB1-GLMB濾波器

區(qū)別于IMM-GLMB,GPB1沒有預測前混合步驟,或者可以認為GPB1為χi, j全相等條件下的特殊混合形式的IMM。

3.1 GPB1-GLMB濾波算法

設(shè)經(jīng)過k次迭代后多目標先驗分布密度如式(5)所示,則時間預測步驟后的多目標密度為

(60)

(61)

(62)

(63)

ps(x′,l,r)·fr,l(x|x′)dx′

(64)

(65)

(66)

GPB1-GLMB的觀測更新步驟如下所示:

(67)

式中:

(68)

(69)

(70)

(71)

(72)

(73)

目標狀態(tài)提取如下所示:

(74)

模式概率更新方程如下所示:

(75)

3.2 GPB1-GLMB的高斯混合實現(xiàn)

(76)

(77)

(78)

(79)

(80)

(81)

設(shè)線性高斯條件下量測矩陣為Hk+1,則觀測更新步驟的高斯混合實現(xiàn)為

(82)

(83)

式中:

(84)

(85)

(86)

單目標分布密度為

(87)

合成單目標分布密度:

(88)

則狀態(tài)提取表達式為

(89)

(90)

模式概率的更新為

(91)

4 GPB2-GLMB濾波器

4.1 GPB2-GLMB濾波算法

參考GPB2的濾波架構(gòu),單目標分布密度在每次迭代中需要進行R2個模式分支計算,并根據(jù)量測似然度更新模式概率,合并模式分支。

假設(shè)k時刻多目標先驗GLMB分布密度為

(92)

則時間預測分布密度可以表示為

fk+1|k(X)=

(93)

(94)

(95)

(96)

(97)

(98)

通過式(93)可以看出經(jīng)過預測步驟后表示每個目標的R個模式分支增加到了R2個。

GPB2-GLMB的觀測更新步驟如下,更新后多目標的GLMB密度為

(99)

其隨機集權(quán)重和單目標分布密度為

(100)

(101)

式中:

(102)

(103)

(104)

(105)

(106)

完成觀測更新后,還需要進行狀態(tài)合并:

(107)

(108)

(109)

模式更新為

(110)

歸一化參數(shù):

從式(107)、式(109)可以看出,經(jīng)過觀測更新后R2個分支密度被合并為R個,使得表示單個目標的分支數(shù)量保持穩(wěn)定,避免了馬爾可夫模式跳變分支數(shù)量呈指數(shù)增長的問題。

4.2 GPB2-GLMB的高斯混合實現(xiàn)

(111)

(112)

(113)

(114)

(115)

(116)

(117)

(118)

(119)

(120)

(121)

(122)

(123)

(124)

k+1時刻的目標合并分布為

(125)

(126)

(127)

模式概率更新為

(128)

式中:歸一化參數(shù)

5 仿 真

5.1 環(huán)境設(shè)置

下面設(shè)置一個兩維跟蹤場景,比較JMS-GLMB與本文提出的IMM-GLMB、GPB1-GLMB和GPB2-GLMB這3種濾波器的機動多目標跟蹤性能。仿真場景設(shè)置如下,傳感器位于坐標原點(0,0) m,傳感器量測周期T=8 s。多個機動目標在[0,150 000] m×[-20 000,100 000] m觀測區(qū)域內(nèi)運動。運動模型集由一個勻速運動(constant velocity, CV)模型、一個右轉(zhuǎn)模型(5°/s轉(zhuǎn)彎速率的協(xié)同轉(zhuǎn)彎(corrdinated turn, CT)模型和一個左轉(zhuǎn)彎模型(-5°/s轉(zhuǎn)彎速率的CT模型)組成。3個運動模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣如下所示。

CV的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為

右轉(zhuǎn)模型(CT,ω1=5π/180)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為

左轉(zhuǎn)模型(CT,ω2=-5π/180)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為

過程噪聲協(xié)方差矩陣：

過程噪聲方差對于CV模型取σv1=5 m/s2,對于CT模型取σv2=σv3=20 m/s2。

馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣給定如下：

5個機動目標的存活概率設(shè)為ps=0.99,初始狀態(tài)設(shè)置如表1所示,各個目標運動模型轉(zhuǎn)換的時序如圖1所示。

表1 目標初始狀態(tài)表

圖1 目標運動模型轉(zhuǎn)換時序圖

目標的真實運動路徑如圖2所示。

圖2 目標運動軌跡

由于標準GLMB采取的已知新生目標分布策略會導致斷批目標航跡無法重新起始,所以本文的算法均采用邏輯法進行航跡起始,確保目標航跡中斷后可以重新起始。

量測方程采用極坐標形式,d為目標距離,α為目標方位角。xsensor為傳感器的X軸坐標,ysensor為傳感器的Y軸坐標。

量測方差設(shè)置如下:

方位角標準差σα=0.1π/180,測距標準差σd=50 m。每個掃描周期的雜波點數(shù)服從均值為λ的泊松分布,每個雜波點的位置在觀測范圍內(nèi)均勻分布。最優(yōu)子模型分配(optimal sub-pattern assignment,OSPA)[25]的參數(shù)設(shè)定為c=200 m,p=3。為了定量對OSPA曲線進行排名,對OSPA按時間統(tǒng)計其均值TOSPA,定義如下:

式中:OSPAk為時刻k對應的OSPA誤差;S為單次仿真運行的計算迭代次數(shù)。

5.2 仿真結(jié)果分析

在給定目標探測概率pd=0.95,雜波率λ=5的情況下,對每個濾波器進行150次蒙特卡羅實驗,計算時間消耗的對比如表2和圖3所示。

表2 4種MM-GLMB濾波器的平均計算時間對比(λ=5)

圖3 4種MM-GLMB濾波器的計算時間消耗對比(λ=5)

OSPA誤差對比如圖4所示。

圖4 4種MM-GLMB濾波器的OSPA航跡跟蹤誤差對比

可以看出,GPB1-GLMB、IMM-GLMB以及GPB2-GLMB跟蹤精度都要優(yōu)于JMS-GLMB。其中,GPB2-GLMB精度最高,IMM跟蹤精度次之,GPB1-GLMB的精度排在第三名。另外,通過計算時間消耗對比可知,GPB1-GLMB消耗時間是最小的,JMS-GLMB消耗時間最多。

下面討論4種濾波器在高雜波率和低探測概率情況下的表現(xiàn)。首先在雜波率λ=30,探測概率pd=0.95的情況下,進行150次蒙特卡羅實驗。

計算時間消耗對比如表3和圖5所示。

表3 4種MM-GLMB濾波器的平均計算時間對比(λ=30)

圖5 4種MM-GLMB濾波器的計算時間消耗對比(λ=30)

可以看出,隨著雜波率的提升,雜波造成的無效關(guān)聯(lián)占用了更多的計算時間,所以4種算法的計算時間消耗差距有所縮小。

跟蹤精度對比如圖6所示。

圖6 4種MM-GLMB濾波器的OSPA航跡跟蹤 誤差對比(高雜波率)

可以看出,誤差距離有所抬升,所提3種算法的跟蹤精度仍然都優(yōu)于JMS-GLMB,其中GPB2-GLMB精度最高。

下面設(shè)置雜波率λ=5,探測概率pd=0.75,進行150次蒙特卡羅實驗對比測試。4種算法的計算時間對比如表4和圖7所示。

表4 4種MM-GLMB濾波器的平均計算時間對比(pd=0.75)

圖7 4種MM-GLMB濾波器的計算時間消耗對比(pd=0.75)

跟蹤精度對比的結(jié)果如圖8所示,可以看出在低探測概率的情況下4種濾波器的跟蹤精度與高探測概率情況相比都有較大程度的下降。

圖8 4種MM-GLMB濾波器的OSPA航跡跟蹤 誤差對比(低探測概率)

4種濾波器的TOSPA誤差對比如表5所示,可以看出JMS-GLMB精度是最低的,跟蹤精度最高的是GPB2-GLMB,其次是IMM-GLMB。

表5 航跡跟蹤平均TOSPA誤差對比

4種濾波器的平均目標數(shù)量估計對比如圖9所示,可見4種濾波器都可以正確估計目標數(shù)量,目標數(shù)量估計性能的差距很小。

圖9 平均目標數(shù)量估計對比

通過4種MM-GLMB在不同雜波率和不同探測概率下的對比可以看出:

(1) 所提3種濾波器的計算時間消耗都小于JMS-GLMB。

(2) 所提3種濾波器的跟蹤精度都優(yōu)于JMS-GLMB。

(3) 高雜波率和低探測概率都會增加IMM-GLMB濾波器的航跡跟蹤誤差,低探測概率的影響比高雜波率更顯著。

(4) GPB2-GLMB的跟蹤精度最高,IMM-GLMB雖然精度稍低但是計算時間與GPB1-GLMB基本一樣,與GPB2-GLMB相比在計算實時性上有較大優(yōu)勢。

6 結(jié) 論

為了解決機動多目標跟蹤問題,本文將馬爾可夫分支合并策略與GLMB濾波器相結(jié)合,給出了3種MM-GLMB濾波器,包括IMM-GLMB、GPB1-GLMB和GPB2-GLMB的遞推公式和高斯混合實現(xiàn),并將這3種濾波器與JMS-GLMB濾波器進行對比。仿真結(jié)果表明:在計算時間消耗方面,所提3種濾波器都比JMS-GLMB有明顯降低,其中GPB1-GLMB計算時間消耗最低。而在航跡跟蹤精度方面,所提3種濾波器的跟蹤精度也都優(yōu)于JMS-GLMB,其中GPB2-GLMB跟蹤精度最高。IMM-GLMB雖然計算時間和跟蹤精度都不是最好的,但是在計算時間和跟蹤精度上與第一名的差距都非常小,綜合性能最優(yōu)。因此,在航跡跟蹤精度要求較高且計算資源充足的系統(tǒng)中可以采用GPB2-GLMB,以獲得更高的航跡跟蹤精度,而在計算資源緊張或目標規(guī)模較大的場景中可以采用IMM-GLMB,以非常小的跟蹤精度代價換取更高的目標處理容量。