康爾良，陳健

(哈爾濱理工大學 電氣與電子工程學院，黑龍江 哈爾濱 150080)

0 引 言

隨著“雙碳”目標的提出和新能源行業(yè)的快速發(fā)展，永磁同步電機(permanent magnet synchronous motor，PMSM)因具有結構簡單和效率高等優(yōu)點，被廣泛應用在日常生活和工業(yè)生產等領域中。PMSM最常用的控制方法之一是磁場定向控制，通常需要用編碼器等獲取準確的轉速和轉子位置信息。但是，位置傳感器的安裝易受環(huán)境影響，會增加系統(tǒng)成本和降低系統(tǒng)可靠性[1-2]。

因此，永磁同步電機無位置傳感器控制一直是被關注的熱點問題[3]。在眾多的估計方法中，滑模觀測器法(sliding mode observer，SMO)因結構簡單和魯棒性強等優(yōu)點被廣泛應用在PMSM中高速無位置傳感器控制系統(tǒng)中[4-7]。

針對滑模觀測器中sign函數(shù)的存在會造成抖振問題[8]，文獻[9-13]中分別采用不同的連續(xù)函數(shù)取代滑模觀測器中的sign函數(shù)作為切換控制函數(shù)，從而減小抖振，提高轉速和轉子位置估計精度。文獻[14-19]中采用超螺旋滑模觀測器(super twisting algorithm-sliding mode observer，STA-SMO)對轉速估計。相比采用sign函數(shù)作為切換函數(shù)的一階滑模觀測器而言，STA-SMO是將sign函數(shù)放在滑模變量的高階導數(shù)中，控制率中會含有sign函數(shù)的積分項，又因為積分本身具有濾波作用，因此可以實現(xiàn)對抖振的抑制。

但是，較大的固定滑模增益值會降低觀測器在低速時的估計精度，而較小的固定增益可能會造成高速時觀測器的不穩(wěn)定。而且，在基于STA-SMO的無位置傳感器控制系統(tǒng)中，常規(guī)PI控制器存在魯棒性差和動態(tài)響應慢的問題[20]。

因此，出于提高轉速估計精度和控制系統(tǒng)魯棒性的目的，本文提出一種變增益的STA-SMO，同固定增益的STA-SMO相比，所提方法可以提高低速時轉速估計精度。根據(jù)初等擾動觀測器的基本原理，設計出一種新型轉矩觀測器，將估計出的轉矩值應用到基于新型趨近律的滑模轉速控制器中。相比PI控制器，基于新型趨近律和轉矩觀測器的控制器可以極大提高系統(tǒng)的動態(tài)響應和魯棒性。

1 永磁同步電機的數(shù)學模型

因PMSM是一個非線性強耦合的時變系統(tǒng)，常假設磁路不飽和，氣隙磁場空間中呈正弦分布，三相定子繞組對稱，忽略渦流和磁滯損耗等因素達到簡化分析過程的目的。在以上假設條件下，PMSM在α-β軸下的數(shù)學模型可以表示為：

(1)

式中：iα、iβ是α-β軸下定子電流值；uα、uβ是α-β軸下定子電壓值；Rs和Ls是定子電阻和電感；α-β軸下的反電動勢eα=-ωeψfsinθe、eβ=ωeψfcosθe，ωe和θe是電角速度和位置角；ψf是永磁體磁鏈。忽略電機運行過程中電感值的變化，即假設α-β軸下的電感值Ls是常數(shù)。

2 超螺旋滑模觀測器設計

2.1 超螺旋算法原理

超螺旋滑模理論是滑模控制發(fā)展中的重要成果之一，文獻[21]中已證明超螺旋算法具有穩(wěn)定性和有限時間收斂性，最基本的形式為：

(2)

文獻[21]中證明，如果式(2)中的擾動ρ1、ρ2全局有界，即

|ρ1|≤δ1|x1|1/2；ρ2=0。

(3)

而且k1、k2增益滿足：

(4)

則系統(tǒng)將在有限時間內收斂到滑模面，δ1是大于0的常數(shù)。

2.2 超螺旋滑模觀測器設計

基于上述超螺旋算法設計電流觀測器，將α-β坐標系下的電流當作狀態(tài)變量，即分別將x1=iα和x1=iβ代入式(2)中，則式(2)可以寫成：

(5)

擾動項ρ1為：

(6)

將式(6)代入式(5)可以得到電流觀測器方程為：

(7)

將式(6)代入式(3)中，式(3)可以重寫成：

(8)

對于足夠大的δ1，式(8)很容易滿足。

由式(7)減去式(1)得：

(9)

(10)

2.3 變滑模增益STA-SMO設計

雖然STA-SMO可以減小抖振，但是為保證電機在高速域的穩(wěn)定運行，滑模增益值必須足夠大且滿足式(4)中的穩(wěn)定性條件。但當電機運行在低速域時，較大的增益值會加劇觀測器的抖振，降低轉速的估計精度。同理，較小的滑模增益可能造成觀測器高速范圍內的不穩(wěn)定。

因此，為提高STA-SMO的轉速估計精度，本文提出一種如圖1所示的滑模增益值隨估計轉速變化的變增益STA-SMO，滑模增益值為：

(11)

因為在較短的采樣周期內，可認為轉速是保持不變的，所以在穩(wěn)定性分析時將式(11)中的k1、k2看作常數(shù)。根據(jù)電流觀測器方程和超螺旋算法原理，α軸擾動項ρ1可以表示為

(12)

(13)

由以上可知，全局有界性條件可以重寫成

(14)

(15)

(16)

必定存在足夠大的常數(shù)σ2滿足式(16)。

由以上分析可知，k1、k2滿足穩(wěn)定性條件(4)，即證明提出的基于變增益的超螺旋滑模觀測器是穩(wěn)定的。

3 新型滑?？刂破髟O計

3.1 基于新型趨近律的轉速控制器設計

針對基于STA-SMO的控制系統(tǒng)中PI轉速控制器的魯棒性差和動態(tài)響應慢的問題，提出一種新型滑模趨近律：

(17)

以下給出新型趨近律的穩(wěn)定性證明。

選擇李雅普諾夫函數(shù)

(18)

對式(18)求導得

(19)

以上提出的新型滑模趨近律滿足滑模到達條件，可以保證運動軌跡在有限時間到達滑模面。

基于新型趨近律的滑模轉速控制器設計步驟和基于傳統(tǒng)趨近律的轉速控制器的設計步驟相同。

首先，設計滑模切換面

(20)

對滑模切換面求導得

(21)

基于STA-SMO的控制系統(tǒng)中PMSM的機械運動方程是

(22)

式中：J是轉動慣量；iq是q軸電流；TL是負載轉矩；B是阻尼系數(shù)。

將式(22)代入式(21)可得

(23)

將式(17)新型趨近律代入上式整理得

(24)

式(24)是基于新型趨近律設計的永磁同步電機滑?？刂破鬏敵觯磓軸電流的給定值，實現(xiàn)對永磁同步電機的轉速控制。

3.2 新型轉矩觀測器設計

根據(jù)文獻[22]中的擾動觀測器模型，PMSM新型轉矩觀測器可以設計成

(25)

轉矩的估計誤差可以表示為

(26)

將式(22)代入式(26)可得

(27)

因在采樣周期內TL是定值，系統(tǒng)的動態(tài)誤差方程為

(28)

式(27)中含有估計機械角速度的導數(shù)項，而求導會導致估計轉矩值中出現(xiàn)噪聲，會影響觀測結果，從而對控制系統(tǒng)的魯棒性造成影響。

因此，將式(27)中含有導數(shù)項的部分看作一個整體的中間變量，即

(29)

則有

(30)

改進后的觀測器方程為：

(31)

根據(jù)李雅普諾夫理論對觀測器穩(wěn)定性分析

(32)

對式(32)求導得

(33)

將式(28)代入式(33)得

(34)

當滿足K<0，轉矩觀測器是穩(wěn)定的。

最終，設計的轉速滑模控制器的電流給定值是

(35)

基于變增益的STA-SMO和改進滑模轉速控制器的控制系統(tǒng)框圖如圖3所示。

4 仿真和實驗驗證

4.1 改進滑模無位置傳感器控制仿真結果

為驗證所提方法的有效性，在MATLAB/Simulink中，分別搭建基于固定增益值和基于變增益值的STA-SMO控制系統(tǒng)仿真模型，兩者都采用正交鎖相環(huán)的方法獲取轉速和轉子位置，速度環(huán)都采用PI控制器。固定超螺旋滑模觀測器的滑模增益值k1=40，k2=200 000；變滑模增益值σ1=0.04，σ2=0.2；鎖相環(huán)的參數(shù)kp=2 000，kI=500；PI轉速環(huán)控制器的參數(shù)Kp=0.3，KI=0.7。

仿真中采用固定步長2e-7，仿真時間設置1 s，仿真和實驗中PMSM的參數(shù)如表1所示。

表1 PMSM模型的參數(shù)

圖4是空載0時給定轉速300 r/min和0.5 s時給定轉速1 000 r/min，固定增益的STA-SMO轉速估計誤差，由圖中可以看出低速300 r/min時因為較大增益值的存在，估計誤差最大可達1.5 r/min。

由圖5變增益STA-SMO轉速估計誤差和圖4對比得，低速300 r/min時最大估計誤差僅有0.15 r/min，明顯提高低速時估計精度。

由圖6固定增益和圖7變增益STA-SMO轉子估計誤差可知，兩者都有較高的轉子位置估計精度，最大誤差僅有0.28 rad，但低速時變增益STA-SMO轉子位置估計精度更高。因為變增益STA-SMO中σ1、σ2的值是在估計轉速1 000 r/min時計算出的，所以當給定轉速是1 000 r/min時，固定增益和變增益的k1、k2值相等，可保證高速時STA-SMO是穩(wěn)定的。

圖8和圖9是變增益的k1和k2的波形圖。

由圖8和圖9中變增益值放大部分可知，隨估計轉速的增加，滑模增益逐漸增大，從而減小電機在低速時過大的滑模增益值造成抖振的現(xiàn)象，同時高速時足夠大的滑模增益值可以保證STA-SMO的穩(wěn)定性。

圖10和圖11是變增益STA-SMO估計的轉速和轉子位置同實際的轉速和轉子位置對比圖。

由圖10放大部分可知，在極短的時間內變增益的STA-SMO可實現(xiàn)對實際轉速的準確估計。而且，由圖4的轉速估計誤差可看出，在給定轉速300 r/min時，最大估計誤差有15 r/min。在0.5 s，給定轉速是1 000 r/min時，轉速估計誤差僅有5 r/min。同樣，由圖11可得出，在整個1 s仿真時間內，變增益STA-SMO能夠始終保持對轉子位置的精確估計。

為進一步驗證突加減負載時變增益STA-SMO轉速和轉子位置估計精度，在0和0.5 s給定轉速分別是300 r/min和1 000 r/min的基礎上，0.2 s時和0.6 s時分別加載4 N·m和卸載。

由圖12可知，在突加減載時，轉速估計誤差僅有最大0.6 r/min的變化，而且在極短的時間內即可恢復。同樣，由圖13可得，加減負載對轉子位置估計精度影響較小，證明所提出的變增益STA-SMO具有一定的魯棒性。

由圖14可知，當0.2 s突加負載時，估計轉速和實際轉速下降12 r/min，且在0.3 s內未能恢復到給定轉速。同樣在0.6 s突減負載時，轉速上升9 r/min且恢復時間較長。由以上仿真結果可知，變增益的STA-SMO在加減負載時依舊能夠保持對轉速和轉子位置的精確估計，但是PI轉速控制器存在魯棒性差和動態(tài)響應慢的問題。

圖15是采用新型負載轉矩觀測器估計轉矩值和實際轉矩值的對比圖。

圖16是采用改進滑模轉速控制器的無位置系統(tǒng)中估計轉速和實際轉速的對比圖。

由圖16和圖14相比可知，基于新型轉矩觀測器和新型趨近律的滑模轉速控制器在0.2 s突加負載時，轉速只有不到3 r/min的下降而且恢復時間只有3 ms。在0.6 s突減負載時，轉速雖較低速時波動更大，但依舊能夠迅速達到給定轉速，而且在整個過程中估計轉速始終保持對實際轉速的精確估計，證明所提出的變增益的STA-SMO和新型趨近律的滑模控制器的理論正確性。

4.2 改進滑模無位置傳感器控制系統(tǒng)實驗驗證

搭建如圖17所示的基于DSP28335的實驗平臺，驗證改進滑模無位置傳感器控制系統(tǒng)的正確性。為驗證低速時所提方法的可靠性，給定轉速是400 r/min，在3 s時突加4 N·m的負載。圖18是基于以上實驗條件下實際轉矩和估計轉矩波形圖，圖19和圖20分別是轉速估計誤差和轉子位置估計誤差，圖21是估計轉速波形圖。

圖18表明當3 s突加負載時，新型轉矩觀測器可以在1 s時間內實現(xiàn)對負載轉矩的觀測，而且具有較高的觀測器精度，證明所提新型轉矩觀測器理論是有效的。

由圖19和圖20變增益STA-SMO轉速估計誤差和轉子位置誤差可知，當在低速穩(wěn)定運行時，估計誤差不到1 r/min，轉子位置誤差保持在0.2 rad，證明變增益的STA-SMO具有較高的估計精度。

由圖21可得，在0.6 s時估計轉速達到給定轉速，超調較小。當3 s突加負載時，估計轉速雖具有一定程度的下降，但很快可以達到給定轉速并保持穩(wěn)定運行，證明基于新型轉矩觀測器和新型趨近律的滑模轉速控制器動態(tài)響應快，具有強魯棒性。由以上的實驗結果可知，本文所提出的改進滑模無位置傳感器控制系統(tǒng)具有可行性。

5 結 論

針對固定滑模增益STA-SMO低速時轉速估計精度低和基于STA-SMO的無位置傳感器控制系統(tǒng)中PI轉速控制器魯棒性差的問題，本文提出一種改進滑模無位置傳感器控制方法。通過仿真和實驗得出以下結論：

1)相較固定增益的STA-SMO，增益值隨轉速變化的變增益STA-SMO可以減小低速時轉速和轉子位置估計誤差，同時保證高速時觀測器的穩(wěn)定性。

2)基于新型轉矩觀測器和新型趨近律設計的滑模轉速控制器在加減負載時，相較PI轉速控制具有更快的動態(tài)響應和更強的魯棒性，而且在基于變增益STA-SMO估計出的機械角速度下，新型轉矩觀測器可以實現(xiàn)對負載轉矩的精確估計，從而保證新型滑?？刂破骶哂懈叩目刂凭?。

3)提出的改進滑模無位置傳感器控制方法，不僅可以提高轉速和轉子位置的估計精度，還可以突加減負載時保持對給定轉速的準確跟蹤，從而實現(xiàn)高精度控制。