高天宇，高 鵬，王立軍

（1.遼寧石油化工大學 機械工程學院，遼寧 撫順 113001；2.撫順新鋼鐵有限責任公司，遼寧 撫順 113001）

旋轉機械廣泛應用于許多行業(yè)和工程領域。轉子系統(tǒng)是旋轉機械的核心部件，其可靠性決定旋轉機械的質量。由于機械在加工過程中不可避免地存在一些缺陷，而且轉子系統(tǒng)在工作中長期受到載荷、扭矩和腐蝕等因素的影響，一些轉軸比較容易出現(xiàn)裂紋。轉子裂紋是旋轉機械的一種常見的故障，由于裂紋的存在，整個轉子系統(tǒng)的非線性行為更加復雜，會導致設備的異常振動，情況嚴重時疲勞裂紋會進一步擴展，引起設備損壞，造成巨大的經(jīng)濟損失。因此，開展裂紋對轉子系統(tǒng)的影響尤為重要。

對裂紋轉子的動力學特性，大多數(shù)學者還是以Jeffcott模 型 為 基 礎 進 行 研 究[1]。A.K.Darpe等[2‐3]推導了完整的柔度矩陣，分析了裂紋轉子的振動特性及裂紋開閉規(guī)律。同時，研究了含橫向裂紋的Jeffcott轉子在軸向激勵作用下的響應特性，采用線性斷裂力學中的應變能量釋放率理論計算裂紋轉子剛度，利用應力強度因子為零模型中的裂紋閉合線位置模型（CCLP）模擬裂紋的呼吸作用。A.S.Sekhar等[4‐5]研究了裂紋檢測和監(jiān)控，并對比了直裂紋與斜裂紋轉子的不平衡響應特性，分析了裂紋轉子通過其臨界速度時的瞬態(tài)振動響應。P.N.Saavedra等[6]通過線性斷裂力學計算了裂紋引起的附加柔性，應用應力強度因子為零的方法建立了呼吸裂紋轉子動力學模型，在Matlab平臺上求解了運動方程并進行了實驗驗證。結果表明，2X成分（二倍工頻）以及1/2一階臨界轉速附近的軸心軌跡可作為裂紋檢測的重要指標。進入21世紀以來，對裂紋轉子系統(tǒng)的研究不再局限于簡單的理想狀態(tài)，耦合故障、復雜支承等多種因素也被考慮進來，同時診斷技術也更加全面。向玲等[7]基于軸心軌跡的形態(tài)，對裂紋與碰摩的耦合故障進行研究，并進行了實驗對比。萬方義等[8]分析了非線性油膜力作用下裂紋轉子的動力學特性，并將此結果與剛性支承情況進行了對比。劉桂珍等[9]建立了非穩(wěn)態(tài)油膜力作用下的裂紋轉子力學模型，應用數(shù)值仿真的方法計算了偏心量變化時的非線性動力學行為，揭示了系統(tǒng)分岔特性和進入混沌的途徑。張星雨等[10]假設裂紋深度不變，在現(xiàn)有Jeffcott轉子模型的基礎上加入裂紋擴展變量，將裂紋擴展與轉子振動耦合，觀測了裂紋擴展中的動力學特性以及影響裂紋擴展速度的因素。文獻[11?14]使用有限元分析軟件ABAQUS，對裂紋轉子動力學特性以及裂紋診斷進行了進一步研究。劉明岳等[15]基于J2積分和材料力學中的彎曲理論，探討了六棱柱結構的橫向裂紋，給出了求解復雜結構應力強度因子的一個方法。

本文根據(jù)Jeffcott轉子動力學模型，結合斷裂力學理論，建立了裂紋轉子系統(tǒng)的有限元模型，并對不同裂紋深度、裂紋角度和不同轉速進行了仿真分析，從時域圖、頻域圖和軸心軌跡圖三個角度對不同裂紋參數(shù)的裂紋轉子系統(tǒng)振動特性進行了探究。然后，采用機械綜合故障臺對部分裂紋轉子進行實驗分析，將實驗結果與仿真數(shù)據(jù)進行對比，驗證了仿真及建模的結論。

1 裂紋單元剛度矩陣及轉子系統(tǒng)動力學方程

1.1 裂紋單元剛度矩陣

轉子裂紋單元模型示意圖如圖1所示。圖1中，l為裂紋單元長度；N1、N7為軸段所受的軸向力；N2、N3、N8、N9為剪力；N4、N10為扭矩；N5、N6、N11、N12為彎矩。

圖1 轉子裂紋單元模型示意圖

由Castingliano定理可得裂紋單元各自由度的位移：

式中，U=U0+Uc；U為裂紋單元總應變能，J；U0為無裂紋軸單元應變能，J；Uc為裂紋引起的附加應變能，J；Ni為外力，N；ui為節(jié)點自由度上的廣義位移，mm；為無裂紋軸單元位移，mm；為裂紋引起的附加位移，mm。

考慮軸向力、扭矩、彎矩以及裂紋截面的剪切效應，無裂紋軸單元應變能U0為：

式中，V1、V2分別為無裂紋軸單元所受水平與豎直方向上的剪切力，N；M1、M2分別為無裂紋軸單元所受水平與豎直方向上的彎矩，N·m；T為扭矩，N·m；F為軸向力，N；E為材料的彈性模量，MPa；Ip為極慣性矩，m4；A為圓截面面積，m2；αs為剪切系數(shù)；Iz為橫截面慣性矩，m4；Ge為切變模量，MPa。此時，載荷為軸單元局部載荷，根據(jù)單元力和力矩平衡可得式（3）。

無裂紋單元體柔度為：

根據(jù)斷裂力學理論，由裂紋擴展引起的附加應變能為：

式中，G(A)為應變能密度函數(shù)，其表達式為：

式中，Ni、Nj均為外力，i,j=1,2,…,6，N。

由式（4）、式（7）可得裂紋單元體的柔度矩陣：

該柔度矩陣為對稱矩陣，將其整合到裂紋轉子系統(tǒng)的模型中，便可得到裂紋軸的剛度矩陣。由靜平衡條件知：

可得轉換矩陣：

裂紋單元剛度矩陣為：

1.2 裂紋轉子系統(tǒng)動力學方程

在靜止坐標系下，裂紋轉子系統(tǒng)的動力學方程為：

2 裂紋轉子系統(tǒng)的振動特性仿真分析

為了進一步了解裂紋轉子系統(tǒng)的振動效果，在建立動力學方程的基礎上，對系統(tǒng)以恒定轉速運行時的穩(wěn)定工況進行分析。通過仿真計算得到系統(tǒng)上某一點的時域、頻域和軸心軌跡曲線；增加裂紋深度、改變裂紋傾斜角度（裂紋角度，下同）、調整系統(tǒng)的運轉速度（轉速，下同），分析上述參數(shù)對裂紋轉子系統(tǒng)振動響應的影響，探究其內在規(guī)律。

有限元模型的參數(shù)與實驗條件保持一致。裂紋轉子系統(tǒng)的基本參數(shù)為：轉軸直徑d1=18.8 mm，長度l1=860.0 mm，材料為45#鋼，密度ρ1=7 850 kg/m3，彈性模量E=206 GPa，泊 松比v=0.3，兩個圓盤各自距離軸兩側250.0 mm，直徑d2=150.0 mm，厚度l2=10.0 mm，密度ρ2=2 700 kg/m3。轉子系統(tǒng)模型示意圖如圖2所示。

圖2 轉子系統(tǒng)模型示意圖（單位：mm）

2.1 裂紋深度對轉子系統(tǒng)振動的影響

在實際工程中，裂紋的出現(xiàn)會使轉子系統(tǒng)的振動特性發(fā)生改變。當系統(tǒng)受到較大的交變載荷時，裂紋會迅速擴展產(chǎn)生疲勞失效，導致系統(tǒng)可靠度降低。因此，研究裂紋深度對動力學特性的影響具有重要意義。在轉軸正中部建立裂紋深度比（用裂紋深度與轉軸半徑之比即裂紋深度比表示裂紋深度）分 別 為0.3、0.5、0.7、1.0的 直 裂 紋，設 置 轉 速 為1 200 r/min，通過仿真分析得到振動曲線圖。不同深度裂紋轉子系統(tǒng)的時域圖及頻域圖（仿真結果）如圖3所示，其軸心軌跡（仿真結果）如圖4所示。

圖3 不同深度裂紋轉子系統(tǒng)時域圖及頻域圖（仿真結果）

由圖3—4可知，當裂紋較淺時，系統(tǒng)的時域波形比較平穩(wěn)，振動分量以頻為主，且軸心軌跡近似于一個橢圓形，與無裂紋時相似；隨著裂紋慢慢加深，系統(tǒng)的振動幅值也隨之變大；由于轉軸上的裂紋在轉動過程中不斷地打開閉合，系統(tǒng)在一個旋轉周期內出現(xiàn)多次振動，故頻域圖中出現(xiàn)了由裂紋引起的二倍工頻振動分量，時域圖中也出現(xiàn)了波形頻率的疊加；隨著裂紋深度比增加，軸心軌跡逐漸變得不穩(wěn)定，出現(xiàn)了向內凹陷的現(xiàn)象；當裂紋深度比由0.7增加到1.0時，系統(tǒng)的更多高倍頻被激發(fā)，振動幅值和二倍工頻振動分量大幅度增加，軸心軌跡出現(xiàn)多個凹陷。這說明轉子系統(tǒng)的不穩(wěn)定性迅速增強，若裂紋繼續(xù)擴展，系統(tǒng)會有失效的風險。

2.2 裂紋角度對轉子系統(tǒng)振動的影響

針對振動響應最為強烈的裂紋深度比為1.0的裂紋轉子系統(tǒng)，設置裂紋深度比為1.0，裂紋位于轉軸正中間，設置轉速為1 200 r/min，選取裂紋角度為30°、45°的斜裂紋，對裂紋角度不同的轉子系統(tǒng)進行了仿真分析，其時域圖及頻域圖（仿真結果）如圖5所示，其軸心軌跡（仿真結果）如圖6所示。

圖5 裂紋角度不同的轉子系統(tǒng)時域圖及頻域圖（仿真結果）

圖6 裂紋不同角度的轉子系統(tǒng)的軸心軌跡（仿真結果）

對比圖5—6及圖3—4中裂紋深度比為1.0的直裂紋轉子系統(tǒng)數(shù)據(jù)可知，當裂紋深度和位置相同時，30°裂紋轉子系統(tǒng)的振動幅值與直裂紋轉子系統(tǒng)相比略有增加，軸心軌跡向內凹陷的程度進一步加深；當裂紋角度增加至45°時，其振動響應變得更為強烈，高倍頻振動分量的幅值明顯增加，且軸心軌跡繼續(xù)向內凹陷以至出現(xiàn)套圈現(xiàn)象。由此可知，裂紋角度的增加會加劇裂紋轉子系統(tǒng)的振動響應，裂紋角度為45°時變化尤為突出。對裂紋角度大于45°的情況，文獻[12]進行了進一步探討，結果發(fā)現(xiàn)裂紋角度為45°的轉子系統(tǒng)響應最為劇烈，雖然裂紋角度大于45°時隨著裂紋角度的增加系統(tǒng)振動響應緩慢減小，但減小幅度遠低于裂紋角小于45°時的增加量。

2.3 轉速對裂紋轉子系統(tǒng)的影響

轉速不同時轉子重力與不平衡力之比不同，因此在不同轉速下裂紋對系統(tǒng)的影響也不同。選取裂紋深度比為1.0且位于轉軸正中間的直裂紋，裂紋深度、裂紋角度保持不變，分析了轉速為1 800、3 000、4 200、5 400 r/min的系統(tǒng)時域、頻域和軸心軌跡，總結了不同轉速下的轉子系統(tǒng)振動響應規(guī)律。不同轉速下裂紋轉子系統(tǒng)的時域圖及頻域圖（仿真結果）如圖7所示，其軸心軌跡（仿真結果）如圖8所示。

圖7 不同轉速下裂紋轉子系統(tǒng)的時域圖及頻域圖（仿真結果）

圖8 不同轉速下裂紋轉子系統(tǒng)的軸心軌跡（仿真結果）

由圖7—8可以看出，隨著轉速的增大，由偏心質量引起的工頻逐漸增加，振動幅值隨之變大；由裂紋引起的二階、三階倍頻等高階倍頻增加量不明顯，其效果被削弱，時域波形逐漸變得平穩(wěn)，軸心軌跡由向內凹陷逐漸變得平滑，但出現(xiàn)了多個圖形重疊的現(xiàn)象；當轉速較大時，圓盤上的偏心質量是引起振動的主要原因，裂紋效果幾乎消失，軸心軌跡由多個大小不一的橢圓形組成，具有一定規(guī)律性，復雜但不紊亂。這表明此時系統(tǒng)作擬周期運動，期間伴隨著許多周期窗；如果轉速繼續(xù)增大，轉子系統(tǒng)將以倍周期分岔進入混沌運動[16]。

3 裂紋轉子系統(tǒng)的振動實驗研究

在對裂紋轉子系統(tǒng)的振動特性進行仿真分析的基礎上，利用機械綜合故障實驗臺，設計相應的實驗方案，對裂紋轉子系統(tǒng)進行振動響應實驗。根據(jù)已有條件，搭建與上述模型相似的實驗臺，對不同裂紋角度和不同轉速進行實驗研究，測得其時間歷程曲線和頻域圖形，并將實驗結果與仿真數(shù)據(jù)進行比較，揭示裂紋轉子系統(tǒng)的振動特性。

裂紋轉子實驗裝置使用長興昇陽科技設備有限公司提供的機械故障綜合實驗臺（MCDS）。該實驗臺由電動機、倫茨SMV變頻器、實驗臺基座、油路系統(tǒng)、分體軸承座以及卡環(huán)式軸承、卡環(huán)式轉子、多種正常及故障轉軸、聯(lián)軸器、齒輪箱數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)和傳感器等實驗零件組成。實驗裝置示意圖如圖9所示。

圖9 實驗裝置示意圖

3.1 直裂紋與斜裂紋轉子系統(tǒng)振動實驗分析

由于受實驗條件的限制，選用位于轉軸正中間的裂紋深度比為1.0的直裂紋與裂紋角度為45°的裂紋開展實驗研究。分別將2根轉軸安裝在實驗臺上，檢查并連接設備，設置轉速為1 200 r/min。裂紋角度不同的轉子系統(tǒng)時域圖及頻域圖（實驗結果）如圖10所示。將實驗數(shù)據(jù)保存并導入MATLAB軟件中，得到了系統(tǒng)的軸心軌跡圖（實驗結果），結果如圖11所示。由圖10—11可知，直裂紋轉子系統(tǒng)的振動特性較45°裂紋轉子系統(tǒng)相對簡單，其振動幅值較小，時間歷程圖更加光滑，軸心軌跡也相對平穩(wěn)。與仿真數(shù)據(jù)對比，兩者振動變化趨勢大致相同，即45°裂紋轉子系統(tǒng)振動更加復雜，圖像變形程度較高。

圖10 裂紋角度不同的轉子系統(tǒng)時域圖及頻域圖（實驗結果）

圖11 裂紋角度不同的轉子系統(tǒng)軸心軌跡（實驗結果）

3.2 轉速對裂紋轉子系統(tǒng)的影響

為了實驗臺運行的安全，裂紋軸在運行時轉速不宜過高。由于直裂紋轉子系統(tǒng)振動特性較為簡單，固選擇直裂紋軸來研究不同轉速下的轉子系統(tǒng)振動特性。分別設置轉速為1 650、1 500、1 200、1 125 r/min進行實驗，結果如圖12所示。由圖12可以看出，隨著轉速的增加，時域波形趨于平滑，振動幅值增加，以工頻分量最為明顯，而由裂紋引起的高階倍頻分量效果被削弱；當轉子系統(tǒng)在1 650 r/min和1 125 r/min轉速下運轉時，恰好處在該系統(tǒng)固有頻率的1/2和1/3處，所以二階和三階倍頻分量特別明顯。與仿真結果相比，兩者振動趨勢幾乎完全符合，驗證了仿真結果及有限元模型的可靠性。

圖12 不同轉速下裂紋轉子系統(tǒng)實驗結果

4 結 論

（1）在裂紋較淺時，系統(tǒng)的振動特性與無裂紋轉子系統(tǒng)相似。隨著裂紋的加深，裂紋對轉子系統(tǒng)的影響越來越大，時域圖出現(xiàn)波形頻率疊加現(xiàn)象，頻域圖出現(xiàn)由裂紋引起的高階振動分量，軸心軌跡不再是光滑的橢圓，而是出現(xiàn)一個甚至多個向內的凹陷。此現(xiàn)象在裂紋深度比由0.7增至1.0時尤為明顯。

（2）當轉子裂紋角度變大時，系統(tǒng)受裂紋影響變大。30°裂紋轉子系統(tǒng)與直裂紋轉子系統(tǒng)振動特性相似；當裂紋角度增至45°時，系統(tǒng)的響應出現(xiàn)劇烈變化。隨著裂紋角度變大，振動幅值明顯升高，由裂紋引起的高階振動分量也在變大，裂紋效果得到增強，軸心軌跡繼續(xù)向內凹陷以至出現(xiàn)“套圈”現(xiàn)象。

（3）當轉速發(fā)生變化時，系統(tǒng)的振動特性也發(fā)生改變。當轉速較低時，裂紋對系統(tǒng)的影響較大；當轉速為系統(tǒng)固有頻率的1/3、1/2時，系統(tǒng)的3X、2X振動分量十分明顯；隨著轉速的升高，系統(tǒng)受裂紋的影響越來越小，時域圖逐漸變得光滑，軸心軌跡逐漸變成橢圓形，但出現(xiàn)了多個圖形重疊的現(xiàn)象。若轉速繼續(xù)增大，轉子系統(tǒng)將進入混沌運動。