詹俊偉，曾 茹，王易之，薛詩川，黃光耀，吳俊杰

(國防科技大學計算機學院量子信息研究所兼高性能計算國家重點實驗室，湖南 長沙 410073)

1 引言

量子計算是后摩爾定律時代最重要的高性能計算前沿技術之一。量子計算使用量子比特編碼信息，通過對量子比特的操控和測量，完成計算任務。已有的量子算法研究表明[1,2]，量子計算擁有經典計算機無法比擬的計算性能。近些年，隨著量子計算物理實現(xiàn)技術的不斷發(fā)展，尤其是超導量子體系[3]和光量子體系[4]的“量子優(yōu)越性”實驗演示之后，量子計算的發(fā)展也進入了新的階段[5]，面向實際問題的專用量子計算成為發(fā)展重點之一。

1982年，美國物理學家Feynman[6]首次提出量子計算的概念時指出，使用經典計算機模擬量子物理系統(tǒng)演化所需要的計算資源會隨著模擬系統(tǒng)規(guī)模的增加而出現(xiàn)指數爆炸問題，而利用一個可控的量子設備來模擬量子物理系統(tǒng)，即量子模擬，會更加高效。量子自旋系統(tǒng)是一類典型的復雜多體量子物理系統(tǒng)，在凝聚態(tài)物理的研究中占有重要地位，拓撲物態(tài)、量子霍爾效應及量子自旋液體等新奇量子效應，均與量子自旋系統(tǒng)有關。目前，量子自旋系統(tǒng)也是量子模擬領域一類重要的研究對象[7,8]。

完美態(tài)轉移PST(Perfect State Transfer) 是量子自旋系統(tǒng)中一類重要的量子信息傳輸模型[9]。最早由Christandl等[10,11]于2004年提出，即在一組特定的自旋量子比特間耦合作用強度下，初始時刻系統(tǒng)中某一自旋量子比特(后面簡稱為量子比特)的量子態(tài)會周期性地轉移到另一量子比特上，且理論上轉移的概率為100%。完美態(tài)轉移在量子信息及量子計算領域具有重要應用價值：固態(tài)量子比特與移動量子比特間的完美態(tài)轉移可以用于實現(xiàn)長程量子通信；量子處理器或量子存儲單元間的通信也可以通過固態(tài)量子比特陣列中的完美態(tài)轉移實現(xiàn)；另外，完美態(tài)轉移還可用于量子態(tài)放大，糾纏態(tài)制備，甚至是實現(xiàn)通用量子計算等[12 - 14]。目前，已有許多實驗工作分別在光量子[15 - 21]、量子點[22]及超導量子線路[23]等物理體系中演示了完美態(tài)轉移的量子模擬。其中，光量子體系是完美態(tài)轉移實驗研究中使用最多的物理體系，代表性工作包括：2016年，Chapman等[19]在光波導陣列中，演示了一對偏振編碼的糾纏光子中一個光子的完美轉移；2017年，Pitsios等[20]通過將完美態(tài)轉移映射為連續(xù)時間量子漫步，利用光波導線路模擬了自旋鏈淬火演化過程中的糾纏生成；2021年，Sturges等[21]在體塊光學平臺上，利用多光子間的干涉實現(xiàn)了完美態(tài)轉移的量子模擬。然而這些已有的研究工作大多數只能模擬固定參數下的完美態(tài)轉移，無法實現(xiàn)動態(tài)可編程的量子模擬。Sturges等[21]的工作中雖然能夠調整所模擬的哈密頓量、演化時間等參數，但其使用的體塊光學實驗系統(tǒng)的可編程性和可擴展性都嚴重受限。

近些年來，隨著集成光量子技術的發(fā)展[24]，光量子芯片逐漸成為量子模擬研究中一種重要的實驗平臺[20,25,26]，且相比體塊光學在集成度、可編程性、操控精度和體積等方面都具有巨大優(yōu)勢。本文系統(tǒng)地分析了一維量子自旋鏈中完美態(tài)轉移的理論模型，首次基于光量子芯片，實驗演示了完美態(tài)轉移的可編程量子模擬，為量子自旋系統(tǒng)的可編程量子模擬提供了一種新思路。本文的具體貢獻為：(1)提出了一種基于雙光子連續(xù)時間量子漫步的可編程完美態(tài)轉移量子模擬方法；(2)運用基于光量子芯片的物理實驗方法，動態(tài)可編程地模擬了不同參數條件下一維量子自旋鏈中雙激發(fā)的完美態(tài)轉移。

本文結構如下所示：第2節(jié)簡述了一維量子自旋鏈中完美態(tài)轉移的基本模型；第3節(jié)介紹了基于連續(xù)時間量子漫步的可編程完美態(tài)轉移量子模擬方法；第4節(jié)根據第3節(jié)提出的模擬方法，在實驗上模擬了不同參數條件下的完美態(tài)轉移；第5節(jié)對工作進行總結與展望。

2 完美態(tài)轉移的基本模型

本文主要考慮XY型一維量子自旋鏈中的完美態(tài)轉移[10,11]。如圖1所示，假設該系統(tǒng)包含N個量子比特，從左到右依次編號為1,2,…,N。系統(tǒng)中只有相鄰的量子比特之間存在相互作用，且相互作用類型為XY型，即相互作用只出現(xiàn)在沿X軸和Y軸的自旋分量上。該系統(tǒng)的哈密頓量H的形式如式(1)所示：

(1)

Figure 1 PST in XY-type one-dimensional quantum spin system圖1 XY型一維量子自旋系統(tǒng)中的完美態(tài)轉移

(2)

(3)

(4)

(5)

3 基于光量子芯片的完美態(tài)轉移可編程量子模擬方法

3.1 完美態(tài)轉移模型的Jordan-Wigner變換

對于XY型一維量子自旋鏈，可以利用Jordan-Wigner變換將其映射為一個無自旋、無粒子間相互作用的費米子系統(tǒng)(量子比特處于沿Z軸自旋向上映射為該空間節(jié)點被一個費米子占據，而沿Z軸自旋向下映射為真空態(tài))[27]，映射后得到的系統(tǒng)哈密頓量Hf的形式如式(6)和式(7)所示：

(6)

(7)

那么，可以將一維量子自旋鏈映射為一個“帶自環(huán)”的無向加權圖G。其中，圖的節(jié)點V(G)表示系統(tǒng)中量子比特所占據的空間節(jié)點，圖的邊E(G)表示其所連接的2個量子比特之間存在相互作用，邊的權重即相互作用的強度。圖G的鄰接矩陣A表示如式(8)所示：

(8)

進而，可以將對應的量子態(tài)演化過程映射為一組無相互作用的費米子在圖G上進行連續(xù)時間量子漫步CTQW(Continuous-Time Quantum Walks)[28]。這里，費米子的個數為系統(tǒng)給定初始量子態(tài)所對應的激發(fā)數m。那么，原系統(tǒng)演化過程中激發(fā)分量由初始量子比特轉移到其他量子比特上的概率，則映射為費米子從初始節(jié)點“躍遷”至其他節(jié)點的概率。

根據連續(xù)時間量子漫步的基本模型可得，m個無相互作用的費米子在圖G上進行量子漫步的哈密頓量Hm表示(這里不考慮Hm的投影)如式(9)所示：

Hm=(A?I?…?I)1+…+

(I?I?…?A)m

(9)

其中，I為單位算符。

演化算符Um如式(10)所示：

Um=(e-iAt)1?(e-iAt)2…?(e-iAt)m

(10)

其中，t表示演化時間。

3.2 基于連續(xù)時間量子漫步的光量子芯片

首先給出本課題組提出的一種可以實驗演示兩粒子連續(xù)時間量子漫步的光量子芯片結構[29],如圖2所示，這款光量子芯片主要由2部分構成：1對SFWM(Spontaneous Four Wave Mixing)糾纏光子源和2個5(路徑)模的線性光學網絡L和R。泵浦光在SFWM光子源的作用下產生頻率關聯(lián)的光子對：信號光子和閑置光子。經過選擇，使信號光子進入L網絡，閑置光子進入R網絡，進而得到路徑糾纏的雙光子態(tài)，如式(11)所示：

(11)

Figure 2 Scheme of quantum photonic chip structure based on CTQW圖2 基于連續(xù)時間量子漫步的光量子芯片結構

3.3 雙激發(fā)完美態(tài)轉移的可編程量子模擬

(12)

(13)

同時，根據3.2節(jié)給出的光量子芯片結構，可以將式(13)中的基底態(tài)矢量映射為路徑糾纏的雙光子態(tài)，如式(14)所示：

(14)

又根據式(9)和式(10)可知，模擬雙激發(fā)完美態(tài)轉移對應的哈密頓量和演化算符分別如式(15)和式(16)所示：

H2=A⊕2=A?I+I?A

(15)

U2=e-iH2t=e-iAt?e-iAt

(16)

其中，A表示一維量子自旋鏈映射得到的無向加權圖的鄰接矩陣，如式(8)所示。Albanese等[11]針對多激發(fā)的情況，給出了2類特殊的哈密頓量，可以實現(xiàn) “周期-鏡像”的完美態(tài)轉移。這2類哈密頓量對應的相互作用參數和磁場能量取值可分別由式(17)和式(18)給出：

(17)

(18)

其中，l=0,1,…,N-1。在芯片上，通過將2個線性光學網絡均配置為e-iAt，便可得到雙激發(fā)完美態(tài)轉移模擬所需的演化算符U2。因此，要利用光量子芯片實現(xiàn)哈密頓量、初態(tài)及演化時間等參數可變的雙激發(fā)完美態(tài)轉移可編程量子模擬，芯片上的2個線性光學網絡需分別配置,如式(19)所示：

Utotal=e-iAt·Uini

(19)

根據3.1節(jié)中介紹的映射關系，雙激發(fā)從第i和j號量子比特轉移至第p和q號量子比特上的概率，等于糾纏雙光子態(tài)所模擬的2個費米子從線性光學網絡第i和j號路徑模式“躍遷”至第p和q號路徑模式的概率，如式(20)所示：

(20)

因此，在實驗中通過測量2個線性光學網絡第p和q號路徑模式間的雙光子符合概率，即可得到雙激發(fā)完美態(tài)轉移演化過程中概率分布的模擬結果。另外，本文所使用的光量子芯片上2個線性光學網絡均為5模，所以，實驗上可模擬的一維量子自旋鏈規(guī)模為N=5。

4 基于光量子芯片的完美態(tài)轉移可編程量子模擬實驗

根據第3節(jié)所介紹的完美態(tài)轉移量子模擬方法，本文利用基于雙光子連續(xù)時間量子漫步的光量子芯片，完成了不同參數下雙激發(fā)完美態(tài)轉移的可編程量子模擬實驗。

4.1 實驗裝置

圖3為一維量子自旋鏈中雙激發(fā)完美態(tài)轉移可編程量子模擬的實驗裝置。本文主要使用基于連續(xù)時間量子漫步的光量子芯片進行實驗研究。其中，使用波長為1 550 nm的連續(xù)激光器作為泵浦光，經過激光放大器進行功率放大后，由光柵陣列耦合至光量子芯片上。根據3.3節(jié)所介紹的完美態(tài)轉移可編程量子模擬方法，實驗裝置中的主機通過電控板給光量子芯片施加控制電信號，產生模擬所需的雙光子態(tài)并將線性光學網絡配置為對應的演化算符。光量子芯片輸出的光信號經由光柵陣列耦出芯片，通過單模光纖接至超導納米線單光子探測器，使用符合計數器解析出探測到的雙光子符合計數信息，并將其發(fā)送至主機。根據芯片上2個線性光學網絡各路徑模式間的雙光子符合計數，可以計算出雙激發(fā)完美態(tài)轉移演化過程中的轉移概率分布。

Figure 3 Experimental setup for programmable quantum simulation of perfect state transfer圖3 完美態(tài)轉移可編程量子模擬實驗裝置

4.2 實驗結果及分析

本文利用光量子芯片，在實驗中模擬了3.3節(jié)給出的2類“周期-鏡像”哈密頓量和不同初始激發(fā)位置下，完美態(tài)轉移演化過程中雙激發(fā)轉移概率分布隨時間的變化(由于實驗數據的測量精度較高，測量誤差遠小于數據值，在實驗結果的圖中無法清晰地表示，因此圖中未給出誤差數據)：

(1)第1類哈密頓量：由圖4可得，雙激發(fā)從初始位置第1和2號量子比特，以周期T=π/2，轉移至其鏡像位置第4和5號量子比特，轉移概率(簡化起見，均選取第1次實現(xiàn)完美態(tài)轉移對應的轉移概率)的實驗結果為0.983±0.006，實驗數據的保真度為0.982±0.012；由圖5可得，雙激發(fā)從初始位置第3和4號量子比特，同樣以周期T=π/2，轉移至其鏡像位置第2和3號量子比特，轉移概率的實驗結果為0.991±0.007，實驗數據的保真度為0.977±0.011。

(2)第2類哈密頓量：由圖6可得，雙激發(fā)從初始位置第1和2號量子比特，以周期T=π，轉移至其鏡像位置第4和5號量子比特，轉移概率的實驗結果為0.981±0.006，實驗數據的保真度為0.971±0.019；由圖7可得，雙激發(fā)從初始位置第3和4號量子比特，以周期T=π，轉移至其鏡像位置第2和3號量子比特，轉移概率的實驗結果為0.987±0.004，實驗數據的保真度為0.950±0.029。

Figure 4 Time evolution of two excitations starting from first and second qubits under type-Ⅰ Hamiltonian圖4 第1類哈密頓量作用下初始激發(fā)位置為第1和2號量子比特的雙激發(fā)演化過程

Figure 6 Time evolution of two excitations starting from first and second qubits under type-Ⅱ Hamiltonian圖6 第2類哈密頓量作用下初始激發(fā)位置為第1和2號量子比特的雙激發(fā)演化過程

Figure 5 Time evolution of two excitations starting from third and fourth qubits under type-Ⅰ Hamiltonian圖5 第1類哈密頓量作用下初始激發(fā)位置為第3和4號量子比特的雙激發(fā)演化過程

5 結束語

量子模擬是量子計算最重要的研究方向之一。量子自旋系統(tǒng)在凝聚態(tài)物理的研究中占據重要地位，是量子模擬領域主要的研究對象之一。本文利用基于雙光子連續(xù)時間量子漫步的光量子芯片，針對一維量子自旋鏈中的完美態(tài)轉移模型，實驗實現(xiàn)了哈密頓量、初始量子態(tài)及時間等參數可變的可編程光量子模擬，在實驗層面驗證了在Albanese等提出的2類特殊哈密頓量作用下，能夠實現(xiàn)XY型量子自旋鏈中雙激發(fā)“周期-鏡像”的完美態(tài)轉移。另外，對于更一般的任意多激發(fā)及高維量子系統(tǒng)中的態(tài)轉移模型，將在后續(xù)研究中完成。

Figure 7 Time evolution of two excitations starting from third and fourth qubits under type-Ⅱ Hamiltonian圖7 第2類哈密頓量作用下初始激發(fā)位置為第3和4號量子比特的雙激發(fā)演化過程