王 坤

(北京市第八十中學)

《普通高中數(shù)學課程標準(2017 年版2020 年修訂)》提出中學生在數(shù)學學習中應培養(yǎng)好數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng).其中,數(shù)學建模是指對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象,用數(shù)學語言表達問題,用數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).數(shù)學建模強調(diào)應用,數(shù)學教學更加看重其實用價值.

數(shù)學建模是將某些現(xiàn)實問題或其他學科中的問題歸結(jié)為相應的數(shù)學問題,并在此基礎上利用數(shù)學的概念、方法和理論進行深入的分析和研究,從而從定性或定量的角度來刻畫原有問題,并為解決問題提供精確的數(shù)據(jù)或可靠的指導.數(shù)學建模的一般流程如圖1所示.

圖1

高中物理和化學學科中的很多問題,都具有很強的實際背景,這些問題的解決,都可以通過數(shù)學建模來完成.解決相應的物理和化學問題,可以幫助學生對數(shù)學建模的流程有一個清晰的認識,同時使學生對數(shù)學的應用價值有更加深刻的感悟.

面對一個具體的物理或者化學問題,該如何通過數(shù)學建模的方法來解決呢? 下面通過幾個具體問題進行說明.

問題1一個帶有滑輪的梯形木塊A置于光滑水平面上,斜面的傾角為θ,木塊A上的物體B用繞過滑輪的輕繩與物體C相連,用一水平向左的拉力F作用在物體B上,恰使A、B、C保持相對靜止.如圖2所示,已知物體A、B、C的質(zhì)量均為m,重力加速度為g,不計一切摩擦,試求拉力F,并討論θ為何值時F有最大值,最大值為多少.

圖2

數(shù)學建模過程如下:

步驟1:觀察情境.3 個物體構(gòu)成的系統(tǒng)的運動狀態(tài).

步驟2:發(fā)現(xiàn)和提出問題.因為系統(tǒng)中的物體保持相對靜止,可以對系統(tǒng)進行受力分析.

步驟3:收集數(shù)據(jù).3個物體的質(zhì)量均為m,重力加速度為g,拉力為F,斜面的傾角為θ.

步驟4:選擇模型.設定自變量θ,因變量F,構(gòu)建函數(shù)模型F＝f(θ).

設3個物體構(gòu)成的系統(tǒng)的加速度大小為a,方向水平向左,B、C間繩的拉力大小為FT,斜面對物體的支持力為FN.

對系統(tǒng):F＝3ma,對物體B:F－FT＝ma.對物體C:FTcosθ－FNsinθ＝ma,FTsinθ＋FNcosθ＝mg.將上述方程整理可得,此即為函數(shù)F＝f(θ).

步驟5:求解模型.選擇相應的數(shù)學方法,求函數(shù)F＝f(θ)的最大值.簡便起見,考慮3mg為正常數(shù),先計算的最大值.

方法1(幾何法)在平面直角坐標系中,表示點(2,0)與點(cosθ,－sinθ)連線的斜率,結(jié)合圖形,容易知道其最大值為,此時θ＝60°.

方法2(判別式法)易知g(θ)＞0,對其平方,并應用同角關(guān)系式可得,變形為(g2＋1)cos2θ－4g2cosθ＋4g2－1＝0,為使cosθ有解,首先需使Δ＝(4g2)2－4(g2＋1)(4g2－1)≥0,解得可知θ＝60°時,g(θ)取最大值

通過上述方法,均可得到當θ＝60°時,F＝f(θ)取得最大值

步驟6:檢驗.θ＝60°滿足原有問題的條件,此時其為最優(yōu)解條件,所以模型有效.

問題2如圖3所示,某同學將離地1.25m 的網(wǎng)球以13m·s－1的速度斜向上擊出,擊球點到豎直墻壁的距離為4.8m.當網(wǎng)球豎直分速度為零時,擊中墻壁上離地高度為8.45m 的P點.網(wǎng)球與墻壁碰撞后,垂直墻面速度分量大小變?yōu)榕銮暗?.75倍.平行墻面的速度分量不變.重力加速度g取10m·s－2,網(wǎng)球碰墻后的速度大小v和著地點到墻壁的距離d分別為( ).

圖3

數(shù)學建模過程如下:

步驟1:觀察情境.在立體空間中的網(wǎng)球運動.

步驟2:發(fā)現(xiàn)和提出問題.在空間中,從3 個方向?qū)λ俣确謩e進行分析.

步驟3:收集數(shù)據(jù).擊球點高度1.25m,墻壁落點高度8.45m,擊球點距墻壁距離4.8 m,網(wǎng)球初速度13m·s－1,擊中墻壁時,豎直分速度為零,反彈后垂直墻面分速度變?yōu)榕鲎睬暗?.75倍,平行墻面分速度不變,重力加速度g取10m·s－2.

步驟4:選擇模型.在空間直角坐標系中,建立空間向量模型來表示速度,以擊球點為坐標原點,以垂直于墻面的方向為x軸,平行于墻面且平行于地面的方向為y軸,垂直于地面的方向為z軸,建立如圖4所示的空間直角坐標系.

圖4

步驟6:檢驗.所求解數(shù)值滿足題目的條件,所以模型有效.

問題3(2022年全國甲卷,節(jié)選)螢石(CaF2)是自然界中常見的含氟礦物,其晶胞結(jié)構(gòu)如圖5所示,X代表的離子是_________;若該立方晶胞參數(shù)為apm,正負離子的核間距最小為_________pm.

圖5

數(shù)學建模過程如下:

步驟1:觀察情境.螢石的晶胞結(jié)構(gòu).

步驟2:發(fā)現(xiàn)和提出問題.對螢石中的Ca2＋和F－進行數(shù)量和結(jié)構(gòu)分析.

步驟3:收集數(shù)據(jù).螢石的化學式為CaF2,晶胞結(jié)構(gòu)如圖5所示.

步驟4:選擇模型.結(jié)合螢石的晶胞結(jié)構(gòu),建立正方體模型,對正方體中特殊位置點之間的關(guān)系進行研究.

步驟5:求解模型.在正方體中,6個面(正方形)的中心稱為面心,體對角線的交點(中點)稱為體心.根據(jù)螢石晶胞結(jié)構(gòu),淺色X 離子分布在晶胞的頂點和面心上,每個頂點處的X 離子與晶體中的8個深色Y 離子通過離子鍵相連,其中有1 個Y 離子在同一個晶胞中,而位于面心處的X 離子共與晶體中的8個Y 離子通過離子鍵相連,其中有4 個Y 離子在同一個晶胞中,因此1個晶胞中淺色X 離子共有4個.深色Y 離子分布在晶胞內(nèi)部,則1個晶胞中共有8個Y 離子.因此,該晶胞的化學式應為XY2,結(jié)合螢石的化學式可知,X 為Ca2＋.根據(jù)晶胞結(jié)構(gòu),將晶胞分成8個相等的小正方體,其中F－(即Y 離子)位于晶胞中小正方體的體心,而Ca2＋位于小正方體的頂點.因為小正方體的邊長為,體對角線長為,Ca2＋與F－之間的距離等于小正方體體對角線長的一半,即

步驟6:檢驗.所求解數(shù)值滿足題目的條件信息,所以模型有效.

通過建模解決以上幾個物理、化學學科問題,我們可以深刻體會到數(shù)學知識的基礎性作用及其應用價值,為多學科整合開辟新的思路.

(完)