詹 凱 吳 濱

(1.首都師范大學(xué)附屬中學(xué) 2.北京市101中學(xué))

普通高中物理學(xué)習(xí)的運動學(xué)叫作“質(zhì)點運動學(xué)”,學(xué)習(xí)的動力學(xué)也集中研究“質(zhì)點動力學(xué)”.而牛頓第二定律在物體所受的力與其運動狀態(tài)的變化之間建立了定量聯(lián)系:F＝ma,物體的受力F與加速度a之間的紐帶就是物體慣性大小的量度——質(zhì)量.

生活中,我們不可避免地會研究不能簡化為質(zhì)點的物體(將其模型簡化為“剛體”)的運動.定量研究用多大的力能使轉(zhuǎn)動的物體停下來? 轉(zhuǎn)動物體具有的“動能”有多大? 滑冰運動員抱緊雙臂為什么就可以轉(zhuǎn)得更快? 等等.

研究物體轉(zhuǎn)動的難點在于,物體上各個點轉(zhuǎn)動時的角速度雖然相同,但線速度是不一樣的.加速或減速轉(zhuǎn)動的物體離轉(zhuǎn)軸不同位置的質(zhì)量微元,其加速度的大小并不相同,這就給我們的定量計算帶來了困難.另外,通過滑冰運動員張開雙臂和收緊雙臂來控制轉(zhuǎn)動角速度的實例也可以看出,物體轉(zhuǎn)動時的慣性似乎不僅跟物體的質(zhì)量有關(guān),還跟質(zhì)量分布有關(guān).可見,物體轉(zhuǎn)動時的慣性并不是一個恒定不變的量,這給研究物體的轉(zhuǎn)動蒙上了一層神秘的色彩.

雖然轉(zhuǎn)動慣量不是高中物理所要求的內(nèi)容,但卻是強基考試、物理競賽中的基礎(chǔ)知識與核心內(nèi)容之一.有意參加強基考試和物理競賽的同學(xué),一定要將轉(zhuǎn)動問題當作重中之重進行研學(xué).

1 如何類比質(zhì)點動力學(xué),得出“轉(zhuǎn)動慣量”?

剛體作為一個質(zhì)點系,在定軸轉(zhuǎn)動時它的動量p等于質(zhì)心動量pC.剛體每一無窮小區(qū)域都可處理成點部位,所含質(zhì)量記為mi,定軸轉(zhuǎn)動時剛體的動能為

圖1

等號右端第一項的方向沿z軸,實為Lz,第二項的方向平行于xOy平面,實為Lxy,定軸轉(zhuǎn)動問題主要討論剛體繞z軸轉(zhuǎn)動情況的變化,即角動量的z軸分量.

Lz的標量式為

可表述成Lz＝Iω,與質(zhì)點動量p＝mv的結(jié)構(gòu)形式相似,其中I仍與m對應(yīng).剛體定軸轉(zhuǎn)動時的兩個動力學(xué)量Ek和Lz都與轉(zhuǎn)動慣量I有關(guān),I由給出,對于物質(zhì)連續(xù)分布的剛體,可通過積分來完成求和.

2 如何計算常見剛體的轉(zhuǎn)動慣量?

例1質(zhì)量為m、長度為L的均質(zhì)桿,繞著垂直于桿所在平面并通過質(zhì)心的軸旋轉(zhuǎn),求桿的轉(zhuǎn)動慣量.

解析如圖2 所示,根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的定義式進行積分.

圖2

一些常見的剛體的轉(zhuǎn)動慣量如表1所示.

表1

根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的定義式,在計算連續(xù)體的轉(zhuǎn)動慣量時,理論上應(yīng)當應(yīng)用積分.但是積分計算對于一般中學(xué)生來說是個難點.是否有別的辦法避免煩瑣的積分運算呢?

3 轉(zhuǎn)軸不在特殊位置時,有什么辦法計算剛體的轉(zhuǎn)動慣量?

若兩轉(zhuǎn)軸平行,距離為d,其中一軸過質(zhì)心,質(zhì)量為m的剛體對過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量為IC,則剛體對另一軸的轉(zhuǎn)動慣量為I＝IC＋md2,這叫作“平行軸定理”.顯然,剛體相對各平行軸的不同轉(zhuǎn)動慣量中,過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量最小.

薄板(厚度無限小)相對與它垂直的坐標軸的轉(zhuǎn)動慣量,等于薄板對于板面內(nèi)兩互相垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量之和,即Iz＝Ix＋Iy.這叫作“垂直軸定理”,也叫作“正交軸定理”.其適用條件是x、y、z軸過同一點,且互相垂直,z軸垂直于板面,x、y軸在板面內(nèi),如圖3所示.

圖3

例2計算以下物體繞軸的轉(zhuǎn)動慣量.

(1)均質(zhì)桿,質(zhì)量為m,長度為L,繞著垂直于桿所在平面并通過質(zhì)心的軸旋轉(zhuǎn).

(2)均質(zhì)正三角板,質(zhì)量為m,邊長為b,繞著垂直于板平面并通過質(zhì)心的軸旋轉(zhuǎn).

解析(1)例1通過積分方式得到答案.此處利用量綱關(guān)系以及平行軸定理聯(lián)立求解.

圖4

(2)如圖5所示,將大正三角板分成4個相等的小正三角板,每個小正三角板的邊長為根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)量、長度的量綱關(guān)系可知,小正三角板繞著垂直于板平面并通過質(zhì)心的軸旋轉(zhuǎn)時的轉(zhuǎn)動慣量I′,與大正三角板繞著垂直于板平面并通過質(zhì)心的軸旋轉(zhuǎn)時的轉(zhuǎn)動慣量I之間的關(guān)系為

圖5

若假設(shè)大正三角板的轉(zhuǎn)動慣量I＝λmb2,則小正三角板的轉(zhuǎn)動慣量.根據(jù)平行軸定理,3個角上的小正三角板繞著中間小三角板中心軸的轉(zhuǎn)動慣量I″為.4個小正三角板組合成大正三角板,則I＝I′＋3I″,

例3均質(zhì)正方形薄板質(zhì)量為m、各邊長為a.如圖6所示,在板平面上設(shè)置過中心O的轉(zhuǎn)軸MN,求板相對該軸的轉(zhuǎn)動慣量I.

圖6

解析板平面上薄板沿x、y軸轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量與例1中的均質(zhì)桿繞垂直于桿所在平面并通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量一樣.再結(jié)合垂直軸定理,可迎刃而解.在板平面上設(shè)置過O點且與MN垂直的M′N′軸,相應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量記為I′.根據(jù)對稱有I＝I′.在板平面上建立xOy坐標系,相對于x、y軸轉(zhuǎn)動慣量相同,即.再根據(jù)垂直軸定理,得I＋I′＝Iz,Ix＋Iy＝Iz,其中,Iz是板繞著過O點且垂直于板平面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量.于是有I＋I′＝Ix＋Iy,得

點評由例2、例3兩道例題可以看出,如果能巧用平行軸定理和垂直軸定理,可以省掉大量的積分計算.這樣就大大降低了計算轉(zhuǎn)動慣量的難度.

4 如何打棒球,才能不手麻?

例4如圖7所示,質(zhì)量為m的剛體,其質(zhì)心C到懸掛點P的距離為rC.以水平力F打擊該剛體上的O點,若打擊點O選擇合適,則打擊過程中軸對鋼體的切向力Fτ為0,該點O稱為打擊中心,求打擊中心到軸的距離r0.(設(shè)剛體繞與P點轉(zhuǎn)軸平行且過質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為IC)

圖7

解析剛體的質(zhì)心在水平方向有加速度,若轉(zhuǎn)動引起的質(zhì)心的加速度恰由力F提供,則懸掛點P就不需要提供水平方向的切向力.剛體繞P點的轉(zhuǎn)動慣量I＝IC＋mr2C.剛體在水平力的力矩Fr0的作用下做定軸轉(zhuǎn)動.設(shè)棒的角加速度為β,則轉(zhuǎn)動動力學(xué)方程為Fr0＝Iβ,剛體質(zhì)心的切向加速度為aC＝βrC,若P點對剛體無水平作用力,則質(zhì)心運動方程為F＝maC＝mβrC.聯(lián)立消去β得

點評從上述解析過程可以看出,利用轉(zhuǎn)動慣量I解決剛體的動力學(xué)問題時,也有類似“剛體轉(zhuǎn)動的牛頓第二定律”形式,其中力被力矩替代,質(zhì)量被轉(zhuǎn)動慣量替代,加速度被角加速度替代.另外,從例題結(jié)果可以看出,懸掛于端點的長為L的均質(zhì)細桿,打擊處時,懸掛點P不受力.棒球運動員在擊打棒球時,如果擊球點在打擊中心附近,則手受到棒的作用力最小,這樣手就不會感覺到強烈的疼痛.

5 花樣滑冰運動員是如何控制轉(zhuǎn)速的?

花樣滑冰運動員在比賽中經(jīng)常做出這樣的動作——伸開雙臂原地轉(zhuǎn)圈時,雙臂逐漸抱緊身體的過程中,轉(zhuǎn)動的角速度越來越大.這是為什么呢? 結(jié)合前述多個問題的討論,可以給出該問題的定性解釋.

運動員在轉(zhuǎn)動過程中,冰刀與冰面之間的摩擦力很小,力臂也很小,可以視為幾乎不受力矩作用.類比不受外力作用的質(zhì)點動量守恒,可以得出結(jié)論——運動員在轉(zhuǎn)動過程中角動量守恒.此時,抱緊雙臂的過程中,運動員質(zhì)量分布逐漸靠近轉(zhuǎn)軸,轉(zhuǎn)動慣量減小,要保持角動量不變,則需增大轉(zhuǎn)動的角速度.

6 阿特伍德機的動力學(xué)問題

例5如圖8所示的裝置為阿特伍德機,即一輕繩繞過質(zhì)量為m、半徑為R的質(zhì)量分布均勻的圓盤形定滑輪,繩的兩端分別系有質(zhì)量為m1和m2的物體,m1＞m2,滑輪軸上受到的摩擦阻力可忽略.試求兩物體運動的加速度和兩側(cè)繩上的張力.假定繩子不能伸長,繩與滑輪之間摩擦力足夠大以至于繩與滑輪之間無相對滑動,重力加速度大小為g.

圖8

解析由于滑輪有轉(zhuǎn)動慣量,因此兩側(cè)物體加速運動時,滑輪加速轉(zhuǎn)動,繩子兩側(cè)張力肯定不同,否則滑輪所受合力矩為0.對兩物體和滑輪分別列動力學(xué)方程,聯(lián)立求解即可.

設(shè)兩根繩中的張力分別為FT1、FT2,兩物體運動時的加速度大小為a,滑輪轉(zhuǎn)動時的角加速度大小為β,根據(jù)牛頓第二定律以及轉(zhuǎn)動定理知m1g－FT1＝m1a,FT2－m2g＝m2a,FT1R－FT2R＝Iβ.圓盤轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量,a與β之間的運動輔助方程為a＝βR.聯(lián)立以上方程可得

點評從以上結(jié)果可以看出,若滑輪質(zhì)量可忽略不計時,即上述3個表達式中m→0,則a＝,這正是課內(nèi)學(xué)習(xí)牛頓運動定律處理簡單的滑輪連接的兩物體加速度與拉力問題的結(jié)果.但是本題的結(jié)果更具有一般性,一般性的結(jié)果在m→0的情況下能回歸到已知的結(jié)果中去,正說明本題結(jié)果的正確性,這也是我們檢查結(jié)果是否正確常用到的方法.

轉(zhuǎn)動問題在生活中廣泛存在.在研究轉(zhuǎn)動問題時,衡量物體慣性的物理量為轉(zhuǎn)動慣量,物體的轉(zhuǎn)動慣量不僅跟其質(zhì)量有關(guān),還與轉(zhuǎn)動的方式、轉(zhuǎn)軸的位置等有關(guān).轉(zhuǎn)動問題中的轉(zhuǎn)動慣量,與質(zhì)點動力學(xué)中的“平動慣量”,即物體的質(zhì)量,有著異曲同工之妙.在學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)動問題時,要不斷將轉(zhuǎn)動、平動問題進行對比和聯(lián)系,體會其中的不同點與相同點,這有助于我們對牛頓力學(xué)體系獲得更深、更廣的理解.

(完)