許冬保(特級教師、正高級教師)

(江西省九江市第一中學(xué))

質(zhì)點動能定理是中學(xué)物理課程中的重要內(nèi)容.然而,有些力學(xué)問題,應(yīng)用質(zhì)點動能定理求解,會帶來一些疑惑.質(zhì)點系動能定理與質(zhì)心動能定理作為質(zhì)點動能定理的拓展,具有釋疑解惑、優(yōu)化思維品質(zhì)的功能.二者形似質(zhì)異,內(nèi)涵不同,用于解題,相得益彰.

1 質(zhì)點系動能定理

設(shè)質(zhì)點系由N個質(zhì)點構(gòu)成,則第i個質(zhì)點的動能變化量應(yīng)等于作用于第i個質(zhì)點的外力的功和內(nèi)力的功之和,即Wi外＋Wi內(nèi)＝ΔEki.

對i求和,得到質(zhì)點系動能定理數(shù)學(xué)表達(dá)式為

因此,作用于質(zhì)點系所有外力所做的功與所有內(nèi)力所做的功的總和等于質(zhì)點系動能的變化量.

質(zhì)點系動能定理適用于質(zhì)點系,與質(zhì)點動能定理一樣,質(zhì)點系動能定理也只能在慣性系中成立.其功包括內(nèi)力功與外力功兩部分,其中外力功中的位移為力的作用點的位移.

2 質(zhì)心動能定理

質(zhì)心是質(zhì)點系的平均位置,是各質(zhì)點以質(zhì)量為權(quán)的加權(quán)平均位置.幾何上質(zhì)心是一個點,沒有內(nèi)部結(jié)構(gòu),在慣性系中不存在自身的轉(zhuǎn)動.因此,質(zhì)心的運動可以在某些方面代表整體的運動.

若質(zhì)點質(zhì)量及位置坐標(biāo)分別為mi、ri,則質(zhì)心位置一般公式為

對低速宏觀世界中的一切物體,由質(zhì)心運動定律有

式中,∑F為系統(tǒng)受到的外力之和,aC為質(zhì)心加速度.

上式兩邊點乘質(zhì)心位移drC,有

上式表明,合外力對質(zhì)心所做的功等于質(zhì)心動能的變化量.此為質(zhì)心動能定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式或質(zhì)心動能方程.

質(zhì)心動能定理描述的是作用于質(zhì)心上的諸外力做的總功與質(zhì)心動能變化之間的關(guān)系.顯然,等號左邊是所有外力做功的代數(shù)和,不含內(nèi)力功;外力功的表達(dá)式中,合外力與質(zhì)心位移的乘積的意思是將合外力平移到質(zhì)心后對質(zhì)心所做的功,該功并不一定對應(yīng)真實的功,往往叫作虛功或質(zhì)心功.外力功中的位移是質(zhì)心的位移,不是力的作用點的位移;質(zhì)心動能是指質(zhì)心平動動能,不含轉(zhuǎn)動動能.

3 應(yīng)用分析

3.1 地面對運動員做功的質(zhì)疑

例1一位質(zhì)量為m的運動員從下蹲狀態(tài)向上起跳,經(jīng)Δt時間,身體伸直并剛好離開地面,速度為v.重力加速度為g,在此過程中( ).

A.地面對他的沖量為mv＋mgΔt,地面對他做的功為

B.地面對他的沖量為mv＋mgΔt,地面對他做的功為零

C.地面對他的沖量為mv,地面對他做的功為

D.地面對他的沖量為mv－mgΔt,地面對他做的功為零

解析設(shè)地面對運動員的沖量為I,取豎直向上為正方向,則由動量定理有I－mgΔt＝mv,解得I＝mv＋mgΔt.

由于地面對人的支持力與地面垂直,且支持力的作用點未發(fā)生位移,因此,支持力對運動員不做功.選項B正確.

討論該題的疑惑在于,既然地面對運動員未做功,但運動員為何獲得了動能? 下面通過質(zhì)點系動能定理及質(zhì)心動能定理列方程進(jìn)行分析.

1)質(zhì)點系動能定理分析

運動員可視為質(zhì)點系,若內(nèi)力功為W,運動員重心(或質(zhì)心)升高d.由質(zhì)點系動能定理有W－mgd＝,解得

2)質(zhì)心動能定理分析

設(shè)運動員受到地面的支持力大小為FN,由質(zhì)心動能定理有,解得

綜上分析得W＝FN·d.

此處FN·d并非功量.如上所述,實際上支持力FN的作用點并未發(fā)生位移,FN不做功;FN·d可理解為虛功.表達(dá)式W＝FN·d的物理意義是內(nèi)力功大小等于支持力與質(zhì)心位移的乘積.類似的還有汽車牽引力做功的問題,分析方法相同.

3.2 剛體轉(zhuǎn)動問題不宜用質(zhì)心動能定理來處理

例2一長為L、質(zhì)量不計的剛性硬桿,左端通過鉸鏈固定于O點,中點及右端分別固定質(zhì)量為m和質(zhì)量為2m的小球,兩球與桿可在豎直平面內(nèi)繞O點無摩擦地轉(zhuǎn)動.開始時使桿處于水平狀態(tài)并由靜止釋放,如圖1所示,當(dāng)桿下落到豎直位置時,求在桿中點的球的速率.

圖1

解析兩球轉(zhuǎn)動的角速度相同,則由圓周運動角速度與線速度的關(guān)系知,桿中點的小球的速度為外端小球速度的一半.設(shè)中點的小球的速度大小為v,由質(zhì)點系動能定理(或系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律)有

討論若用質(zhì)心動能定理求解,過程如下:找到兩球的質(zhì)心位置,由質(zhì)心動能定理,有

可見,質(zhì)心動能定理與質(zhì)點系動能定理所求結(jié)果不同.原因何在? 原因是質(zhì)心動能定理不適用于轉(zhuǎn)動的情形.本題描述的是剛體的定軸轉(zhuǎn)動,并非質(zhì)點系的平動問題.

柯尼希定理表明,轉(zhuǎn)動體的動能等于質(zhì)心的動能與相對質(zhì)心的動能(或相對動能)之和.計入相對動能,由質(zhì)點系動能定理有

3.3 用兩個動能定理聯(lián)合處理問題更簡潔

例3有兩個質(zhì)量均為m的小球,用長為2L的輕繩連接起來(球的直徑相比L可忽略),置于光滑水平面上,繩恰好處于伸直狀態(tài),如圖2所示,今用一個恒力F作用在繩的中點,F的方向水平且垂直于繩的初始長度方向,原為靜止的兩個小球因此運動.試問,在兩個小球第一次相碰前的瞬間,小球在垂直于F作用線方向上的分速度為多大?

圖2

解析 質(zhì)點系動能定理

在F作用線方向(設(shè)為x方向)上,當(dāng)繩與作用線成θ角時,如圖3 所示,繩中張力為小球受到作用力大小為FT,x方向的分力為,故FTx也是恒量,小球在x方向的加速度為即小球在x方向上做勻加速運動.設(shè)兩球第一次相碰前瞬間,小球的x方向分速度為vx,恒力F作用點已有的位移量為s,則小球在x方向位移為s－L,有

圖3

此時恒力F做的功為Fs.設(shè)小球垂直于x方向的分速度大小為vy,則由質(zhì)點系動能定理有

質(zhì)心動能定理

如圖4所示,由質(zhì)心動能定理有F(s－L)＝2×.由質(zhì)點系動能定理有聯(lián)立求解,結(jié)果同上.

圖4

點評對比兩種求解方法,應(yīng)用質(zhì)點系動能定理與牛頓運動定律求解,過程煩瑣;應(yīng)用質(zhì)心動能定理與質(zhì)點系動能定理聯(lián)合求解,過程簡潔明了.

3.4 用質(zhì)心動能定理處理問題更高效

例4如圖5所示,水平面上3 個質(zhì)量均為m的小物塊,彼此相距d,在水平恒力F作用下,第1個物塊由靜止開始向右運動距離d,與第2個物塊發(fā)生完全非彈性碰撞,二者共同運動距離d后,又與第3個物塊發(fā)生完全非彈性碰撞.求水平面光滑和粗糙兩種情況下碰撞后3個物塊共同運動的速度.

圖5

解析質(zhì)點系動能定理

水平面光滑.設(shè)第1個物塊以速度v1與第2個物塊發(fā)生碰撞,碰后共同速度為v2;第1、2物塊組合體以速度v3與第3個物塊發(fā)生碰撞,碰后3個物塊共同運動的速度即系統(tǒng)的質(zhì)心速度,設(shè)為vC.由質(zhì)點動能定理有,由動量守恒定律有mv1＝2mv2.同理,1、2整體與3發(fā)生碰撞過程,有

水平面粗糙.設(shè)第1個物塊以速度與第2個物塊發(fā)生碰撞,碰后共同速度為;第1、2物塊組合體以速度與第3個物塊發(fā)生碰撞,碰后3個物塊共同運動的速度即系統(tǒng)的質(zhì)心速度,設(shè)為.由動能定理有由動量守恒定律有.同理,1、2整體與3發(fā)生碰撞,有

質(zhì)心動能定理

式中,物塊1所受摩擦力對應(yīng)系統(tǒng)質(zhì)心位移為d,物塊2所受摩擦力對應(yīng)系統(tǒng)質(zhì)心位移為

方程求解結(jié)果同上.

點評本題分別應(yīng)用質(zhì)點動能定理及質(zhì)心動能定理建立方程求解.如果水平面光滑,考查第1、2物塊的碰撞,則質(zhì)心動能定理方程為;系統(tǒng)動量守恒定律方程為2mvC1＝3mvC,所得結(jié)果相同.通過對比,體會應(yīng)用質(zhì)心動能定理解題的優(yōu)越性.

3.5 2022年高考全國乙卷壓軸題功能分析

例5(2022年全國乙卷)如圖6-甲所示,一質(zhì)量為m的物塊A與輕質(zhì)彈簧連接,靜止在光滑水平面上;物塊B向A運動,t＝0時與彈簧接觸,到t＝2t0時與彈簧分離,第一次碰撞結(jié)束,A、B的v-t圖像如圖6-乙所示.已知從t＝0到t＝t0時間內(nèi),物塊A運動的距離為0.36v0t0.A、B分離后,A滑上粗糙斜面,然后滑下,與一直在水平面上運動的B再次碰撞.之后A再次滑上斜面,達(dá)到的最高點與前一次相同.斜面傾角為θ(sinθ＝0.6),與水平面光滑連接.碰撞過程中彈簧始終處于彈性限度內(nèi).求:

圖6

(1)第一次碰撞過程中,彈簧彈性勢能的最大值;

(2)第一次碰撞過程中,彈簧壓縮量的最大值;

(3)物塊A與斜面間的動摩擦因數(shù).

解析僅對第(2)問進(jìn)行分析.

由系統(tǒng)動量守恒可求得B的質(zhì)量為5m.設(shè)A、B之間相互作用的平均力為,由質(zhì)點動能定理有

式中,vB0為碰前B的速度,由圖知vB0＝1.2v0.已知xA＝0.36v0t0,則xB＝0.792v0t0.

因此,彈簧壓縮量的最大值

討論審視上述過程,很難發(fā)現(xiàn)錯誤.可答案是錯誤的,原因何在?

拋開平均力,用積分式表示功量.對A,由質(zhì)點動能定理有

對B,由質(zhì)點動能定理,有

設(shè)0～t0時間內(nèi),B相對A的元位移為dx,即

聯(lián)立式③④得

設(shè)0～t0時間內(nèi),彈簧壓縮量為x,則式⑤左邊為彈簧彈性勢能

式⑤表明:彈簧彈性勢能的增加等于系統(tǒng)動能的減少.若將彈簧與A視為系統(tǒng)建立質(zhì)點系動能定理方程,應(yīng)為

聯(lián)立式④⑥求解,所得結(jié)果與式⑤相同.

再審視方程①②,不難發(fā)現(xiàn),出現(xiàn)錯誤的原因是力對位移的平均值的理解有誤,認(rèn)為彈簧對物塊A、B的平均力大小相等,而實際上彈簧彈力在兩個不同的位移上,其力對位移的平均值不等.

綜上,兩個動能定理的聯(lián)合使用,相得益彰,可使問題的分析更加深入,對概念的理解更加透徹,有效提高思維的深刻性、批判性和敏捷性.

(完)