王春娥，崔 巖，趙少卿，周六圓，王申鵬

(上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，上海 201620)

0 引言

1963年，洛倫茨(Lorenz)在研究氣象中存在的湍流現(xiàn)象時(shí)，根據(jù)當(dāng)時(shí)可依據(jù)的非線性理論構(gòu)建出了一個(gè)三維非線性微分方程組，即Lorenz系統(tǒng)[1]。此后，若干非線性系統(tǒng)及同步和控制方法的不斷涌現(xiàn)[2-7]，使混沌學(xué)迅速發(fā)展并逐步走向成熟[8]。分岔是非線性系統(tǒng)所具備的獨(dú)特現(xiàn)象[9]，混沌系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性發(fā)生改變將會(huì)引起系統(tǒng)的局部分岔，系統(tǒng)局部動(dòng)力學(xué)行為也會(huì)隨之發(fā)生變化。Hopf分岔是系統(tǒng)局部分岔中非?；径种陵P(guān)重要的一種。文獻(xiàn)[9]研究了四維混沌的Hopf分岔行為，并進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)了一種通向混沌的路徑。文獻(xiàn)[10]在非線性動(dòng)力系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，豐富了Hopf分岔理論。文獻(xiàn)[11]對(duì)一個(gè)四維超混沌系統(tǒng)進(jìn)行了Hopf分岔反控制研究。文獻(xiàn)[12]研究了時(shí)滯Lü系統(tǒng)的Hopf分岔，得到Hopf分岔產(chǎn)生的條件。文獻(xiàn)[13]研究了時(shí)滯擾動(dòng)類Chen系統(tǒng)Hopf分岔及控制，針對(duì)某一輸入量受擾動(dòng)設(shè)計(jì)出一種控制其分岔臨界點(diǎn)的新方法。文獻(xiàn)[14]研究了時(shí)滯R?ssler系統(tǒng)的Hopf分岔，驗(yàn)證了時(shí)滯參量在時(shí)滯分岔點(diǎn)附近的改變會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[15]對(duì)一個(gè)新超混沌系統(tǒng)的控制問題進(jìn)行研究，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)控制，驗(yàn)證了該控制對(duì)外界擾動(dòng)具有魯棒性。文獻(xiàn)[16]研究了三八超混沌系統(tǒng)的時(shí)滯反饋控制，分析了時(shí)滯值對(duì)平衡點(diǎn)的影響，給出了在該點(diǎn)附近Hopf分岔的參數(shù)和時(shí)滯條件。文獻(xiàn)[17]研究了一類具時(shí)滯超混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定性及控制的問題，將混沌系統(tǒng)控制成為穩(wěn)定狀態(tài)。超混沌系統(tǒng)因其復(fù)雜度更高，其狀態(tài)軌跡和系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌信號(hào)會(huì)更加復(fù)雜[18]，在圖像加密、金融系統(tǒng)等領(lǐng)域有很高的應(yīng)用價(jià)值。文獻(xiàn)[19]研究了一類分?jǐn)?shù)階金融模型的混沌控制問題，運(yùn)用時(shí)滯反饋控制法成功控制了金融模型的混沌行為。文獻(xiàn)[20]通過改進(jìn)圖像變換形式與分塊方法，驗(yàn)證了圖像加密算法具有更強(qiáng)的魯棒性和安全可靠性，可以充分抵御各種針對(duì)性攻擊。文獻(xiàn)[21]構(gòu)建了一個(gè)新型的四維混沌系統(tǒng)，利用混沌和密碼學(xué)的對(duì)應(yīng)關(guān)系將其應(yīng)用到圖像加密領(lǐng)域，驗(yàn)證了新系統(tǒng)具有很好的混沌特性，但缺少對(duì)新系統(tǒng)的分岔分析及線性控制。

本文構(gòu)建了一個(gè)新四維超混沌系統(tǒng)，w為新引入的狀態(tài)變量。分析新系統(tǒng)的混沌特性及穩(wěn)定性，結(jié)合Hopf分岔理論判斷分岔類型及方向。在新系統(tǒng)中加入線性控制器，驗(yàn)證時(shí)滯Hopf分岔點(diǎn)是否發(fā)生延遲，并將新系統(tǒng)應(yīng)用在圖像加密方面，分析其加密效果及安全性能。

1 系統(tǒng)分析

本文所研究的四維超混沌系統(tǒng)描述為：

(1)

其中：x,y,z,w為系統(tǒng)(1)的狀態(tài)變量；a,b,c,d為系統(tǒng)(1)的參數(shù)，且該系統(tǒng)存在唯一一個(gè)平衡點(diǎn)E0=(0,0,0,0)。當(dāng)參數(shù)取a=35,b=3,c=33,d=8時(shí)，系統(tǒng)(1)存在一個(gè)典型的超混沌吸引子，混沌吸引子相圖如圖1所示。

(a) x-y-z三維投影相圖

1.1 混沌特性分析

利用LE工具箱計(jì)算新系統(tǒng)(1)的李雅普諾夫(Lyapunov)指數(shù)，得到4個(gè)李雅普諾夫指數(shù)LE1=0.343,LE2=0.052 2,LE3=-0.305,LE4=-36.640，其中有兩個(gè)李雅普諾夫指數(shù)大于零，即系統(tǒng)(1)為超混沌系統(tǒng)。

1.2 穩(wěn)定性分析

在超混沌系統(tǒng)(1)的第2個(gè)非線性方程中添加時(shí)滯項(xiàng)τ，時(shí)滯系統(tǒng)方程描述為：

(2)

當(dāng)時(shí)滯項(xiàng)τ=0時(shí)，系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)E0=(0，0，0，0)是局部漸近穩(wěn)定的，雅可比(Jacobi)矩陣為：

特征方程如下：

(λ+b)(λ3+aλ2-acλe-λτ+ad)=0。

(3)

根據(jù)換元法令P1=a,P2=-ac,P3=ad，若僅考慮虛根，當(dāng)τ=0時(shí)，系統(tǒng)(2)的特征方程為：

λ3+P1λ2+P2λ+P3=0。

(4)

根據(jù)勞斯-赫爾維茨(Routh-Hurwitz)判據(jù)可知，若滿足條件P1>0,P2>0,P3>0,P1P2-P3>0，則方程(3)的特征根實(shí)部均為負(fù)值。將對(duì)應(yīng)參數(shù)代入上述不等式可知，時(shí)滯系統(tǒng)(2)在平衡點(diǎn)E0=(0,0,0,0)處是局部漸近穩(wěn)定的。

1.3 Hopf分岔分析

當(dāng)時(shí)滯參數(shù)τ>0時(shí)，λ=±iω是特征方程的一對(duì)純虛根，令λ=iω并代入方程(3)中有：

-iω3-P1ω2+P2iω(cosωτ-isinωτ)+P3=0。

令實(shí)數(shù)和虛數(shù)分別等于零得：

(5)

移項(xiàng)，平方相加得：

(6)

假設(shè)方程(6)至少有一實(shí)根，令ξ=ω2則有：

(7)

令：

(8)

則有：

假設(shè)ω=ω0為式(5)的一個(gè)實(shí)根，代入式(5)得：

(9)

再將ω=ω0代入式(9)可得時(shí)滯參數(shù)τ：

(10)

由式(10)可知：(ω0,τn)為式(3)的解，即λ=±iω0是式(3)的一對(duì)純虛根，時(shí)滯參數(shù)τ=τn為系統(tǒng)(2)的最小時(shí)滯參數(shù)。下面針對(duì)系統(tǒng)(2)在平衡點(diǎn)E0=(0,0,0,0)時(shí)，給出分岔?xiàng)l件。假設(shè)方程的特征根為λ(τ)=α(τ)+iω(τ)，則λ=±iω0是特征方程(4)的一對(duì)共軛的純虛根，使得α(τn)=0,ω(τn)=0。

證明對(duì)于式(3)兩邊求導(dǎo)得：

(11)

由式(5)可得：

λ3+P1λ2+P3=P2λe-λτ。

(12)

(13)

則有：

(14)

當(dāng)時(shí)滯參數(shù)τ=τn時(shí)，方程(2)存在特征根iω0，代入式(4)得：

(15)

根據(jù)歐拉公式e-iω0τ=(cosω0τ-isinω0τ)，|e-iω0τ|=1，式(15)兩邊取絕對(duì)值得：

(16)

即：

(17)

根據(jù)式(14)和式(17)可得：

根據(jù)上述計(jì)算分析與Hopf分岔理論[9]可得下面結(jié)論：

(Ⅰ)當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí)，時(shí)滯系統(tǒng)(2)在平衡點(diǎn)E0處是趨向穩(wěn)定的。

(Ⅱ)當(dāng)τ=τn,(n=0,1,2,3,…)時(shí)，時(shí)滯系統(tǒng)(2)在平衡點(diǎn)E0處發(fā)生Hopf分岔并產(chǎn)生極限環(huán)。

(Ⅲ)當(dāng)τ>τ0時(shí)，時(shí)滯系統(tǒng)(2)在平衡點(diǎn)E0趨向不穩(wěn)定，但在一定范圍內(nèi)存在較為穩(wěn)定的極限環(huán)。

綜上，系統(tǒng)發(fā)生的為超臨界Hopf分岔。

在工程實(shí)際應(yīng)用中，可以通過添加控制器延遲Hopf分岔的發(fā)生。設(shè)計(jì)線性控制器為u=k(y-p)，其中，p為平衡點(diǎn)E0處y點(diǎn)的坐標(biāo)，即p=0。將線性控制器添加到時(shí)滯系統(tǒng)(2)的第2項(xiàng)中，對(duì)時(shí)滯分岔點(diǎn)進(jìn)行延遲控制，用MATLAB 軟件進(jìn)行仿真驗(yàn)證。計(jì)算出受控系統(tǒng)的時(shí)滯參數(shù)τ為：

2 數(shù)值仿真

2.1 數(shù)值分析

為了方便計(jì)算超混沌系統(tǒng)的時(shí)滯參數(shù)，取a=8,b=2,c=-1.17,d=1，系統(tǒng)(2)轉(zhuǎn)化為：

(18)

根據(jù)方程(5)可取ω0=0.601 5,將ω0代入到方程(10)中，得第一個(gè)大于零的時(shí)滯τ0=0.673 9。根據(jù)上述分析中的結(jié)論可得如下推論：

(Ⅰ)當(dāng)τ∈[0,0.673 9)時(shí)，系統(tǒng)(18)在平衡點(diǎn)E0=(0,0,0,0)處短時(shí)間內(nèi)趨近穩(wěn)定狀態(tài)。

(Ⅱ)當(dāng)τ≥0.673 9+2.967 8nπ時(shí)，系統(tǒng)(18)在平衡點(diǎn)E0=(0,0,0,0)發(fā)生超臨界Hopf分岔且產(chǎn)生穩(wěn)定的極限環(huán)。

系統(tǒng)加入線性控制器后，經(jīng)Routh-Hurwitz判據(jù)得k<1.061 9，本文取k=0.7，得ω0=0.666 1，可計(jì)算得出時(shí)滯分岔臨界值為τ=0.722 9，繪出受控系統(tǒng)的時(shí)滯分岔圖。

2.2 仿真結(jié)果

運(yùn)用MATLAB軟件仿真得出不同時(shí)滯參數(shù)下該系統(tǒng)的時(shí)滯相圖與時(shí)間序列圖。

(a)時(shí)滯參數(shù)τ∈[0,0.673 9)時(shí)，取τ=0.663 9。

當(dāng)τ=0.663 9時(shí)，系統(tǒng)(18)的相圖如圖2所示。由圖2可知：系統(tǒng)從初值迭代后逐漸趨向于平衡點(diǎn)E0，此時(shí)未形成極限環(huán)，如圖2a。圖2b中狀態(tài)變量x,y,z,ω在較短時(shí)間內(nèi)趨近平衡點(diǎn)。由此推論(1)得證。

(a) x-y平面投影相圖

(b)時(shí)滯參數(shù)τ≥0.673 9+2.967 8nπ,(n=0,1,2,3,…)時(shí)，取τ=0.673 9和τ=0.683 9。

當(dāng)τ=0.673 9時(shí)，系統(tǒng)(18)的相圖如圖3所示。觀察圖3a可知：系統(tǒng)的初值迭代后不趨向于平衡點(diǎn)E0，表明系統(tǒng)開始形成極限環(huán)。圖3b可以觀察到狀態(tài)變量x,y,z,ω在經(jīng)歷了30個(gè)時(shí)間積分后趨于穩(wěn)定振蕩，即開始形成極限環(huán)。

(a) x-y平面投影相圖

當(dāng)τ=0.683 9時(shí)，系統(tǒng)(18)的相圖如圖4所示。圖4a表明系統(tǒng)已經(jīng)形成清晰的極限環(huán)。圖4b中狀態(tài)變量x,y,z,ω在經(jīng)歷5個(gè)時(shí)間積分后，振蕩趨于穩(wěn)定即產(chǎn)生了極限環(huán)，此時(shí)發(fā)生Hopf分岔。由此推論(2)得證。

(a) x-y平面投影相圖

圖5為時(shí)滯超混沌系統(tǒng)的局部分岔圖，顯然τ=0.673 9是分岔臨界點(diǎn)，進(jìn)一步驗(yàn)證推論的正確性。當(dāng)τ<0.673 9時(shí)，系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定狀態(tài)，趨向于平衡點(diǎn)E0；當(dāng)τ>0.673 9時(shí)，發(fā)生超臨界Hopf分岔，產(chǎn)生穩(wěn)定的極限環(huán)。由圖5可以看出：受控系統(tǒng)與原系統(tǒng)相比，時(shí)滯分岔點(diǎn)由0.673 9延遲到0.722 9，延遲了由時(shí)間擾動(dòng)引起Hopf分岔的發(fā)生；振動(dòng)幅值也稍有降低，說明加入控制器后迭代更加平滑。

(a) 原系統(tǒng)局部分岔圖

3 應(yīng)用

超混沌系統(tǒng)因復(fù)雜度高，狀態(tài)軌跡及系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌信號(hào)難以預(yù)測(cè)，被廣泛應(yīng)用到圖像加密、信息安全等領(lǐng)域。利用混沌映射自身的性質(zhì)生成密碼，從而完成對(duì)傳輸信息加密的目的[21]。 基于文獻(xiàn)[22]提出對(duì)圖像加密安全性的改進(jìn)算法，將新超混沌系統(tǒng)應(yīng)用到圖像加密中，通過MATLAB軟件仿真，觀察圖像的加密效果。

3.1 加密效果分析

取新系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)a=35,b=3,c=33,d=8，初值x0=1,y0=1,z0=1,w0=1，步長(zhǎng)h=0.01，圖像大小為256×256，用MATLAB軟件進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。與傳統(tǒng)行列加密算法對(duì)比，分析Lena圖像的加密效果。圖6為加密算法對(duì)比分析。由圖6a可以觀察到：該算法較傳統(tǒng)行列加密算法對(duì)Lena圖像加密效果明顯，密文圖像雜亂似雪花，行加密和列加密圖像似條狀。圖6b縱坐標(biāo)表示像素點(diǎn)出現(xiàn)的次數(shù)，可以觀察到明文直方圖波動(dòng)起伏較大，密文直方圖像素出現(xiàn)的次數(shù)大致分布在750左右，分布均勻無較大波動(dòng)，表明該算法成功將像素點(diǎn)置亂，行加密和列加密直方圖與明文直方圖相似，加密效果差。說明該算法與新超混沌系統(tǒng)結(jié)合，對(duì)圖像的加密效果良好，擾亂性及安全性較高。

(a) Lena加密圖像對(duì)比

3.2 安全性分析

(Ⅰ)敏感性分析。超混沌系統(tǒng)對(duì)初值十分敏感，該算法的密鑰空間為1056，密鑰空間越大，抗攻擊能力越強(qiáng)。在解密過程中，若密鑰發(fā)生微小的變化，加密圖像將得不到正確解碼圖像。例如，將混沌初值x0進(jìn)行10-14的微小變化，觀察密文的解密效果。圖7為密文圖像的正確解密與錯(cuò)誤解密對(duì)比。由圖7可知：正確解密可以使原圖恢復(fù)，錯(cuò)誤解密則不能恢復(fù)原圖，說明圖像加密算法的密鑰敏感性強(qiáng)，抗密鑰攻擊能力強(qiáng)。

(a) 正確解密

(Ⅱ)對(duì)圖像進(jìn)行相關(guān)性分析。相關(guān)性系數(shù)越趨近于0，說明相鄰像素的相關(guān)性越差，表現(xiàn)在密文圖像上則說明該算法的安全性較高，抗攻擊能力強(qiáng)；相關(guān)系數(shù)接近于1，則反之。相關(guān)性系數(shù)計(jì)算公式為：

(19)

其中：x,y為像素點(diǎn)的灰度值。經(jīng)計(jì)算密文圖像在水平、豎直、對(duì)角方向的像素相關(guān)性都趨近于0，表明該算法的置亂性強(qiáng)，安全性高。圖8為相鄰像素的相關(guān)性相圖，圖8a中明文圖像在水平、豎直、對(duì)角3個(gè)方向像素點(diǎn)具有明顯的線性相關(guān)性；圖8b中密文圖像3個(gè)方向的像素點(diǎn)雜亂分布在矩形框中，像素點(diǎn)無相關(guān)性。說明該算法的安全性高，抗攻擊性能強(qiáng)。

(a) 明文相關(guān)性相圖

4 結(jié)論

(1)新系統(tǒng)發(fā)生超臨界Hopf分岔，在時(shí)滯分岔點(diǎn)τn附近系統(tǒng)呈現(xiàn)出不同的穩(wěn)定性。

(2)添加線性控制器后，時(shí)滯分岔點(diǎn)由0.673 9延遲至0.722 9，使得時(shí)滯擾動(dòng)引起的Hopf分岔得到了有效延遲控制。

(3)與傳統(tǒng)的行列置換加密方法相比較，該超混沌加密算法的加密性更好，有較好的安全性及抗攻擊能力。