何煜晶 周 超 (蘇州大學數學科學學院 215006)

1 前言

尺規(guī)作圖，即有限次使用直尺和圓規(guī)，解決平面幾何的作圖問題[1]．它是將想象中的幾何概念變成看得見的幾何的重要手段，幫助學生直觀理解幾何概念及其關系，形成初步的幾何直覺．《義務教育數學課程標準(2011年版)》(下文簡稱《課標》)將尺規(guī)作圖置于基本幾何概念(點線面角、相交線平行線、垂線、三角形、四邊形、圓等)之后[2]．盡管《課標》并未規(guī)定教科書中知識內容的呈現順序，但實際的教科書編寫還是受到《課標》中尺規(guī)作圖后置的影響，初中數學教科書中有關尺規(guī)作圖的內容也出現較晚．因此，尺規(guī)作圖成為了一種學習任務，其在幫助學生理解幾何概念與實際操作等方面的功能被大大削弱，影響了早期的直觀運用．

2017年，日本開始了最新一輪的數學教育課程改革．2017年3月，日本文部科學省頒布了《初中學習指導要領》(相當于我國的《課標》，下文簡稱《要領》)，并于2021年4月1日開始施行．在初中《要領》的指導下，日本編寫了新版本的初中數學教科書． 本文主要探討日本最新初中《要領》及教科書對尺規(guī)作圖內容的處理與編排，以期對我國《課標》與教科書的編寫帶來啟示．

2 日本初中《要領》中尺規(guī)作圖的內容與要求

日本初中《要領》將初中數學知識分為數與式、圖形、函數、數據的活用(即統(tǒng)計與概率)四個領域，其中每個領域都融入了數學的活動[3]，如圖1所示．《要領》對每個年級的學習內容進行了說明，與我國《課標》相比，日本《要領》對知識內容的劃分更為固定明確．

圖1 日本2017年初中 《要領》中數學知識內容

尺規(guī)作圖屬于“圖形”領域，日本初中各年級“圖形”領域知識內容如表1所示．在七年級平面圖形學習之初就有了尺規(guī)作圖的內容要求．與我國相比，日本《要領》中尺規(guī)作圖的位置順序明顯靠前．尺規(guī)作圖對于培養(yǎng)初中生圖形領域的資質與能力方面，具有引起學生對圖形的興趣和關心、直觀地捕捉圖形的性質和關系、促進邏輯思考的意義．

表1 “圖形”領域知識內容

《要領》解說還對七年級尺規(guī)作圖的內容處理提出了建議，強調不要單方面地給出作圖的方法，而是著眼于圖形的對稱性和決定圖形的要素，找到作圖的方法，并根據圖形的性質和關系有條理地對方法進行說明．

3 日本初中教科書尺規(guī)作圖編排特點

《中學校數學1》由日本學校圖書株式會社出版，該出版社成立于1948年，以研究、編寫、出版與發(fā)行基礎教育教科書與教育圖書為主要任務，在中小學數學教科書的編寫方面發(fā)展成熟．2020年9月出版的《中學校數學1》以2017年《要領》為指導，能夠充分反映最新《要領》的理念與要求．因此我們以該版本的教科書為例，研究尺規(guī)作圖的編排特點．

3.1 注重小學與初中的銜接，喚醒學生已有的直觀經驗

圖2是該教科書七年級“圖形”領域的章節(jié)目錄．平面圖形章節(jié)分為兩部分：一是各種角作圖，二是圖形的移動．第一節(jié)“各種角作圖”即為尺規(guī)作圖的內容，內容集中，約占平面圖形章節(jié)內容的60%．章節(jié)目錄左側列出了所需的預備知識．有關尺規(guī)作圖的學習準備主要是小學階段學習的垂直與平行、三角形、平行四邊形、菱形與圓的相關知識．

圖2 日本七年級“圖形”領域章節(jié)目錄

在章節(jié)目錄旁設置“小學學習準備”欄目，一方面提醒學生“回頭看”，回顧已有知識，做好新知識的學習準備，加強小學與初中幾何知識之間的聯系．另一方面，教師能夠據此了解學生的知識基礎，方便其備課．

3.2 增加尺規(guī)作圖的情境性與趣味性

用“寶藏藏在哪里”的情境引入尺規(guī)作圖的內容．圖3為寶藏的線索文件，圖4為地圖．在線索文件中，寶藏在直線①②③相交而成的三個點所在圓的圓心上．直線①經過地圖中路 ○ア的中點，且與路 ○ア夾角為90°；直線②經過點A，且與路 ○イ夾角為30°；直線③經過點B，且與路 ○イ夾角為60°．因此為了找到寶藏，首先需要作出直線①②③．

圖3 寶藏線索文件

圖4 寶藏地圖

為了作夾角為90°，30°和60°的直線，最簡單的方法是使用量角器．然而在尋寶過程中，發(fā)現忘記帶量角器了，只帶了直尺與圓規(guī)．由此引入課題：不使用量角器，如何作出90°，30°和60°角呢？

在該情境下，“各種角作圖”內容分為三部分：90°角作圖；60°和30°角作圖；作圖的利用．各部分課時、學習內容及術語符號見表2．

表2 “各種角作圖”課時與結構

結合對情境與章節(jié)內容結構的分析，該問題情境一方面用尋找寶藏這種帶有神秘色彩的活動吸引學生的興趣，激發(fā)學生思考；另一方面，在進行尺規(guī)作圖的過程中將平面圖形的基礎知識如垂線、角、平行線、圓等串聯起來，使得各知識點的出現順序較為自然．

3.3 將尺規(guī)作圖嵌入幾何活動中，培養(yǎng)一般化的幾何思考方式

日本教科書中垂直平分線、角平分線等內容的作圖步驟與我國教科書基本一致，但在內容處理上存在明顯差異．我國教科書對于作圖的內容處理相當直接，通常給出作法就結束，至于作法從何而來，如何進行思考并未加以說明．日本教科書在尺規(guī)作圖內容上增加了思考方式，目的是讓學生思考作圖的角度．此外還設計了尺規(guī)作圖的數學活動，幫助學生應用尺規(guī)作圖解決實際問題．

(1)尺規(guī)作圖的思考方式

以90°角作圖為例，日本教科書在作圖之前引導學生思考夾角為90°的兩條直線所在的圖形．日本學生在小學階段已經學習了菱形的相關知識：菱形是以兩條對角線為對稱軸的軸對稱圖形，四條邊長度相等，因此菱形的兩條對角線互相垂直平分．于是利用菱形對角線的性質，通過作菱形的方式作垂直平分線．

圖5 風箏形

在垂直平分線作圖的基礎上，過直線外一點作已知直線的垂線．教科書同時還給出了另一種作法：利用風箏形進行作圖．風箏形是以一條對角線為對稱軸的圖形．圖5即為一個風箏形，對角線AB為對稱軸，因此有AB⊥PQ，PO=QO．

利用風箏形的性質，過直線外一點作已知直線的垂線的作圖順序如圖6所示．

圖6 利用風箏形作垂線

將教科書中各種作圖的思考方式進行總結(見表3)，可以發(fā)現，教科書以垂線、垂直平分線與角平分線作圖為核心．在思考方式上，都是考慮已學的對稱圖形，以菱形為主．由于菱形具有對角線互相垂直平分、對角線平分頂角、對邊平行等性質，因此在尺規(guī)作圖學習之初，從菱形性質進行思考是一種不錯的選擇．

表3 尺規(guī)作圖的思考方式

(2)尺規(guī)作圖的數學活動

對于“已知圓上三點找圓心”的內容處理，教科書設計了一個數學活動：將破碎的圓形銅鏡碎片進行復原．

該部分內容處于尺規(guī)作圖章節(jié)的尾部，一方面是作為一個新的數學情境，再次吸引學生的興趣，讓學生運用垂直平分線作圖的知識解決新的問題；另一方面與初始的尋找寶藏的情境相呼應．在線索文件中，寶藏在直線①②③相交而成的三個點所在圓的圓心上．因此該活動結束之后，學生即可用所學知識解決尺規(guī)作圖章節(jié)之初的尋寶問題，這在一定程度上調動了學生繼續(xù)學習的積極性．

4 思考與啟示

總的來說，日本初中教科書平面幾何章節(jié)中尺規(guī)作圖出現的順序明顯靠前，這主要是受《要領》的影響．教科書對于尺規(guī)作圖的編排呈現三大特點：一是設置“小學學習準備”欄目，加強初中與小學知識的銜接．二是設置有趣的情境，以作圖為線索串聯幾何知識，吸引學生的興趣．三是給出了作圖的思考方式，而不是直接給出作法． 在此基礎上，可以對我國初中數學課程標準與教科書的編寫提出建議．

4.1 將尺規(guī)作圖內容前置，作為認識圖形、理解幾何概念的工具

將《課標》中尺規(guī)作圖內容前置，把尺規(guī)作圖作為初中生幾何學習初期認識幾何的工具．通過尺規(guī)作圖，學生經歷“構造”平面幾何概念的過程，以形成對幾何概念與性質的直觀理解．例如，在七年級認識三角形初期利用尺規(guī)作圖，將圓規(guī)作為固定邊長的工具，探索三角形三邊的關系．僅僅需要圖7這樣一個特例即可形成對三角形“任意兩邊之和大于第三邊”這一關系的直觀理解．

圖7 利用尺規(guī)作圖探索三角形三邊關系

4.2 強調尺規(guī)作圖的思考方式，適當降低作法的要求

教科書可以通過設置備注、閱讀欄目等方式，增加作圖的思考方式、該作法的起源、還有哪些其他作法等內容．尺規(guī)作圖與《幾何原本》密切相關，以配圖的形式增設《幾何原本》中有關尺規(guī)作圖的內容，可以讓學生感受到尺規(guī)作圖悠久的歷史與價值，增加教材的人文感．

4.3 設計有趣的情境，應用尺規(guī)作圖解決問題

針對我國教科書尺規(guī)作圖零散分布于各平面幾何章節(jié)的情況[4]，一方面，可以在包含尺規(guī)作圖的章節(jié)之初設計有趣的問題情境，在學習了該章節(jié)知識之后，回頭解決一開始的問題，實現首尾呼應；另一方面，在學習完所有平面幾何知識之后，設置一個綜合性的數學情境，用尺規(guī)作圖串聯平面幾何的知識，在解決問題的過程中促進各知識的理解與遷移．