□ 宋利鋒 □ 陳振鳴

1.中國長峰機電技術研究設計院 北京 100854 2.北京航天情報與信息研究所 北京 100854

1 研究背景

基于可靠性的結構優(yōu)化設計是不確定性結構優(yōu)化設計的最合理途徑,傳統(tǒng)的概率可靠性理論和技術已在結構優(yōu)化設計中得到成功應用[1-2]。但是,隨機可靠性優(yōu)化要求具有足夠的數據,同時難以處理模糊信息。在實際工程中,要獲得足夠的數據來描述變量的概率分布,通常較為困難,尤其是在結構設計階段。另一方面,傳統(tǒng)的結構模糊可靠性問題主要基于模糊概率求得模糊可靠度,同樣需要有足夠的數據[3-4]。由此可見,非概率可靠性模型處理結構優(yōu)化設計問題有很大優(yōu)勢[5-6]。

當前,工程優(yōu)化問題越來越復雜,往往涉及非常耗時的數值分析模型,使傳統(tǒng)的優(yōu)化方法在效率方面無法滿足設計需要。使用代理模型來代替實際仿真模型,是一種有效的降低計算成本的方法,也被稱為元模型。早期,多項式響應面模型被大量應用于工程設計。隨著計算機技術的發(fā)展,人們提出更精確的代理模型,如克里金模型、神經網絡,以及一些混合模型等。通過代理模型,能極大程度提高優(yōu)化效率。代理模型是逼近局部或全局最優(yōu)解的優(yōu)化機制,已逐步在氣動優(yōu)化設計、結構優(yōu)化設計、飛行器設計領域發(fā)展為最實用、最流行的優(yōu)化方法[7-8]。

筆者介紹非概率可靠性優(yōu)化方法在機翼結構優(yōu)化中的應用,在非概率區(qū)間體積比可靠性模型的基礎上建立含模糊—區(qū)間變量的體積比可靠性模型,以可靠度指標為約束條件,建立機翼結構優(yōu)化數學模型,使用Isight優(yōu)化設計軟件,集成Matlab編程軟件,采用拉丁超立方試驗設計,構建機翼結構二次響應面,對機翼結構進行優(yōu)化設計,計算效率得到較大幅度提升。

2 模糊—區(qū)間變量非概率可靠性模型

(1)

(2)

(3)

進行標準化變換,有:

(4)

(5)

(6)

由基于體積比的可靠性理論[9],對應式(1)的非概率可靠度指標R(α)為:

R(α)=V(α)s/V(α)t

(7)

式中:V(α)s為安全域體積;V(α)t為總體積。

滿足條件:

=G(α,δ1,δ2,…,δn)=0

(8)

由此,結構的可靠度R可以表示為可靠度指標在截集水平區(qū)間的積分形式:

(9)

3 結構優(yōu)化數學模型

結構優(yōu)化一般可以描述為:

Findx∈Rt

minfk(x)k=1,2,…,m

s.t.gj(x)≤0j=1,2,…,l

(10)

式中:x∈Rt為設計變量;fk(x)為目標函數;gj(x)為約束函數。

對于存在不確定參量的機翼結構,一般而言fi(x)和gj(x)與不確定參量有關。

當不確定參量僅影響約束時,類似于隨機可靠性優(yōu)化,機翼結構的單目標可靠性優(yōu)化問題可以描述為:

Findx∈Rt

minf(x)

s.t.Rd(x,p)≥Rmind=1,2,…,s

(11)

4 試驗設計方法

試驗設計是近似技術的重要組成部分。試驗設計關系到如何安排試驗才能以最少的試驗次數最真實反映設計對象隨設計變量的變化趨勢,這對于分析耗時、變量之間關系復雜的飛行器設計而言是一個非常重要的問題。

拉丁超立方試驗設計采用等概率隨機正交分布原則來生成均勻樣本點,具有樣本記憶功能,能夠避免重復抽取已出現過的樣本點,抽樣效率較高,可以使分布在邊界處的樣本點參與抽樣,在抽樣較少的情況下獲得較高的計算精度[10-11]。

5 響應面技術

響應面技術將試驗設計與數理統(tǒng)計相結合,對指定的設計點集合進行試驗,在設計空間構造測定量的全局逼近,根據目標函數的響應面模型來預測非試驗點的響應值。設計變量為因素,設計目標和約束為響應,響應面關系的一般形式表示為:

y=f(x1,x2,…,xt)

(12)

響應面近似函數通常用多項式表示,如果有ns次試驗設計分析,那么響應面模型具有以下形式:

p=1,2,…,ns

(13)

則多項式因數的數量nt為:

nt=[(t+1)(t+2)]/2

(14)

為估計回歸因數,需要進行ns次試驗,ns大于nt,則此估計問題可以用矩陣形式表示為:

Y1≈XC

(15)

Y1=[y(1),y(2),…,y(ns)]T

(16)

(17)

式中:Y1為ns次試驗響應面函數矩陣的轉置矩陣;X為ns次試驗設計變量矩陣;C為回歸因數矩陣。

式(15)的最小二乘法解矩陣形式可以表示為:

(18)

6 應用

6.1 機翼結構有限元模型

筆者應用非概率可靠性優(yōu)化方法對某支線客機機翼結構進行優(yōu)化。機翼半展長為14.6 m,采用雙梁式結構。機翼的主要承力部件包括蒙皮、前后翼梁、長桁、翼肋,梁、肋、蒙皮等采用兩種材料制作,材料屬性見表1。

表1 材料屬性

表1中,密度、彈性模量是不確定的區(qū)間參數,兩種材料的密度分別取為[2 600 kg/m3,3 000 kg/m3]、[2 600 kg/m3,2 900 kg/m3],兩種材料的彈性模量分別取為[70 GPa,72 GPa]、[71 GPa,74 GPa]?？紤]載荷的不確定性,在某種飛行工況下,載荷的變異因數設為0.1,兩種材料的屈服極限r1、r2均為模糊變量,其隸屬函數分別為:

(19)

(20)

機翼結構的有限元模型如圖1所示。

▲圖1 機翼結構有限元模型

6.2 數學模型

以機翼結構質量最小為設計目標,考慮結構中存在模糊—區(qū)間不確定參數,建立優(yōu)化模型。設計變量包括翼根和翼尖蒙皮厚度、翼根和翼尖長桁截面面積、加強肋和普通肋緣條截面積、翼根和翼尖梁腹板厚度、翼根和翼尖梁緣條截面積。

優(yōu)化設計變量使設計目標得到改善,但必須滿足由設計要求確定的約束條件。要求機翼各部件滿足強度準則,翼尖相對垂直變形不大于1.46 m。另外,基于可靠性的優(yōu)化設計,強度可靠性應滿足要求。

機翼結構優(yōu)化數學模型為:

FindAg∈Rmg=1,2,…,6

Th∈Rmh=1,2,3,4

minW

s.t.prob_quad>[prob]

prob_rod>[prob]

prob_disp>[prob]

δmax≤[δ]

(21)

式中:Ag為機翼長桁和梁肋緣條的截面積;Th為機翼蒙皮和梁腹板的厚度;Rm為設計變量集合;W為機翼結構質量;prob_quad、prob_rod、prob_disp依次為殼單元、桿單元、機翼垂直方向最大位移對應的模糊—區(qū)間可靠度;[prob]為可靠度指標下限,取0.95;δmax為機翼翼尖的最大位移;[δ]為最大容許位移,取1 460 mm。

采用拉丁超立方試驗設計,近似擬合響應面模型,得到目標函數和約束條件關于設計變量和不確定參數的顯式函數。將設計變量和不確定參數作為統(tǒng)一的變量,利用拉丁超立方試驗設計方法進行采樣,計算真實模型在各采樣點處的響應值,通過采樣點和相應響應值構造響應面模型,機翼結構質量和各個約束條件采用二次響應面擬合。利用構造響應面近似模型代替原問題的真實模型,按照模糊—區(qū)間非概率可靠性優(yōu)化模型進行轉換,得出確定性數學優(yōu)化問題。傳統(tǒng)優(yōu)化算法求解復雜的優(yōu)化問題容易陷入局部解,采用改進的模擬退火算法,可以得到全局最優(yōu)解。

6.3 優(yōu)化結果

不考慮不確定參數,對機翼結構進行傳統(tǒng)優(yōu)化,與筆者所提出的非概率可靠性優(yōu)化相比較,結果見表2。

表2 機翼結構優(yōu)化結果比較

采用初始值、傳統(tǒng)優(yōu)化結果、非概率可靠性優(yōu)化結果,機翼的應力和變形依次如圖2、圖3、圖4所示。

▲圖2 初始值機翼結構應力與變形

▲圖3 傳統(tǒng)優(yōu)化結果機翼結構應力與變形

▲圖4 非概率可靠性優(yōu)化結果機翼結構應力與變形

采用非概率可靠性優(yōu)化方法得到的質量優(yōu)化結果1.073 6 t和采用傳統(tǒng)優(yōu)化方法得到的質量優(yōu)化結果0.945 7 t均小于優(yōu)化前初始值,采用非概率可靠性優(yōu)化方法得到的優(yōu)化結果大于采用傳統(tǒng)優(yōu)化方法得到的優(yōu)化結果,偏大13.5%,偏于保守。這正是考慮了機翼材料參數和氣動載荷的不確定性影響,在優(yōu)化中加入可靠性設計的結果,要獲得可靠性,就會犧牲一定的目標函數值。采用傳統(tǒng)優(yōu)化方法得到的質量雖然小于初始質量,但材料承受的應力增大,因質量減小引起強度不足。采用非概率可靠性優(yōu)化方法,不但質量相比初始值有明顯減小,而且材料所承受的應力也減小,降低了機翼結構破壞的可能性,說明實際工程中應該適當考慮不確定因素對機翼結構的影響。筆者提出的非概率可靠性優(yōu)化方法能夠滿足要求,并且可以保證機翼結構在多變的因素下盡可能不失效。因此,基于非概率可靠性優(yōu)化的機翼結構相比傳統(tǒng)優(yōu)化具有更高的安全性。

7 結論

基于結構的模糊—區(qū)間非概率干涉模型,提出含模糊變量的非概率可靠性模型,在此基礎上建立基于近似技術的結構模糊—區(qū)間可靠性優(yōu)化模型。以建立的模糊—區(qū)間可靠度為約束條件,以質量最小為目標函數,對某型飛機機翼結構進行優(yōu)化。采用的近似技術可以較為準確地擬合設計變量與響應之間的復雜關系,響應面精度高,滿足工程要求,并且可以使計算效率提高。不同于傳統(tǒng)的優(yōu)化問題,考慮參數受不確定性的影響,將約束函數中包含的不確定參數用非概率區(qū)間理論轉換為數學優(yōu)化問題,并將強度約束轉換為可靠度指標約束。通過與初始值及傳統(tǒng)優(yōu)化結果比較,確認得到滿意的優(yōu)化結果。

采用非概率可靠性優(yōu)化方法能夠較好地分析復雜的帶有模糊—區(qū)間不確定因素的機翼結構優(yōu)化問題,正確反映各個設計變量與機翼結構各響應之間的關系,優(yōu)化結果合理,由此確認非概率可靠性優(yōu)化方法在機翼結構優(yōu)化方面的可行性和有效性。