吳 婷 普映娟

（保山學(xué)院 大數(shù)據(jù)學(xué)院，云南 保山 678000）

概率統(tǒng)計(jì)課本里的理論知識(shí)雖可以為學(xué)生提供理論基礎(chǔ)，但卻缺乏圖形表達(dá)和模擬來增強(qiáng)理解與動(dòng)手實(shí)踐能力。在教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生普遍認(rèn)為中心極限理論晦澀難懂，教學(xué)效果不理想[1]。傳統(tǒng)的黑板教學(xué)無法再滿足學(xué)生課堂教學(xué)的需求[2]。因此，在概率論教學(xué)中，利用R語(yǔ)言的隨機(jī)模擬和可視化將抽象概念轉(zhuǎn)化為具體形象的圖像，實(shí)驗(yàn)?zāi)M的動(dòng)態(tài)過程不僅可以加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，激發(fā)他們的想象力，從而促進(jìn)反思，最終掌握知識(shí)，還可以提高課堂效率，使概率學(xué)習(xí)更具操作和動(dòng)手空間，提高學(xué)生的實(shí)踐能力。

1 中心極限定理

中心極限定理是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和用正態(tài)分布近似的一類定理。直到20世紀(jì)30年代，中心極限定理的研究曾是概率論的中心內(nèi)容。至今其仍是一個(gè)活躍的方向，推廣的方向如獨(dú)立不同分布乃至非獨(dú)立的情形，由中心極限定理而引起的誤差的估計(jì)，以及與之相關(guān)聯(lián)的問題如大偏差問題之類[3]。最為著名的相互獨(dú)立同分布情形下的中心極限定理，又稱為列維-林德伯格中心極限定理。列維（1886-1971年）是法國(guó)數(shù)學(xué)家，對(duì)極限理論和隨機(jī)過程理論做出杰出的貢獻(xiàn)。林德伯格（1876-1932年）是芬蘭數(shù)學(xué)家，因中心極限定理而聞名于世[4]。

定理1（列維-林德伯格中心極限定理）設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,…Xn中心相互獨(dú)立同分布，若E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2，且0＜σ2＜ +∞,i=1,2,…，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有

這個(gè)定理的直觀意義是，當(dāng)n足夠大時(shí)，可以近似地認(rèn)為。在實(shí)際問題中，若n較大，可以利用正態(tài)分布近似求得概率。

傳統(tǒng)的教學(xué)就是列出不同條件下的中心極限定理，簡(jiǎn)單說明在樣本量充分大時(shí)依分布收斂到正態(tài)分布。而證明過程在大多公共基礎(chǔ)課的教材基本沒有涉及到。即使教材給出了證明，作為公共基礎(chǔ)課的學(xué)生也很少對(duì)其繁瑣的推導(dǎo)過程感興趣。故在講授這項(xiàng)重要的知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候，除理論說明和推導(dǎo)之外，還可以結(jié)合統(tǒng)計(jì)軟件R進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生切實(shí)體會(huì)到中心極限定理的魅力[4]。

本文將利用R軟件生成n（n=1,2,3,4,30）個(gè)相互獨(dú)立的均勻分布X～U(0,1)之和的模擬數(shù)據(jù)，繪制其直方圖和密度函數(shù)圖形。觀察隨著n的增大，n個(gè)相互獨(dú)立的變量之和是否能用正態(tài)分布近似。本文將通過2種數(shù)據(jù)模擬的思路，來說明中心極限定理。一是進(jìn)行隨機(jī)采樣，然后求和生成新的數(shù)據(jù)列，再查看和數(shù)據(jù)的分布情況；二是通過卷積推導(dǎo)出和變量的密度函數(shù)，然后分別繪制密度函數(shù)線，查看分布情況。設(shè){}Xi為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，其分布為區(qū)間(0,1)上的均勻分布，即Xi～U(0,1)，i=1,2,…,30，且Xi之間相互獨(dú)立。記，由中心極限定理可知，Yn～N(nμ,nσ2)。

2 R語(yǔ)言隨機(jī)采樣模擬

R語(yǔ)言是一款免費(fèi)、開源的程序軟件。它由新西蘭奧克蘭大學(xué)的Robert Gentleman和Ross Ihaka等人員共同開發(fā)，主要用于統(tǒng)計(jì)分析、數(shù)據(jù)挖掘以及數(shù)據(jù)可視化[2]。它不僅支持?jǐn)?shù)據(jù)分析相關(guān)的多種算法，而且其語(yǔ)法也十分簡(jiǎn)明易懂，運(yùn)行速度也可以接受，適合在教學(xué)和科研中使用。因此本文將利用R語(yǔ)言把概率論中的中心極限定理可視化，輔助教學(xué)。

隨機(jī)采樣模擬的思路：利用R語(yǔ)言中的隨機(jī)數(shù)采樣命令runif隨機(jī)生成容量為10 000的30組數(shù)據(jù)，然后得到30組的模擬值，最后使用hist命令繪制每組數(shù)據(jù)的直方圖，并增加其密度函數(shù)線。接下來運(yùn)用R軟件對(duì)其進(jìn)行統(tǒng)計(jì)模擬并加以驗(yàn)證。

2.1 隨機(jī)采樣模擬的步驟

（1）隨機(jī)生成容量為10 000的30組數(shù)據(jù)

（2）依次構(gòu)造和變量Yn模擬數(shù)據(jù)

（3）繪制和變量Yn(n=1,2,3,30)的直方圖和分布圖

2.2 繪制直方圖和分布圖

圖1 均勻分布隨機(jī)采樣生成 Yn(n=1,2,3,30)的直方圖

圖2 二項(xiàng)分布隨機(jī)采樣生成Yn(n=1,2,3,30)的直方圖

3 R語(yǔ)言密度函數(shù)模擬

除可以通過采樣的方式生成隨機(jī)數(shù)，然后加和模擬，還可以通過卷積公式嚴(yán)格地推導(dǎo)出和變量的密度函數(shù)，用R軟件直接繪制密度函數(shù)來觀察分布情況。但隨著變量的增多，計(jì)算會(huì)相當(dāng)復(fù)雜，不易實(shí)現(xiàn)。

3.1 卷積公式

設(shè)（X,Y）是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，它們具有概率密度（fx,y），則Z=X+Y仍為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為。若X和Y相互獨(dú)立，設(shè)（X,Y）關(guān)于X,Y的邊緣概率密度分別為fX(x)，fY(y)，則上式化為

3.2 和變量的密度函數(shù)

設(shè){Xi}為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，其分布為區(qū)間(0,1)上的均勻分布，即Xi～U(0,1)，i=1,2,3,4，且Xi之間相互獨(dú)立。記，由中心極限定理可知，Yn～N(nμ,nσ2)，令pn(y)為Yn的密度函數(shù)。根據(jù)卷積公式，可以依次求出Yn(n=1,2,3,4)的密度函數(shù)pn(y),n=1,2,3,4，如下公式（3.1）所示。

3.3 數(shù)據(jù)模擬的步驟和R代碼

3.3.1 利用R語(yǔ)言依次構(gòu)造Yn的密度函數(shù)pn

3.3.2 繪制Y1,Y2,Y3,Y4的密度圖

根據(jù)構(gòu)造Yn(n=1,2,3,4)的密度函數(shù)，利用R語(yǔ)言的curve函數(shù)繪制x∈[0,4]密度函數(shù)圖。

3.4 模擬結(jié)果

根據(jù)上述步驟，將Yn(n=1,2,3,4)地密度函數(shù)p1(y),p2(y),p3(y),p4(y)表示在圖3中。由圖3可知：隨著n的增加，pn(y)的圖形愈來愈光滑，且越來越接近正態(tài)曲線，符合中心極限定理。

圖3 Yn(n=1,2,3,4)的密度函數(shù)圖

4 課堂教學(xué)案例（高爾頓釘板實(shí)驗(yàn)）

在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》學(xué)習(xí)中，在闡釋完中心極限定理的基本定義后，增加中心極限定理的應(yīng)用案例。高爾頓釘板實(shí)驗(yàn)常常作為應(yīng)用實(shí)例，利用中心極限定理來進(jìn)行解釋。在課上展示環(huán)節(jié)，主要基于R軟件，對(duì)高爾頓實(shí)驗(yàn)進(jìn)行模擬，模擬多種情況，比如釘子層數(shù)的不同、實(shí)驗(yàn)小球的個(gè)數(shù)對(duì)于實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響等。

4.1 高爾頓釘板實(shí)驗(yàn)

有一個(gè)板上面有n排釘子，每排相鄰的兩個(gè)釘子之間的距離均相等。上一排釘子的水平位置恰巧位于下一排緊鄰的兩個(gè)釘子水平位置的正中間。從上端入口放入小球，在下落過程中小球碰到釘子后相等的可能性向左或向右偏離，碰到下一排相鄰的兩個(gè)釘子中的一個(gè)。如此繼續(xù)下去，直到落入底部隔板中的一格，如圖4所示。問當(dāng)有大量的小球從上端依次放入，任其自由下落，小球最終在底板中堆積的形態(tài)。設(shè)釘子有16排，即n=16。

圖4 高爾頓釘板

在街頭賭博中，莊家會(huì)在高爾頓鋼板的底板兩端距離原點(diǎn)超出8格的位置放置了值錢的東西來吸引顧客，而在原點(diǎn)附近則放置相對(duì)便宜的東西或者不放置任何。一般在賭博游戲中，大多都是莊家贏，而這個(gè)游戲也不例外。我們可以用中心極限定理來揭穿這個(gè)街頭賭博中的騙術(shù)。

若要考察小球堆積的形態(tài)，就需要考察小球最終下落在底部隔板的位置的分布。則設(shè)隨機(jī)變量X為“小球最終下落在底部隔板中的位置”，同時(shí)引入隨機(jī)變量Xi服從伯努利分布，分布律如表1所示。則μ=E(Xi)=0，σ2=D(Xi)=1。

表1 隨機(jī)變量Xi的分布律

為揭穿這個(gè)街頭賭博中的騙術(shù)，需要計(jì)算中大獎(jiǎng)概率，即下落小球超出8格的位置的概率。設(shè)釘子有16排，即n=16。由于，此時(shí)X～N( )0,16，有

此時(shí)計(jì)算中大獎(jiǎng)的概率不到5%，這說明顧客中大獎(jiǎng)的可能性微乎其微。

4.2 R語(yǔ)言模擬實(shí)驗(yàn)

接下來通過軟件模擬的方式，來模擬高爾頓釘板實(shí)驗(yàn)。

4.2.1 模擬生成落點(diǎn)數(shù)據(jù)

設(shè)定生成落點(diǎn)數(shù)據(jù)函數(shù)的輸入、輸出參數(shù)，如表2和表3所示。

表2 輸入?yún)?shù)

表3 輸出參數(shù)

下面是模擬生成落點(diǎn)數(shù)據(jù)的R函數(shù)實(shí)現(xiàn)。

4.2.2 繪制落點(diǎn)數(shù)據(jù)的直方圖

由上述構(gòu)造的R函數(shù)可以得到每個(gè)點(diǎn)的下落位置y，對(duì)下落位置繪制其直方圖hist，同時(shí)增加臨界位置8和-8，標(biāo)識(shí)出中大獎(jiǎng)的概率P（|X|＞8）。

4.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)上述步驟進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到在n=16排釘子下投擲分別M=10,100,1 000,10 000次落點(diǎn)的位置數(shù)據(jù)，可以得到結(jié)果如圖5所示。在本次模擬下，僅投擲10次，此時(shí)獲取大獎(jiǎng)（P(|X|＞8)）的概率為0。當(dāng)投擲次數(shù)達(dá)到100及以上，獲取大獎(jiǎng)的概率穩(wěn)定在2%附近。同時(shí)，隨著次數(shù)的增加，落點(diǎn)位置的分布更接近于正態(tài)分布。

圖5 在16排釘子下投擲分別10，100，1 000，10 000次落點(diǎn)分布

但同時(shí)也注意到隨著投擲次數(shù)的增加，獲取大獎(jiǎng)的概率穩(wěn)定在2%附近，與上節(jié)正態(tài)分布計(jì)算出的概率4.56%存在差異。原因是層數(shù)n僅為16不足夠大，正態(tài)近似程度不高。雖然能在一定程度上說明賭博問題，得到近似概率，但精確概率仍然需要通過卷積公式來求n重二項(xiàng)分布的和分布函數(shù)。

由此可以得到如下結(jié)論：

（1）試驗(yàn)測(cè)試較少時(shí)，一次性命中大獎(jiǎng)幾乎不可能。

（2）隨著次數(shù)的增加，落點(diǎn)位置的分布接近于正態(tài)分布，符合中心極限定理。

（3）通過數(shù)據(jù)模擬得到的概率值與中心極限定理利用正態(tài)近似得到的概率相比，仍有差異。原因是層數(shù)n不足夠大。但作為近似的判斷也足夠了，不影響對(duì)此賭博問題得到近似概率，精確概率仍然需要通過卷積公式來求n重二項(xiàng)分布的和分布函數(shù)。

5 結(jié)語(yǔ)

中心極限定理作為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，在教學(xué)過程中選擇使用R語(yǔ)言隨機(jī)模擬抽樣和概率分布情況，不僅可以使學(xué)生能夠較好地理解和掌握中心極限定理的本質(zhì)，也能夠訓(xùn)練學(xué)生的編程能力，增強(qiáng)其動(dòng)手能力[6]。

在計(jì)算技術(shù)快速發(fā)展的今天，編程和數(shù)據(jù)模擬也是一項(xiàng)必備技能。大學(xué)課堂教學(xué)也應(yīng)該與時(shí)俱進(jìn)，充分利用現(xiàn)代化的教學(xué)工具和手段，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)傳統(tǒng)知識(shí)的同時(shí)，領(lǐng)略現(xiàn)代科技的發(fā)展對(duì)一些學(xué)科的促進(jìn)作用，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生利用現(xiàn)代技術(shù)手段解決問題的能力[5]。