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        培育符號意識需重視數(shù)學(xué)化中的意識進程

        2022-11-14 01:01:45鄭大明
        關(guān)鍵詞:經(jīng)驗情境

        鄭大明

        [摘 要]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出:“符號意識主要是指能夠感悟符號的數(shù)學(xué)功能?!备形蚍柕臄?shù)學(xué)功能是對小學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)目標(biāo)的基本要求,而不是對符號意識培養(yǎng)的整個教與學(xué)的要求。因此,在小學(xué)數(shù)學(xué)實際教學(xué)中,教師只有站在培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度,全面認識和理解符號意識的形成與發(fā)展的進程,設(shè)計恰當(dāng)可行的教學(xué)方案,才能完成數(shù)學(xué)課程素養(yǎng)的培育任務(wù)。

        [關(guān)鍵詞]符號意識;數(shù)學(xué)化;情境;感知;經(jīng)驗

        [中圖分類號] G623.5 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068(2022)26-0001-04

        一、符號意識在數(shù)學(xué)化中的心理和行為進程

        從數(shù)學(xué)教育的角度來看,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是人腦對客觀現(xiàn)實進行數(shù)學(xué)化的過程。荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾指出,數(shù)學(xué)化是一個過程,只要現(xiàn)實世界在一系列因素的影響下進行著變化、延拓和深化,這個過程就在持續(xù),這也包括數(shù)學(xué)。特萊弗斯在教育脈絡(luò)內(nèi)明確了兩個形態(tài)的數(shù)學(xué)化觀點——水平和垂直的數(shù)學(xué)化。因此,可以說“水平數(shù)學(xué)化涉及從真實世界走入符號世界,而垂直數(shù)學(xué)化則是在符號世界內(nèi)前進”。

        感知是人的感覺器官接受信息的過程,而意識是人腦對感官獲得的信息進行處理的結(jié)果。因此,意識既是大腦處理信息的行為,也是大腦處理信息所獲得的結(jié)果??梢哉J為,符號意識是伴隨著人的心理發(fā)展和信息處理行為而生長變化的(如表1)。

        科學(xué)家認為,意識有先天進化的基因意識和后天習(xí)得的素養(yǎng)意識之分。有些意識是顯露出來的可以傳播和交流的意識流,有些意識是隱藏在靈魂深處的無法傳播和交流的,即潛意識。于是有人把這些意識分為本我意識——進化而來的本能性意識,自我意識——摻入主觀認知的素養(yǎng)性意識,超我意識——融入群體交流和大眾傳播以后的社會性意識。

        鑒于意識本身的綜合性與復(fù)雜性,可以把數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的符號意識看作是基于自我意識和超我意識的特殊形態(tài)。因為數(shù)學(xué)符號是記錄、交流、傳播數(shù)學(xué)知識的工具,是數(shù)學(xué)認知、表達和應(yīng)用的語言系統(tǒng)(如表2)。

        二、在水平數(shù)學(xué)化中完成符號的感覺與知覺過程

        水平數(shù)學(xué)化,是通過信息互動實現(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)實和數(shù)學(xué)符號相互連接的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

        1.感覺情境中的符號,是意識符號現(xiàn)象與存在的前哨

        感覺,是人體的感覺器官接受外界刺激的心理行為。這種心理行為使得我們認識現(xiàn)實世界和接受外界信息成為可能。因此,行為心理學(xué)家的“刺激—反應(yīng)”學(xué)習(xí)論,就在符號學(xué)習(xí)中發(fā)揮著前哨性作用。

        (1)交流中感覺符號。在交流中,讓學(xué)生講述生活的經(jīng)歷或者有趣的故事,就會涉及元素、單位等符號。比如家里有“5個人”,吃了“3頓飯”,吃了“8顆糖”,見到“2只小貓”等,這些都有數(shù)學(xué)符號的影子。因此,數(shù)和量的講述很容易讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)符號的存在。

        (2)觀察中感覺符號。在生活中,無論是無意識還是有意識的觀察,都能看到許多圖形、文字、標(biāo)識等與數(shù)學(xué)相關(guān)的符號。比如碗筷、桌凳、毛巾、廣告牌等?!皥A形的碗”“方形的桌子”“1雙筷子”等符號信息,都能刺激學(xué)生的視覺、聽覺和觸覺。因此,在教學(xué)一些基本的數(shù)學(xué)符號之初,教師就要有目的地組織學(xué)生進行觀察。

        (3)交易中感覺符號。購物就是貨幣與實物之間的符號聯(lián)系的過程。比如一個物品的單價、幾個物品的總價、付錢與找錢等,即使是數(shù)字化支付,也是學(xué)生感覺符號的數(shù)學(xué)功能的重要情境。又如買2塊橡皮、3張卡紙、4盒牛奶、2米長的皮筋等,學(xué)生從中還能感覺到整數(shù)、小數(shù)等不同的數(shù)學(xué)符號,感覺到大小、多少、同樣多等抽象的詞語符號。

        (4)閱讀中感覺符號。要認識標(biāo)準(zhǔn)的、規(guī)范的數(shù)學(xué)符號,數(shù)學(xué)閱讀是最佳途徑。盡管數(shù)學(xué)符號簡約抽象且難認難讀,但在閱讀中查閱資料和請教老師、同學(xué),就能豐富自己的數(shù)學(xué)符號信息庫。特別是中高年級的學(xué)生,要認識代數(shù)式、運算公式、關(guān)系式、統(tǒng)計表圖等數(shù)學(xué)符號,系統(tǒng)的閱讀是必不可少的。因此,教師從低年級起就要培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣,讓他們在自覺和不自覺中感受數(shù)學(xué)符號。

        (5)綜合實踐中感覺符號。在家庭、社會以及學(xué)校組織的相關(guān)活動中,要讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)符號的作用和價值,并能體會和理解數(shù)學(xué)符號的重要性。比如節(jié)日購物活動、春游活動、校園模型制作、太空旅行暢想、垃圾處理調(diào)查等,學(xué)生都能接觸到大量的數(shù)、量、形的符號,以及表示運算、關(guān)系的符號。教師要認真研究這些活動于如何讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)符號的作用和價值,給出合適的學(xué)習(xí)任務(wù)和評價方式。

        2.知覺情境中的符號,是意識符號特征與類型的中樞

        知覺,是大腦指揮感覺器官主動感知外界刺激的心理行為。當(dāng)感覺器官接受了外界刺激后,大腦就會對外界事物進行反向知覺。因此,認知心理學(xué)家的信息“識別—加工—控制”學(xué)習(xí)論,就在符號學(xué)習(xí)中發(fā)揮著中樞性作用。

        (1)知覺交流中的符號。在交流活動中,先安排學(xué)生聆聽他人言語中有關(guān)數(shù)學(xué)符號的內(nèi)容;接著讓學(xué)生進行信息的識別、加工和記憶;最后要求學(xué)生復(fù)述,其他學(xué)生可以補充和解釋。比如講“給家人擺碗筷”時,可以讓學(xué)生“從1到幾”一個一個地復(fù)述怎么擺;講“來了幾位客人”時,可要求學(xué)生說出“幾位男客人、幾位女客人”“是男客人多,還是女客人多”等,促使學(xué)生體會這些符號的特征。

        (2)知覺參觀中的符號。在參觀活動中,要求學(xué)生畫一畫、寫一寫、說一說,不但在看到的符號上留下印跡,匯報時還要采用多種形式展示。比如方形的廣告牌、圓形的摩天輪、球形的氣球等,要求學(xué)生把“分別有多少”“誰多誰少”等講清楚,這樣有利于他們在了解符號特征的基礎(chǔ)上能夠區(qū)別類型。

        (3)知覺交易中的符號。要求學(xué)生在交易活動中記住交易中的錢幣、貨物的數(shù)量等,主動觀察或索取小票、賬單、菜單、收據(jù)、貨單等;匯報時分別說明錢幣符號、數(shù)量符號、日期符號等。學(xué)生對不同類型的事物和現(xiàn)象需要不同的符號表達,從而對符號有一個初步的認識。

        (4)知覺閱讀中的符號。數(shù)學(xué)閱讀是識別、加工、掌握數(shù)學(xué)符號的關(guān)鍵途徑。因此,應(yīng)讓學(xué)生閱讀后,通過填表、填圖等方式主動分類記錄和抄寫看到的數(shù)據(jù)、圖形、單位等符號,并能區(qū)分運算、結(jié)合、關(guān)系等不同類型的符號。特別是像“∠”“⊥”“○”等簡約符號以及括號、小數(shù)點、循環(huán)點、進退位點、分?jǐn)?shù)線、比號、正負號等應(yīng)用廣泛而又容易混淆的符號,更要加以重視。

        (5)知覺綜合實踐中的符號。在綜合實踐活動中,學(xué)生只有沉浸于現(xiàn)實情境,才能真正理解數(shù)學(xué)符號與數(shù)學(xué)現(xiàn)實的真正聯(lián)系。教師必須仔細研究每一次活動所涉及的符號的特征、類型、作用等,提供給學(xué)生最佳的探究的內(nèi)容、時機、方式等。比如“校園模型”制作項目活動,涉及數(shù)、量、形符號的特征、類型、用途、價值等,教師要重視活動方案的細節(jié)設(shè)計,這樣才能促使學(xué)生完成識別、加工、掌握數(shù)學(xué)符號的知覺任務(wù),獲得好的學(xué)習(xí)效果。

        三、在垂直數(shù)學(xué)化中完成符號的體驗與應(yīng)用過程

        在意識進程中,水平數(shù)學(xué)化只讓學(xué)生認識了現(xiàn)實世界與符號世界的關(guān)聯(lián)事實。而數(shù)學(xué)的語言體系是一個不斷向縱深發(fā)展的符號系統(tǒng),教師只有清楚整個數(shù)學(xué)化過程才能完成教學(xué)(如圖1)。

        數(shù)學(xué)的語言體系與數(shù)學(xué)的思維方法、應(yīng)用功能有著同等的地位。新修訂的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》一再強調(diào)教材的“整體性、層次性、結(jié)構(gòu)性、一致性”,就是要求教師關(guān)注數(shù)學(xué)語言系統(tǒng)的垂直數(shù)學(xué)化問題,即在水平數(shù)學(xué)化溝通了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系以后,學(xué)生必須利用已有的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)進行深度學(xué)習(xí),形成系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的認知。

        1.在抽象與推理中獲得體驗,是意識符號系統(tǒng)與功能的關(guān)鍵

        (1)在現(xiàn)實情境中獲得符號體驗。數(shù)學(xué)的現(xiàn)實情境包括生活與學(xué)習(xí)現(xiàn)實。如“數(shù)人數(shù)”時,很多學(xué)生會把自己漏掉,原因是他們看到什么數(shù)什么,沒有“從自己起”和“從零起”的“位置數(shù)”概念。因此,他們?nèi)菀桌斫狻?,2,3,4……”,而對“0,1,2,3……”的數(shù)法較難理解。因此,很多教材讓學(xué)生認識“0”的時候,不是用“數(shù)數(shù)法”而是用“減數(shù)法”,例如“3條魚,小貓吃完了就是0” 。這樣一來,遇到“余數(shù)為0”和“-1,0,+1”的“0”時,學(xué)生就搞不清楚了。對此,教師要讓學(xué)生先記住自己的位置是“0”,再數(shù)“1,2,3,4……”。對于“小明左邊有3名同學(xué),右邊有4名同學(xué)”這一情境,學(xué)生在計算時就會加上“小明的位置”而得到“3+1+4”的結(jié)果了。

        (2)在模擬情境中獲得符號體驗。許多抽象的關(guān)系符號,比如“大于、小于、等于”“倍、分、比、等式、比例”等,需要學(xué)生在模擬情境中獲得認知體驗。通過“真人表演”“學(xué)具拼擺”“圖畫記錄”“舉例子類比”等方式,學(xué)生對數(shù)據(jù)及其相互關(guān)系等進行對比、歸納,得出“a>b,a=b,a<b,an=b,b÷n=a,a∶b=n”等符號系列和“當(dāng)c不為0時,有‘a(chǎn)+c>b+c,ac=bc,a-c<b-c,(a÷c)n=b÷c,(bc)÷(nc)=a,(ac)∶(bc)=n’”等情況。

        (3)在虛擬情境中獲得符號體驗。在中高年級的數(shù)學(xué)中,大數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)以及相應(yīng)的長度、面積、體積等都會進入“再認識”階段,“千以內(nèi)的數(shù)”“厘米、毫米、分米”“小數(shù)和分?jǐn)?shù)的初步認識”等,都無法直觀地靠數(shù)、量、畫的辦法體會,很難靠思維、想象與推理得出其數(shù)學(xué)意義。但是,計算機模擬系統(tǒng)就可以輕而易舉地通過數(shù)字編程實現(xiàn)“疊加”和“細分”,直觀地展示虛擬情境。

        2.在遷移與應(yīng)用中進行實踐,是意識符號規(guī)范與創(chuàng)新的高地

        (1)在后續(xù)學(xué)習(xí)中使用符號。很多數(shù)學(xué)符號的功能,都是學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中慢慢體會出來的。比如“0占位”和“小數(shù)點位移”,都是在計算“2×3,20×3,20×30……”“0.2×3,0.2×0.3,0.02×0.3……”等的過程中, 學(xué)生才真正體會到 “0”和“.”的作用。學(xué)生在低年級認識m、dm、cm、mm時全靠記憶,在中年級使用km、hm以后,才慢慢地發(fā)現(xiàn)“m”前面的“d”表示“1個單位的十分之一”,“k”表示“1個單位的1000倍”等。于是,學(xué)生就在課外閱讀中明白了“30 mg”“5 kg”“100 MB”“256 GB”的真實意義,從而意識到每一個數(shù)學(xué)符號的規(guī)范性和嚴(yán)謹(jǐn)性。

        (2)在問題解決中使用符號。數(shù)學(xué)符號是根據(jù)人們的需要不斷升級、不斷系列化的。在解決問題的過程中,比如遇到“數(shù)大數(shù)和分小數(shù)”“量大物和量小物”等問題時,學(xué)生會發(fā)現(xiàn)之前學(xué)習(xí)的計數(shù)和計量單位不夠用,必須要啟用或者創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)符號。比如,教了1平方厘米和1平方分米以后,要求學(xué)生測量操場的面積,學(xué)生就覺得無奈:這么大的操場,怎么測量呀?他們就會想到要用上更大的測量單位,也就會根據(jù)已掌握的1厘米、1分米、1米,得出1平方米、1平方十米、1平方百米、1平方千米的想法。

        (3)在實踐創(chuàng)作中使用符號。當(dāng)前非常提倡以“項目式學(xué)習(xí)”為代表的跨學(xué)科綜合實踐活動。因此,教師可以設(shè)計一些簡單的創(chuàng)作項目,以幫助學(xué)生使用和創(chuàng)造數(shù)學(xué)符號。比如,前面提到的“校園模型”制作活動就可以打造為項目式學(xué)習(xí)活動。學(xué)生可以先拍照、畫畫、測量、估測等,也許還要計算和設(shè)計圖紙,或是購買紙板、膠泥等材料。他們除了用到已有的知識,還會創(chuàng)造出一些自己不曾學(xué)過的東西。不管是設(shè)計測量、計算,還是購物中的哪個方案,都會涉及數(shù)學(xué)符號的功能、作用、價值等,也許還有我們意想不到的“可遇而不可求”的新東西出現(xiàn)!

        [ 參 考 文 獻 ]

        [1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2022.

        [2] 崔允漷.新一輪義務(wù)教育課標(biāo)的修訂,即將帶來哪些教學(xué)上的變革?[EB/OL](2021-08-11)[2022-03-20]https://www.k.sina.com.cn/article_6179111250_1704dc152019010slj.html.

        [3] 弗賴登塔爾.數(shù)學(xué)教育再探:在中國的講學(xué)[M].劉意竹,楊剛,譯.上海:上海教育出版社,1999.

        [4] 葉 陽,章勤瓊.小學(xué)數(shù)學(xué)項目式學(xué)習(xí):特征、發(fā)展及應(yīng)用案例[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師,2020(1):53-57.

        (責(zé)編 金 鈴)

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