陳娟 胡巍 陸大全

1)(江西師范大學(xué)物理與通信電子學(xué)院,南昌 330022)

2)(華南師范大學(xué),廣東省微納光子功能材料與器件重點實驗室,廣州 510631)

面向邊界限制的自聚焦振蕩型響應(yīng)函數(shù)系統(tǒng)建立了二階和三階非線性共同作用時的二次孤子理論模型.在此基礎(chǔ)上,通過數(shù)值模擬對有三階非線性效應(yīng)和無三階非線性效應(yīng)情況下的孤子解進行對比,研究了三階非線性效應(yīng)對該系統(tǒng)中二次孤子的影響.結(jié)果表明,在孤子波形方面,三階非線性影響較小,僅輕微改變其橫向分布.但是在孤子的存在區(qū)間方面,三階非線性導(dǎo)致孤子只存在于強非局域和一般非局域情況,在弱非局域情況下找不到相應(yīng)的孤子.此外,三階非線性的存在還減少了孤子拓展半周期的個數(shù).而在孤子穩(wěn)定性方面,三階非線性則縮減了孤子的穩(wěn)定區(qū)間.

1 引言

光孤子是指光波在非線性介質(zhì)中發(fā)生自陷的穩(wěn)定傳輸現(xiàn)象,包括時間光孤子、空間光孤子以及時空光孤子[1,2].近年來,非局域非線性介質(zhì)中的光孤子(非局域孤子)引起了研究人員的廣泛關(guān)注[3-8].非局域非線性介質(zhì)的非線性折射率與該點及其附近的光場均有關(guān).根據(jù)介質(zhì)非局域響應(yīng)函數(shù)特征寬度與光束束寬的相對大小,通常將非局域程度細(xì)分為強非局域、一般非局域、弱非局域以及局域4 種類型[1,9,10].非局域孤子涉及的傳輸介質(zhì)主要包括向列相液晶[4,11-13]、鉛玻璃[14,15]及二次非線性介質(zhì)[16-19].值得一提的是,二次非線性介質(zhì)中的孤子(二次孤子)盡管在1974 年就已經(jīng)被理論預(yù)言[20],并且在此后數(shù)十年里得到了諸多的研究[17,21-23],但是起初研究人員并沒有將其與非局域非線性聯(lián)系起來.直到 2003 年,Nikolov 等[16]發(fā)現(xiàn)二次孤子可以等價于非局域孤子,二次諧波(SH)可以看作是由基頻波(FW)誘導(dǎo)的等價非局域非線性折射率,它會形成一個非線性波導(dǎo)并在二次參量過程中限制基頻波的傳輸.在此基礎(chǔ)上,研究人員發(fā)現(xiàn)二次非線性介質(zhì)中存在指數(shù)衰減型和正弦振蕩型兩種非局域響應(yīng)函數(shù)[16].在指數(shù)衰減型響應(yīng)函數(shù)系統(tǒng)中的二次孤子易于穩(wěn)定[17,21,24,25],而正弦振蕩型響應(yīng)函數(shù)系統(tǒng)中的二次孤子則很難穩(wěn)定[22,26].

近年來,本課題組對振蕩型響應(yīng)函數(shù)系統(tǒng)中的二次孤子進行了一系列的研究.2014 年,我們通過引入邊界約束得到了自聚焦的振蕩型響應(yīng)函數(shù)系統(tǒng)中可穩(wěn)定傳輸?shù)墓伦咏鈁27,28].2017 年,我們進一步在邊界約束的自散焦振蕩型響應(yīng)函數(shù)系統(tǒng)中找到了亮的二次孤子[29].2018 年,我們還在無邊界的自聚焦振蕩型響應(yīng)函數(shù)系統(tǒng)下發(fā)現(xiàn)了暗-亮孤子對[30].與之前二次孤子的大多數(shù)研究工作一樣,在上述工作中只考慮了二階非線性效應(yīng)這一主要非線性.但是實際上,當(dāng)光在二次非線性介質(zhì)中傳輸時,還會存在三階非線性效應(yīng).盡管三階非線性效應(yīng)比二階非線性效應(yīng)要弱很多,但是對于孤子不易穩(wěn)定的振蕩型響應(yīng)函數(shù)系統(tǒng)而言,其對孤子的存在區(qū)間和穩(wěn)定性等方面仍有可能構(gòu)成較明顯的影響.

針對這一問題,本文面向邊界限制的自聚焦振蕩型響應(yīng)函數(shù)系統(tǒng)建立二階和三階非線性共同作用時的二次孤子理論模型.在此基礎(chǔ)上,通過數(shù)值模擬對有三階非線性效應(yīng)和無三階非線性效應(yīng)情況下的孤子解進行對比,系統(tǒng)地研究三階非線性效應(yīng)對孤子波形、孤子存在區(qū)間、以及孤子穩(wěn)定性三個方面的影響.

2 理論模型

二階和三階非線性效應(yīng)共同作用時,孤子傳輸滿足耦合方程組[22,26,31]:

式中,E1和E2分別表示基頻波和二次諧波光電場的復(fù)振幅;ω1和ω2=2ω1分別為基頻波和二次諧波的頻率;k1=n1ω1/c和k2=n2ω2/c分別為基頻波和二次諧波的波數(shù),其中n1和n2分別為介質(zhì)對基頻波和二次諧波的折射率; Δk=2k1-k2為相位失配量;分別為二階和三階有效非線性極化率.方程(1)和方程(2)的第一項代表傳輸,第二項代表衍射或群速度色散,第三項代表二階非線性效應(yīng),最后一項代表三階非線性效應(yīng).

對方程(1)和方程(2)引入下面一組變換參數(shù):

其中wg＞0 為光束束寬或脈沖寬度,ZR=＞0 為光束的瑞利距離或色散距離,E10和E20為歸一化常數(shù).可得無量綱傳輸方程組:

其中s1的符號決定了系統(tǒng)的非線性是自聚焦的(s1=1)還是自散焦的(s1=-1).在不考慮三階非線性效應(yīng)時(即n=0 時),上述孤子模型可以等價為非局域孤子的傳輸模型[16],二次諧波可視為由基頻波誘導(dǎo)的等價非局域非線性折射率.因此,二次諧波可以表示為基頻波與響應(yīng)函數(shù)的卷積形式,即

其中R(·)代表響應(yīng)函數(shù).當(dāng)s2=1 時,響應(yīng)函數(shù)為指數(shù)衰減型,即

其中σ=.而對于s2=-1 情況,當(dāng)系統(tǒng)無邊界條件約束時響應(yīng)函數(shù)為正弦振蕩型,即

但在有界系統(tǒng)中(設(shè)兩邊界分別位于l1和l2,介質(zhì)寬度為l=l2-l1),當(dāng)邊界兩邊的折射率差足夠大時(如二次介質(zhì)樣品放置于空氣中),光場主要集中于介質(zhì)內(nèi).此時的邊界條件近似滿足第一類邊界條件(即φ1,2(l1)=φ1,2(l2)=0),相應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為[27,28]

由(8)-(10)式可見,非局域響應(yīng)函數(shù)的特征寬度可用參量σ=來表示.通常用非局域響應(yīng)函數(shù)特征寬度σ與光束束寬的比值大小來衡量非局域程度.因此,α的值越小,特征寬度σ就越大,非局域程度就越強.如果將非局域程度作粗略的分類,通常把比值遠小于1 的情況稱為弱非局域;把比值與1 可比擬的情況稱為一般非局域;把比值遠大于1 的情況稱為強非局域.

接下來基于方程(5)和方程(6)的模型,研究三階非線性效應(yīng)對邊界限制的自聚焦振蕩型響應(yīng)函數(shù)系統(tǒng)中(即s1=-s2=1)二次孤子的影響.孤子的數(shù)值求解采用牛頓迭代法.此外,為了判斷孤子的穩(wěn)定性,對通過牛頓迭代法得到的孤子解進行線性穩(wěn)定性分析.對基波和二次諧波的試探孤子解都加入微擾:

其中μ,ν,p,f都為實數(shù),且μ,ν,p,f?1 .將微擾解代入方程(3)和方程(4),可得一個實矩陣b=(μ,ν,p,f)T的特征值問題:

其中

而

在第一類邊界條件下,利用中心差分法離散化求解特征方程的特征值ε.ε的實部(εr)表示不穩(wěn)定增長率,若εr≤0 則孤子穩(wěn)定,反之則不穩(wěn)定.

3 數(shù)值模擬結(jié)果與分析

基于二階和三階非線性效應(yīng)共同作用時的孤子模型,研究了該模型下的孤子波形、存在區(qū)間以及穩(wěn)定性.下面詳細(xì)地討論三階非線性效應(yīng)對這三方面的影響.

在強非局域和一般非局域情況下,找到了一系列的孤子解,它們的波形如圖1 所示.可以看到,二階和三階非線性共同作用下的孤子波形與只有二階非線性作用時的二次孤子波形很接近.具體而言,在強非局域條件下基頻波呈鐘型分布,二次諧波呈正弦振蕩型周期分布,如圖1(a)和圖1(b)所示.在一般非局域條件下,基頻波存在兩種波形,其中一種波形存在一些肩膀,具有格子孤子的特點,第二種波形平滑流暢,如圖1(c)和圖1(d)所示.

圖1 強非局域和一般非局域情況下二階和三階非線性共同作用時的孤子波形(紅色: 基頻波;綠色: 二次諧波)(a),(b)強非局域情況 α=0.04,其中圖(b)的波形是在圖(a)的基礎(chǔ)上向兩邊各拓展了半個周期;(c),(d)一般非局域情況 α=10,其中圖(c)中 l=18.0974,圖(d)中 l=18.7214 .圖中虛線為二階和三階非線性共同作用時的孤子波形;實線為只有二階非線性作用時的二次孤子波形;|d2/d1|=1Fig.1.Soliton profiles(red: FW;green: SH)with quadratic and cubic nonlinearities for strongly nonlocal case and general nonlocal case:(a),(b)Strongly nonlocal case α=0.04 ;the soliton in panel(b)is an extension of that in panel(a)toward the right and left sides;(c),(d)general nonlocal case α=10 ,where(c)l=18.0974,(d)l=18.7214 .Dotted line: soliton profiles with quadratic and cubic nonlinearities;Solid line: the profiles of quadratic solitons with only quadratic nonlinearity. |d2/d1|=1.

但是在弱非局域條件下發(fā)現(xiàn),當(dāng)三階非線性系數(shù)n在10-3—10-1范圍內(nèi)時,無論|d2/d1|取何值都不存在對應(yīng)的孤子解.也就是說,三階非線性效應(yīng)的存在使得在此情況下找不到對應(yīng)的孤子.我們也嘗試了在更弱的三階非線性系數(shù)條件下去尋找孤子解,但是直到當(dāng)n取10-6時,方程才出現(xiàn)了孤子解.然而此時n～10-6量級相對于二階非線性效應(yīng)來說,三階非線性的作用就是一個極小的微擾量,結(jié)果與僅有二階非線性情況并無實質(zhì)區(qū)別,因此無意義.所以在本文后續(xù)的討論中,只考慮強非局域和一般非局域的情況,并取三階非線性系數(shù)n=0.003.

圖2 所示為孤子基頻波的束寬和功率隨樣品寬度l的變化情況,其中功率和束寬分別為

從圖2 可以看出,二階和三階非線性共同作用時的變化規(guī)律與只有二階非線性作用時的規(guī)律基本一致,都是呈現(xiàn)周期性的分段變化.區(qū)別主要在于,考慮了三階非線性效應(yīng)后,其變化曲線在無三階非線性效應(yīng)情況的對應(yīng)曲線基礎(chǔ)上向右發(fā)生了偏移.但值得注意的是,圖2 中第2,3 支的束寬和功率是在第1 支的基礎(chǔ)上對樣品寬度分別拓展半個周期和一個周期所得.在對孤子進行拓展的過程中,可以發(fā)現(xiàn)三階非線性的存在減少了孤子可拓展半周期的個數(shù),如圖2(a)最多只能拓展半個周期.

圖3 是不穩(wěn)定增長率隨樣品寬度l、非局域程度α、以及比值d2/d1的變化.對于不穩(wěn)定增長率隨樣品寬度l的變化情況而言(圖3(a)和圖3(b),與圖2 對應(yīng)),可以發(fā)現(xiàn),考慮了三階非線性效應(yīng)的孤子其不穩(wěn)定增長率曲線在只有二階非線性作用時曲線的基礎(chǔ)上也向右發(fā)生了偏移.另外,通過與只有二階非線性作用時的二次孤子穩(wěn)定性區(qū)間對比還發(fā)現(xiàn),三階非線性效應(yīng)的存在縮減了孤子的穩(wěn)定區(qū)間,如圖3(c)和圖3(d)所示.

圖2 基頻波的束寬(藍色)和功率(紅色)隨樣品寬度l 的變化規(guī)律(a)強非局域情況 α=0.04;(b)一般非局域情況 α=10 .虛線為二階和三階非線性共同作用時的結(jié)果;實線為只有二階非線性作用時的結(jié)果.|d2/d1|=0.8Fig.2.Soliton width(blue line,right ordinate)and power(red line,left ordinate)of the FW versus the sample size l:(a)Strongly nonlocal case α=0.04;(b)general nonlocal case α=10 .Dotted line: results with quadratic and cubic nonlinearities;Solid line:results with only quadratic nonlinearity. |d2/d1|=0.8 .

圖3 (a),(b)對應(yīng)圖2 的孤子不穩(wěn)定增長率曲線;(c)孤子的不穩(wěn)定增長率隨非局域程度α 的變化規(guī)律,l=18 ,|d2/d1|=2 ;(d)孤子的不穩(wěn)定增長率隨 d2/d1 的變化規(guī)律,α=0.11,l=18 .虛線為二階和三階非線性共同作用時的結(jié)果;實線為只有二階非線性作用時的結(jié)果Fig.3.(a),(b)Curves of unstable growth rate corresponding to Fig.2;(c)unstable growth rate versus the nonlocal degree α.l=18,|d2/d1|=2;(d)unstable growth rate versus d2/d1 .α=0.11,l=18 .Dotted line: results with quadratic and cubic nonlinearities;Solid line: results with only quadratic nonlinearity.

圖4 所示為圖3(d)中兩個圓點所對應(yīng)孤子解的數(shù)值模擬傳輸結(jié)果.將牛頓迭代法得到的孤子解作為初始輸入,基于方程(3)和方程(4)采用分步傅里葉算法對其進行了傳輸模擬.在傳輸模擬時給預(yù)期穩(wěn)定的孤子解中的基頻波加入了1%的微擾,而預(yù)期不穩(wěn)定的孤子解則不加微擾.從圖4 可以觀察到,預(yù)期穩(wěn)定的孤子解經(jīng)過1000 個瑞利距離ZR的傳輸后,孤子仍然能保持穩(wěn)定,而預(yù)期不穩(wěn)定的孤子解僅僅經(jīng)過幾十個瑞利距離后就再也不能穩(wěn)定傳輸下去.

圖4 圖3(d)中兩個圓點所對應(yīng)孤子解的數(shù)值模擬傳輸結(jié)果(a),(b)基頻波;(c),(d)二次諧波.第一行中 d2/d1=-0.8 ;第二行中d2/d1=-0.4Fig.4.Propagation of the two solitons corresponding to the two dots in Fig.3(d):(a),(b)The FW;(c),(d)the SH.Upper row:d2/d1=-0.8;Bottom row: d2/d1=-0.4 .

4 結(jié)論

本文系統(tǒng)研究了三階非線性效應(yīng)對邊界限制的自聚焦振蕩型響應(yīng)函數(shù)系統(tǒng)(s1=-s2=1)中二次孤子的影響.發(fā)現(xiàn)考慮了三階非線性作用后,孤子只存在于強非局域和一般非局域情況,弱非局域情況下找不到相應(yīng)的孤子(過去忽略三階非線性作用時在各類非局域程度下都存在孤子解).此外還發(fā)現(xiàn),三階非線性效應(yīng)的存在減少了孤子拓展半周期的個數(shù),同時也縮減了孤子的穩(wěn)定區(qū)間.而在孤子波形方面,三階非線性影響較小,僅輕微改變其橫向分布.

感謝東莞理工學(xué)院陳曼娜博士的有益討論.