唐藝凡， 馮娜， 龐婷婷

(西安交通工程學(xué)院， 交通運輸學(xué)院， 陜西， 西安 710000)

0 引言

近年，隨著我國高速鐵路規(guī)模的擴大和網(wǎng)絡(luò)信息技術(shù)的發(fā)展，高速鐵路的控制和管理向著智能化和信息化的方向發(fā)展。其中，對于鐵路車票的定價問題，若僅采用單一的定價方案，會使得高峰時間段的車次售票達到飽和，空閑段的車票售出率偏低，一方面造成客流集中，不利于客流的分流和疏導(dǎo)，增大鐵路運輸壓力，另一方面未能實現(xiàn)鐵路運營效益的最大化，造成公共資源浪費[1-2]。研究如何通過優(yōu)化票價實現(xiàn)鐵路資源的充分利用和效益提升具有重要研究意義。本文從鐵路部門和乘客兩個層面進行分析，構(gòu)建出行成本函數(shù)，提出多種票價調(diào)整策略，對票價調(diào)整問題建立雙層模型，上層模型為售票效益函數(shù)，下層模型為出行路徑選擇函數(shù)，建立上下層之間的關(guān)聯(lián)函數(shù)關(guān)系，通過數(shù)學(xué)優(yōu)化方法，實現(xiàn)售票效益的提升和車票售出率的均衡。

1 雙層優(yōu)化模型建模

在鐵路票價制定過程中，鐵路管理部門通過調(diào)整票價，在一定程度上影響乘客的出行規(guī)劃，以優(yōu)化廣大乘客的出行費用。乘客具有自主選擇能力，根據(jù)自身對經(jīng)濟性、快速性、便捷性、舒適性等因素的考慮，對比現(xiàn)有的多種出行方案，選擇認為最為合適的出行方式。鐵路車票的定價需要兼顧鐵路運營部門和乘客兩方面的因素，二者的關(guān)系與Leader-Follower關(guān)系相一致，即鐵路運營部門擔(dān)當(dāng)決策者(Leader)角色，乘客則充當(dāng)跟隨者(Follower)的角色，可利用雙層模型對車票定價機制進行建模，通過模型參數(shù)調(diào)整實現(xiàn)對票價的優(yōu)化調(diào)整。雙層模型主要包括上層規(guī)劃模型和下層規(guī)劃模型2個主要部分，兩層模型分別建立各自獨立的目標(biāo)函數(shù)，兩層模型之間存在著關(guān)聯(lián)變量，雙層模型優(yōu)化算法的目標(biāo)是同時滿足雙層模型的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)化，解算出最優(yōu)解。雙層模型中，上層模型為鐵路管理部門的收入函數(shù)，其目標(biāo)是為了實現(xiàn)獲益最大化，下層模型為乘客選擇函數(shù)，其目標(biāo)是實現(xiàn)乘客出行選擇最優(yōu)化，通過雙層模型的關(guān)聯(lián)，使得鐵路部門收益和乘客出行選擇均實現(xiàn)最優(yōu)。

1.1 上層模型函數(shù)

上層模型主要是指鐵路運營部門的售票收入，可將售票總收入設(shè)定為FS，其值為不同票價和客流乘積的總和，公式表示為

FS=qn(Pn)Pn

(1)

式中，n表示行程的總類別，qn表示客流量，Pn表示票價。

鐵路運行過程存在成本消耗，可將運營成本主要劃分為列車運行費用、設(shè)備損耗費用、水電費用、管理費用等4大類，公式可表示為

C=C1+C2+C3+C4

(2)

(3)

式中，C表示運營的總成本，C1表示列車運行費用，C2表示設(shè)備損耗費用，C3表示用電費用，C4表示管理費用，LT表示線路的長度，NT表示行程經(jīng)過的車站數(shù)量，x表示列車每運動一公里所需的費用，δ1表示列車一公里所耗電費，δ2表示列車在車站停留所耗電方，τ表示單公里車輛實用費，η表示車站服務(wù)成本。

鐵路部門屬于盈利單位，售票總收入整體上要超出鐵路運營的總成本，約束條件1可表示為

qn(Pn)Pn≥C

(4)

另外，由于鐵路服務(wù)屬于公共事業(yè)，需要保障社會公共服務(wù)和運營穩(wěn)定性，一般國家會對票價設(shè)定上限，約束條件2可表示為

Pn≤Pn，max

(5)

車票定價最優(yōu)化模型可表示為

maxFS=qn(Pn)Pnst:Fs≥CPn≤Pn，max

(6)

1.2 下層模型函數(shù)

下層模型主要描述乘客的行程選擇，乘客的出行選擇受票價、時間、快速性、舒適性等屬性因素影響[3]，采用指數(shù)函數(shù)描述下層模型，選取出行方式的屬性作為函數(shù)的變量，下層模型的描述函數(shù)可表示為

Fx=μ(qn)?-αtn-βpn+γcn

(7)

式中，w表示待確定的參數(shù)，t表示列車運行的時長，p表示車票價格，c表示其他綜合因素綜合(一般取值范圍為0.15～0.25)，α表示受到時間因素的影響系數(shù)，β表示受到票價因素的影響系數(shù)，γ表示受到綜合因素的影響系數(shù)，影響系數(shù)β會隨票價的變動而發(fā)送變化。

乘客在選擇出行計劃時，會在一定程度上受到票價的影響，一般情況下票價越高的出行方式對乘客的吸引力越低，反之，票價降低則會吸引更多的客流量。但從整體市場規(guī)律角度上看，客流總流量基本在一個穩(wěn)定的水平，在總客流量穩(wěn)定的情況下，票價和客流量的關(guān)系[4-5]可表示為

(8)

(9)

Jocobi矩陣運算可以獲得n種客流量與票價間的偏導(dǎo)數(shù)(?qn/?pn)，其偏導(dǎo)數(shù)反應(yīng)出乘客需求量，利用泰勒展開式，下層模型的函數(shù)可表示為

(10)

2 算法軟件設(shè)計

在票價的調(diào)整過程中，其算法的設(shè)計主要包括票價調(diào)整策略和雙層模型求解2個部分。首先給出票價的具體調(diào)整策略，然后按照不同的調(diào)整策略對雙層模型進行求解，輸出票價的最優(yōu)解。

2.1 票價調(diào)整策略

票價調(diào)整是指在允許的票價范圍內(nèi)，依據(jù)車票售出率對不同區(qū)段的車次進行分類，通過調(diào)整票價將車票的售出率保持高于60%，同時低于100%[7]。在售票率區(qū)間(60%，100%)中，挑選出2個調(diào)整點，分別為75%和85%。當(dāng)車票的售出率低于75%時將票價向下調(diào)整，當(dāng)車票的售出率高出85%時將票價向上調(diào)整，以實現(xiàn)乘客引導(dǎo)和分流，控制區(qū)段客流量，使得列車車票售出率盡量保持在(60%，90%)區(qū)間中。不同的票價調(diào)整先后順序和調(diào)整幅度對客流的均衡 控制和售票收益具有不同的影響，這里給出3種票價調(diào)整策略[6-7]，如表1所示。

表1 票價調(diào)整策略

2.2 雙層模型求解

雙層模型的求解問題具有非凸特性，是模型求解的難點所在，解決問題的關(guān)鍵在于求出上層模型和下層模型之間的關(guān)聯(lián)函數(shù)，即描述客流和票價之間的影響關(guān)系[8-10]。本文設(shè)計的求解流程：首先對下層模型進行求解，輸出當(dāng)前票價情況下的客流量，然后將得到的客流量代入上層模型，對上層模型求解輸出售票收益和售票率，依據(jù)售票情況和票價調(diào)整策略對票價進行更新；然后將更新后的票價數(shù)據(jù)重新代入下層模型進行求解，依次循環(huán)迭代直到售票收益達到極大值，則算法迭代完成。模型求解流程如圖1所示。

圖1 模型求解流程

3 仿真分析

以某固定行程區(qū)間內(nèi)的所有高鐵車次信息為研究對象，每個車次可承載乘客數(shù)量均設(shè)定為600，為了簡化計算量，僅對二等座票價進行分析。按照鐵路的相關(guān)規(guī)定，列車的售票率與該區(qū)間段內(nèi)分配的車票數(shù)目相關(guān)，這里假定每個車次的車票售出率均為70%，按照票價浮動范圍要求，該區(qū)間段的票價調(diào)整范圍為470～580元。利用MATLAB軟件對模型進行迭代求解，迭代步數(shù)設(shè)定為1 000，按照上文表中的3種票價調(diào)整策略分別進行迭代調(diào)整，在3種不同票價調(diào)整策略下售票總收益結(jié)果如圖2所示。

圖2 售票收益仿真結(jié)果

由售票收益迭代結(jié)果可以看出，與為調(diào)整前的票價收益相比，通過策略二和策略三調(diào)整后收益均得到提升，實現(xiàn)了提升售票收益的目的。策略二對售票收益提升的幅度更高，且其需要進行的迭代次數(shù)更少。策略一進行調(diào)整后，其售票收益值與調(diào)整前相比更低。通過該方法可篩選出收益最高的調(diào)整策略，從而實現(xiàn)對票價調(diào)整策略的對比和驗證。文中研究對象行程區(qū)間內(nèi)的初始實際收益為175萬元，策略二迭代優(yōu)化后的最大收益為194萬元，提升了10.8%。

票價調(diào)整前后列車的車票售出率如圖3所示。由圖中曲線可知，通過票價調(diào)整，3種調(diào)整策略對客流分配均具有均衡作用，使得該區(qū)間段內(nèi)的各車次座位售出率均處于允許范圍內(nèi)，平滑了極值點，避免出現(xiàn)個別車次過分擁擠，而其他車次過分空閑，從而實現(xiàn)客流吞吐量的均衡。3種方案對客流的調(diào)整效果基本接近，使得售出率極高點平均下降了10%左右，售票率極低點平均提升了7%左右。其中，策略二的售出率變化更為平穩(wěn)，車次售出率分布更為均衡，在車票售出率調(diào)整方面更具一定的優(yōu)勢，綜合對比策略二在票價調(diào)整效果上具有更突出的效果。未進行優(yōu)化調(diào)整的實際運行情況中，第4～7車次的平均售票率達到98%，客流達到擁堵狀態(tài)，通過策略二優(yōu)化調(diào)整后，該高峰段的平均售票率下降至86%，下降了12.2%，有效緩解了出行高峰期的擁堵情況。

圖3 車票售出率仿真結(jié)果

4 總結(jié)

本文研究了鐵路票價調(diào)整問題，分析票價調(diào)整對鐵路運營收益和客流分配的影響，利用雙層模型對票價調(diào)整進行建模，并設(shè)計了模型迭代與求解過程，給出了3種票價調(diào)整策略，將3種調(diào)整策略代入模型進行仿真，仿真結(jié)果驗證了算法的有效性。實際的票價調(diào)整策略具有多樣性，不同的調(diào)整順序和幅度組合可構(gòu)成不同的調(diào)整策略，而不同策略對客流分配、售票收益及乘客出行選擇的影響可進行更為深入的研究。影響票價的因素包括政策、經(jīng)濟建設(shè)、乘客需求、市場競爭等多種因素，目前研究方向可概括為單一票價、多級票價、動態(tài)票價等3個主要方向，采用的方法策略具有多樣性，包括為非線性整數(shù)規(guī)劃模型、多級票價體系策略、運量與運價模型、依據(jù)市場變化調(diào)整定價策略等等，有待進行更進一步的研究。