馬一鳴 李子天 韓澤鑫

一、引言

隨著經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展，金融產(chǎn)品的買賣已成為一種流行的財(cái)務(wù)管理方式。在合理的時(shí)間買賣金融產(chǎn)品，可以產(chǎn)生可觀的回報(bào)。然而，金融產(chǎn)品的上漲和下跌受到經(jīng)濟(jì)、政治、企業(yè)、市場(chǎng)和人為因素的影響，很難對(duì)某種金融產(chǎn)品的漲跌做出合理預(yù)測(cè)，并做出恰當(dāng)?shù)慕灰走x擇。如果能合理預(yù)測(cè)后一天的股價(jià)，通過(guò)歷史的股價(jià)漲跌，基于數(shù)學(xué)模型，以及合理的決策模型來(lái)買賣操作，實(shí)現(xiàn)收益最大化。

二、假設(shè)

假設(shè)1:所用數(shù)據(jù)的來(lái)源有效，統(tǒng)計(jì)過(guò)程中沒(méi)有錯(cuò)誤。

假設(shè)2:從2016年到2020年沒(méi)有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的日期是相應(yīng)的休息日。

假設(shè)3:沒(méi)有人為操縱股票市場(chǎng)的方向以獲取隨機(jī)數(shù)據(jù)。

假設(shè)4:貿(mào)易過(guò)程中不會(huì)發(fā)生嚴(yán)重的金融危機(jī)。

三、符號(hào)說(shuō)明

相關(guān)符號(hào)詳見(jiàn)表1列示。

表1 相關(guān)符號(hào)列示

四、分析與建模

（一）交易策略的發(fā)展

根據(jù)金融市場(chǎng)的一般投資規(guī)律，當(dāng)金融產(chǎn)品在市場(chǎng)上的價(jià)值下跌時(shí)，需要適當(dāng)買入；當(dāng)市場(chǎng)價(jià)值上漲時(shí)，要適當(dāng)賣出。為了進(jìn)一步明確具體和量化的交易規(guī)則，有必要根據(jù)對(duì)各種金融產(chǎn)品規(guī)律的研究，制定具體的分析策略。

1.數(shù)據(jù)預(yù)處理。我們首先計(jì)算每個(gè)交易日（從2016年9月12日到2021年9月10日）金融產(chǎn)品的漲跌，并計(jì)算具體的漲跌幅（不包括收盤時(shí)的數(shù)據(jù)），如圖1所示。

圖1 黃金和比特幣在交易日的收益

然后我們計(jì)算黃金所有下跌的中位數(shù)，以及所有收益的中位數(shù)；比特幣所有下跌的中位數(shù)，以及所有收益的中位數(shù)。

2.關(guān)聯(lián)規(guī)則分析和先驗(yàn)算法。關(guān)聯(lián)規(guī)則分析是一種簡(jiǎn)單實(shí)用的分析技術(shù)，可發(fā)現(xiàn)大量數(shù)據(jù)集中存在的相關(guān)性或不相關(guān)性，從而描述事物某些屬性同時(shí)出現(xiàn)的規(guī)律和模式。關(guān)聯(lián)分析是從大量數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)項(xiàng)集之間的有趣關(guān)聯(lián)和相關(guān)連接。相關(guān)性分析的一個(gè)典型示例是購(gòu)物籃分析。該過(guò)程通過(guò)發(fā)現(xiàn)客戶放入購(gòu)物籃中的不同商品之間的聯(lián)系來(lái)分析客戶的購(gòu)買習(xí)慣。通過(guò)了解客戶經(jīng)常同時(shí)購(gòu)買哪些商品，這種相關(guān)性分析可以幫助零售商制定營(yíng)銷策略。其他應(yīng)用包括價(jià)目表設(shè)計(jì)、商品促銷、商品擺放和基于購(gòu)買模式的客戶細(xì)分。

Apriori算法采用迭代方法，該算法的基本思想是:首先找出所有的頻繁項(xiàng)集，這些項(xiàng)集出現(xiàn)的頻繁性至少和預(yù)定義的最小支持度一樣。然后由頻集產(chǎn)生強(qiáng)關(guān)聯(lián)規(guī)則，這些規(guī)則必須滿足最小支持度和最小可信度。最后使用第一步找到的頻集產(chǎn)生期望的規(guī)則，產(chǎn)生只包含集合項(xiàng)的所有規(guī)則，其中每一條規(guī)則的右部只有一項(xiàng)，這里采用的是中規(guī)則的定義。一旦這些規(guī)則被生成，那么只有那些大于用戶給定的最小可信度的規(guī)則才被留下來(lái)。為了生成所有頻集，使用了遞推方法。具體流程如圖2所示。

圖2 先驗(yàn)流程圖

同樣，連續(xù)下降的天數(shù)超過(guò)總數(shù)的90%。vG=5

其他連續(xù)上升或連續(xù)下降可被視為小概率事件，不包括在統(tǒng)計(jì)范圍內(nèi)

圖3 黃金連續(xù)5天的漲幅

可以據(jù)此計(jì)算的黃金初始投資基金金額為PG漲，增加多少持倉(cāng)它就可以對(duì)沖前一天的損失。

表2 加倉(cāng)金額與連續(xù)下跌次數(shù)的關(guān)系

擬合方程（a，b是參數(shù)）y=a*e（b*t）ab

引入了線性回歸模型，并擬合了以下參數(shù):

擬合效果如圖4所示。

圖4 擬合效果

在此基礎(chǔ)上，得到正常情況下的持倉(cāng)管理模型，即根據(jù)前一日的漲幅或跌幅w，代入相應(yīng)的加倉(cāng)或減倉(cāng)公式中，就能夠得到相應(yīng)的金額。

加倉(cāng)公式為:y+=21.93892e［（0.39310*w*5/（-3.05855%））］

減倉(cāng)公式為:y-=21.93892e［（0.39310*w*5/（2.77951%））］

從中發(fā)現(xiàn)最大連續(xù)上漲次數(shù)=5，當(dāng)連續(xù)上升超過(guò)5倍時(shí)，視為小概率事件uB；最大連續(xù)下跌次數(shù)=4，超過(guò)跌幅4倍時(shí)，被視為小概率事件vB。

可以據(jù)此計(jì)算的比特幣初始投資資金金額為PB，如圖5所示。

圖5 比特幣連續(xù)5天漲幅和連續(xù)4天跌幅數(shù)據(jù)

表3 追加投資的金額和連續(xù)下跌次數(shù)的關(guān)系

擬合方程（a，b是參數(shù)）y=a*e（b*t）ab

引入了線性回歸模型，并擬合了以下參數(shù):

擬合公式是:y=0.00275*e（2.59132*t）

擬合效果如圖6所示。

圖6 擬合效果

在此基礎(chǔ)上，得到正常情況下的持倉(cāng)管理模型，即根據(jù)前一日的漲幅或跌幅w，代入相應(yīng)的加倉(cāng)或減倉(cāng)公式中，就能夠得到相應(yīng)的金額。

加倉(cāng)的公式為:y+=0.002755e［（2.591324*w*4/（0.13006））］

減倉(cāng)的公式為:y-=-0.002755e［（2.59132*w*5/（0.12703））］

綜上所述，可以獲得倉(cāng)位增加策略和倉(cāng)位減少策略的計(jì)算公式，結(jié)合預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果，可以使投資策略更加穩(wěn)定。

（二）價(jià)格預(yù)測(cè)模型

1.灰色預(yù)測(cè)模型?；疑A(yù)測(cè)是一種預(yù)測(cè)包含不確定性系統(tǒng)的方法。灰色預(yù)測(cè)識(shí)別系統(tǒng)因素之間發(fā)展趨勢(shì)的差異程度，即進(jìn)行相關(guān)性分析，生成原始數(shù)據(jù)以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)變化規(guī)律，生成具有較強(qiáng)規(guī)律性的數(shù)據(jù)序列，然后建立相應(yīng)的微分方程模型來(lái)預(yù)測(cè)事物的未來(lái)發(fā)展趨勢(shì)。

由于股票價(jià)格受短期和中期影響較大，我們?cè)诨叶阮A(yù)測(cè)中使用了最廣泛的GM（1，1）模型，適用于中短期預(yù)測(cè)，精度高，操作簡(jiǎn)單，驗(yàn)證方便。

2.黃金預(yù)測(cè)結(jié)果?；谝阎狞S金歷史價(jià)格數(shù)據(jù)，利用灰色預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)黃金和比特幣的每日價(jià)格，并將每日的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值進(jìn)行比較，得到誤差率，結(jié)果如圖7圖8所示。

圖7 黃金每日預(yù)測(cè)價(jià)格與其實(shí)際價(jià)格的比較，紅色曲線為預(yù)測(cè)曲線，藍(lán)色為真實(shí)曲線

圖8 預(yù)測(cè)黃金價(jià)格與實(shí)際價(jià)格之間的誤差率圖

基于黃金價(jià)格預(yù)測(cè)曲線和誤差率曲線，可以清楚地看到，黃金的預(yù)測(cè)誤差值保持在6%以內(nèi)，誤差值小，黃金價(jià)格在短時(shí)間內(nèi)波動(dòng)較小。

3.比特幣預(yù)測(cè)結(jié)果。結(jié)果如圖9圖10所示。

圖9 比特幣每日預(yù)測(cè)價(jià)格與其實(shí)際價(jià)格的比較，紅色為預(yù)測(cè)值，藍(lán)色為真實(shí)值

圖10 比特幣預(yù)測(cè)價(jià)格與實(shí)際價(jià)格之間的誤差率

從圖中可以看出，比特幣價(jià)格預(yù)測(cè)曲線的波動(dòng)范圍比較大，比特幣估計(jì)的誤差率也很高，誤差一般在10%以上，甚至在短時(shí)間內(nèi)誤差率會(huì)超過(guò)60%。

（三）合成模型

1.模擬交易。將以上預(yù)測(cè)模型與交易策略相結(jié)合，可以看出，黃金的長(zhǎng)期表現(xiàn)是上升趨勢(shì)，所以黃金市場(chǎng)值得長(zhǎng)期持有，在制定模型時(shí)，要考慮這個(gè)因素，只有當(dāng)黃金價(jià)格連續(xù)兩天以上出現(xiàn)漲跌時(shí)，才進(jìn)行倉(cāng)位增減操作，其余時(shí)間持倉(cāng)不變。此外，如果經(jīng)過(guò)灰色模型預(yù)測(cè)黃金價(jià)格長(zhǎng)期下跌，可以暫時(shí)不遵循模型并保持持倉(cāng)觀察。例如，在2018年至2019年期間的數(shù)字中，金價(jià)已經(jīng)連續(xù)下跌了6個(gè)多月，為降低投資風(fēng)險(xiǎn)，此時(shí)我們可以暫時(shí)保持持倉(cāng)觀察，不再追投黃金。根據(jù)灰色預(yù)測(cè)模型的錯(cuò)誤率對(duì)投資金額進(jìn)行評(píng)估，當(dāng)預(yù)測(cè)的誤差率高于3%時(shí)，可以考慮對(duì)投資金額進(jìn)行持倉(cāng)觀察或減少投資，以進(jìn)一步保持穩(wěn)定的投資管理。最后，可以獲得從2016年11月9日開始的每日操作金額，例如增加、減少和持倉(cāng)，如圖11所示。

圖11 黃金每日加倉(cāng)、減倉(cāng)、持倉(cāng)操作金額（101列顯示為包含在服務(wù)費(fèi)用中的金額）

比特幣價(jià)格的預(yù)測(cè)曲線波動(dòng)相對(duì)較大，因此，對(duì)于比特幣的投資應(yīng)采取更穩(wěn)定的策略，當(dāng)誤差率超過(guò)15%時(shí)，應(yīng)減少購(gòu)買金額，當(dāng)誤差率超過(guò)20%時(shí)，應(yīng)持倉(cāng)觀察，并在價(jià)格相對(duì)穩(wěn)定時(shí)考慮額外投資。最后，獲得自2016年11月9日以來(lái)比特幣每日持倉(cāng)增倉(cāng)、減倉(cāng)和持倉(cāng)操作的具體值，如圖12所示。

圖12 比特幣每日加倉(cāng)、減倉(cāng)、持倉(cāng)操作金額（102列顯示為包含在服務(wù)費(fèi)用中的金額）

2.交易邏輯。黃金長(zhǎng)期持有，每當(dāng)黃金價(jià)格發(fā)生兩次或兩次以上連續(xù)起伏時(shí)，才進(jìn)行交易，比特幣短期持有，每次遇到起伏就應(yīng)當(dāng)立即交易，買入的最大價(jià)值不能超過(guò)持有流動(dòng)資金的50%，每次出售的價(jià)值不超過(guò)所持股份的最大價(jià)值。而且，當(dāng)預(yù)測(cè)模型在產(chǎn)品預(yù)測(cè)中顯示出長(zhǎng)期下跌的總體趨勢(shì)時(shí)，保持倉(cāng)位不變，并在預(yù)測(cè)模型顯示產(chǎn)品價(jià)格上漲時(shí)采取進(jìn)一步行動(dòng)。此外，如果兩種金融產(chǎn)品都在同一天需要購(gòu)買，則首先購(gòu)買比特幣，然后購(gòu)買黃金。

3.模擬結(jié)果。基于上述交易規(guī)則，加倉(cāng)和減倉(cāng)公式以及預(yù)測(cè)模型，使用python編寫程序，并以歷史價(jià)格數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算。在計(jì)算過(guò)程中，首先輸入初始資金比例比率（流動(dòng)性、黃金、比特幣），然后輸入前一天的理財(cái)產(chǎn)品漲、跌幅數(shù)據(jù)和預(yù)測(cè)模型給出的誤差率，可以輸出最終（流動(dòng)性、黃金、比特幣）三種資產(chǎn)的總價(jià)值。在編寫程序過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)當(dāng)給予不同的初始資金配置時(shí)，最終可以獲得不同的收益，通過(guò)嘗試各種原始資金的組合，最后給出最優(yōu)選擇，結(jié)果如下。

現(xiàn)金、比特幣、黃金比例為:209.5430518、34.90201472、755.4569482

最終總資金為:2905.369135，各部分資金（單位已全部?jī)稉Q為美金）比例為:347.4782118、2512.345832、45.54509135

最終的資金回報(bào)曲線如圖13所示。

圖13 收益圖（從2016年11月9日到2021年9月10日每天持有總資產(chǎn)）

五、結(jié)論

我們基于關(guān)聯(lián)分析算法和曲線擬合，結(jié)合黃金和比特幣的整體價(jià)格趨勢(shì)，擬合出了一套準(zhǔn)確而穩(wěn)健的交易策略模型。每日交易的確切金額可以根據(jù)前一日的漲跌幅數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算求出，且基于灰色預(yù)測(cè)模型對(duì)決策規(guī)則作進(jìn)一步優(yōu)化，大大降低了交易策略模型的風(fēng)險(xiǎn)。

通過(guò)分析對(duì)比，可以看出它是一套具有高精度、高靈敏度和低風(fēng)險(xiǎn)的交易策略模型。最終，通過(guò)算法計(jì)算，我們適當(dāng)分配了1 000美元，五年后可拿到2 905.36913美元，綜合回報(bào)率超過(guò)190%。

注：本文系2022年美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽《貿(mào)易策略》階段性研究成果。