許 可 劉 濤 羅成高 萬建偉

(國防科技大學(xué) 電子科學(xué)學(xué)院， 長沙 410073)

頻率分辨率是“數(shù)字信號處理”課程中一個非常重要的知識點，這個概念定量刻畫了頻譜分析的精細程度。但在教學(xué)實踐中，頻率分辨率的定義往往直接給出，缺乏相應(yīng)的物理意義和工程應(yīng)用背景，學(xué)生容易陷入“只記結(jié)論，不懂應(yīng)用”的困境，更談不上對這個結(jié)論進行舉一反三或者質(zhì)疑。

以兩個有限長余弦序列的幅度譜為分析對象，通過二者的接近程度(頻率之差)來給出頻率分辨率的定義，通過類比光學(xué)系統(tǒng)與合成孔徑雷達的分辨率，來加深對數(shù)字信號處理中頻率分辨率概念的再認識。

1 頻率分辨率概念的起因

無限長的余弦序列x(n)=cos(ω0n)，n=0,1,2，…，其頻譜為沖激函數(shù)串，

(1)

用矩形窗對余弦序列截斷，得到有限長余弦序列xN(n)=cos(ω0n)RN(n)。根據(jù)頻域卷積定理[1]，時域相乘對應(yīng)頻域卷積，則截斷后余弦序列的頻譜為

(2)

其中WN(ejω)表示N點矩形窗的頻譜。

如果只考慮[0,π]區(qū)間頻率分量的頻譜，則

(3)

圖1給出了余弦序列截斷前后在[0,π]區(qū)間的幅度譜。從圖1(a)可以看出，無限長余弦序列，其幅度譜為沖激函數(shù)。將其在時域進行截斷后，成為有限長余弦序列，此時的幅度譜成為“胖乎乎”的形狀，體現(xiàn)為一個主瓣和諸多旁瓣，如圖1(b)所示。

推廣到兩個余弦序列的情況。時域上的截斷，頻域上“胖乎乎”的幅度譜就會相互融合，相互滲透。從圖2(a)可以看出，兩根本來“涇渭分明”的沖激函數(shù)，就會變?yōu)閳D2(b)的形式，此時這兩個頻率分量越來越不好區(qū)分，二者的“分界線”越來越模糊。

(a)無限長

(b)有限長圖1 余弦序列的幅度譜

(a)無限長

(b)有限長圖2 兩個余弦序列的幅度譜

在教學(xué)實踐中，要注意從學(xué)生的角度思考并引出相關(guān)知識點。比如，要注意引導(dǎo)學(xué)生思考“為什么要研究兩個余弦序列的情況”？這是因為在很多工程應(yīng)用中，必須判斷實際系統(tǒng)能否準確“分辨”出兩個數(shù)值接近的頻率分量。

對這個問題，還可在課堂上進一步的拓展，比如在雷達探測中，頻率分辨率決定了系統(tǒng)能否區(qū)分兩個頻率相近的單頻信號，在雷達對多個鄰近目標距離、速度等參數(shù)的測量中具有重要意義[2]。

2 頻率分辨率的直觀定義

在時域上進行截斷，頻域上的變化就是從“涇渭分明”變得“模模糊糊”，那么一定存在著一個“分界線”來區(qū)分“清晰”和“模糊”這兩個狀態(tài)。利用“分界線”的思想，可以很自然地給出“頻率分辨率”的定義[1,3]。

也就是說，對于兩個數(shù)值接近的頻率分量，在“分界線”外，系統(tǒng)處于“可以分辨”的狀態(tài)，在“分界線”內(nèi)，系統(tǒng)處于“不可分辨”的狀態(tài)，在“分界線”上，系統(tǒng)就是處于“剛好分辨”的狀態(tài)。

可以利用主瓣的重疊程度，來定義區(qū)分兩個有限長余弦序列的“分界線”。當兩個余弦序列的主瓣重疊超過一半時，認為這兩個余弦序列處于“無法分辨”的情況，如圖3(a)所示，此時|ω1-ω2|<2π/N，其中N表示余弦序列長度，2π/N表示主瓣寬度的一半。

當兩個余弦序列的主瓣重疊不足一半時，我們認為這兩個余弦序列處于“可以分辨”的情況，如圖3(b)所示，此時|ω1-ω2|>2π/N。

當兩個余弦序列的主瓣重疊剛好一半時，我們認為這兩個余弦序列處于“剛好分辨”的情況，如圖3(c)所示，此時|ω1-ω2|=2π/N。

圖3(c)給出的就是兩個數(shù)值接近的頻率分量能否區(qū)分開的“分界線”，定義此時的頻率之差為頻率分辨率

Δω=|ω1-ω2|=2π/N

(4)

頻率分辨率的概念描述了系統(tǒng)能提供的頻率“最小刻度”。從式(4)可以看出，頻率分辨率只取決于有效數(shù)據(jù)的長度N。

3 頻率分辨率的再認識

利用主瓣重疊程度來定義頻率分辨率的思想，也體現(xiàn)在光學(xué)系統(tǒng)分辨率中[4]。由于光波受到光學(xué)孔徑的限制，會產(chǎn)生衍射，兩個物點會形成兩個衍射光斑，當兩個物點靠近時，對應(yīng)的衍射光斑就會相互融合，相互滲透，直至變得難以區(qū)分，如圖4所示。瑞利判據(jù)指出,當一個物點對應(yīng)的衍射光斑的中央主極大位置與另一個物點對應(yīng)的衍射光斑的第一個極小位置相重合時，此時光學(xué)系統(tǒng)恰好可以分辨開這兩個物點[4-5]。

對比圖3(c)與圖4(c)可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)字信號處理中的頻率分辨率和光學(xué)系統(tǒng)中的分辨率，它們分別采用幅度譜或衍射光斑主極大的半徑進行表征，有異曲同工之妙。

(a)“無法分辨”的情況

(b)“可以分辨”的情況

(c)“剛好分辨”的情況圖3 利用主瓣重疊程度定義頻率分辨率

圖4 光學(xué)成像系統(tǒng)分辨率

按照主瓣重疊一半來定義頻率分辨率，這是一種“半功率”的思想，即主瓣能量下降3 dB。但是這種定義并不是唯一的，比如在合成孔徑雷達(SAR)中，理想點目標的擴散函數(shù)是sinc函數(shù)[1]，可用“半功率”作為分辨準則。但在實際情況下，為準確分辨目標，可采用更嚴格的分辨準則，如3.92 dB，9 dB等[6]，見表1。

表1 不同的合成孔徑雷達成像分辨準則

4 結(jié)語

圖5給出了“頻率分辨率”知識點的授課思路。按照“意義引出→概念分析→類比擴展”的講解順序，以余弦序列為分析對象，利用時域截斷引起的頻域變化給出頻率分辨率概念的起因，隨后利用兩個余弦序列主瓣重疊程度給出頻率分辨率的定義，最后，與光學(xué)系統(tǒng)以及合成孔徑雷達的分辨率進行了類比，引導(dǎo)學(xué)生全面、客觀地理解頻率分辨率的概念。

圖5 “頻率分辨率”知識點授課思路