劉 藝,劉寶泉,魯毛毛,韓 猛,張浩銘

(陜西科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院， 西安 710021)

0 引言

步進電機由于具有調(diào)速范圍寬、制造成本低、可開環(huán)控、易于起動等特點被廣泛用于工業(yè)和消費類應(yīng)用[1]。但因其使用的開環(huán)控制方式和齒槽轉(zhuǎn)矩的存在，導(dǎo)致其存在輸出轉(zhuǎn)矩脈動問題。當(dāng)負載轉(zhuǎn)矩發(fā)生變化時，失步變得非常嚴(yán)重[2-3]。目前，較為常用的解決方法是PI控制，但由于電機運行非線性、電磁轉(zhuǎn)矩和齒槽轉(zhuǎn)矩中產(chǎn)生的各種干擾量及非正弦分量，使得針對線性系統(tǒng)的傳統(tǒng)PI控制應(yīng)用受到一定限制。

針對步進電機的振動及加載后抗擾能力差的問題，目前主要采用閉環(huán)控制提升運動性能，分為線性和非線性控制兩大類。線性控制主要為以傳統(tǒng)PI控制結(jié)合轉(zhuǎn)矩矢量控制算法，對兩相混合式步進電機定子繞組電流的相位和幅值進行控制[4]。文獻[5]采用矢量控制和調(diào)制方式設(shè)計步進電機驅(qū)動器，對減弱低頻振動、改善系統(tǒng)動態(tài)性能有一定的效果。文獻[6]和文獻[7]在PI控制的基礎(chǔ)上用矢量控制算法對定子電流進行細分，改善了電機的步進波動和定位精度，但派克和逆派克變換中包含大量高計算量的三角函數(shù)運算，這些坐標(biāo)變換操作消耗了大量處理器運算資源。文獻[8]提出了新無傳感器控制方案，參考電流由電流變換方程提供，所有信號定義在固定a-b坐標(biāo)下，故不再需要使用坐標(biāo)變換將電壓和電流在a-b和d-q坐標(biāo)間轉(zhuǎn)換，顯著降低了微控制器計算量，提升了電機相電流及轉(zhuǎn)子位置的實時跟蹤效果?；谏鲜稣{(diào)研發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)PI控制的精度很容易受參數(shù)變化的影響，且不能隨系統(tǒng)需要實時調(diào)整，雖然魯棒性較強，但對于抑制電機轉(zhuǎn)矩脈動效果有限。

針對系統(tǒng)高精度控制，研究人員提出了非線性控制方法，在保證PID控制器優(yōu)點的前提下，文獻[9]提出了滿足非線性系統(tǒng)控制要求的自抗擾控制器，但其主要用于永磁同步電機中。文獻[10-12]針對永磁同步電機采用速度、電流雙閉環(huán)的自抗擾結(jié)合PI的綜合控制方法，在轉(zhuǎn)速環(huán)使用自抗擾控制器，使步進電機在中高速區(qū)能夠?qū)崿F(xiàn)PMSM調(diào)速平穩(wěn)無超調(diào)及快速響應(yīng)，在負載劇烈變化的工況下ADRC控制器抗干擾能力優(yōu)于 PI 控制器，且轉(zhuǎn)矩波動減小。文獻[13]提出了一種具有負載轉(zhuǎn)矩反饋的PMSM動態(tài)面控制策略提高控制系統(tǒng)的控制性能，使轉(zhuǎn)速在負載變化時波動變小，且恢復(fù)時間短。文獻[14]提出了基于ADRC的位置環(huán)和PI控制的電流雙閉環(huán)控制算法。文獻[15]在位置環(huán)使用自適應(yīng)遺傳算法對自抗擾控制器參數(shù)進行在線優(yōu)化，但并未對電流、轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速進行分析。根據(jù)前文所述，ADRC主要應(yīng)用于PMSM領(lǐng)域，但由于其具有較多的控制參數(shù)需要調(diào)節(jié)，且調(diào)節(jié)過程復(fù)雜繁瑣，因而需要更強大的計算能力。而控制器運算能力不足會使系統(tǒng)延遲跟蹤，同時拉低電機的響應(yīng)速度，在低成本步進電機應(yīng)用領(lǐng)域的適用性較差。雖然有部分文獻對此進行了嘗試，但僅應(yīng)用于位置環(huán)，鮮有在速度環(huán)中的應(yīng)用分析。

1 兩相混合式步進電機的數(shù)學(xué)模型

1.1 兩相靜止坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型

兩相混合式步進電機電磁轉(zhuǎn)矩方程和運動方程分別表示為：

ZrMsrIm(-iAsinθe+iBcosθe)

(1)

(2)

兩相混合式步進電機轉(zhuǎn)子中間鑲?cè)胗来朋w，鐵芯兩段呈現(xiàn)不同的極性[16-17]，其結(jié)構(gòu)見圖1。根據(jù)電機模型，得出電機電壓方程，見式(3)。

圖1 兩相混合式步進電機結(jié)構(gòu)示意圖

(3)

式中：UA、UB，iA、iB，rA、rB分別為A、B相定子電壓、電流及電阻；ω為角速度；θ、Zr、ωr分別為轉(zhuǎn)子的位置、齒數(shù)及角速度；B為黏滯阻尼系數(shù)；J為轉(zhuǎn)動慣量；TL為負載轉(zhuǎn)矩。

由步進電機一相等效電路可得其電磁轉(zhuǎn)矩表達式為：

T=E0I/ωm

(4)

式中：E0為反向電動勢。電機的電磁轉(zhuǎn)矩和齒槽轉(zhuǎn)矩中的非正弦分量也會導(dǎo)致運動過程中產(chǎn)生諧波，對電機實際運行產(chǎn)生影響。在考慮三次諧波的影響下，電機的交鏈磁通可表示為：

(5)

式中：K1、K3分別為基波和三次諧波系數(shù)。若電機為細分控制，則結(jié)合式(4)和式(5)，電磁轉(zhuǎn)矩可表示為：

Te=iA(dφA/dθ)+iB(dφB/dθ)=

Iφ[K1sinδ-3K3sin(2ωt-3δ)]

(6)

式中：第1項為恒定轉(zhuǎn)矩，第2項為含ω的振動轉(zhuǎn)矩。

1.2 d-q旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型

兩相混合式步進電機矢量圖見圖2。α、β軸上分別為A、B兩相的定子繞組，引入d-q坐標(biāo)系，α軸與d軸夾角為轉(zhuǎn)子的位置角，可得：

圖2 兩相混合式步進電機矢量圖

(7)

式(2)和式(7)聯(lián)立，得到d-q笛卡爾坐標(biāo)系下電磁轉(zhuǎn)矩方程為：

Te=Zr(Ld-Lq)idiq+ZrMsrImiq

(8)

式(8)中：

(9)

因此，在d-q坐標(biāo)系下步進電機電壓方程為：

(10)

式中Rs為定子每相的電阻。

將式(8)中電磁轉(zhuǎn)矩Te解耦，采用id=0控制方法，即等效為定子電流只在d軸產(chǎn)生熱量，在q軸產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩，電磁轉(zhuǎn)矩只和iq相關(guān)，可將式(8)簡化為：

Te=ZrMsrImiq

(11)

可知，電機電流iq影響電機電磁轉(zhuǎn)矩。

綜上所述，電機轉(zhuǎn)矩脈動的主要影響因素為電機運行中各種干擾量及電磁轉(zhuǎn)矩和齒槽轉(zhuǎn)矩中產(chǎn)生的非正弦分量。

2 觀測器反饋的ADRC控制器

2.1 ADRC控制理論

圖3 自抗擾控制器結(jié)構(gòu)框圖

以1階系統(tǒng)為例，假定系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

(12)

式中：w(t)為外擾；f(y,w(t),t)為總擾動；u、b分別為控制量及其補償因子。令x=y，則式(12)轉(zhuǎn)換為：

(13)

狀態(tài)方程經(jīng)過TD得到：

(14)

式中：v、v1分別為系統(tǒng)給定的參考信號及給定轉(zhuǎn)速的跟蹤值;v1和v的誤差經(jīng)過fhan函數(shù)處理，得到v的近似微分信號。其中，非線性函數(shù)fhan(x,r,h)定義為：

(15)

(16)

式中：r值決定跟蹤速度。濾波因子h與采樣周期相關(guān)聯(lián)，對控制過程中的噪聲進行過濾。

1階系統(tǒng)ESO數(shù)學(xué)模型表示為

(17)

式中：z1，z2分別為y的跟蹤信號和ESO對系統(tǒng)內(nèi)外擾動估計值。ADRC的控制性能取決于狀態(tài)觀測器觀測值的準(zhǔn)確性。α1、α2的取值規(guī)律為α1=0.5α2；濾波因子δ>0；β01、β02為可調(diào)節(jié)參數(shù)；e為v1與z1差值。

式(17)的1階系統(tǒng)的NLSEF數(shù)學(xué)模型為：

(18)

式中：β1、δ1、α3分別為可調(diào)參數(shù)、濾波因子及非線性因子。NLSEF中的可調(diào)參數(shù)與ESO中的可調(diào)參數(shù)獨立，可分別進行整定：

(19)

對控制量輸出劃分的目的是提高控制精度及其性能。

2.2 OF-ADRC控制算法

傳統(tǒng)ADRC雖然能夠降低系統(tǒng)內(nèi)外干擾誤差，但微分器環(huán)節(jié)和擴張狀態(tài)觀測器環(huán)節(jié)計算復(fù)雜，會使系統(tǒng)延遲跟蹤，同時拉低了電機的轉(zhuǎn)速響應(yīng)速度，故取消其TD環(huán)節(jié)，直接將系統(tǒng)給定轉(zhuǎn)速作為輸出；使用擴張狀態(tài)觀測器模塊計算，用實際轉(zhuǎn)速代替其輸出z1，僅使用觀測器中的最主要部分對系統(tǒng)擾動量進行觀測。觀測器反饋的自抗擾矢量控制過程如圖4所示。

圖4 狀態(tài)反饋的混合式步進電機矢量控制過程框圖

設(shè)fal(e,α,δ)為非線性函數(shù)，其表達式定義為：

(20)

則改進的控制器完整形式如式(21)所示，式中nref為參考轉(zhuǎn)速；v為跟蹤微分器輸出；跟蹤微分器輸出e1為nref與n之差；e2為e1積分；控制量u由z2前饋補償后得到。

(21)

由混合式步進電機運動方程可得：

(22)

TL為外部干擾；B、J為內(nèi)擾，均為不可估算的不確定項。基于OF-ADRC的控制，設(shè)w(t)為系統(tǒng)所受內(nèi)外擾動的和：

(23)

基于混合式步進電機運動方程，電磁轉(zhuǎn)矩的參考值是轉(zhuǎn)速環(huán)輸出值，得到速度環(huán)的控制規(guī)律為：

(24)

式中：b1為最終控制量的補償因子，其參考值為1/J，根據(jù)系統(tǒng)反饋情況對補償因子進行調(diào)整。在矢量控制id=0時，電磁轉(zhuǎn)矩的微分形式表示為：

(25)

將式(10)代入式(25)中，可得

(26)

令

(27)

將w2(t)看作擾動項，由速度環(huán)的控制率可得到轉(zhuǎn)矩環(huán)的控制率為：

Te=b2Uq+w2(t)

(28)

OF-ADRC控制器在結(jié)構(gòu)上可以描述為：利用PID控制、ADRC中對擾動估計的ESO模塊及補償控制的組合。該算法利用傳統(tǒng) PID 控制中參考量和實測量實時得到控制器的輸入量，利用ADRC 中對被控對象觀測擾動的核心模塊加上前饋補償來提高步進電機的實時抗擾能力和穩(wěn)定性，OF-ADRC控制器相對于ADRC控制器簡化了式(14)和式(17)，減少了大量計算過程，提高了系統(tǒng)響應(yīng)速度。

3 仿真實驗及結(jié)果分析

為驗證上述理論的正確性及控制方法的有效性，在Matlab/Simulink平臺搭建混合式步進電機矢量模型，使用狀態(tài)反饋的ADRC控制算法對系統(tǒng)進行建模與仿真分析。

3.1 實驗參數(shù)設(shè)置

電機參數(shù)設(shè)置見表1。

表1 電機參數(shù)

3.2 不同加載值轉(zhuǎn)矩脈動對比分析

為了驗證控制器的跟蹤精度和抗負載擾動能力，進行實驗：給定電流值id=0 A，在電機供電電壓為24 V時，初始負載轉(zhuǎn)矩為0.05 N·m，0.25 s后負載轉(zhuǎn)矩分別為0.1、0.2 和0.3 N·m，觀察轉(zhuǎn)矩脈動。

圖5為OFADRC_FOC策略和傳統(tǒng)PI_FOC控制策略下電機加載0.1 N·m后轉(zhuǎn)矩脈動仿真波形。可以看出，加入負載擾動后PI_FOC轉(zhuǎn)矩波動范圍是-0.020～0.292 N·m，波動大小為0.312 N·m，OFADRC_FOC策略轉(zhuǎn)矩波動范圍是 -0.017～0.262 N·m，波動大小為0.297 N·m。

圖5 步進電機加載0.1 N·m轉(zhuǎn)矩仿真波形

從圖6可以看出，負載擾動后OFADRC_FOC的轉(zhuǎn)矩脈動明顯比PI_FOC轉(zhuǎn)矩脈動波動小；加入負載擾動后PI_FOC轉(zhuǎn)矩波動范圍是0.042～0.425 N·m，波動大小為0.383 N·m，OFADRC_FOC策略轉(zhuǎn)矩波動范圍是0.069～0.403 N·m，波動大小為0.334 N·m。

圖6 步進電機加載0.2 N·m轉(zhuǎn)矩仿真波形

從圖7可以看出，負載擾動后OFADRC_FOC的轉(zhuǎn)矩脈動明顯比PI_FOC轉(zhuǎn)矩脈動波動小，且PI_FOC幅值不穩(wěn)定；加入負載擾動后PI_FOC轉(zhuǎn)矩波動范圍是0.118～0.587 N·m，波動大小為0.469 N·m，OFADRC_FOC策略轉(zhuǎn)矩波動范圍是0.114～0.507 N·m，波動大小為0.393 N·m。

圖7 步進電機加載0.3 N·m轉(zhuǎn)矩仿真波形

在OFADRC_FOC控制策略和傳統(tǒng)PI_FOC控制策略下，電機加載不同值后的轉(zhuǎn)矩脈動如表2所示。

表2 不同加載值下轉(zhuǎn)矩脈動

3.3 不同供電電壓下轉(zhuǎn)矩脈動對比分析

給定電流值id=0 A，在電機供電電壓分別為12、24和36 V時，給定初始負載轉(zhuǎn)矩為0.05 N·m，0.25 s后負載轉(zhuǎn)矩為0.1 N·m時觀察轉(zhuǎn)矩脈動波形。

從圖8可以看出，供電電壓為12 V時，加載后OFADRC_FOC的轉(zhuǎn)矩脈動明顯比PI_FOC轉(zhuǎn)矩脈動波動小，加入負載擾動后PI_FOC轉(zhuǎn)矩波動范圍是-0.041～0.276 N·m，波動大小為0.317 N·m，OFADRC_FOC策略轉(zhuǎn)矩波動范圍是-0.045～0.265 N·m，波動大小為0.31 N·m。

圖8 電機供電電壓12 V轉(zhuǎn)矩仿真波形

從圖9看出，在供電電壓為24 V時，加載后PI_FOC轉(zhuǎn)矩波動范圍是-0.020 ～0.292 N·m，波動大小為0.312 N·m，OFADRC_FOC策略轉(zhuǎn)矩波動范圍是-0.017～0.262 N·m，波動大小為0.297 N·m。從圖10可以看出，供電電壓為36 V時，加載后PI_FOC轉(zhuǎn)矩波動范圍是-0.022～0.312 N·m，波動大小為0.334 N·m，OFADRC_FOC策略轉(zhuǎn)矩波動范圍是0～0.276 N·m，波動大小為0.276 N·m。

圖9 電機供電電壓24 V轉(zhuǎn)矩仿真波形

圖10 電機供電電壓36 V轉(zhuǎn)矩仿真波形

在OFADRC_FOC控制策略和傳統(tǒng)PI_FOC控制策略下，電機不同供電電壓時的轉(zhuǎn)矩脈動如表3所示。

表3 不同供電電壓下轉(zhuǎn)矩脈動

通過對2種控制策略的轉(zhuǎn)矩仿真結(jié)果分析可以看出，OFADRC_FOC策略可以降低系統(tǒng)轉(zhuǎn)矩脈動，在加入負載擾動后穩(wěn)定性更高，OFADRC_FOC策略對轉(zhuǎn)矩脈動的抑制效果明顯。

4 結(jié)論

為降低混合式步進電機轉(zhuǎn)矩脈動，提高系統(tǒng)抗干擾能力，提出了一種混合式步進電機自抗擾控制器狀態(tài)觀測反饋優(yōu)化方法。通過使用觀測器中的ESO對系統(tǒng)擾動量進行觀測，將這些擾動值實時地補償?shù)较到y(tǒng)中，從而提升系統(tǒng)控制效果，有效地降低了電機轉(zhuǎn)矩脈動。通過對負載轉(zhuǎn)矩分別為0.1、0.2和0.3 N·m時的場景仿真分析，發(fā)現(xiàn)相比于傳統(tǒng)PI矢量控制方式，轉(zhuǎn)矩脈動分別降低了4.8%、12.8%和16.2%，在供電電壓分別為12、24和36 V時，轉(zhuǎn)矩脈動分別降低了2.2%、4.8%和17.4%，表明所提方法能有效減少步進電機轉(zhuǎn)矩脈動。