王靖岳，付彥植，王浩天，王軍年

(1.沈陽(yáng)理工大學(xué) 汽車與交通學(xué)院， 沈陽(yáng) 110159；2.吉林大學(xué)汽車仿真與控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 長(zhǎng)春 130025;3.沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院， 沈陽(yáng) 110136)

0 引言

油氣懸架是以油液作為傳力介質(zhì)，以氣體作為彈性介質(zhì)的一種懸架,具有良好的非線性剛度特性和非線性阻尼特性。近年來(lái)油氣懸架的研究受到了越來(lái)越多人的關(guān)注。對(duì)于油氣懸架的研究主要集中在非線性動(dòng)力學(xué)方面，油氣懸架的混沌運(yùn)動(dòng)分析也就成為了其中的重要一環(huán)。Cui等[1]提出了一種將非線性減震器模型集成到車輛模型中進(jìn)行系統(tǒng)識(shí)別的方法。Andrievskii等[2]討論了幾種新型非線性控制方法在機(jī)械系統(tǒng)控制中的應(yīng)用。Cao等[3]建立了連通式油氣懸架的油氣彈簧模型，研究了在不同連通方式下的抗俯仰與側(cè)傾的性能。Solomon等[4]建立了一種新型的物理模型并應(yīng)用于工程車輛進(jìn)行分析。徐道臨等[5]針對(duì)單氣室油氣懸架特點(diǎn)提出了參數(shù)化和非參數(shù)化2種方法，并且對(duì)參數(shù)化建模進(jìn)行了深度研究。牛冶東等[6]構(gòu)建了隨機(jī)激勵(lì)下車身垂向加速度均方根值為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化模型，分析了懸架剛度和阻尼特性對(duì)于車身的影響。Zheng等[7]研究了具有遲滯非等線性特性的單自度懸架模型在隨機(jī)激勵(lì)下的混沌運(yùn)動(dòng)。楊用增等[8]建立了輪式拖拉機(jī)的完整三維多體動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)4種不同工況下的動(dòng)態(tài)效果進(jìn)行了比較研究。并且研究了油氣彈簧內(nèi)部參數(shù)對(duì)拖拉機(jī)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響。李辰等[9]基于BWR真實(shí)氣體狀態(tài)方程建立懸架內(nèi)部熱量變化數(shù)學(xué)模型，搭建仿真模型和試驗(yàn)臺(tái)進(jìn)行驗(yàn)證，很好地反應(yīng)真實(shí)車輛在正常運(yùn)行時(shí)其內(nèi)部熱力學(xué)狀態(tài)以及對(duì)外動(dòng)力學(xué)變化。王靖岳等[10]將油氣彈簧的彈性力進(jìn)行了線性化等效，得到了2自由度懸架系統(tǒng)的振動(dòng)位移響應(yīng)以及概率分布，提出了限位裝置設(shè)計(jì)依據(jù)和計(jì)算方法。李碩[11]在考慮了活塞與內(nèi)腔壁的動(dòng)、靜摩擦力，及油液壓縮性等因素情況下研究了輸出力與阻尼力的變化規(guī)律，并研究了輸出力和阻尼力的影響因素。

本文在以上研究的基礎(chǔ)上，建立了1/4車體2自由度油氣懸架的數(shù)學(xué)模型，在路面隨機(jī)激勵(lì)下，分析了車身的速度在外界激勵(lì)以及內(nèi)部參數(shù)變化下的分岔以及混沌現(xiàn)象。

1 系統(tǒng)的模型和運(yùn)動(dòng)微分方程

圖1所示為2自由度油氣懸架模型。

圖1 2自由度油氣懸架模型示意圖

根據(jù)牛頓第二定律可以建立此模型的動(dòng)力學(xué)方程：

(1)

式中：m1為車身部分的質(zhì)量；m2為車輪的質(zhì)量；q為輪胎的剛度系數(shù)；z1為車身部分在行駛過(guò)程中的位移；z2為車輪在行駛過(guò)程的位移；z0為隨機(jī)路面激勵(lì)，模型不考慮輪胎阻尼對(duì)系統(tǒng)的影響；FC為非線性阻尼力；F為油氣彈簧非線性彈性力，具體關(guān)系式如下[11]。

(2)

(3)

式中：P0為氣室的初始?jí)毫?，在這里2個(gè)氣室的初始體積相同；V0為初始體積；Z為活塞桿的相對(duì)位移，在這里也可以表示為z1-z2；γ為氣體多變指數(shù)；Cd為阻尼孔和單向閥的流量系數(shù)；ρ為液壓油密度；AZ為阻尼孔等效截面面積；A1和A2分別為油氣彈簧2個(gè)腔的有效截面面積；AD為單向閥的等效面積；ΔA=A1-A2為2個(gè)腔的有效面積；sign(x)所代表的是符號(hào)函數(shù)。由于F非線性項(xiàng)在分子上導(dǎo)致后續(xù)計(jì)算困難，因此要對(duì)F泰勒展開(kāi)?？梢缘玫綇椥粤?

f(δ)=k1(z1-z2)+k2(z1-z2)2+k3(z1-z2)3

(4)

在油氣懸架下方施加一個(gè)隨機(jī)路面激勵(lì)作為輸入，隨機(jī)激勵(lì)通過(guò)正弦激勵(lì)疊加高斯白噪聲來(lái)模擬，即：

z0(t)=(B+eξ(t))sinωt

(5)

式中：B為隨機(jī)激勵(lì)的激勵(lì)幅值；e為白噪聲強(qiáng)度；ξ(t)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)白噪聲，這里用Monto Carlo方法來(lái)模擬隨機(jī)數(shù)，ξ(t)相當(dāng)于一個(gè)滿足正態(tài)分布的隨機(jī)變量，在某一時(shí)刻t(0)，ξ(t)的取值均為一個(gè)隨機(jī)數(shù)，用此方法即可得到隨機(jī)激勵(lì)。

將式(3)(4)和式(5)代入(1)中可得：

(6)

(7)

2 分岔與混沌分析

2.1 激勵(lì)幅值對(duì)系統(tǒng)分岔和混沌影響

選取某車型參數(shù)為[11]:m1=1 300 kg,m2=190 kg,ρ=900 kg/m3,q=1 463 000 N/m,P0=3 500 000 Pa,V0=0.002 5 m3,Cd=0.7,A1=0.009 503 m2,A2=0.003 142 m2, ΔA=A1-A2=0.006 361 m2,Az=AD=0.000 196 4 m2,g=9.8 m/s2,e=0.01,ω=12.56 rad/s。用4-5階Runge-Kutta法對(duì)式(6)進(jìn)行積分，積分1 000個(gè)周期，舍去前800周期保留后200個(gè)周期，得到油氣懸架車身部分的速度在隨機(jī)激勵(lì)路面下的分岔圖，如圖2所示。李雅普諾夫指數(shù)圖如圖3所示，并通過(guò)龐加萊截面、相圖、時(shí)間歷程圖、功率譜圖對(duì)于系統(tǒng)所處狀態(tài)進(jìn)行證明。

圖2 油氣懸架車身部分的速度在隨機(jī)激勵(lì)路面下的分岔圖

圖3 油氣懸架車身部分的速度在隨機(jī)激勵(lì)路面下的李雅普諾夫指數(shù)圖

當(dāng)B∈(0,0.14)時(shí)系統(tǒng)并沒(méi)有發(fā)生分岔情況，取B=0.14 m時(shí)，如圖4所示，Poincaré映射圖顯示為一條封閉的曲線，系統(tǒng)相圖顯示為規(guī)律封閉的曲線，時(shí)間歷程圖顯示規(guī)則為有序的譜線，功率譜圖為離散的單獨(dú)的譜線，系統(tǒng)做擬周期運(yùn)動(dòng)。當(dāng)B∈(0.141,0.151)時(shí)系統(tǒng)做周期2運(yùn)動(dòng)。當(dāng)B∈(0.152,0.192)時(shí)系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)。取B=0.155 m時(shí)，如圖5所示，Poincaré映射圖顯示為無(wú)規(guī)則密集的點(diǎn)，系統(tǒng)相圖顯示為雜亂無(wú)章的曲線，時(shí)間歷程圖顯示為無(wú)規(guī)則譜線，功率譜圖顯示為連續(xù)的譜線。當(dāng)B∈(0.193,0.268)時(shí)，系統(tǒng)做周期1與周期2相互交互的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)B∈(0.269,0.286)時(shí)，系統(tǒng)做周期運(yùn)動(dòng)并伴隨著短暫的混沌運(yùn)動(dòng)。當(dāng)B∈(0.287,0.32)時(shí)，系統(tǒng)做穩(wěn)定的周期2運(yùn)動(dòng)。當(dāng)B=0.14 m時(shí)，系統(tǒng)做周期7運(yùn)動(dòng)，取B=0.14 m，如圖6所示，Poincaré映射圖顯示為7個(gè)離散的點(diǎn)，系統(tǒng)相圖顯示為規(guī)則有序的曲線，時(shí)間歷程圖顯示為規(guī)則有序的譜線，功率譜圖顯示為離散的單獨(dú)的譜線。當(dāng)B=(0.326,0.348)系統(tǒng)做周期2運(yùn)動(dòng)并伴隨著短暫的混沌運(yùn)動(dòng)。當(dāng)B=0.14 m時(shí)系統(tǒng)做周期1運(yùn)動(dòng)。當(dāng)B=0.14 m時(shí)系統(tǒng)做周期3運(yùn)動(dòng)。當(dāng)B=0.14 m時(shí)系統(tǒng)又做周期1運(yùn)動(dòng)。上述結(jié)果說(shuō)明：當(dāng)汽車行駛在比較平坦的路面即激勵(lì)幅值比較小的路面時(shí)不會(huì)發(fā)生混沌，在特定的激勵(lì)幅值之間才會(huì)發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)。

圖4 當(dāng)B=0.14 m時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

圖5 當(dāng)B=0.155 m時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

圖6 當(dāng)B=0.322 m時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

2.2 激勵(lì)圓頻率對(duì)系統(tǒng)分岔和混沌的影響

其他參數(shù)不變，隨機(jī)激勵(lì)的激勵(lì)幅值取0.15 m,以激勵(lì)圓頻率ω為分岔參數(shù)，可得系統(tǒng)在ω∈(0,20)分岔圖，如圖7所示。當(dāng)ω∈(12.6,20)時(shí)，系統(tǒng)做周期1運(yùn)動(dòng)。當(dāng)ω∈(9.7,12.5)時(shí)，系統(tǒng)做周期2運(yùn)動(dòng)。當(dāng)ω=8.8 rad/s時(shí)，系統(tǒng)做周期3運(yùn)動(dòng)，如圖8所示，Poincaré映射圖顯示為3個(gè)點(diǎn)，系統(tǒng)相圖顯示為規(guī)律封閉的曲線，時(shí)間歷程圖顯示為規(guī)則有序的譜線，功率譜圖顯示為離散的單獨(dú)譜線。當(dāng)ω∈(0,9.6)時(shí)，系統(tǒng)又做周期1運(yùn)動(dòng)。并且在(2,3.4)和(7.6,8.2)之間系統(tǒng)又發(fā)生跳躍現(xiàn)象。

圖7 系統(tǒng)隨ω變化的分岔圖

圖8 當(dāng)ω=8.8 rad/s時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

2.3 阻尼孔等效面積對(duì)系統(tǒng)分岔和混沌的影響

其他參數(shù)不變，隨機(jī)激勵(lì)的激勵(lì)幅值取0.15 m，激勵(lì)頻率為ω=12.56 rad/s,以阻尼孔等效面積Az為分岔參數(shù)，可以得到Az∈(0.000 1,0.001)的分岔圖，如圖9所示,李雅普諾夫指數(shù)圖如圖10所示。

圖9 系統(tǒng)隨Az變化的分岔圖

圖10 系統(tǒng)隨Az變化的李雅普諾夫指數(shù)圖

當(dāng)Az∈(0.000 1,0.000 119)時(shí)，系統(tǒng)做周期1運(yùn)動(dòng)。當(dāng)Az∈(0.000 12,0.000 483)時(shí)，系統(tǒng)做周期2運(yùn)動(dòng)。當(dāng)Az∈(0.000 484,0.001)時(shí)，系統(tǒng)做周期8運(yùn)動(dòng)，并伴隨著短暫的混沌運(yùn)動(dòng)。當(dāng)Az=0.000 888 m2時(shí)，如圖11所示，Poincaré映射圖顯示為無(wú)規(guī)則密集的點(diǎn)，系統(tǒng)相圖顯示為雜亂無(wú)章的曲線，時(shí)間歷程圖顯示為無(wú)規(guī)則譜線，功率譜圖顯示為連續(xù)的譜線，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。由此可以看出，隨著阻尼孔等效面積的增大，系統(tǒng)的穩(wěn)定性將逐漸降低，甚至發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)，因此，在設(shè)計(jì)油氣彈簧阻尼孔等效面積時(shí)，應(yīng)盡量將阻尼孔面積選取得小一些。

圖11 當(dāng)Az=0.000 888 m2時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

2.4 氣室的初始?jí)毫?duì)系統(tǒng)分岔和混沌的影響

其他參數(shù)不變，以氣室的初始?jí)毫0為分岔參數(shù)，可以得到P0∈(240 400 0,306 600 0)時(shí)的分岔圖如圖12，李雅普諾夫指數(shù)圖如圖13。

圖12 系統(tǒng)隨P0變化的分岔圖

圖13 系統(tǒng)隨P0變化李雅普諾夫指數(shù)圖

當(dāng)P0∈(240 400 0,306 600 0)時(shí)，系統(tǒng)做周期1和周期2的混合運(yùn)動(dòng)。當(dāng)P0∈(2 404 000,3 066 000)時(shí)，系統(tǒng)做周期5運(yùn)動(dòng)。當(dāng)P0∈(2 404 000,3 066 000)時(shí)，系統(tǒng)做周期2運(yùn)動(dòng)，并伴隨著短暫的多周期運(yùn)動(dòng)。當(dāng)P0∈(3 067 000,3 562 000)時(shí)，系統(tǒng)做混沌運(yùn)動(dòng)，取P0=3 140 000 Pa時(shí)，如圖14所示，Poincaré映射圖顯示為無(wú)規(guī)則密集的點(diǎn)，系統(tǒng)相圖顯示為雜亂無(wú)章的曲線，時(shí)間歷程圖顯示為無(wú)規(guī)則譜線，功率譜圖顯示為連續(xù)的譜線，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。當(dāng)P0=3 140 000 Pa時(shí)做周期2運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P0=3 140 000 Pa時(shí)系統(tǒng)退化為周期1運(yùn)動(dòng)。

圖14 當(dāng)P0=3 140 000 Pa時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

2.5 氣室的初始體積對(duì)系統(tǒng)分岔和混沌的影響

其他參數(shù)不變，以氣室的初始體積V0為分岔參數(shù)，可以得到V0∈(0.001 5,0.003)時(shí)的分岔圖如圖15所示，李雅普諾夫指示圖如圖16所示。當(dāng)V0∈(0.001 5,0.001 76)時(shí)系統(tǒng)做周期1運(yùn)動(dòng)并伴隨短暫的多周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)V0∈(0.001 77,0.002 049)時(shí)系統(tǒng)做周期2運(yùn)動(dòng)并伴隨短暫的多周期運(yùn)動(dòng)。當(dāng)V0∈(0.002 050,0.002 144)時(shí)系統(tǒng)做周期8運(yùn)動(dòng)。

圖15 系統(tǒng)隨V0變化的分岔圖

圖16 系統(tǒng)隨V0變化的李雅普諾夫指數(shù)圖

當(dāng)V0∈(0.002 179,0.002 543)時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，取V0=0.002 225 m3時(shí)，如圖17所示，Poincaré映射圖顯示為無(wú)規(guī)則密集的點(diǎn)，系統(tǒng)相圖顯示為雜亂無(wú)章的曲線，時(shí)間歷程圖顯示為無(wú)規(guī)則譜線，功率譜圖顯示為連續(xù)的譜線，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。當(dāng)V0∈(0.002 544,0.002 586)時(shí)，系統(tǒng)做周期2運(yùn)動(dòng)。當(dāng)V0∈(0.002 587,0.003 000)時(shí)，系統(tǒng)退化為周期1運(yùn)動(dòng)。

圖17 當(dāng)V0=0.002 225 m3時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

3 結(jié)論

基于本文所建立的2自由度油氣懸架系統(tǒng)在隨機(jī)激勵(lì)作用下存在著混沌和分岔現(xiàn)象，系統(tǒng)在外界激勵(lì)幅值的影響下會(huì)發(fā)生擬周期運(yùn)動(dòng)、周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)的情況，在特定的激勵(lì)幅值區(qū)間內(nèi)會(huì)發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)；系統(tǒng)在激勵(lì)頻率的影響下不會(huì)發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)，但是在特定頻率下發(fā)生跳躍現(xiàn)象；隨著阻尼孔等效面積的增大，系統(tǒng)的穩(wěn)定性將逐漸降低，甚至?xí)l(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)；系統(tǒng)在氣室初始?jí)毫Φ挠绊懴聲?huì)發(fā)生周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)的情況，在特定的壓力區(qū)間處于混沌狀態(tài)；系統(tǒng)在氣室的初始體積的影響下會(huì)產(chǎn)生周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)，在特定的體積區(qū)間處于混沌狀態(tài)。通過(guò)合理地選取汽車結(jié)構(gòu)參數(shù)會(huì)有效地提高汽車的行駛平順性。本文主要研究了2自由度懸架的非線性動(dòng)力學(xué)特性，接下來(lái)將對(duì)4自由度懸架的非線性動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究。