孫朝暉

(寧波市北侖中學(xué) 浙江 寧波 315800)

圖1所示的含容電路中質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒垂直于無限長(zhǎng)直導(dǎo)軌放置且接觸良好；電容器為C，初時(shí)刻不帶電；忽略回路電感；導(dǎo)軌寬為L(zhǎng)．規(guī)定矢量向右為正，電容器下極板電勢(shì)為零，回路電流逆時(shí)針流向?yàn)檎?，磁感?yīng)強(qiáng)度B如圖所示．

圖1 導(dǎo)體棒在含容電路中切割磁感線示意圖

下文將在導(dǎo)體棒處于不同初始條件下，分別對(duì)回路各部分的狀態(tài)量、過程量等進(jìn)行定量計(jì)算并分析討論，從而分析兩種初始條件下回路電阻理想化處理的正確性．

1 導(dǎo)體棒以初速度v0向右切割磁感線

如圖2所示，導(dǎo)體棒從初速度v0減速至最終速度v1，后以無限趨近v1的速度做勻速運(yùn)動(dòng)，穩(wěn)態(tài)時(shí)導(dǎo)體棒動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)與電容器電勢(shì)差相等，回路電流為零．

圖2 導(dǎo)體棒在含容電路中以初速度v0切割磁感線示意圖

1.1 理想化處理：忽略回路電阻

因忽略電阻，故回路未產(chǎn)生焦耳熱．該系統(tǒng)導(dǎo)體棒在向右做減速運(yùn)動(dòng)過程中，動(dòng)能減小部分完全轉(zhuǎn)化為電容器的電場(chǎng)能．可得

E1=BLv1

(1)

Q1=CE1

(2)

(3)

(4)

由

ΔEk=WC

再結(jié)合式(1)解得最終速度為

(5)

注：如此分析存在問題，后文會(huì)進(jìn)行討論．

1.2 不忽略回路電阻R

回路電阻為R，則該系統(tǒng)導(dǎo)體棒動(dòng)能的減小部分轉(zhuǎn)化為電容器的電場(chǎng)能和回路電阻的焦耳熱．對(duì)導(dǎo)體棒用動(dòng)量定理，有

dp=Fdt=-BILdt=-BLdq

即為

mv1-mv0=-B2L2Cv1

(6)

從而解得

(7)

分別單獨(dú)計(jì)算導(dǎo)體棒從初態(tài)到穩(wěn)態(tài)的過程中動(dòng)能減小量ΔEk、電場(chǎng)能增量WC以及電阻的焦耳熱Q

(8)

(9)

考慮導(dǎo)體棒切割磁感線過程中的一般情況，由基爾霍夫電壓定律得

該式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得

由以上微分方程解得回路電流的表達(dá)式為

(10)

通過積分求得電阻在t0時(shí)間內(nèi)的焦耳熱為

(11)

導(dǎo)體棒達(dá)到最終速度的過程中，總焦耳熱為

(12)

1.3 討論

1.2中的式(8)、(9)、(12) 經(jīng)驗(yàn)證，ΔEk=WC+Q恒成立，符合能量守恒定律，回路存在焦耳熱但無額外電磁輻射能量損耗．

發(fā)現(xiàn)電阻最終焦耳熱Q(∞)表達(dá)式與電阻R無關(guān)，不能因?yàn)镽很小就將之忽略，否則能量就不守恒了．而式(5)與式(7)的差異就在于，前者對(duì)回路電阻理想化處理．在1.1中若忽略回路電阻，則動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)時(shí)刻等于電容器電壓，電容器時(shí)刻處于滿充狀態(tài)，于是回路也就沒有電流了，明顯與初狀態(tài)矛盾．故回路電阻不能理想化忽略，式(5)計(jì)算錯(cuò)誤，式(7)計(jì)算正確．

實(shí)際上，回路電阻越小，則回路RC常數(shù)越小，回路充電就越快，但由于充電電流較大，由式(11)可知距初態(tài)相同時(shí)間t0內(nèi)的焦耳熱會(huì)越大．由式(12)可知，從初態(tài)到穩(wěn)態(tài)的全過程中，由于達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需時(shí)間無窮大，在考慮總焦耳熱時(shí)不能因電阻很小而作理想化處理將之忽略．但在有限時(shí)間t0內(nèi)，由式(11)可知，R越小，Q越小，當(dāng)R→0時(shí)，焦耳熱Q(t0)→0，此時(shí)將回路電阻作理想化處理是正確的．

2 靜止導(dǎo)體棒受恒力F向右加速

如圖3所示，導(dǎo)體棒從靜止開始受恒力F與安培力的合力，向右做加速運(yùn)動(dòng)．

圖3 導(dǎo)體棒在含容電路中受恒力F由靜止開始切割磁感線示意圖

2.1 忽略回路電阻

(13)

F-BIL=ma

(14)

以上兩式解得導(dǎo)體棒加速度和回路電流為

(15)

(16)

由式(15)可知導(dǎo)體棒做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．恒力F在有限時(shí)間t0內(nèi)做功WF，該功轉(zhuǎn)化為電容電場(chǎng)能WC及導(dǎo)體棒動(dòng)能Ek．可計(jì)算得

(17)

(18)

(19)

經(jīng)驗(yàn)證，確實(shí)WF=WC+Ek符合能量守恒定律，因忽略電阻，故回路無焦耳熱．

2.2 考慮回路電阻R

動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)等于電容器與電阻上的壓降之和

該式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有

又

(20)

解得導(dǎo)體棒加速度及回路電流的表達(dá)式為

(21)

(22)

進(jìn)一步通過積分求得電阻的焦耳熱為

故對(duì)于電阻焦耳熱的計(jì)算

(23)

2.3 討論

在有限的時(shí)間t0內(nèi)，由式(23)可知當(dāng)R→0時(shí)，焦耳熱Q→0，此時(shí)將電阻理想化處理而忽略焦耳熱是正確的．但在無限長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)，電阻焦耳熱為無窮大．

3 結(jié)論

結(jié)合上文的分析，將電磁感應(yīng)中含容電路在兩種初始條件下運(yùn)動(dòng)情況及回路電阻理想化處理的正確性進(jìn)行匯總分析，如表1所示．

表1 兩種初始條件下導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)情況

在導(dǎo)體棒以初速度v0向右切割磁感線的初始條件下，電容器初態(tài)端電壓為零，而導(dǎo)體棒初態(tài)電動(dòng)勢(shì)非零，此時(shí)回路若無電阻，可得電容器端電壓等于導(dǎo)體棒端電壓，但這明顯是矛盾的．因此，研究電容器的充電電流等相關(guān)問題時(shí)，不能將回路電阻理想化處理而忽略．

在理想化處理中，忽略電阻的焦耳熱并不機(jī)械地等同于回路沒有電阻．上述兩種初始條件，在有限的時(shí)間內(nèi)，當(dāng)回路電阻R趨近于零的時(shí)候，回路的焦耳熱也確實(shí)趨近于零，此時(shí)在研究回路的能量時(shí)將焦耳熱忽略是正確的．但由于電阻的存在，電容器電壓并不等于導(dǎo)體棒的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，電容器還時(shí)刻處于充電狀態(tài)，回路電阻也因兩端電勢(shì)差非零而使得回路存在充電電流．雖然回路電阻很小，或回路充電電流很小，在無限長(zhǎng)的時(shí)間里，其焦耳熱的累加也并非為零．因此，在有限的時(shí)間里，若僅研究回路的焦耳熱，在回路電阻很小的時(shí)候可以將之忽略．但在研究電容器的充電電流等相關(guān)問題時(shí)，不能將回路電阻理想化處理而忽略；在無限長(zhǎng)時(shí)間里，在考慮回路焦耳熱和電容器充電電流問題時(shí)，往往不能將回路電阻忽略．