劉春科，徐工，石志敏，張英琦，王辰晨

(1.山東理工大學(xué) 建筑工程學(xué)院,山東 淄博 255000；2.中國(guó)科學(xué)院精密測(cè)量科學(xué)與技術(shù)創(chuàng)新研究院 大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,武漢 430077)

0 引言

近年來(lái)，基于低空飛行器和地面車(chē)輛載體的移動(dòng)測(cè)量系統(tǒng)獲得了快速發(fā)展，其對(duì)運(yùn)動(dòng)載體的姿態(tài)確定提出了更高的要求[1-2].利用全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(GNSS)天線陣列對(duì)載體進(jìn)行姿態(tài)解算是一種解決方案，可以獲得穩(wěn)定高精度的姿態(tài)信息[3-5].相較于慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(INS)，GNSS 多天線定姿具有不受重力影響、易于固化[6]、誤差隨著時(shí)間增長(zhǎng)不會(huì)進(jìn)行積累[7]、定姿精度可以評(píng)估等優(yōu)勢(shì)[8]，受到廣泛的關(guān)注.

GNSS 多天線定姿的方法大致可分為兩種，第一種方法先求解天線之間的基線向量，在求解得到基線向量基礎(chǔ)上進(jìn)行解算載體的姿態(tài)，這種解算載體姿態(tài)的方法較為直觀化，利用基線長(zhǎng)度輔助固定模糊度，對(duì)基線解算質(zhì)量有所提高；第二種方法將整周模糊度和載體姿態(tài)角作為求解參數(shù)一同解算，這種解算方法需要初始值，當(dāng)初始精度低時(shí)，誤差較大[9-10].第一種方法又可分為直接法和最小二乘法，直接法是直接利用基線向量在導(dǎo)航坐標(biāo)系中的坐標(biāo)解算載體姿態(tài)，直接法計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單快捷，兩條基線就能夠解算載體姿態(tài)，避免奇異性等問(wèn)題，但不能同時(shí)利用多條基線解算載體姿態(tài)，姿態(tài)角存在多值性問(wèn)題，需要進(jìn)行象限判定[11].最小二乘法需要有初始姿態(tài)，分別需要天線間基線向量在載體坐標(biāo)系下的坐標(biāo)和在導(dǎo)航坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，然后進(jìn)行迭代計(jì)算載體姿態(tài).理論上最小二乘法是最優(yōu)的，但是需要初始姿態(tài)，進(jìn)行矩陣求逆[12-14].

本文采用車(chē)載GNSS 天線陣列獲取的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，基于RTKLIB 的兩種定位模式與Waypoint 軟件動(dòng)態(tài)定位模式進(jìn)行位置信息解算的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)了三天線直接法、四天線最小二乘法定姿算法及軟件，并對(duì)姿態(tài)精度及影響因素進(jìn)行了對(duì)比分析.

1 GNSS 天線陣列定姿

1.1 定姿原理

載體的姿態(tài)是指載體相較于參考坐標(biāo)系的角位置.在實(shí)際導(dǎo)航應(yīng)用中，參考坐標(biāo)系取導(dǎo)航坐標(biāo)系，即載體姿態(tài)為載體坐標(biāo)系相對(duì)于導(dǎo)航坐標(biāo)系的角位置.導(dǎo)航坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到載體坐標(biāo)系可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)姿態(tài)角來(lái)得到：1)導(dǎo)航坐標(biāo)系繞Z軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)γ 角；2)繞X軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β 角；3)繞Y軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α 角.姿態(tài)用航向角(γ)、俯仰角(β、縱滾角)和橫滾角(α)三個(gè)姿態(tài)角來(lái)表示，三個(gè)姿態(tài)角也是一組歐拉角.載體姿態(tài)使用姿態(tài)角表示外，還可采用姿態(tài)矩陣表示，姿態(tài)矩陣的定義為導(dǎo)航坐標(biāo)系至載體坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣.姿態(tài)矩陣與姿態(tài)角之間的關(guān)系可以表示為[15]

并且有

1.2 直接法定姿及象限取值

在進(jìn)行三方向定姿時(shí)，最少需要三副天線，在僅有三副天線情況下，采用三天線直接法定姿.

如圖1 所示，載體坐標(biāo)系下三天線位置示意圖，天線1、2 間的距離為L(zhǎng)12，天線1、3 間的距離為L(zhǎng)13，天線1 的坐標(biāo)為(0,0,0)，天線2 的坐標(biāo)為(0,L12,0)，天線3 的坐標(biāo)為(L13sinφ,L13cosφ,0).

圖1 載體坐標(biāo)系

令S12,e、S13,e分別表示地固坐標(biāo)系下天線1、2 和天線1、3 的基線向量，有：

將其轉(zhuǎn)換到導(dǎo)航坐標(biāo)系下，有：

其中

式中，L和B為導(dǎo)航坐標(biāo)系的原點(diǎn)在地固坐標(biāo)系的坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的大地經(jīng)度和大地緯度.

由天線2、3 在載體坐標(biāo)系的坐標(biāo)可以得到兩基線向量在載體坐標(biāo)系的坐標(biāo)為：

天線1、2 間的基線向量在載體坐標(biāo)系和導(dǎo)航坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系為

將式(1)、式(8)代入到式(10)，得

由上式可得航向角為

俯仰角為

天線1、3 間的基線向量在載體坐標(biāo)系和導(dǎo)航坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系為

將式(1)、式(6)代入到式(14)，得

由上式可得橫滾角為

由航向角、俯仰角和橫滾角的表達(dá)式可以看出，三個(gè)姿態(tài)角都是反正切函數(shù)，反正切函數(shù)取值范圍為-90°～90°.航向角是繞Z軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，取值為0°～360°，俯仰角是繞X軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，取值為-90°～90°，橫滾角是繞Y軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，取值為-180°～180°.俯仰角不存在取值多值性問(wèn)題，航向角、橫滾角存在取值的多值性問(wèn)題.

由航向角的表達(dá)式及圖1 可知，表1 中航向角與天線1、2 間的基線向量在導(dǎo)航坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分量x12、y12有關(guān)，可以通過(guò)x12、y12的象限符號(hào)進(jìn)行判斷航向角的取值.

表1 航向角取值與坐標(biāo)分量的關(guān)系

由橫滾角的表達(dá)式及圖1 可知，表2 中橫滾角與天線1、3 間的基線向量在導(dǎo)航坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分量x13、z13有關(guān)，可以通過(guò)x13、z13的象限符號(hào)進(jìn)行判斷橫滾角的取值.

表2 橫滾角取值與坐標(biāo)分量的關(guān)系

由式(12)、(13)和(16)可知，三天線直接法僅利用天線間基線向量在導(dǎo)航坐標(biāo)系下的坐標(biāo)就可以計(jì)算出姿態(tài)角.這種方法只能解算三副天線，當(dāng)天線大于三副時(shí)，不能充分利用所有的天線信息.

1.3 最小二乘法定姿

當(dāng)天線數(shù)大于三副時(shí)，通常采用最小二乘法定姿，以充分利用多天線的觀測(cè)來(lái)提高精度[16].其原理是：姿態(tài)矩陣將三個(gè)姿態(tài)角作為三個(gè)獨(dú)立的參數(shù)，利用最小二乘法求解這三個(gè)未知參數(shù).天線i相對(duì)于天線1 的基線向量在載體坐標(biāo)系和導(dǎo)航坐標(biāo)系的投影之間的關(guān)系為：

式中：S1i,n、S1i,b為觀測(cè)值；α、β 和γ 為未知參數(shù)；t表示天線數(shù)；基于近似值 α0、β0和 γ0，對(duì)式(17)進(jìn)行線性化得：

式中，Qi為觀測(cè)值的協(xié)方差矩陣，其他符號(hào)表示為：

通過(guò)間接平差可得

三個(gè)姿態(tài)角的估值為

協(xié)方差矩陣為

平差得到 δ 后與閾值進(jìn)行比較，若大于閾值，將姿態(tài)角的估值作為近似值，再次進(jìn)行迭代計(jì)算，直到δ小于閾值.最小二乘法能夠?qū)⑻炀€的全部信息充分利用，但需要迭代計(jì)算.

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

2.1 車(chē)載GNSS 天線陣列實(shí)驗(yàn)

為了評(píng)估和驗(yàn)證GNSS 天線陣列定姿精度，進(jìn)行了車(chē)載實(shí)驗(yàn)，車(chē)載天線陣列坐標(biāo)位置示意如圖2(a)所示，實(shí)際車(chē)載實(shí)驗(yàn)裝置如圖2(b)所示.實(shí)驗(yàn)采用車(chē)載GNSS 四天線進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，接收機(jī)為天寶NET R9，采樣頻率為1 Hz，采集時(shí)間為1.25 h (2020-11-20 T 05:00:00—2020-11-20 T 06:15:00)，采集地點(diǎn)為武漢市蔡甸區(qū)，車(chē)輛行駛軌跡如圖3 所示.

圖2 四天線位置示意及車(chē)載實(shí)驗(yàn)裝置圖

圖3 車(chē)載實(shí)驗(yàn)行駛軌跡圖

2.2 數(shù)據(jù)處理

三天線陣列使用2、3、4 號(hào)天線利用直接法進(jìn)行姿態(tài)解算，三天線直接法定姿算法處理流程如圖4 所示，直接利用GNSS 三天線陣列數(shù)據(jù)解算導(dǎo)航坐標(biāo)系和載體坐標(biāo)系下兩條基線向量，求解載體的姿態(tài)信息.四天線陣列使用1、2、3、4 號(hào)天線利用最小二乘法進(jìn)行姿態(tài)解算，四天線最小二乘法定姿算法處理流程如圖5 所示，利用兩個(gè)坐標(biāo)系下三條基線向量及直接法求解的姿態(tài)角初值，以姿態(tài)角改正數(shù)作為參數(shù)，由導(dǎo)航坐標(biāo)系與載體坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系列誤差方程并線性化處理，最小二乘法求解姿態(tài)角改正數(shù)估值，判斷其值是否大于閾值，大于閾值需要進(jìn)行迭代計(jì)算，小于閾值則求解姿態(tài)角估值.在基于RTKLIB 軟件的兩種定位模式(Moving-base 定位模式與Kinematic 定位模式)與Waypoint 后處理軟件動(dòng)態(tài)定位模式，利用三種定位模式進(jìn)行初步位置信息解算，在利用自編的程序進(jìn)行最終的姿態(tài)角解算，對(duì)比三種模式下三天線與四天線定姿精度差異，并且正演分析基線長(zhǎng)度對(duì)定姿精度的影響.數(shù)據(jù)分別用RTKLIB 軟件Moving-base模式(模式1)、Kinematic 模式(模式2)和Waypoint 軟件Kinematic 模式(模式3)進(jìn)行動(dòng)態(tài)定位處理，作為后續(xù)定姿研究的基礎(chǔ).

圖5 最小二乘法定姿流程

2.3 三天線與四天線定姿精度比較分析

模式1 下三天線與四天線解算的姿態(tài)角如圖6～8所示，其中紅線表示三天線，藍(lán)線表示四天線，橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)表示姿態(tài)角.模式1 下三天線和四天線輸出姿態(tài)角變化趨勢(shì)一致，取前940 s 的靜態(tài)姿態(tài)角數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差統(tǒng)計(jì).由表3 可知，三天線下航向角、俯仰角和橫滾角的標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.091 7°、0.215 6°和0.296 6°，四天線下航向角、俯仰角和橫滾角的標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.066 0°、0.168 4°和0.267 8°.

圖6 模式1 下三天線和四天線定姿航向角對(duì)比

表3 模式1 下三天線和四天線姿態(tài)角誤差統(tǒng)計(jì) (°)

圖7 模式1 下三天線和四天線定姿俯仰角對(duì)比

圖8 模式1 下三天線和四天線定姿橫滾角對(duì)比

在模式2 下，當(dāng)流動(dòng)站相對(duì)于基準(zhǔn)站距離較遠(yuǎn)時(shí)，模糊度固定率較低，無(wú)法保證定姿精度，因此實(shí)驗(yàn)中僅選取前38 min 數(shù)據(jù).模式2 下，如圖9～11 為三天線和四天線輸出姿態(tài)角.由表4 可知，三天線下航向角、俯仰角和橫滾角的標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.091 7°、0.215 6°和0.296 3°，四天線下航向角、俯仰角和橫滾角的標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.066 1°、0.168 5°和0.267 7°.

表4 模式2 下，三天線和四天線姿態(tài)角誤差統(tǒng)計(jì)(°)

圖9 模式2 下三天線和四天線定姿航向角對(duì)比

圖10 模式2 下三天線和四天線定姿俯仰角對(duì)比

圖11 模式2 下三天線和四天線定姿橫滾角對(duì)比

如圖12～14 為模式3 下三天線和四天線輸出姿態(tài)角對(duì)比，誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表5 所示.三天線下航向角、俯仰角和橫滾角的標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.093 2°、0.236 2°和0.273 8°，四天線下航向角、俯仰角和橫滾角的標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.073 0°、0.178 2°和0.218 7°.

表5 模式3 下，三天線和四天線姿態(tài)角誤差統(tǒng)計(jì) (°)

圖12 模式3 下，三天線和四天線定姿航向角對(duì)比

圖13 模式3 下，三天線和四天線定姿俯仰角對(duì)比

圖14 模式3 下，三天線和四天線定姿橫滾角對(duì)比

在模式1、模式2 和模式3 的定位基礎(chǔ)上進(jìn)行姿態(tài)解算，三天線和四天線輸出姿態(tài)角變化趨勢(shì)一致，四天線相對(duì)于三天線在同一歷元下多一組觀測(cè)，在姿態(tài)解算具有更高的精度和可靠性.試驗(yàn)結(jié)果同樣證明，GNSS 四天線最小二乘法姿態(tài)解算精度要優(yōu)于三天線直接法，可靠性也高于三天線直接法.由式12、13、16 姿態(tài)角表達(dá)式可以看出，基線向量的精度影響姿態(tài)角精度，衛(wèi)星信號(hào)質(zhì)量、衛(wèi)星分布及天線布局都會(huì)影響到基線向量精度.

由姿態(tài)角的統(tǒng)計(jì)誤差可知，航向角誤差最小，俯仰角誤差較大，橫滾角誤差最大.航向角由基線向量的水平坐標(biāo)以及基線長(zhǎng)度的比值所確定，GNSS 解算基線向量精度的特點(diǎn)就是水平方向精度高于垂直方向精度，而俯仰角和橫滾角由基線向量的垂直坐標(biāo)與基線長(zhǎng)度的比值所確定，其分子的誤差量級(jí)是相當(dāng)?shù)模_定橫滾角的基線長(zhǎng)度要小于俯仰角的，所以俯仰角精度要高于橫滾角精度.

定姿精度除了與基線向量解算精度有關(guān)，還與基線長(zhǎng)度有關(guān).在靜止階段，單個(gè)天線定位精度約為0.6 cm，由此統(tǒng)計(jì)結(jié)果推算定位解算精度與基線長(zhǎng)度關(guān)系，模擬基線長(zhǎng)度從0.2～2 m 對(duì)應(yīng)的姿態(tài)精度.由圖15 可知，當(dāng)基線長(zhǎng)度小于0.8 m 時(shí)，姿態(tài)角誤差隨著基線的減小而快速增大.因此，在條件允許的情況下，應(yīng)盡量增加基線長(zhǎng)度，以提高姿態(tài)解算精度.

圖15 定姿精度與基線長(zhǎng)度關(guān)系

3 結(jié)束語(yǔ)

本文系統(tǒng)地研究了GNSS 天線陣列定姿理論，并進(jìn)行了車(chē)載實(shí)驗(yàn)，分析和驗(yàn)證了直接法和最小二乘法定姿精度.通過(guò)比較RTKLIB 軟件Moving-base、Kinematic和Waypoint 軟件Kinematic 三種定位模式的定姿結(jié)果，表明基于RTKLIB 軟件Moving-base 定位模式的四天線最小二乘法定姿精度最高，其航向角、俯仰角和橫滾角的精度分別可以達(dá)到0.066 0°、0.168 4°和0.267 8°.此外，由定位精度統(tǒng)計(jì)和理論模擬可知，定姿精度與基線長(zhǎng)度成反比，建議在實(shí)際應(yīng)用中盡可能采用較長(zhǎng)的基線.

致謝：感謝中國(guó)科學(xué)院精密測(cè)量科學(xué)與技術(shù)創(chuàng)新研究院高銘博士提供的車(chē)載動(dòng)態(tài)算例數(shù)據(jù).