朱 安 陳 力

(福州大學(xué)機械工程及自動化學(xué)院,福州 350108)

引言

隨著人類對太空探索的深入,近十幾年來各國向太空發(fā)送了大量的衛(wèi)星,其中難免出現(xiàn)攜帶燃料耗盡,或某一部件發(fā)生損壞而造成衛(wèi)星失效的情況.為降低太空探索成本,對失效衛(wèi)星進行燃料的加注或損壞部件的修復(fù),已成為太空發(fā)展的重要方向[1].使用空間機器人完成上述工作是一種行之有效的方法,受到了眾多學(xué)者的關(guān)注.戈新生等[2]對自由漂浮空間機器人的路徑規(guī)劃進行了研究;郭聞昊等[3]和Xu 等[4]對空間機器人捕獲操作進行了分析;范紀華等[5]研究了柔性空間機器人的建模問題;Zhu 等[6]和艾海平等[7]對空間機器人的柔順控制進行了研究.

相較于單臂空間機器人,雙臂空間機器人具有更大的負載,更高的靈活性,能執(zhí)行更復(fù)雜的任務(wù),是目前空間機器人領(lǐng)域研究的重點[8-11].雖然單、雙臂空間機器人在捕獲對接操作過程中都存在非完整動力學(xué)約束,末端執(zhí)行器與衛(wèi)星接觸碰撞包含動量、動量矩和能量的傳遞等問題,但雙臂空間機器人捕獲衛(wèi)星后形成的混合體系統(tǒng)需考慮閉環(huán)接觸幾何學(xué)、運動學(xué)約束與雙臂協(xié)調(diào)控制問題,因此對其研究相對困難.Jia 等[12]和Yan 等[13]對雙臂空間機器人的協(xié)調(diào)控制進行研究;朱安等[14]對捕獲過程的動力學(xué)演化進行分析;Zhang 等[15]采用時延估計對多臂空間機器人的控制問題進行研究;Liu 等[16]研究柔性雙臂空間機器人的碰撞動力學(xué)問題.

針對捕獲、主動對接過程中的碰撞問題,Uyama等[17]為避免空間機器人與自由漂浮衛(wèi)星劇烈的接觸、碰撞,提出一種基于恢復(fù)系數(shù)阻抗控制策略.Gangapersaud 等[18]對參數(shù)未知的非合作、翻滾目標的捕獲操作進行研究,并對末端執(zhí)行器的力/力矩進行分析.陳鋼等[19]針對碰撞問題,利用碰撞過程中的沖量原理建立碰撞動力學(xué)模型,且提出一種碰撞運動分析算法.Liu 等[20]利用赫茲接觸理論建立空間機器人與目標航天器之間的接觸力模型,分析捕獲接觸力對整個系統(tǒng)控制過程的影響.Wu 等[21]基于柔度接觸力和剛毛摩擦模型建立通用的摩擦接觸模型,可模擬復(fù)雜構(gòu)型接觸界面間多點接觸的間歇摩擦接觸情況.Moosavian 等[22]基于指定阻抗的概念,提出一種適用于多空間機械臂捕獲空間目標的多阻抗控制.綜合分析上述研究成果可知,大多數(shù)學(xué)者的關(guān)注點在接觸、碰撞模型的建立上,而忽略了對關(guān)節(jié)的保護.一般情況下,在機械臂關(guān)節(jié)處添加柔順機構(gòu)可在機械臂與外界環(huán)境發(fā)生碰撞時較好的保護關(guān)節(jié)不受沖擊破壞[23-25].因此,在空間機器人的關(guān)節(jié)處添加一種彈簧阻尼緩沖機構(gòu)(spring damping buffer device,SDBD),以防止機械臂末端執(zhí)行器與衛(wèi)星的接觸、碰撞及衛(wèi)星對接裝置與載體的接觸、碰撞產(chǎn)生的沖擊載荷對空間機器人關(guān)節(jié)造成沖擊破壞.

在實際操作中,為避免發(fā)生因激烈地碰撞造成機械臂、衛(wèi)星對接裝置及載體的損壞,需要對衛(wèi)星對接裝置前部位姿及輸出力進行非常精細的控制.一般的,末端位置控制精度應(yīng)優(yōu)于2 mm,姿態(tài)控制精度應(yīng)優(yōu)于 0.5o,輸出力控制精度應(yīng)優(yōu)于1～ 2 N,由此對主動對接操作的研究具有一定的難度.考慮到Hogan[26]提出的阻抗控制可通過對阻抗參數(shù)的調(diào)整,建立末端位姿和輸出力之間的動態(tài)關(guān)系.因此本文結(jié)合阻抗控制原理,對空間機器人主動對接的力/位姿控制進行研究.滑?？刂?sliding mode control,SMC)由于結(jié)構(gòu)簡單,魯棒性強而被廣泛應(yīng)用于機器人系統(tǒng)的控制中.然而傳統(tǒng)的滑?？刂剖諗克俣嚷?只能保持漸進收斂,且存在抖振問題[27].為提高收斂速度,近年來有限時間滑模和固定時間滑模受到較多的關(guān)注[28-31].雖然固定時間滑模的收斂速度一般快于有限時間滑模,但其收斂速度過于依賴滑模面的參數(shù),在保證收斂速度的同時往往會導(dǎo)致控制力矩偏大.考慮到空間機器人的輸出力矩有限,設(shè)計了一種非奇異快速終端滑?？刂?nonsingular fast terminal sliding mode control,NFTSMC),其在保證有限時間收斂與控制精度的同時,還綜合了超扭滑?？苟墩竦膬?yōu)點,且能有效避免奇異現(xiàn)象.

本文研究空間機器人捕獲衛(wèi)星主動對接操作.在機械臂關(guān)節(jié)處添加了SDBD 避免接觸、碰撞過程中關(guān)節(jié)受沖擊破壞.結(jié)合牛頓第三定律、動量守恒定理、捕獲點速度約束和閉鏈幾何約束,導(dǎo)出閉鏈混合體系統(tǒng)動力學(xué)模型.結(jié)合阻抗控制原理,建立二階線性阻抗模型,提出一種非奇異快速終端滑?？刂撇呗詫崿F(xiàn)對衛(wèi)星對接裝置的力/位姿控制.

1 SDBD 模型結(jié)構(gòu)

SDBD 的結(jié)構(gòu)如圖1 所示,其主要由彈簧、阻尼器、輸入圓盤和負載軸組成.彈簧主要用于傳動與沖擊能量的吸收,阻尼器則實時提供阻力來抑制柔性振動.輸入圓盤與電機相連、負載軸與機械臂相連,為了讓阻尼器實時同步提供阻尼力抑制柔性振動,將其嵌套在彈簧內(nèi)部實現(xiàn)同步運動.為更加真實的描述空間機器人系統(tǒng),將電機端、機械臂端的阻力等效為阻尼器提供.圖中ksi和Dti(i=1,2,···,6)分別為彈簧的剛度和阻尼器的阻尼系數(shù);Dmi和DLi(i=1,2,···,6)分別為電機和機械臂端等效阻尼系數(shù).在空間機器人末端執(zhí)行器與目標衛(wèi)星發(fā)生接觸、碰撞和對接裝置與載體發(fā)生接觸、碰撞時,關(guān)節(jié)電機將受到很大的沖擊力矩,該力矩會被彈簧和阻尼器快速緩沖、卸載,以實現(xiàn)對關(guān)節(jié)的保護.

圖1 SDBD 結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of the SDBD

2 動力學(xué)建模與碰撞力分析

2.1 動力學(xué)建模

雙臂空間機器人與目標衛(wèi)星系統(tǒng)如圖2 所示.

圖2 雙臂空間機器人與目標衛(wèi)星系統(tǒng)Fig.2 Dual-arm space robot and satellite systems

其中,O0,Oi(i=1,2,···,6)和Os分別為載體質(zhì)心、各關(guān)節(jié)鉸中心和衛(wèi)星質(zhì)心;PL和PR分別為機械臂左和右執(zhí)行器末端點;和分別為衛(wèi)星左和右把手末端點;B和B′分別為載體對接裝置與衛(wèi)星對接裝置上的點,XOY為系統(tǒng)隨軌道平動的慣性參考坐標系;x0O0y0和xsOsys分別為固定在載體質(zhì)心和被捕獲衛(wèi)星質(zhì)心上的坐標系;xiOiyi(i=1,2,···,6) 是固定在關(guān)節(jié)鉸中心的連桿坐標系.空間機器人及目標衛(wèi)星系統(tǒng)參數(shù)定義如表1 所示.

表1 空間機器人與目標衛(wèi)星系統(tǒng)符號定義Table 1 Symbol definition of space robot and satellite systems

參考文獻[6]可得碰撞前的空間機器人與目標衛(wèi)星分體系統(tǒng)力學(xué)方程為

空間機器人與目標衛(wèi)星發(fā)生碰撞時,各自的運動狀態(tài)會發(fā)生變化,式(1)和式(2)結(jié)合牛頓第三定律得

假設(shè)碰撞后空間機器人與目標衛(wèi)星鎖緊固連形成閉鏈混合體系統(tǒng),則在基座連體坐標系下,機器人左臂捕獲點與衛(wèi)星左把手被捕獲點速度滿足

捕獲后在慣性參考坐標系下,機器人左臂末端捕獲點與衛(wèi)星左把手被捕獲點的速度滿足

對式(8)求導(dǎo)可得

將式(5)、式(6)和式(8)代入式(3)可得

捕獲操作完成后,機械臂末端執(zhí)行器與被捕獲衛(wèi)星把手鎖緊,因此內(nèi)力項對閉鏈混合體系統(tǒng)運動無影響.由于閉鏈混合體系統(tǒng)不受外力作用,且Hh和DLh前兩列元素均為零,故由式(11)可解得完全能控形式的閉鏈混合體系統(tǒng)動力學(xué)模型

2.2 沖擊效應(yīng)計算

由于空間機器人捕獲衛(wèi)星操作的過程中未受到外力影響,因此整個系統(tǒng)滿足動量守恒,假設(shè)碰撞時間為 Δt,對式(1)和式(2)在碰撞時間內(nèi)進行積分得

式中,t0為碰撞時刻.由于碰撞時間 Δt很短,在這一時段可認為系統(tǒng)的廣義坐標未發(fā)生突變,僅有廣義速度和廣義加速度發(fā)生突變.為了保護關(guān)節(jié)電機,在碰撞階段電機處于關(guān)機狀態(tài),故式(13)可近似為

結(jié)合式(5)、式(8)和式(14)可解得沖擊效應(yīng)為

將式(15)代入式(14)可得碰撞沖擊力為

3 阻抗模型分析建立

空間機器人捕獲衛(wèi)星后與其固連形成混合體系統(tǒng),因此在主動對接過程中只需要研究衛(wèi)星對接裝置在基聯(lián)坐標系內(nèi)的軌跡運動情況.將衛(wèi)星對接裝置B′點相對于rB′在基聯(lián)坐標系x0O0y0上投影可得

式中,LB′為衛(wèi)星質(zhì)心Os到對接裝置前部B′的距離.

式(17) 對時間求導(dǎo)可得B′點在基聯(lián)坐標系x0O0y0下的相對運動學(xué)關(guān)系為

式中,X=[θ0,xB′,yB′,θB′]T,θB′=θ1+θ2+θ3,JB′ ∈R4×4為增廣的相對運動Jacobian 矩陣.

阻抗控制將阻抗關(guān)系模型與力和位姿容納到同一個框架,對力和位姿的動態(tài)關(guān)系進行調(diào)整,且可通過調(diào)整阻抗參數(shù)來保持對接裝置位姿與環(huán)境之間接觸力的理想動態(tài)關(guān)系.考慮到空間機械臂在主動對接過程中對末端輸出力和位姿均有控制要求,因此將阻抗控制應(yīng)用于主動對接操作.一般的,對接裝置前部阻抗關(guān)系的數(shù)學(xué)模型可表現(xiàn)為二階微分方程形式,環(huán)境模型可近似為二階非線性函數(shù)形式

式中,Xd和Xe分別為對接裝置前部的期望位姿和參考位姿;∈R4×4,∈R4×4和∈R4×4分別為機械臂慣量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣;Be∈R4×4和Ke∈R4×4分別為環(huán)境阻尼矩陣和剛度矩陣,∈R4×1和Fe∈R4×1分為對接裝置前部輸出力/力矩和接觸力/力矩.

4 控制器設(shè)計

由于主動對接過程中要控制衛(wèi)星對接裝置的位姿,因此需將關(guān)節(jié)空間的動力學(xué)方程轉(zhuǎn)換到慣性空間.通過式(18)可解得

結(jié)合式(12)與式(21)可得

由于空間機器人燃料的消耗,捕獲的衛(wèi)星質(zhì)量估計不準確等,混合體系統(tǒng)的參數(shù)一般難以精確獲得,為實現(xiàn)對接裝置前部位姿的精確控制,需將系統(tǒng)的不確定項進行分離.假設(shè)系統(tǒng)的不確定參數(shù)可表示為

通過式(22)和式(23)可得分離不確定參數(shù)后的系統(tǒng)動力學(xué)方程為

通過式(24)可解得

4.1 非奇異快速終端滑模面設(shè)計

定義衛(wèi)星對接裝置前部位姿誤差及其導(dǎo)數(shù)為

根據(jù)式(27)設(shè)計如下形式的非奇異快速終端滑模函數(shù)

因此誤差收斂的總時間為

4.2 控制方法設(shè)計

對式(28)求導(dǎo)且結(jié)合式(26)可得

假設(shè)1系統(tǒng)參數(shù)不確定項有界,且有|fi(x)|≤ki＞0(i=1,2,3,4).

為實現(xiàn)對接裝置前部位姿的穩(wěn)定控制,設(shè)計如下形式的控制力矩

式中,Λ1=diag(Λ11,Λ12,···,Λ14),Λ2=diag(Λ21,Λ22,···,Λ24).

將式(33)代入式(32)可得

定理1對式(22)的混合體系統(tǒng),若采用式(28)所設(shè)計的滑模函數(shù),式(33)所設(shè)計的控制力矩,則混合體系統(tǒng)可在有限時間內(nèi)收斂.

選取如下形式的Lyapunov 函數(shù)

對式(35)求導(dǎo)可得

由 ξ 的定義可知其導(dǎo)數(shù)為

將式(37)代入式(36)可得

結(jié)合式(20)和式(33)可將阻抗控制模型與非奇異快速終端滑?？刂葡嘟Y(jié)合,根據(jù)衛(wèi)星對接裝置前部輸出力/力矩與末端接觸力/力矩的誤差,在線修正對接裝置前部位姿,并實現(xiàn)對輸出力/力矩的跟蹤.當開啟阻抗控制時,結(jié)合阻抗控制原理,空間機器人系統(tǒng)動力學(xué)模型可寫為

5 仿真分析

5.1 SDBD 抗沖擊性能模擬

采用圖2 所示的空間機器人主動對接操作進行仿真分析.空間機器人系統(tǒng)參數(shù)為:m0=200 kg,mi=10 kg(i=1,2,4,5),mj=5 kg(j=3,6) ,Li=2 m(i=1,2,4,5),Lj=1 m(j=3,6),di=1 m(i=1,2,4,5),dj=0.5 m(j=3,6),I0=128 kg·m2,Ii=15 kg·m2(i=1,2,4,6),Ij=2 kg·m2(j=3,6),Imi=0.05 kg·m2(i=1,2,···,6),ksi=1000 N/rad(i=1,2,···,6),Dmi=28.65 N·s/rad(i=1,2,···,6),Dti=1146 N·s/rad (i=1,2,···,6),DL1=28.65 N·s/rad(i=1,2,···,6),ψ1=2.791 rad,ψ2=0.349 rad. 衛(wèi)星系統(tǒng)參數(shù)如下:ms=50 kg,ds=0.5 m,Is=8.5 kg·m2.

為了驗證SDBD 的抗沖擊性能,在慣性參考系XOY下,給定多組衛(wèi)星速度對關(guān)節(jié)所受沖擊力矩進行模擬,結(jié)果如表2 所示.其中第1 列為衛(wèi)星速度,第2 列為添加SDBD 時的最大沖擊力矩,第3 列為未添加SDBD 時的最大沖擊力矩,第4 列為SDBD降低沖擊力矩的百分比.

表2 不同衛(wèi)星速度下SDBD 抗沖擊性能對比Table 2 Comparison of impact resistance performance of SDBD at different satellite velocity

由表2 可以可知,在碰撞過程中,對于給定的不同衛(wèi)星速度,SDBD 均能顯著的降低關(guān)節(jié)所受沖擊力矩,且最大可以降低46.32%,因此可以認為其能在碰撞過程對關(guān)節(jié)起到較好的保護作用.

5.2 非旋轉(zhuǎn)衛(wèi)星對接操作仿真

為防止對接操作的接觸、碰撞給空間機器人帶來沖擊破壞,載體對接裝置一般內(nèi)置彈簧,當衛(wèi)星對接裝置前部輸出力大于彈簧彈力時才可進行對接操作.同時由于控制精度的問題,若直接以彈簧彈力作為末端接觸力帶入阻抗力學(xué)模型中,實際的末端輸出力可能小于彈簧彈力,導(dǎo)致對接操作無法進行.因此選取期望輸出力的值應(yīng)略大于彈簧彈力.

假設(shè)空間機器人初始靜止,其初始位置為q=[10,120,-60,-60,60,60,60]T.目標衛(wèi)星相對空間機器人的初始速度為=[-0.05,-0.05,0]T.為保護空間機器人,假設(shè)在碰撞1.5 s 后開啟控制,通過式(15) 解得此時混合體系統(tǒng)的位置、速度分別為:q=[9.05,120.13,-58.95,-61.42,62.46,55.22,62.57]T,=[-0.34,0.082,0.31,0.43,0.74,-0.68,0.76]T.控制器控制參數(shù)為: γ1=0.9 ,γ2=1.1 ,μ1=1.2 ,μ2=1.4 ,α=0.6,Λ1=diag(5,5,5,5) ,Λ2=diag(70,120,120,120),=diag(50,50,50,50),=diag(50,50,50,50),=diag(100,100,100,100),仿真時間為25 s.

為保證主動對接過程的精確控制,將該過程分為3 個階段.第1 階段(0～ 5 s): 鎮(zhèn)定控制階段,關(guān)閉力/姿阻抗控制,對捕獲衛(wèi)星后形成的混合體系統(tǒng)進行鎮(zhèn)定控制,將載體姿態(tài)角與機械臂關(guān)節(jié)角調(diào)整至期望軌跡

第2 階段(5～ 15 s): 準備階段,5～ 10 s 關(guān)閉阻抗控制,僅進行位姿控制,調(diào)整衛(wèi)星對接裝置前部的位姿,使其正對載體對接裝置;10～ 15 s 開啟力/位姿阻抗控制進行輸出力的預(yù)加載,且將衛(wèi)星對接裝置前部移動到載體對接裝置的正上方

第3 階段(15～ 25 s),對接階段,開啟力/位姿阻抗控制,衛(wèi)星對接裝置前部沿期望軌跡克服載體對接裝置內(nèi)彈簧彈力完成主動對接操作

為突出所提策略的優(yōu)點,將其與文獻[33]所提的固定時間控制(fixed time control,FTC)進行對比分析,仿真結(jié)果如圖3～ 圖9 所示.由圖3～圖6 可知,雖然FTC 的收斂速度很快,但其平穩(wěn)性不足,在加載控制力時載體與對接裝置的姿態(tài)角波動較大,不利于對接操作;由圖7 可知,FTC 與NFTSMC 的輸出力矩均能達到期望值,但NFTSMC 的抖振更小,輸出力矩較為穩(wěn)定;由圖8 和圖9 可知,為了保證快速的收斂速度,FTC 的輸出力矩遠大于NFTSMC 的輸出力矩,且變化頻率快,這對電機的性能提出了更高的要求.

圖3 空間機器人關(guān)節(jié)角軌跡Fig.3 Joint angle trajectory of the space robot

圖4 空間機器人載體姿態(tài)角軌跡Fig.4 Attitude angle trajectory of the space robot base

圖5 對接裝置姿態(tài)角軌跡Fig.5 Attitude angle trajectory of the docking device

圖6 對接裝置末端位置Fig.6 Position of the end of the docking device

圖7 對接裝置輸出力Fig.7 Output force of the docking device

圖8 空間機器人載體控制力矩Fig.8 Control torque of the space robot base

圖9 空間機器人關(guān)節(jié)控制力矩Fig.9 Control torque of the space robot joints

圖9 空間機器人關(guān)節(jié)控制力矩(續(xù))Fig.9 Control torque of the space robot joints (continued)

5.3 旋轉(zhuǎn)衛(wèi)星對接操作仿真

空間機器人初始位置和速度同第5.2 節(jié),目標衛(wèi)星相對空間機器人的初始速度為=[0.05,0.05,8.6]T.假設(shè)仍在碰撞1.5 s 后開啟控制,通過式(15)解得此時混合體系統(tǒng)的狀態(tài)為q=[10.73,117.82,-58.70,-58.47,57.81,63.93,57.62]T,=[0.54,-0.34,-0.45,-0.36,-0.32,-0.38,-0.43]T.

仿真結(jié)果如圖10～ 圖16 所示.通過圖10～ 圖14與圖3～ 圖6 的對比可知,捕獲旋轉(zhuǎn)衛(wèi)星時載體姿態(tài)角、對接裝置姿態(tài)角與其末端位置的控制精度有所降低,但在要求的范圍內(nèi).對比圖14 與圖7 可知,由于載體控制精度降低,這也導(dǎo)致了在第3 階段對接裝置前部瞬間輸出力比非旋轉(zhuǎn)衛(wèi)星大,但阻抗控制策略可讓其快速的恢復(fù)到期望值.

圖10 空間機器人關(guān)節(jié)角軌跡Fig.10 Joint angle trajectory of the space robot

圖11 空間機器人載體姿態(tài)角軌跡Fig.11 Attitude angle trajectory of the space robot base

圖12 對接裝置姿態(tài)角軌跡Fig.12 Attitude angle trajectory of the docking device

圖13 對接裝置末端位置Fig.13 Position of the end of the docking device

圖14 對接裝置輸出力Fig.14 Output force of the docking device

圖15 空間機器人載體控制力矩Fig.15 Control torque of the space robot base

圖16 空間機器人關(guān)節(jié)控制力矩Fig.16 Control torque of the space robot joints

圖16 空間機器人關(guān)節(jié)控制力矩(續(xù))Fig.16 Control torque of the space robot joints (continued)

6 結(jié)論

本文研究了雙臂空間機器人捕獲對接的阻抗控制問題.在機械臂關(guān)節(jié)處添加了SDBD 避免接觸、碰撞過程中關(guān)節(jié)受沖擊破壞;建立閉鏈混合體系統(tǒng)動力學(xué)模型與二階線性阻抗模型;提出一種非奇異快速終端滑?？刂撇呗詫崿F(xiàn)對接裝置前部的力/位姿控制.通過分析可以得出以下結(jié)論.

(1) 在關(guān)節(jié)電機與機械臂之間添加SDBD 可以實現(xiàn)沖擊載荷的快速卸載,且不管是捕獲僅有線速度、僅有角速度、既有線速度又有角速度的衛(wèi)星均有緩沖效果.

(2) 結(jié)合阻抗控制,衛(wèi)星對接裝置前部可以在基聯(lián)坐標系內(nèi)有效跟蹤期望位姿并輸出穩(wěn)定力,實現(xiàn)空間機器人的主動對接操作.

(3) 設(shè)計的非奇異快速終端滑模控制策略具有非奇異、收斂速度快、控制精度高和防抖振等優(yōu)點.

數(shù)據(jù)可用性聲明

支撐本研究的科學(xué)數(shù)據(jù)已在中國科學(xué)院科學(xué)數(shù)據(jù)銀行ScienceDB 平臺公開發(fā)布,訪問地址為http://doi.org/10.57760/sciencedb.j00140.00008或http://cstr.cn/31253.11.sciencedb.j00140.00008.