王海瑞 申薛靖 王宙恒 賈 璐 李傳檑 朱龍基 趙丹陽

* (清華大學(xué)航天航空學(xué)院,北京 100084)

? (西安交通大學(xué)機械結(jié)構(gòu)強度與振動國家重點實驗室,西安 710049)

** (大連理工大學(xué)機械工程學(xué)院,遼寧大連 116024)

引言

隨著可穿戴設(shè)備自感知傳感、飛機自適應(yīng)智能蒙皮、軍事裝甲多元防護等前沿科技的迅速發(fā)展,傳統(tǒng)材料的多功能化及變形調(diào)控的難度越來越大,通過巧妙的結(jié)構(gòu)設(shè)計發(fā)展能夠突破傳統(tǒng)材料性能瓶頸的超材料,已成為新材料研發(fā)的重要方向[1-3].折紙超材料作為一種革命性新材料,其在可延展柔性電子[4]、血管支架[5]、高靈敏度傳感器[6]、可重構(gòu)機器人[7-8]及輕量化重大裝備[9-10]等方面具有巨大應(yīng)用前景,因而備受國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注,這得益于其內(nèi)部折紙胞元的豐富設(shè)計和大折展比.同時這類材料還擁有變形可重構(gòu)、功能可編程、尺寸與組分材料獨立等優(yōu)點[11-14],這使得折紙超材料的力學(xué)性能不僅呈現(xiàn)出優(yōu)異的可調(diào)性能,而且具有廣闊的調(diào)控裕度.

折紙超材料是通過自身內(nèi)部微結(jié)構(gòu)連續(xù)變形來調(diào)控整體宏觀大變形,使得力學(xué)性能發(fā)生演化,例如可調(diào)的泊松比、可轉(zhuǎn)變的穩(wěn)態(tài)和多剛度、可變的模量等[15-17].其中最重要也是最獨特的力學(xué)性能當屬折紙構(gòu)型的多穩(wěn)態(tài)特性.多穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)在其運動過程中有多個力學(xué)平衡位置,可通過外界能量的輸入使結(jié)構(gòu)在不同穩(wěn)態(tài)構(gòu)型之間躍遷.目前圍繞折紙超材料的性能分析研究已經(jīng)取得了一定進展.Yasuda等[18-19]發(fā)現(xiàn)了剛性可動的Tach-Miura 折紙結(jié)構(gòu)在軸向伸縮變形過程中的多穩(wěn)態(tài)特性.Hanna 等[20-21]采用能量原理研究了Waterbomb Origami 構(gòu)型,發(fā)現(xiàn)該構(gòu)型具有雙穩(wěn)態(tài)特性.Silverberg 等[22-23]通過彈性面假設(shè)研究了Miura-ori 折紙超材料,發(fā)現(xiàn)其存在兩種穩(wěn)定構(gòu)型其剛度具有再編程性.Cai 等[24-25]分析了Kresling 管軸向伸縮過程中非線性載荷位移曲線,發(fā)現(xiàn)典型雙穩(wěn)態(tài)特征與初始幾何參數(shù)條件有關(guān).Fang等[26-29]研究了Miura 堆疊體動力特性,發(fā)展了單元的剛度異步自鎖,實現(xiàn)了分段多剛度調(diào)控.Song 等[30]研究了堆疊的Miura 折紙超材料的漸進能量吸收性能.以上研究圍繞Miura 類相對簡單的折紙構(gòu)型及其堆疊體的性能分析取得了一定進展.然而,Miura折紙結(jié)構(gòu)以外具有復(fù)雜構(gòu)型的折紙超材料的構(gòu)筑較少,穩(wěn)態(tài)等性能研究相對較弱,從而在一定程度上制約了新型超材料的性能調(diào)控設(shè)計.最近,Wang 等[31]構(gòu)筑了一種具有三維負泊松比的單層折紙超材料,通過結(jié)構(gòu)參數(shù)調(diào)控可以使得該結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)雙重負泊松比.然而,對該折紙超材料性能的深入研究尚且缺乏,難以指導(dǎo)該超材料結(jié)構(gòu)設(shè)計及其性能調(diào)控.

本文針對新型折紙超材料力學(xué)特性不明確的問題,采用折痕等效扭轉(zhuǎn)彈簧分析法和能量原理等方法,推導(dǎo)折紙超材料在折展變形過程中的外載荷與結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系,分析在復(fù)雜內(nèi)部構(gòu)型及折展特征協(xié)同作用下的外載荷變化規(guī)律,以明晰折紙超材料的穩(wěn)態(tài)特性與折展變形之間關(guān)系,為超材料的構(gòu)型參數(shù)優(yōu)化設(shè)計和折展變形中的穩(wěn)態(tài)性能調(diào)控提供理論依據(jù).

1 折紙超材料構(gòu)型與力學(xué)模型

圖1 所示的折紙超材料屬于單自由度剛性折紙構(gòu)型,是由多個面體通過公共折痕連接組成.從三維模型可以看出,該構(gòu)型存在內(nèi)凹幾何特征,使其呈現(xiàn)三維(面內(nèi)和離面方向)負泊松比特性.其中圖1(a)所示的折痕圖展示了包括間距尺寸比(r)、邊長比(p,q)和內(nèi)角(α)以及與初始折展狀態(tài)相關(guān)的初始折展角(θ0)等幾何參數(shù).如圖1(b)所示,在準靜態(tài)折展過程中,假定折紙構(gòu)型的折痕為扭力彈簧,其單位長度剛度為k.因此,外載荷在其作用方向上所做的外功能夠全部轉(zhuǎn)化為超材料內(nèi)部折痕的彈性勢能.

圖1 折紙超材料單胞的折痕圖及三維構(gòu)型Fig.1 Crease pattern and 3D configuration of origami metamaterials

折紙構(gòu)型的初始高度對應(yīng)于其初始折展角度 θ0.外載荷作用下的位移為s.此時,折紙超材料在外載荷Fz作用下產(chǎn)生的外功為

同時,折紙超材料在準靜態(tài)折展過程中所有折痕存儲的勢能為

折紙超材料在折展變形過程中的總能量為U=E-W.由于超材料變形過程中始終處于平衡狀態(tài),以折展角 θ 為自變量,根據(jù)最小勢能原理=0 .同時結(jié)合文獻[31]中折紙超材料的二面角和旋轉(zhuǎn)角與折展角的關(guān)系,可以求得折紙超材料單胞在折展過程中的外載荷為

從外載荷公式可以看出,折紙超材料的外載荷為結(jié)構(gòu)幾何形狀與初始折展狀態(tài)的函數(shù).為揭示折紙超材料在折展過程中的穩(wěn)態(tài)行為,有必要進一步探索上述結(jié)構(gòu)參數(shù)對折展外載荷的影響規(guī)律.

2 參數(shù)影響規(guī)律分析

本文選定尺寸比a=1,p=5 為折紙超材料長度基準,通過分析折展過程中外載荷的變化規(guī)律,研究超材料的穩(wěn)態(tài)特性.圖中色差帶分別表示外載荷的正負和大小.外載荷的正負邊界是初始折展角 θ0.當折展角 θ從初始 θ0增加到90°時,超材料為展開變形,此時為拉伸外載荷,定義為負值.當折展角 θ從 θ0減小到0°時,超材料為折疊變形,此時為壓縮外載荷,定義為正值.同時外載荷的增減過程分別對應(yīng)了正剛度和負剛度.

2.1 邊長比對折紙超材料外載荷的影響

圖2(a) 顯示折疊壓縮外載荷與折展角θ負相關(guān).圖2(b) 顯示壓縮外載荷先增大到最大值(黑色虛線),然后減小到最小值(紅色點劃線),最后略有增加,即呈現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)特性.圖2(c)顯示壓縮外載荷首先增加到最大值(黑色虛線),然后逐漸減小,表現(xiàn)出單穩(wěn)態(tài)特性.

從圖2 中可以看出,為避免極限折疊時折紙結(jié)構(gòu)的自干擾,橫坐標邊長比q的范圍取決于結(jié)構(gòu)的邊長比p和內(nèi)角α.此外當折展角 θ 固定時,折紙超材料的折展外載荷與邊長比參數(shù)q呈正相關(guān)性.從圖2(a)～圖2(c)的對比可以看出,內(nèi)角α 的增加促使雙穩(wěn)態(tài)的出現(xiàn).間距尺寸比r的增加使得雙穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閱畏€(wěn)態(tài).這表明穩(wěn)態(tài)間的轉(zhuǎn)變與內(nèi)角α 和間距尺寸比r有關(guān).

圖2 折紙超材料在折展過程中外載荷 Fz/k與邊長比q之間的關(guān)系Fig.2 Relationships between external load Fz/kand edge ratio qduring the folding of origami metamaterials

2.2 內(nèi)角對折紙超材料外載荷的影響

圖3(a)顯示折疊壓縮載荷與折展角θ負相關(guān),與內(nèi)角α也是負相關(guān);展開拉伸外載荷與內(nèi)角α負相關(guān).圖3(b)顯示壓縮載荷表現(xiàn)出多種情況,內(nèi)角α在0°～ 45°范圍內(nèi),折疊壓縮載荷單調(diào)增加;內(nèi)角α在45°～ 73.2°范圍內(nèi),折疊壓縮載荷先快速增加,然后減少,最后緩慢增加,即壓縮載荷呈現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài).圖3(c)顯示折疊壓縮載荷在內(nèi)角α為0°～ 24°范圍內(nèi)表現(xiàn)為單調(diào)性,在內(nèi)角α為24°～ 32°范圍內(nèi)表現(xiàn)為雙穩(wěn)態(tài),在內(nèi)角α為32°～ 73.2°范圍內(nèi)表現(xiàn)為單穩(wěn)態(tài).以上表明,折紙構(gòu)型的外載荷穩(wěn)態(tài)特性與內(nèi)角α密切相關(guān).

圖3 折紙超材料在折展過程中外載荷 Fz/k與折展角 α 之間的關(guān)系Fig.3 Relationships between external load Fz/kand inner angleα during the folding of origami metamaterials

圖3 折紙超材料在折展過程中外載荷 Fz/k與折展角 α 之間的關(guān)系(續(xù))Fig.3 Relationships between external load Fz/kand inner angleα during the folding of origami metamaterials (continued)

從圖3 中可以看出,展開拉伸外載荷與折展角θ呈負相關(guān);為避免極限折疊時折紙結(jié)構(gòu)的自干擾,橫坐標內(nèi)角α的取值范圍決定了邊長比參數(shù)q的取值.從圖2(a)～圖2(c)之間的比較可以看出,隨著初始折展角度 θ0的增加,壓縮外載荷逐漸表現(xiàn)出穩(wěn)態(tài)特性;而隨著間距尺寸比r的增大,外載荷表現(xiàn)出由雙穩(wěn)態(tài)向單穩(wěn)態(tài)的轉(zhuǎn)變,且穩(wěn)態(tài)范圍增大.這表明,初始折展角 θ0和間距尺寸比r對壓縮外載荷穩(wěn)態(tài)的影響非常顯著.

2.3 間距尺寸比對折紙超材料外載荷的影響

圖4(a)顯示隨著間距尺寸比r或折展角 θ 的變化,壓縮外載荷始終呈現(xiàn)單調(diào)性,即無穩(wěn)態(tài).圖4(b)顯示壓縮外載荷在間距尺寸比r為0～ 6.3 范圍內(nèi)單調(diào)增加,即無穩(wěn)態(tài).在間距尺寸比r為6.3～ 7.2 和12.9～ 15 的范圍內(nèi),壓縮外載荷表現(xiàn)出單穩(wěn)態(tài)特性.在間距尺寸比r為7.2～ 12.9 的范圍內(nèi),壓縮外載荷表現(xiàn)出雙穩(wěn)態(tài)特性.圖4(c)顯示壓縮外載荷表現(xiàn)出單穩(wěn)態(tài)和雙穩(wěn)態(tài)等兩種情況,這取決于間距尺寸比r的取值.

從圖4 可以看出,當折展角 θ 固定時,隨著間距尺寸比r的增加,外載荷逐漸增大;橫坐標間距尺寸比r的取值范圍與其他幾何參數(shù)無關(guān),呈現(xiàn)出獨立性.從圖4(a)和圖4(b)的比較可以看出,隨著初始折展角度 θ0的增加,壓縮外載荷表現(xiàn)出穩(wěn)態(tài)特性.從圖4(b)和圖4(c)的比較可以看出,隨著內(nèi)角α 的增大,壓縮外載荷的穩(wěn)態(tài)范圍逐漸增大.這表明內(nèi)角α 和初始折展角 θ0對折紙構(gòu)型的穩(wěn)態(tài)形式影響較大.

圖4 折紙超材料在折展過程中外載荷 Fz/k與間距尺寸比r之間的關(guān)系Fig.4 Relationships between external load Fz/kand spacing ratio rduring the folding of origami metamaterials

2.4 外載荷變化規(guī)律

從圖5 中可以看出,構(gòu)型參數(shù)為p=50,q=18.75,r=5,a=12.5,α=40o,θ0=60o的折紙超材料外載荷在折展過程中單調(diào)遞增,即不存在穩(wěn)態(tài).構(gòu)型參數(shù)為p=50,q=15,r=50,a=12.5,α=55o,θ0=70o的折紙超材料外載荷在折展角 θ 為0°～ 51.7°的范圍內(nèi)遞減,表現(xiàn)為單穩(wěn)態(tài)特性,此時為負剛度材料,這在精密儀器的隔振等方面具有潛在應(yīng)用.構(gòu)型參數(shù)為p=50,q=25,r=5,a=12.5,α=75o,θ0=80o的折紙超材料外載荷在折疊過程中先增加(折展角 θ 從80°到69.75°)后減小(折展角 θ 從69.75° 到49.5°),最后又增加(折展角 θ 從49.5° 到0°),表現(xiàn)為雙穩(wěn)態(tài)特性,這在沖擊吸能等方面具有潛在應(yīng)用.

圖5 3 種折紙超材料在折展過程中外載荷的變化Fig.5 Three kinds of variations of external loads during folding oforigami metamaterials

綜上,所有折紙超材料的外載荷在展開過程中都呈現(xiàn)單調(diào)性.不同折紙超材料的外載荷在折疊過程中表現(xiàn)出不同的變化趨勢,從而呈現(xiàn)出單調(diào)性、單穩(wěn)態(tài)和雙穩(wěn)態(tài)等不同狀態(tài).外載荷的穩(wěn)態(tài)特性則由邊長比q、內(nèi)角α、折展角 θ0和間距尺寸比r共同調(diào)控.

3 結(jié)論

本文理論研究了新型折紙超材料的面內(nèi)單向準靜態(tài)折展過程的力學(xué)性能,建立了折紙構(gòu)型折展變形過程的力學(xué)模型,獲得了折展外載荷與構(gòu)型幾何參數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系,得到以下結(jié)論.

(1) 該折紙超材料的外載荷在展開過程中呈現(xiàn)單調(diào)性,展開外載荷與折展角 θ 負相關(guān).

(2) 外載荷在折疊過程中可以呈現(xiàn)單調(diào)性、單穩(wěn)態(tài)和雙穩(wěn)態(tài),這些特性的調(diào)控密切依賴于邊長比q、內(nèi)角α、折展角 θ 和間距尺寸比r等構(gòu)型參數(shù).

(3) 揭示了折紙超材料穩(wěn)態(tài)特性的轉(zhuǎn)變機理.初始折展角 θ0促使壓縮外載荷表現(xiàn)出穩(wěn)態(tài)特性;內(nèi)角α的增加促使雙穩(wěn)態(tài)的出現(xiàn),間距尺寸比r的增加使得雙穩(wěn)態(tài)向單穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變,且穩(wěn)態(tài)范圍增大.

研究結(jié)果為新型折紙超材料穩(wěn)態(tài)性能的調(diào)控和構(gòu)型設(shè)計提供了可借鑒的思路.有助于推動折紙超材料在大延展皮膚電子、氣動可變行飛行器和高強度軍事裝甲防護等方面的工程應(yīng)用.