王芳隆 沈一舟 徐艷龍 周生喜 楊智春

(西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院,西安 710072)

引言

在力學(xué)領(lǐng)域,結(jié)構(gòu)中的彈性波是一個(gè)非常重要的研究對象,相關(guān)研究成果可以促進(jìn)結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測、振動(dòng)控制以及能量俘獲等領(lǐng)域的發(fā)展[1].近些年來,可以實(shí)現(xiàn)波傳播超常操控的人工結(jié)構(gòu),如超材料(metamaterials)[2-4]、聲子晶體(phononic crystals)[5-6]和聲學(xué)黑洞(acoustic black holes)[7-10]等,得到了廣大研究者的關(guān)注.此外,由Tsakmakidis等[11]于2007 年在電磁波領(lǐng)域首次提出的彩虹捕獲(rainbow trapping)結(jié)構(gòu)也推廣到了彈性波領(lǐng)域.彈性波彩虹捕獲結(jié)構(gòu)是一種梯度結(jié)構(gòu),也有學(xué)者將其稱為啁啾聲子晶體(chirped phononic crystals)[12-13],其元胞的參數(shù)沿著波傳播方向梯度變化.不同頻率的彈性波在此種結(jié)構(gòu)中傳播時(shí)會在相應(yīng)的不同位置停止向前傳播,這是彈性波彩虹捕獲效應(yīng)的空間分頻現(xiàn)象.在彈性波停止向前傳播的區(qū)域,波場能量明顯高于其他區(qū)域,這是彈性波彩虹捕獲效應(yīng)的波場能量增強(qiáng)現(xiàn)象.

2015 年,Xu 等[14-15]先通過有限元仿真研究了瑞利波的彩虹捕獲效應(yīng),又通過傳遞矩陣法理論研究了水平剪切波(SH 波)的彩虹捕獲效應(yīng).這是彈性波彩虹捕獲效應(yīng)最早的研究成果.同一年,Zhao 等[16]研究了結(jié)構(gòu)梁中蘭姆波的彩虹捕獲效應(yīng).2017 年,Tian 等[12]通過有限元仿真和實(shí)驗(yàn)研究了具有梯度槽的板中的蘭姆波彩虹捕獲效應(yīng).Li 等[17]通過電磁波和聲波領(lǐng)域中常用的高階波導(dǎo)模式理論(highorder waveguide modal theory)研究了SH 波的彩虹捕獲效應(yīng).

從2020 年開始,部分學(xué)者將能量俘獲與彈性波彩虹捕獲效應(yīng)結(jié)合起來,以期探索出彈性波能量俘獲的新方法[18-23].英國帝國理工學(xué)院的Craster 課題組[18-22,24-28]自2016 年以來在彈性波彩虹捕獲效應(yīng)領(lǐng)域開展了系統(tǒng)的研究工作,在利用彩虹捕獲效應(yīng)進(jìn)行能量俘獲方面取得了一定的成果[18-22].2020 年,Ponti 等[18-19]通過在基體上添加高度梯度變化的諧振桿構(gòu)建了一個(gè)用于能量俘獲的彩虹捕獲結(jié)構(gòu).他們將十字形的壓電層合梁放置在諧振桿的頂端,通過諧振桿將基體中的彈性波轉(zhuǎn)化為壓電層合梁的振動(dòng),從而實(shí)現(xiàn)對薄梁中的A0 蘭姆波和半無限體中的表面波的能量俘獲.通過數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn),他們證明了此結(jié)構(gòu)相較于沒有梯度諧振桿的結(jié)構(gòu)具有更好的能量俘獲效果,這是彩虹捕獲結(jié)構(gòu)在能量俘獲中應(yīng)用的首次成功嘗試.Chaplain 等[20]通過非對稱的梯度元胞提出了彩虹反射的概念,解釋了其與彩虹捕獲的區(qū)別,并將它們應(yīng)用在壓電能量俘獲研究中.結(jié)果表明,彩虹捕獲結(jié)構(gòu)相對于彩虹反射結(jié)構(gòu)可以俘獲更多的彈性波能量.同一年,Chaplain 等[21]將梯度結(jié)構(gòu)與拓?fù)浣^緣體領(lǐng)域的SSH (Su-Schrieffer-Heeger)模型結(jié)合,研究了其彩虹捕獲效應(yīng),并將其應(yīng)用于壓電能量俘獲研究.2021 年,De Ponti[22]發(fā)表的專著Graded Elastic Metamaterials for Energy Harvesting,系統(tǒng)地總結(jié)了近些年波操控結(jié)構(gòu)在能量俘獲領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀,并著重介紹了2020 年以來利用彩虹捕獲結(jié)構(gòu)進(jìn)行能量俘獲的研究工作.

作為彈性波操控領(lǐng)域一個(gè)正在興起的研究方向,國內(nèi)外關(guān)于彈性波彩虹捕獲效應(yīng)的研究才剛剛起步.一方面,彈性波彩虹捕獲效應(yīng)的產(chǎn)生機(jī)理還有待進(jìn)一步揭示.另一方面,彩虹捕獲結(jié)構(gòu)的能量俘獲效果隨入射波頻率的變化規(guī)律還沒有深入研究.本工作通過所設(shè)計(jì)的梯度結(jié)構(gòu)梁,研究了彎曲波彩虹捕獲效應(yīng)及其在壓電能量俘獲中的應(yīng)用.在第1 節(jié)中,通過傳遞矩陣法獲得了梯度結(jié)構(gòu)梁元胞能帶結(jié)構(gòu)解析解,并利用解析解從波數(shù)和群速度變化的角度揭示了彎曲波彩虹捕獲效應(yīng)的產(chǎn)生機(jī)理;第2 節(jié)通過有限元仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了彎曲波彩虹捕獲效應(yīng)的空間分頻現(xiàn)象和波場能量增強(qiáng)現(xiàn)象;第3 節(jié)通過有限元多物理場耦合仿真和實(shí)驗(yàn),研究了粘貼PVDF壓電薄膜的梯度結(jié)構(gòu)梁相對于均勻梁的彎曲波能量俘獲效果及其隨入射波頻率的變化規(guī)律;第4 節(jié)對全文進(jìn)行了總結(jié).

1 梯度結(jié)構(gòu)梁元胞能帶結(jié)構(gòu)分析

1.1 梯度結(jié)構(gòu)梁

本文設(shè)計(jì)的梯度結(jié)構(gòu)梁,由1 個(gè)基梁和16 個(gè)在基梁上垂直布置的立柱組成,如圖1(a)所示.立柱的高度從左到右依次遞增,第1 個(gè)立柱的高度為H1=6.0 mm,第n個(gè)立柱的高度為Hn=H1+(n-1)h,增量h為0.4 mm.基梁的厚度T和立柱的厚度b都是2 mm;基梁和立柱的寬度都是20 mm;梯度結(jié)構(gòu)梁的晶格常數(shù)D是12 mm.材料選用光敏樹脂,其力學(xué)性能參數(shù)根據(jù)Shen 等[29]提出的方法測得: 彈性模量Y為2.067 8 GPa,密度ρ為1110 kg/m3.

圖1 梯度結(jié)構(gòu)梁及其元胞Fig.1 Beam with graded pillars and its unit cell

1.2 元胞能帶結(jié)構(gòu)的解析模型

基于Cao 等[30]的研究,本文通過傳遞矩陣法建立梯度結(jié)構(gòu)梁元胞能帶結(jié)構(gòu)的解析模型.后面將以能帶結(jié)構(gòu)為工具分析彎曲波彩虹捕獲效應(yīng)的產(chǎn)生機(jī)理,并預(yù)測彎曲波彩虹捕獲效應(yīng)在梯度結(jié)構(gòu)梁中的發(fā)生位置和相應(yīng)的頻帶.

任取梯度結(jié)構(gòu)梁的一個(gè)元胞,并用中性軸將其簡化,如圖1(b)左圖所示.簡化后的立柱的長度為Hn+T/2.在立柱與基梁的連接結(jié)點(diǎn)處,可以將元胞分為兩個(gè)基梁部分B1和B2和一個(gè)立柱部分P.圖1(b)右圖也表示出了三部分在節(jié)點(diǎn)處的內(nèi)力.

由于基梁和立柱的相互作用,元胞中同時(shí)存在彎曲波和縱波.基于彈性波導(dǎo)理論[1],梁中的彎曲波和縱波的控制方程分別為

式中,Y為彈性模量;I為截面慣性矩;ρ為密度;S為截面積;w為橫向位移,即撓度;u為軸向位移.

對應(yīng)于元胞的三部分B1,B2和P,方程(1)和方程(2)的通解分別可以表示為

通解的復(fù)系數(shù)可以表示成一個(gè)向量,稱為系數(shù)向量

對于元胞的任一部分的任一截面上都存在六個(gè)物理量,它們分別是: 撓度w,軸向位移u,轉(zhuǎn)角 φ,軸力F,剪力V和彎矩M.可以將它們表示成一個(gè)向量,稱為狀態(tài)向量

根據(jù)材料力學(xué)中梁的同一截面上位移與內(nèi)力之間的關(guān)系,可以得出元胞同一部分的同一截面上狀態(tài)向量與系數(shù)向量之間的關(guān)系

式中,N1為元胞同一部分的同一截面上狀態(tài)向量和系數(shù)向量的傳遞矩陣[30].

在同一時(shí)刻,元胞的同一基梁部分(B1或B2)的左端面與右端面相差D/2 的傳播距離,它們的狀態(tài)向量之間僅相差由D/2 確定的相位因子.所以右端面的狀態(tài)向量可以通過左端面系數(shù)向量表示

式中,N2為和之間的相位差傳遞矩陣[30];上標(biāo)R 和L 分別表示B1或B2的左端面和右端面.

由B1,B2和P在節(jié)點(diǎn)處的內(nèi)力平衡條件和連續(xù)性條件以及P在自由端的內(nèi)力邊界條件,可以得到復(fù)合系數(shù)向量K2P與B1右端面系數(shù)向量之間的關(guān)系

傳遞矩陣N1,N2和N3的具體形式詳見本文附錄,推導(dǎo)過程可以在參考文獻(xiàn)[30]中找到.

聯(lián)立方程式(11)、式(12)和式(14),可以得到B1左端面狀態(tài)向量和B2右端面狀態(tài)向量之間的關(guān)系

式中,k為Bloch 波數(shù).

聯(lián)立方程式(15)和式(16),可以得到特征方程

式中,E為六階單位矩陣.

通過求解方程(17),可以得到在元胞中傳播的彈性波的頻率f和波數(shù)k之間的關(guān)系曲線,即色散曲線.這些色散曲線構(gòu)成元胞的能帶結(jié)構(gòu)圖.

1.3 彎曲波彩虹捕獲效應(yīng)機(jī)理

本文將16 個(gè)元胞在第一布里淵區(qū)[-π/D,π/D]內(nèi)的一階色散曲線解析解繪制在圖2 中.各元胞的一階色散曲線解析解由黑色曲線表示(其中第14 個(gè)元胞的一階色散曲線解析解用綠色曲線表示).元胞的立柱高度越大,其一階色散曲線就越低.以第1 個(gè)元胞為例來驗(yàn)證一階色散曲線傳遞矩陣法解析解的精度,圖中藍(lán)色三角形點(diǎn)代表第1 個(gè)元胞的一階色散曲線有限元梁單元解.可以看出,傳遞矩陣法解析解與有限元法梁單元解完全重合.為了描述彎曲波在梯度結(jié)構(gòu)梁中傳播時(shí)波數(shù)的變化過程,圖中也繪制出了用灰色實(shí)線表示的均勻梁中彎曲波的色散曲線,以及用黑色水平虛線表示的等頻率線,此等頻率線代表待分析的入射波的頻率.

在圖2 的Ⅱ區(qū)域中,頻率為水平黑色虛線的彎曲波在均勻梁中以紅色實(shí)心圓點(diǎn)所表示的波數(shù)傳播.彎曲波從均勻梁傳進(jìn)梯度結(jié)構(gòu)梁后,遇到的立柱的高度越來越大,其波數(shù)沿著紅色箭頭逐漸從立柱高度較小的元胞的色散曲線所對應(yīng)的波數(shù)轉(zhuǎn)移到立柱高度較大的元胞的色散曲線所對應(yīng)的波數(shù),模式也逐漸從均勻梁中的彎曲波模式轉(zhuǎn)變?yōu)樵械膫螐澢Ｊ絒12].在這個(gè)過程中,其群速度越來越小.水平黑色虛線與第14 個(gè)元胞的色散曲線(圖中綠色曲線)相切于紅色空心圓點(diǎn).此時(shí)彎曲波的群速度在第14 個(gè)元胞處變成了0,將這個(gè)切點(diǎn)稱為零群速度點(diǎn).由于波動(dòng)量的守恒,彎曲波最終會在達(dá)到零群速度的元胞處反射回入射端.在反射時(shí),波數(shù)k將會變?yōu)閗-2π/D,即波數(shù)k將從π/D變?yōu)?π/D.這時(shí)候Ⅱ區(qū)域中的紅色空心圓點(diǎn)轉(zhuǎn)變成了Ⅰ區(qū)域中的紅色空心圓點(diǎn).在反射后,彎曲波遇到的立柱的高度越來越小,其波數(shù),群速度以及模式的變化過程與入射時(shí)相反.在傳出梯度結(jié)構(gòu)梁后,彎曲波在均勻梁中反向傳播.

圖2 彎曲波彩虹捕獲效應(yīng)的產(chǎn)生機(jī)理Fig.2 Generation mechanism of rainbow trapping of flexural waves

通過以上分析可知,不同頻率的彎曲波對應(yīng)的達(dá)到零群速度的元胞不同,所以發(fā)生反射的位置不同.頻率越低,對應(yīng)元胞的立柱越高,發(fā)生反射的位置越靠后.于是,不同頻率的彎曲波在沿著立柱高度增加的方向傳播時(shí),會在不同的元胞位置附近停止向前傳播并發(fā)生反射.這是彎曲波彩虹捕獲效應(yīng)空間分頻現(xiàn)象的產(chǎn)生原因.在發(fā)生反射的位置,彎曲波的群速度為0,所以其能量會在此處產(chǎn)生累積,另外,由于入射波和反射波的疊加,會使得發(fā)生反射的地方的波場能量明顯高于其他區(qū)域.這是彎曲波彩虹捕獲效應(yīng)波場能量增強(qiáng)現(xiàn)象的產(chǎn)生原因.

為了將彎曲波頻率與彩虹捕獲效應(yīng)發(fā)生的位置對應(yīng)起來,把圖2 中第n個(gè)元胞的零群速度點(diǎn)所對應(yīng)的頻率(簡稱為零群速度點(diǎn)頻率)fn列在表1中.由于頻率f滿足fn+1＜f＜fn的彎曲波都會在第n個(gè)元胞位置附近發(fā)生彩虹捕獲效應(yīng),所以為了方便進(jìn)行有限元仿真和實(shí)驗(yàn),選取fn和fn+1的中間頻率fnn+1作為后面仿真和實(shí)驗(yàn)的彎曲波頻率.

表1 元胞的零群速度點(diǎn)頻率 fn和兩相鄰元胞零群速度點(diǎn)頻率的中間頻率Table 1 Zero group velocity point frequency fn of unit cells and intermediate frequency of zero group velocity point frequencies of two adjacent unit cells

表1 元胞的零群速度點(diǎn)頻率 fn和兩相鄰元胞零群速度點(diǎn)頻率的中間頻率Table 1 Zero group velocity point frequency fn of unit cells and intermediate frequency of zero group velocity point frequencies of two adjacent unit cells

2 彎曲波彩虹捕獲效應(yīng)

2.1 有限元仿真

基于前面所闡述的機(jī)理,本文在有限元軟件COMSOL Multiphysics 中進(jìn)行仿真分析,驗(yàn)證彎曲波彩虹捕獲效應(yīng)的空間分頻現(xiàn)象和波場能量增強(qiáng)現(xiàn)象.

2.1.1 頻域仿真

頻域仿真模型如圖3 所示.線源用于產(chǎn)生彎曲波.完美匹配層PML 用于吸收彎曲波,避免其在邊界發(fā)生反射.

圖3 頻域有限元仿真模型(單位: mm)Fig.3 Finite element simulation model in frequency domain (unit: mm)

圖4(a) 展示了彎曲波在基梁中的撓度幅值場(|w|).圖中標(biāo)出了梯度結(jié)構(gòu)梁中部分立柱的位置.可以明顯地看出空間分頻現(xiàn)象: 不同頻率的彎曲波傳播到對應(yīng)的元胞位置后,其撓度幅值分別迅速減小至零,即停止向前傳播.除了空間分頻現(xiàn)象,彩虹捕獲效應(yīng)還包含波場能量增強(qiáng)現(xiàn)象.圖4(b)展示了基梁中的x向正應(yīng)變(簡稱為正應(yīng)變)場(|ε|).可以看出,在彎曲波停止向前傳播的地方,能量得到了顯著增強(qiáng).

圖4 彎曲波彩虹捕獲效應(yīng)Fig.4 Rainbow trapping of flexural waves

圖4 彎曲波彩虹捕獲效應(yīng)(續(xù))Fig.4 Rainbow trapping of flexural waves (continued)

2.1.2 時(shí)域仿真

本部分將通過時(shí)域仿真,模擬彎曲波在梯度結(jié)構(gòu)梁中的傳播過程,并驗(yàn)證波場能量增強(qiáng)現(xiàn)象的產(chǎn)生機(jī)理.由于時(shí)域仿真中沒有PML,所以通過增加結(jié)構(gòu)的整體長度,并讓仿真時(shí)間小于彎曲波傳播到邊界所需的時(shí)間,來避免彎曲波在邊界的反射.仿真中在線源處施加的位移載荷為5-cycle tone burst 函數(shù),其時(shí)域表達(dá)式為

式中,f0為5-cycle tone burst 函數(shù)的中心頻率.

圖5展示了f0為2876 Hz 的彎曲波在梯度結(jié)構(gòu)梁中的傳播過程.以0.2t0(t0=1/f0)為時(shí)間步長截取相應(yīng)時(shí)域仿真結(jié)果的基梁正應(yīng)變云圖,并將云圖按時(shí)間的先后順序進(jìn)行組合就得到了圖5.可以看出彎曲波的反射和波場能量增強(qiáng)現(xiàn)象.

圖5 f0 為2876 Hz 的彎曲波在梯度結(jié)構(gòu)梁中的傳播過程Fig.5 Propagation of flexural waves with center frequency f0 of 2876 Hz in beam with graded pillars

在f0為2876 Hz 的時(shí)域仿真結(jié)果中,提取了梁中如圖6(a)所示的4 個(gè)點(diǎn)處的正應(yīng)變時(shí)間歷程.由于反射,點(diǎn)1、點(diǎn)2 和點(diǎn)3 的時(shí)間歷程中都有兩個(gè)波包,如圖6(b)所示,綠框內(nèi)是入射波,藍(lán)框內(nèi)是反射波.點(diǎn)4 位于第8 和第9 個(gè)立柱中間,此處是2876 Hz的彎曲波停止向前傳播的位置.在此處入射波和反射波完全疊加成了一個(gè)波包.所以入射波和反射波的疊加是產(chǎn)生波場能量增強(qiáng)現(xiàn)象的一個(gè)重要原因.然而,入射波波包的最大峰峰值為3.68,反射波波包的最大峰峰值為2.29.點(diǎn)4 處疊加波的最大峰峰值為7.80,為點(diǎn)1 處入射波和反射波波包的最大峰峰值之和的1.31 倍.這說明彎曲波彩虹捕獲效應(yīng)的波場能量增強(qiáng)現(xiàn)象并不只是由入射波和反射波的疊加導(dǎo)致的.彎曲波在點(diǎn)4 處群速度的減小使得彎曲波能量在此處產(chǎn)生了累積,如前面機(jī)理分析部分闡述,這是產(chǎn)生波場能量增強(qiáng)現(xiàn)象的另一個(gè)重要原因.

圖6 波場能量增強(qiáng)現(xiàn)象的產(chǎn)生機(jī)理驗(yàn)證Fig.6 Generation mechanism of wave field energy enhancement

圖6 波場能量增強(qiáng)現(xiàn)象的產(chǎn)生機(jī)理驗(yàn)證(續(xù))Fig.6 Generation mechanism of wave field energy enhancement (continued)

2.2 彩虹捕獲效應(yīng)實(shí)驗(yàn)

本文實(shí)驗(yàn)中所用的實(shí)驗(yàn)件如圖7(a)所示.在實(shí)驗(yàn)件兩端粘貼藍(lán)丁膠吸收彎曲波,避免其在邊界產(chǎn)生反射.使用的儀器為激光多普勒測振系統(tǒng)PSV400和功率放大器HVPA05.圖7(b)展示了實(shí)驗(yàn)設(shè)備.具有相應(yīng)頻率的激勵(lì)信號由電腦產(chǎn)生,經(jīng)過功率放大器后傳給粘貼在實(shí)驗(yàn)件上的壓電片(在后面的圖和正文中用PZT 表示)來產(chǎn)生相應(yīng)頻率的彎曲波.用PSV400 的激光頭掃描實(shí)驗(yàn)件背面各點(diǎn),以獲得彎曲波在實(shí)驗(yàn)件中的傳播情況.在實(shí)驗(yàn)中,PZT 激勵(lì)頻率與頻域仿真頻率保持一致.

圖7 彎曲波彩虹捕獲效應(yīng)實(shí)驗(yàn)設(shè)置Fig.7 Experiment setting for rainbow trapping of flexural waves

PSV400 可測量的物理量只包括位移和速度,無法測量實(shí)驗(yàn)件中的應(yīng)變分布.本文通過材料力學(xué)[31]中的相關(guān)知識對實(shí)驗(yàn)測得的基梁表面的撓度數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,來間接得到基梁表面正應(yīng)變的分布情況.梁在發(fā)生小撓度彎曲時(shí),梁表面正應(yīng)變與撓度之間的關(guān)系為

式中,z0為梁表面到中性層的距離.

圖8(a)展示了基梁表面撓度的頻域?qū)嶒?yàn)云圖.圖8(b)是根據(jù)式(19)對圖8(a)中的數(shù)據(jù)進(jìn)行二階數(shù)值微分后得到的基梁表面正應(yīng)變云圖.與圖4 相比,圖8 在1906 Hz 時(shí)第10 個(gè)元胞附近,3070 Hz,3771 Hz,4352 Hz 時(shí)最右端附近也有波場能量增強(qiáng)現(xiàn)象.這是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差和數(shù)據(jù)處理方法共同導(dǎo)致的假象,而非物理上真實(shí)的波場能量增強(qiáng)現(xiàn)象——受實(shí)驗(yàn)環(huán)境的影響,在這幾個(gè)位置測得的撓度大于其周圍位置,進(jìn)而又導(dǎo)致此處撓度的二階數(shù)值微分也大于其周圍位置.除此之外,實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以驗(yàn)證彎曲波彩虹捕獲效應(yīng)的空間分頻現(xiàn)象和波場能量增強(qiáng)現(xiàn)象.

圖8 彎曲波彩虹捕獲效應(yīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.8 Experimental results of rainbow trapping of flexural waves

3 基于彩虹捕獲效應(yīng)的壓電能量俘獲

3.1 有限元仿真

本部分將利用彎曲波彩虹捕獲效應(yīng)的波場能量增強(qiáng)現(xiàn)象進(jìn)行壓電能量俘獲研究.如圖9(a)所示,將每兩個(gè)立柱之間的基梁部分作為一個(gè)單元,定量評估梯度結(jié)構(gòu)梁相對于均勻梁的能量俘獲效果及其隨入射波頻率的變化規(guī)律.通過COMSOL 進(jìn)行的固體力學(xué)-壓電-電路多物理場耦合仿真示意圖如圖9(b)所示.壓電材料使用COMSOL 材料庫壓電模塊中的PVDF,其厚度設(shè)置為0.11 mm.將外接電路中的電阻R設(shè)1×108Ω,其兩端的電壓可以認(rèn)為是PVDF 的開路輸出電壓.使用和分別表示粘貼在梯度結(jié)構(gòu)梁和均勻梁中第n個(gè)單元處的PVDF 的輸出電壓.為了定量比較和的相對大小,定義二者之比為電壓比

圖9 能量俘獲有限元仿真模型Fig.9 Finite element simulation model of energy harvesting

圖10展示了梯度結(jié)構(gòu)梁相對于均勻梁的第n(n=1,3,…,15)個(gè)單元的電壓比與彎曲波頻率的關(guān)系.圖中灰色區(qū)域代表在第n個(gè)單元附近發(fā)生彩虹捕獲效應(yīng)的彎曲波頻帶,其邊界為各個(gè)元胞的零群速度點(diǎn)頻率.由于第n個(gè)單元位于第n和第n+1個(gè)立柱之間,頻率f滿足f＜fn+1的彎曲波都可以幾乎不衰減地傳播到此處.此時(shí)在立柱的多重散射作用下,入射波和反射波的疊加會導(dǎo)致稍大于1;頻率f滿足fn+1＜f＜fn的彎曲波將會在第n個(gè)元胞附近發(fā)生彩虹捕獲效應(yīng).此時(shí)由于波場能量增強(qiáng)現(xiàn)象,將達(dá)到最大值,最大值在2 左右.這說明,發(fā)生彎曲波彩虹捕獲效應(yīng)時(shí),梯度結(jié)構(gòu)梁上PVDF 的輸出電壓約為對應(yīng)均勻梁的2 倍;頻率f滿足fn＜f的彎曲波在傳播到此處之前就會迅速減小,將趨于零.

圖10 各單元處電壓比與彎曲波頻率的關(guān)系Fig.10 Relationship between voltage ratio at each unit and flexural wave frequency

圖10 各單元處電壓比與彎曲波頻率的關(guān)系(續(xù))Fig.10 Relationship between voltage ratio at each unit and flexural wave frequency (continued)

3.2 彎曲波能量俘獲實(shí)驗(yàn)

本文用于彎曲波能量俘獲實(shí)驗(yàn)的梯度結(jié)構(gòu)梁和均勻梁實(shí)驗(yàn)件,以及實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場如圖11 所示.在兩個(gè)實(shí)驗(yàn)件的表面各粘貼三片PVDF,粘貼位置分別對應(yīng)仿真模型的第1,8 和15 個(gè)單元.PVDF 的參數(shù)如表2 所示.

圖11 彎曲波能量俘獲實(shí)驗(yàn)設(shè)置Fig.11 Experiment setting for flexural wave energy harvesting

表2 PVDF 的參數(shù)Table 2 Parameters of PVDF

在實(shí)驗(yàn)中,施加給PZT 的是相同電壓幅值的5-cycle tone burst 時(shí)域激勵(lì)信號.圖12(a)、圖13(a)和圖14(a) 分別展示了在f0為4681 Hz,2876 Hz 和1906 Hz 的時(shí)域信號激勵(lì)下梯度結(jié)構(gòu)梁和均勻梁PZT 激勵(lì)點(diǎn)處的位移.圖中標(biāo)出了位移的最大峰峰值.可以看出,給不同的PZT 施加完全相同的電壓信號,激發(fā)的彎曲波強(qiáng)度會有差異: 梯度結(jié)構(gòu)梁上的PZT 產(chǎn)生的彎曲波比均勻梁上的PZT 產(chǎn)生的彎曲波要弱.這是制造工藝的限制所導(dǎo)致的.

由前面的分析可知,PZT 產(chǎn)生的三束彎曲波將分別在第1、第8 和第15 個(gè)單元處停止向前傳播并產(chǎn)生波場能量增強(qiáng)現(xiàn)象.圖12(b)展示了粘貼在第1 個(gè)單元處的PVDF 在f0為4681 Hz 的彎曲波激勵(lì)下的輸出電壓.圖13(b)展示了粘貼在第8 個(gè)單元處的PVDF 在f0為2876 Hz 的彎曲波激勵(lì)下的輸出電壓.圖14(b)展示了粘貼在第15 個(gè)單元處的PVDF在f0為1906 Hz 的彎曲波激勵(lì)下的輸出電壓.圖中標(biāo)出了輸出電壓的最大峰峰值.通過對比可知,盡管梯度結(jié)構(gòu)梁中的彎曲波強(qiáng)度比均勻梁中的弱,但是粘貼在前者表面的PVDF 的輸出電壓仍然更高.

圖12 f0 為4681 Hz 的彎曲波在第1 個(gè)單元處的能量俘獲實(shí)驗(yàn)Fig.12 Energy harvesting from flexural wave with center frequency of 4681 Hz at the 1st unit

圖13 f0 為2253 Hz 的彎曲波在第8 個(gè)單元處的能量俘獲實(shí)驗(yàn)Fig.13 Energy harvesting from flexural wave with center frequency of 2253 Hz at the 8th unit

圖14 f0 為1906 Hz 的彎曲波在第15 個(gè)單元處的能量俘獲實(shí)驗(yàn)Fig.14 Energy harvesting from flexural wave with center frequency of 1906 Hz at the 15th unit

為了定量比較梯度結(jié)構(gòu)梁相對于均勻梁的俘能優(yōu)勢,本文用輸出電壓的最大峰峰值除以對應(yīng)激勵(lì)點(diǎn)位移的最大峰峰值,將輸出電壓進(jìn)行歸一化處理.表3 展示了梯度結(jié)構(gòu)梁與均勻梁俘能效果,粘貼在梯度結(jié)構(gòu)梁上的PVDF 的歸一化電壓輸出率約為均勻梁對應(yīng)位置處的2 倍.這與前面通過仿真得到的結(jié)論一致.

表3 梯度結(jié)構(gòu)梁與均勻梁俘能效果Table 3 Energy harvesting performance of beam with graded pillars and uniform beam

4 結(jié)論

本文通過所設(shè)計(jì)的梯度結(jié)構(gòu)梁,系統(tǒng)地研究了彎曲波彩虹捕獲效應(yīng)及其在壓電能量俘獲中的應(yīng)用.首先,利用梯度結(jié)構(gòu)梁元胞能帶結(jié)構(gòu)的解析解,分析了彎曲波彩虹捕獲效應(yīng)的產(chǎn)生機(jī)理: 不同頻率的彎曲波在不同的元胞附近達(dá)到零群速度后被反射,導(dǎo)致了空間分頻現(xiàn)象;彎曲波群速度的減小使得彎曲波能量在相應(yīng)的元胞附近產(chǎn)生累積,以及入射波和反射波的疊加,導(dǎo)致了波場能量增強(qiáng)現(xiàn)象.其次,通過有限元仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了彎曲波彩虹捕獲效應(yīng)的空間分頻現(xiàn)象和波場能量增強(qiáng)現(xiàn)象.最后,通過有限元多物理場耦合仿真和實(shí)驗(yàn),研究了粘貼PVDF壓電薄膜的梯度結(jié)構(gòu)梁相對于均勻梁的彎曲波能量俘獲效果.結(jié)果表明,在彎曲波彩虹捕獲效應(yīng)發(fā)生頻帶內(nèi),梯度結(jié)構(gòu)梁上的PVDF 壓電薄膜的輸出電壓約為均勻梁相應(yīng)位置處PVDF 壓電薄膜的輸出電壓的2 倍.在未來的工作中,對彩虹捕獲效應(yīng)的研究將從物理現(xiàn)象和工程應(yīng)用兩個(gè)方面開展.對于前者,將探索梯度結(jié)構(gòu)中彎曲波模式和縱波模式耦合的彩虹捕獲效應(yīng).對于后者,將利用彩虹捕獲結(jié)構(gòu)進(jìn)行基于空間分頻現(xiàn)象的彈性波濾波器的研發(fā),以及基于波場能量增強(qiáng)現(xiàn)象的工程結(jié)構(gòu)減振、彎曲波吸收和聲輻射抑制研究.

數(shù)據(jù)可用性聲明

支撐本研究的科學(xué)數(shù)據(jù)已在中國科學(xué)院科學(xué)數(shù)據(jù)銀行ScienceDB 平臺公開發(fā)布,訪問地址為http://doi.org/10.57760/sciencedb.j00140.00001或http://cstr.cn/31253.11.sciencedb.j00140.00001.

附錄

傳遞矩陣的具體形式如下