文桂林 劉 杰 陳梓杰 魏 鵬 龍 凱 王洪鑫 榮見華 謝億民

* (燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,河北秦皇島 066004)

? (廣州大學(xué)機(jī)械與電氣工程學(xué)院,廣州 510006)

** (華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院,廣州 510641)

?? (華北電力大學(xué)新能源學(xué)院,北京 102206)

***(長(zhǎng)沙理工大學(xué)汽車與機(jī)械工程學(xué)院,長(zhǎng)沙 410076)

??? (皇家墨爾本理工大學(xué)創(chuàng)新結(jié)構(gòu)與材料研究中心,澳大利亞墨爾本 3001)

引言

連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化是指在給定邊界條件、載荷,以及各種約束條件下,根據(jù)性能指標(biāo)要求,通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論得到結(jié)構(gòu)最優(yōu)材料布局的過程[1-3].它可以從力學(xué)上根本提升結(jié)構(gòu)機(jī)械性能,其本質(zhì)上屬于無窮維空間中變系數(shù)微分方程的0～1 控制問題,被公認(rèn)為是最具挑戰(zhàn)性的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題.近年來,連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化在工程領(lǐng)域也展現(xiàn)出巨大發(fā)展?jié)摿?已經(jīng)在航空航天、海洋工程、機(jī)械工程等多個(gè)工程領(lǐng)域發(fā)揮了重要作用.圖1(a)～圖1(h)給出了連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法的典型工程應(yīng)用.

圖1 連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法的典型工程應(yīng)用: (a) 衛(wèi)星支撐系統(tǒng)[4];(b) 海上風(fēng)力發(fā)電機(jī)組導(dǎo)管架支撐結(jié)構(gòu)[5];(c) 機(jī)翼結(jié)構(gòu)[6];(d) 飛機(jī)擾流板[7];(e) 超長(zhǎng)懸索橋[8];(f) 導(dǎo)彈氣動(dòng)設(shè)計(jì)[9];(g) 飛機(jī)蒙皮拉伸成形模具[10];(h) 空客A320 機(jī)艙鉸鏈支架[11]Fig.1 Typical engineering application of continuum topology optimization method: (a) satellite support system[4];(b) offshore wind turbine jacket support structure[5];(c) wing structure[6];(d) aircraft spoiler[7];(e) super-long suspension bridge[8];(f) missile aerodynamic design[9];(g) drawing die for aircraft skin[10];(h) hinge bracket of Airbus A320 cabin[11]

均勻化方法開創(chuàng)了連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化的先河[12],其思想是將設(shè)計(jì)區(qū)域離散為大量單元,通過微孔結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)來確定單元的有無.由于具有設(shè)計(jì)變量多、優(yōu)化最終構(gòu)型為多孔結(jié)構(gòu)導(dǎo)致難以制造等缺點(diǎn),限制了其發(fā)展和應(yīng)用,但是,其理論基礎(chǔ)嚴(yán)謹(jǐn),且目前在材料設(shè)計(jì)領(lǐng)域還持續(xù)展現(xiàn)出活力[13-15].繼均勻化法之后,連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法得到了快速的發(fā)展,逐漸形成了變密度法,包括固體各向同性材料微結(jié)構(gòu)/插值懲罰法(solid isotropic macrostructure/material with penalization method,SIMP)[16-17]和材料性能的合理近似法(rational approximation of material properties,RAMP)[18]、漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法(evolutionary structural optimization,ESO)[19-21]、水平集法(level set,LS)[22-24]、獨(dú)立-連續(xù)-映射法[25-26]、特征驅(qū)動(dòng)法[27-28]、相場(chǎng)法[29-30]、拓?fù)鋵?dǎo)數(shù)法[31]以及移動(dòng)可變形組件/空洞法[32-34]等.這些方法各有優(yōu)缺點(diǎn),共同促進(jìn)了連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域的蓬勃發(fā)展.圖2給出了典型的連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法設(shè)計(jì)一個(gè)二維懸臂梁的最終構(gòu)型對(duì)比圖,可見,各種方法均可產(chǎn)生清晰的拓?fù)錁?gòu)型.

圖2 懸臂梁設(shè)計(jì)問題及不同拓?fù)鋬?yōu)化方法的優(yōu)化型Fig.2 Cantilever design problem and optimization with different topology optimization methods

變密度法、漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法和獨(dú)立-連續(xù)-映射法由于采用像素點(diǎn)描述結(jié)構(gòu)構(gòu)型,會(huì)有結(jié)構(gòu)邊界不光滑的問題.此外,變密度法會(huì)產(chǎn)生灰度單元,這些都增加了實(shí)際制造難度,不過可以通過細(xì)分單元、使用新的過濾策略等方式進(jìn)行緩解.比如,文桂林團(tuán)隊(duì)[35-36]提出了結(jié)構(gòu)邊界單元自適應(yīng)策略和積木博弈策略,有效地緩解了BESO (bi-directional evolutionary structural optimization,BESO)方法和SIMP 方法中結(jié)構(gòu)邊界不光滑的問題,降低了后處理時(shí)邊界經(jīng)驗(yàn)處理帶來的誤差.變密度法發(fā)展較早,相對(duì)于其他方法在理論層面上較為成熟;而謝億民團(tuán)隊(duì)[19-21]提出的漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法具有算法理念簡(jiǎn)單、收斂速度快和邊界清晰等優(yōu)點(diǎn),且成功開發(fā)了商用軟件Ameba,已在建筑工程、機(jī)械工程和航空航天等領(lǐng)域的創(chuàng)新設(shè)計(jì)方面展現(xiàn)出來強(qiáng)大的實(shí)際工程解決能力[37].水平集法、特征驅(qū)動(dòng)法、相場(chǎng)法、拓?fù)鋵?dǎo)數(shù)法和移動(dòng)可變形組件/空洞法屬于基于邊界演化發(fā)展的拓?fù)鋬?yōu)化方法,這類方法的優(yōu)勢(shì)在于能夠得到光滑和清晰的優(yōu)化結(jié)構(gòu)邊界,且?guī)缀涡畔⒖梢酝ㄟ^函數(shù)表示,易于提取最終構(gòu)型的幾何信息;然而,由于計(jì)算通?；诠潭ǖ挠邢拊W(wǎng)格,動(dòng)響應(yīng)和靈敏度的計(jì)算精度方面有一定的提升空間.張衛(wèi)紅團(tuán)隊(duì)[27-28]提出的特征驅(qū)動(dòng)拓?fù)鋬?yōu)化方法將結(jié)構(gòu)特征貫穿于結(jié)構(gòu)建模、分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)的整個(gè)流程,即,將CAD 特征模型嵌入到結(jié)構(gòu)拓?fù)淠Ｐ?從源頭上保證了結(jié)構(gòu)的特征屬性.郭旭團(tuán)隊(duì)[32-34]提出的移動(dòng)可變形組件/空洞法給出了一種顯式的水平集演化模式,大幅度地減少了設(shè)計(jì)變量的數(shù)目,提高了計(jì)算效率,且優(yōu)化結(jié)果可與CAD 軟件進(jìn)行直接連接,易于制造.此外,作為L(zhǎng)S 法的一種,參數(shù)化水平集方法可以改善傳統(tǒng)水平集方法的初始設(shè)計(jì)依賴性缺陷,然而,由于材料分布不存在中間密度,材料密度突變易造成不連續(xù)的拓?fù)渥兓?致使優(yōu)化過程不穩(wěn)定.基于此,Wei 等[38]結(jié)合變密度法的優(yōu)勢(shì),提出了水平集帶方法.該方法的思路是,利用具有一定寬度的水平集帶范圍替代傳統(tǒng)零水平集面,水平集帶區(qū)域內(nèi)的材料密度通過插值可以連續(xù)地分布于[0,1]范圍內(nèi).

目前連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化在解決線性問題中發(fā)展較為成熟,已經(jīng)成功解決了諸如傳熱、增材制造、振動(dòng)抑制、穩(wěn)健性和可靠性設(shè)計(jì)等問題[39-50].然而,實(shí)際工程中存在大量的非線性問題,若近似為線性問題來解決,會(huì)導(dǎo)致較大的誤差,甚至是錯(cuò)誤的結(jié)果.實(shí)際結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的非線性主要體現(xiàn)為三種: 材料非線性、幾何非線性和邊界非線性(接觸非線性).圖3 分別為三種非線性問題的示意圖.圖3(a)為材料非線性問題,其中材料的應(yīng)力應(yīng)變之間不再是線性關(guān)系,常見的如彈塑性、超彈性等;圖3(b)為幾何非線性問題,當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生幾何大變形、大撓度或大轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),力和位移曲線不再是線性關(guān)系,即剛度矩陣不再是常數(shù);圖3(c)為邊界非線性問題,結(jié)構(gòu)邊界在分析過程發(fā)生變化.基于此,本文將分別對(duì)材料非線性、幾何非線性和邊界非線性三種連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法進(jìn)行綜述.需要指明的是,本文重點(diǎn)在宏觀力學(xué)范疇內(nèi)對(duì)非線性連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化進(jìn)行綜述,對(duì)于考慮微觀結(jié)構(gòu)的非線性拓?fù)鋬?yōu)化問題可以參考文獻(xiàn)[51].

圖3 三種結(jié)構(gòu)非線性Fig.3 Three kinds of structural nonlinearity

1 材料非線性連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化

材料非線性主要體現(xiàn)為材料應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的非線性,在實(shí)際工程中比較常見的非線性材料為彈塑性材料和超彈性材料.當(dāng)彈塑性材料受力變形導(dǎo)致內(nèi)部應(yīng)力超過比例極限時(shí),其應(yīng)力-應(yīng)變將呈現(xiàn)非線性關(guān)系,隨著應(yīng)力水平的進(jìn)一步提升,當(dāng)應(yīng)力超過屈服應(yīng)力時(shí),將產(chǎn)生不可恢復(fù)的塑性變形.而超彈性材料具有更為復(fù)雜的非線性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,在大變形狀態(tài)下卸載可恢復(fù)初始狀態(tài).如何將不同類型非線性材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系引入到拓?fù)鋬?yōu)化列式,以及求解由此為計(jì)算帶來的系列難題,是材料非線性連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化區(qū)別于線性問題的關(guān)鍵.本部分將以彈塑性材料和超彈性材料兩個(gè)類別對(duì)材料非線性連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化相關(guān)研究進(jìn)行綜述.

1.1 彈塑性材料連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化

Maute 等[52-53]較早地在SIMP 法框架下,利用Von Mises 應(yīng)力屈服準(zhǔn)則推導(dǎo)了彈塑性材料塑性部分的非線性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,其中需要分別建立彈塑性材料的楊氏模量、硬化模量和屈服應(yīng)力的插值模型,然后將塑性部分與彈性部分相結(jié)合,得到彈塑性材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,該方法需要權(quán)衡三種插值模型的懲罰系數(shù),見圖4(a).在此基礎(chǔ)上,Wallin 等[54]發(fā)展了彈塑性結(jié)構(gòu)能量吸收最大化的拓?fù)鋬?yōu)化方法,見圖4(b);Kato 等[55]研究了體積約束下彈塑性復(fù)合材料能量吸收能力最大化的拓?fù)鋬?yōu)化方法,見圖4(c);Li 等[56-57]提出了抗斷裂的吸能彈塑性結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)和循環(huán)荷載作用下的耗能彈塑性結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法,見圖4(d);Blachowski 等[58]研究了應(yīng)力約束下彈塑性結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化新方法.彈塑性材料模型可簡(jiǎn)化為由楊氏模量、硬化模量和屈服應(yīng)力確定的雙線性應(yīng)力-應(yīng)變形式,楊氏模量和硬化模量分別為第一線性段和第二線性段的斜率,屈服應(yīng)力作為兩個(gè)線性段的分段應(yīng)力值.但是,同樣需要分別建立三個(gè)相關(guān)材料屬性的插值模型.以此為基礎(chǔ),Mayer 等[59]和Patel 等[60]研究了彈塑性材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)在吸能方面的應(yīng)用;Guimar?es 等[61]將拓?fù)鋬?yōu)化應(yīng)用在采用血管成形術(shù)的支架細(xì)胞設(shè)計(jì)中;Lee 等[62]采用等效靜載荷法高效地解決了非線性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題;Yoon 等[63]發(fā)展了一種單元連接參數(shù)化方法,為彈塑性材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)提供了一種新的有效思路,但是該方法也會(huì)增加額外的剛度矩陣計(jì)算,一定程度上犧牲了計(jì)算效率,見圖4(e);豆麟龍等[64]發(fā)展了一種基于漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法的彈塑性材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法;Luo 等[65]提出了一種移動(dòng)等值面閾值法,解決了彈塑性材料的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題,該方法允許刪除的孔洞單元參與設(shè)計(jì)變量的更新,并在隨后的迭代中重新出現(xiàn),因此,具有相對(duì)較高的計(jì)算精度;Kongwat 等[66]發(fā)展了基于比例法的彈塑性材料拓?fù)鋬?yōu)化方法.此外,在均勻化法框架下,Yuge 等[67]建立了一個(gè)材料張量的二維數(shù)據(jù)庫(kù),以解決彈塑性材料拓?fù)鋬?yōu)化問題.Bogomolny等[68]采用Drucker-Prager 屈服準(zhǔn)則建立彈塑性模型,提出了一種針對(duì)鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的概念設(shè)計(jì)新方法.以最大損傷為約束,Li 等[69]提出了一種結(jié)構(gòu)最優(yōu)能量吸收的拓?fù)鋬?yōu)化方法;隨后,基于非局部彈塑性損傷模型,他們發(fā)展了結(jié)構(gòu)抗破壞拓?fù)鋬?yōu)化方法,所采用的非局部彈塑性損傷模型通過Von Mises 應(yīng)力屈服準(zhǔn)則與一個(gè)非局部損傷函數(shù)耦合實(shí)現(xiàn)[70],見圖4(f).Zhao 等[71]通過構(gòu)造一個(gè)虛構(gòu)的非線性彈性模型,并利用漸近分析的方法考慮滿足Von Mises 應(yīng)力屈服準(zhǔn)則的非線性材料響應(yīng),并以此建立了兩類優(yōu)化列式,即應(yīng)變能最大化和載荷系數(shù)最大化,見圖4(g).此外,徐斌團(tuán)隊(duì)近期在BESO 框架下,發(fā)展了考慮應(yīng)力約束的材料非線性拓?fù)鋬?yōu)化方法[72-73].需要指出,除了具有非線性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,加載路徑相關(guān)性是彈塑性材料連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化的另一個(gè)特點(diǎn).該特點(diǎn)導(dǎo)致求解優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度信息變得困難,其敏度分析過程需采用考慮路徑相關(guān)的伴隨求解策略.可見,彈塑性材料連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化相關(guān)研究中,通常采用Von Mises 應(yīng)力屈服準(zhǔn)則推導(dǎo)彈塑性材料塑性部分的非線性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,也有一些研究使用簡(jiǎn)化的雙線性模型.對(duì)于一些更加復(fù)雜的問題,可對(duì)Von Mises 應(yīng)力屈服準(zhǔn)則塑性材料模型進(jìn)行進(jìn)一步修正.

圖4 彈塑性非線性拓?fù)鋬?yōu)化: (a) 彈塑性和彈性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)對(duì)比[52];(b) 有限塑性變形最大塑性應(yīng)變能最大化設(shè)計(jì)[54];(c) 彈塑性吸能最大簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)[55];(d) 抗斷裂吸能L 型結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[56];(e) 單元連接參數(shù)化策略示意圖[63];(f) 抗材料損傷能量吸收結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)[70];(g) 考慮應(yīng)變能最大和載荷系數(shù)最大的材料非線性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)[71]Fig.4 Elastoplastic nonlinear topology optimization: (a) comparison between elastoplastic and elastic topology optimization design of a simply supported beam structure[52];(b) maximum plastic strain energy design with finite plastic deformation[54];(c) optimal design of a simply supported beam structure with maximum elastic-plastic energy absorption[55];(d) design of a fracture resistant and energy absorbing L-shaped structure[56];(e) schematic diagram of element connection parameterization strategy[63];(f) optimal design of energy absorbing structure resistant to material damage[70];(g) nonlinear topology optimization design of materials considering maximum strain energy and maximum load coefficient[71]

1.2 超彈性材料連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化

相對(duì)于彈塑性材料模型,超彈性材料具有更為復(fù)雜的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,通常采用應(yīng)變能函數(shù)描述其本構(gòu)關(guān)系[74],比較經(jīng)典的包括Mooney-Rivlin 模型、Neo-Hookean 模型、Kirchhoff-St.Venant 模型和Ogden 模型等.本部分根據(jù)本構(gòu)模型分類綜述超彈性材料連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法.需要指出的是,超彈性行為往往包含了幾何非線性,關(guān)于幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化相關(guān)問題和研究進(jìn)展見第2 部分.

基于Mooney-Rivlin 模型,Lee 等[75]對(duì)考慮靜動(dòng)態(tài)特性的橡膠隔振器進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),見圖5(a);文獻(xiàn)[76-77]在水平集方法框架下研究了考慮幾何非線性的超彈結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法,見圖5(b);Deng 等[78]認(rèn)為在設(shè)計(jì)大變形超彈性材料時(shí),Von Mises 應(yīng)力破壞準(zhǔn)則不準(zhǔn)確,進(jìn)而提出一種基于畸變能的連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法(見圖5(c)),其中在低密度區(qū)域,利用了Wang 等[79]提出的應(yīng)變能插值方法;Ortigosa 等[80-81]解決了SIMP 和LS 框架下超彈性材料大應(yīng)變拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)中算法不穩(wěn)定問題;薛日野等[82]推廣了移動(dòng)可變形空洞法,實(shí)現(xiàn)了超彈結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),見圖5(d).利用Neo-Hookean 模型表征超彈本構(gòu)模型,基于多凸本構(gòu)模型與松弛函數(shù)法,Lahuerta 等[83]實(shí)現(xiàn)了超彈結(jié)構(gòu)的幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化,該方法在優(yōu)化過程中無需去除孔洞單元,具有較高計(jì)算精度;James 等[84]將連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法應(yīng)用到超彈性雙穩(wěn)態(tài)心血管支架的優(yōu)化設(shè)計(jì),見圖5(e);充分利用無網(wǎng)格法解決大變形問題,Zhang 等[85]提出了一種有限元法與無網(wǎng)格伽遼金法結(jié)合的超彈結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法,見圖5(f);Wallin 等[86]研究了在幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化中使用割線剛度和切線剛度對(duì)最終優(yōu)化構(gòu)型的影響,研究發(fā)現(xiàn),在低荷載水平下,兩種結(jié)構(gòu)構(gòu)型差別不大,而在大變形情況下,則存在顯著差異;受附加超彈材料技術(shù)的啟發(fā)[87],張憲民團(tuán)隊(duì)[88]發(fā)展了與商業(yè)化軟件ANSYS 結(jié)合的超彈結(jié)構(gòu)幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化方法,并提供了MATLAB 程序,良好地提升了幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化方法應(yīng)用實(shí)際工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的能力,見圖5(g);在此基礎(chǔ)上,Ye 等[89]在ICM 框架下,解決了應(yīng)力約束的非線性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì).然而,該方法在解決三維非線性問題時(shí)會(huì)存在不收斂的問題,基于此,受文獻(xiàn)[87-88]啟發(fā),文桂林團(tuán)隊(duì)[90]近期發(fā)展了一種基于多分辨率框架的超彈材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法,用單核PC 機(jī)成功解決了千萬分辨率的三維非線性結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題,該方法具有高效和保精度的優(yōu)點(diǎn),并可以很好地解決三維非線性問題,見圖5(h);Capasso 等[91]提出了應(yīng)力約束下的柔性機(jī)構(gòu)非線性拓?fù)鋬?yōu)化方法;Zhang 等[92]改進(jìn)了BESO方法,解決了發(fā)生大變形的超彈材料設(shè)計(jì)問題,見圖5(i).基于Kirchhoff-St.Venant 模型,Bruns 等[93-94]提出了一種適定的考慮幾何大變形的連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型,解決了結(jié)構(gòu)非線性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題,并應(yīng)用到柔性機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì);Klarbring 等[95]研究了包含非零位移約束下的超彈結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題,對(duì)比了多種超彈性材料模型對(duì)最終拓?fù)洳牧戏植嫉挠绊?發(fā)現(xiàn)基于Kirchhoff-St.Venant 模型所得的優(yōu)化構(gòu)型與其他包含物理壓縮行為的模型有所差異,且力學(xué)性能較差;基于變密度法、水平集法和擴(kuò)展有限元法,Geiss 等[96]發(fā)展了一種可以優(yōu)化設(shè)計(jì)大變形4D 打印結(jié)構(gòu)的有效方法.然而,對(duì)于有些實(shí)際具體工程問題,需要對(duì)經(jīng)典超彈性材料本構(gòu)模型進(jìn)行修正.Luo 等[97]研究了在無摩擦接觸支承下超彈結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問題,其中超彈性材料的應(yīng)變能函數(shù)通過人工懲罰模型表示.為了考慮超彈性材料的非線性,Chi 等[98]在SIMP 法框架中提出一種改進(jìn)的Ogden通用本構(gòu)模型,該模型可同時(shí)考慮平面應(yīng)變和平面應(yīng)力兩種情況,并通過改變材料參數(shù)能夠使材料在平面應(yīng)變和平面應(yīng)力情況下獲得一定范圍的非線性材料行為.綜上所述,超彈性材料具有十分復(fù)雜的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,對(duì)于基于有限單元法的連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化的優(yōu)化列式建立、靈敏度推導(dǎo)以及算法穩(wěn)定性都是一個(gè)挑戰(zhàn).另外,在實(shí)際工程問題中,只通過單軸拉伸試驗(yàn)往往無法得到足夠的樣本點(diǎn)來表征超彈材料行為,與經(jīng)典本構(gòu)模型有較大誤差,需要同時(shí)開展單軸試驗(yàn)、雙軸試驗(yàn)、平面試驗(yàn)、體積試驗(yàn)等.

圖5 超彈性材料拓?fù)鋬?yōu)化: (a) 橡膠隔震器拓?fù)鋬?yōu)化[75];(b) 水平集法線性和非線性優(yōu)化設(shè)計(jì)懸臂梁結(jié)果對(duì)比[77];(c) 基于畸變能的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)[78];(d) 基于移動(dòng)可變形孔洞方法設(shè)計(jì)懸臂梁結(jié)構(gòu)[82];(e) 雙穩(wěn)態(tài)心血管支架優(yōu)化設(shè)計(jì)[84];(f) 有限元和無網(wǎng)格耦合拓?fù)鋬?yōu)化方法設(shè)計(jì)懸臂梁結(jié)構(gòu)[85];(g) 柔性機(jī)構(gòu)幾何非線性設(shè)計(jì)[88];(h) 高分辨率三維非線性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)類橋梁結(jié)構(gòu)[90];(i) 改進(jìn)的BESO方法優(yōu)化設(shè)計(jì)懸臂梁結(jié)構(gòu)[92]Fig.5 Topology optimization of hyperelastic materials: (a) topology optimization of rubber isolator[75];(b) comparison of linear and nonlinear optimization design of a cantilever by level set method[77];(c) topology optimization design based on distortion energy[78];(d) design of a cantilever structure based on MMV method[82];(e) optimal design of a bistable cardiovascular stent[84];(f) design of a cantilever structure by finite element and meshless coupling topology optimization method[85];(g) geometric nonlinear design of a flexible mechanism[88];(h) high resolution 3D nonlinear topology optimization design of bridge structure[90];(i) optimization design of a cantilever structure by improved BESO method[92]

2 幾何非線性連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化

對(duì)使用過程中會(huì)發(fā)生大位移或大轉(zhuǎn)動(dòng)的工程結(jié)構(gòu)進(jìn)行連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)時(shí),需考慮幾何非線性的影響.幾何非線性連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化問題中,有限元響應(yīng)求解的剛度矩陣具有位移相關(guān)性,常采用Newton-Raphson 迭代求解其非線性平衡方程.基于變密度法的幾何非線性連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化中,中低密度單元區(qū)域剛度較低,當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生大變形時(shí),這些材料區(qū)域易發(fā)生過度畸形,致使Newton-Raphson 迭代中的切線剛度矩陣失去其正定性質(zhì),無法求解非線性平衡方程,進(jìn)而導(dǎo)致非線性拓?fù)鋬?yōu)化無法收斂.而其他經(jīng)典拓?fù)鋬?yōu)化方法與變密度法類似,空洞區(qū)域的低剛度同樣會(huì)帶來數(shù)值求解困難.若將結(jié)構(gòu)中除實(shí)體單元外的其他單元統(tǒng)稱為“偽材料”單元,幾何非線性連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化的難題主要在于如何解決單元過度畸形導(dǎo)致的數(shù)值不穩(wěn)定.幾何非線性包括大位移小應(yīng)變和大位移大應(yīng)變兩種情況,前者稱為弱幾何非線性,而后者稱為強(qiáng)幾何非線性.目前關(guān)于幾何非線性連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化的相關(guān)研究大部分針對(duì)弱幾何非線性情況,若無特別說明,本文默認(rèn)指弱幾何非線性情況.本部分分別基于“偽材料”單元、單元畸形和切線剛度矩陣非正定這三個(gè)特征對(duì)幾何非線性連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化相關(guān)研究進(jìn)行綜述.

2.1 基于排除“偽材料”單元思路的幾何非線性連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化

在拓?fù)鋬?yōu)化迭代循環(huán)過程中人為地將“偽材料”單元排除在外,可以有效避免非線性有限元計(jì)算失敗.基于這一思想,Buhl 等[99]認(rèn)為低密度單元節(jié)點(diǎn)位移的持續(xù)振蕩是導(dǎo)致Newton-Raphson 迭代無法收斂的原因,他們?cè)赟IMP 法框架中提出“收斂準(zhǔn)則松弛”法,將被低密度單元包圍的節(jié)點(diǎn)排除在Newton-Raphson 迭代過程的收斂準(zhǔn)則之外,見圖6(a).隨后將該方法應(yīng)用于大位移柔性機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)[100],研究發(fā)現(xiàn),與線性拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型相比,考慮幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型的輸出性能增益可達(dá)2.5 倍.基于該思路,李兆坤等[101]實(shí)現(xiàn)了多輸入多輸出的柔性機(jī)構(gòu)幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),見圖6(b);在參數(shù)化水平集框架下,Luo 等[102]進(jìn)一步將該思想推廣到求解大位移柔性機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題;為了解決幾何缺陷對(duì)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響,Jansen 等[103]推廣了文獻(xiàn)[99] 的“收斂準(zhǔn)則松弛”法,發(fā)展了一種穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化方法.基于SIMP 法,Bruns 等[104]提出一種“單元移除法”,該方法可將刪除的低密度單元重新引入的策略,根據(jù)迭代歷史中單元密度是否低于所規(guī)定密度這一規(guī)則對(duì)單元進(jìn)行計(jì)數(shù),若該單元在此次迭代中密度小于所規(guī)定密度,則次數(shù)減1,反之加1,并通過單元次數(shù)與所設(shè)定閾值的比較判斷是否對(duì)單元狀態(tài)進(jìn)行切換,見圖6(c).借鑒“單元移除法”,Luo 等[65]利用移動(dòng)等值面設(shè)置閾值,低密度單元在有限元計(jì)算中被消除,而在計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)時(shí)被重新引入.Cho 等[105]認(rèn)為外力的加載方式帶來較多“偽材料”單元導(dǎo)致優(yōu)化過程不容易收斂,因此,他們采用了位移加載方式來緩解該問題.基于無網(wǎng)格法,Cho 等[106]通過重構(gòu)核形狀函數(shù)對(duì)位移場(chǎng)和體密度場(chǎng)進(jìn)行離散,使形狀控制點(diǎn)能夠位于設(shè)計(jì)域任何部分,這種做法可將低密度域排除在有限元響應(yīng)分析之外,解決了幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值求解數(shù)值不穩(wěn)定問題,見圖6(d);在SIMP 法框架下,Du等[107]利用無網(wǎng)格伽遼金法將單元設(shè)計(jì)域轉(zhuǎn)化為節(jié)點(diǎn)設(shè)計(jì)域,發(fā)展了一種新的幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化方法,并應(yīng)用于大位移柔性機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì),該方法由于不需要單元進(jìn)行插值,可避免中低密度區(qū)域單元過度畸變問題;在水平集法框架下,Yamada 等[108]提出了一種利用粒子交互模型結(jié)合移動(dòng)粒子半隱式思路,成功解決了幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值困難;基于無網(wǎng)格伽遼金法,亢戰(zhàn)團(tuán)隊(duì)[109]提出了一種獨(dú)立密度場(chǎng)插值的幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化方法,該方法采用了能量收斂準(zhǔn)則,有效解決了由于低密度局部數(shù)值不穩(wěn)定帶來的收斂困難.此外,在BESO 框架下,Huang等[110-112]系統(tǒng)地研究了位移荷載和力載荷作用下幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化問題,見圖6(e).值得提出的是,徐斌團(tuán)隊(duì)近年來在BESO 框架下,進(jìn)一步發(fā)展了幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化方法,成功解決了應(yīng)力約束等問題[113-114].此外,張衛(wèi)紅團(tuán)隊(duì)[115]提出了一種考慮連接點(diǎn)載荷約束和幾何非線性的裝配體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法,他們采用超單元壓縮方法對(duì)低剛度區(qū)域自由度進(jìn)行壓縮,以避免算法不收斂問題.

圖6 基于排除“偽材料”單元思路的幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化: (a) “收斂準(zhǔn)則松弛”思路(白色單元四周的節(jié)點(diǎn)被排除)[99];(b) 多輸入多輸出柔順機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)[101];(c) 使用“單元移除法”前后設(shè)計(jì)柔性結(jié)構(gòu)構(gòu)型對(duì)比[104];(d) 基于無網(wǎng)格法進(jìn)行懸臂梁設(shè)計(jì)[106];(e) 基于BESO 的幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)[111]Fig.6 Geometrically nonlinear topology optimization based on eliminating "pseudo material" elements: (a) "convergence criterion relaxation" idea (nodes around white elements are excluded)[99];(b) optimal design of a multi input and multi output compliant mechanism[101];(c) comparison of flexible structure configuration before and after using "element removal method"[104];(d) design of a cantilever based on meshless method[106];(e) geometrically nonlinear topology optimization based on BESO[111]

綜上所述,“收斂準(zhǔn)則松弛”法發(fā)展較早,且思想簡(jiǎn)便,應(yīng)用較為廣泛,但其為了實(shí)現(xiàn)數(shù)值穩(wěn)定性,直接忽略了低密度單元的有限元響應(yīng),導(dǎo)致最終優(yōu)化結(jié)果精度不高.“單元移除法”直接將單元進(jìn)行移除,同樣影響優(yōu)化結(jié)果精度,而低密度單元在有限元計(jì)算中被消除,在計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)時(shí)被重新引入的策略可以一定程度提高計(jì)算精度.考慮到低密度單元數(shù)值不穩(wěn)定出現(xiàn)在非線性有限元求解環(huán)節(jié),而并非拓?fù)鋬?yōu)化環(huán)節(jié),無網(wǎng)格分析技術(shù)提供了另一種有效的手段,具有較高精度,但存在計(jì)算量大、效率較低等缺點(diǎn).

2.2 基于改變單元畸形思路的幾何非線性連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化

解決幾何非線性連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值不穩(wěn)定性的另一個(gè)思路是將單元的過度變形轉(zhuǎn)化為其他方式體現(xiàn)或者對(duì)單元變形進(jìn)行縮放,以抑制單元過度畸形.基于這一思想,Yoon 等[116-117]利用單元連接參數(shù)化法分別在SIMP 和水平集法框架下進(jìn)行了幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),見圖7(a)和圖7(b).單元連接參數(shù)化法使用零長(zhǎng)度一維彈性連桿連接相鄰單元,利用彈性連桿變形代替平面單元變形,由于平面單元保留了原始材料特性,可在結(jié)構(gòu)發(fā)生較大變形時(shí)避免過度畸變.彈性連桿的存在表示相鄰單元的連接,最終保留優(yōu)化迭代結(jié)束時(shí)相互連接的單元,這種方法稱為外部單元連接參數(shù)化方法,與之對(duì)應(yīng),他們后來又發(fā)展了內(nèi)部單元連接參數(shù)化方法,并擴(kuò)展到基頻優(yōu)化問題[118-119].在此思想基礎(chǔ)上,Moon 等[120]發(fā)展了單元連接參數(shù)化qp 松弛法,以解決Von Mises 應(yīng)力約束下的體積最小化幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題.在水平集法框架下,利用Delaunay三角剖分技術(shù),Ha 等[76]提出了一種網(wǎng)格重劃方法,并采用超彈性材料,一定程度上避免了由于大應(yīng)變引起的單元內(nèi)部過度變形.此外,網(wǎng)格局部細(xì)化策略[35]也可以一定程度上緩解幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化過程中的單元過度扭曲問題.van Dijk 等[121]基于SIMP 法提出了單元變形縮放技術(shù),將單元的節(jié)點(diǎn)位移分離成保留的旋轉(zhuǎn)剛體部分和允許縮放的變形部分,根據(jù)單元密度大小對(duì)其內(nèi)部單元位移進(jìn)行插值實(shí)現(xiàn)單元變形縮放,從而避免低密度單元過度畸形,見圖7(c).

圖7 基于改變單元畸形思路的幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化: (a) 單元連接參數(shù)化法在SIMP 框架下懸臂梁設(shè)計(jì)[116];(b) 單元連接參數(shù)化法在水平集框架下懸臂梁設(shè)計(jì)[117];(c) 利用單元變形縮放技術(shù)進(jìn)行懸臂梁設(shè)計(jì)[121]Fig.7 Geometrically nonlinear topology optimization based on the idea of changing element deformity: (a) designing a cantilever under SIMP framework by element connection parameterization method[116];(b)design of a cantilever under level set frame by element connection parameterization method[117];(c) cantilever design using the element deformation scaling technology[121]

由此可見,基于改變單元畸形思路的幾何非線性連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法可以一定程度上緩解優(yōu)化過程中的數(shù)值不穩(wěn)定難題,但在計(jì)算效率和計(jì)算精度上仍需要進(jìn)一步的提升.單元連接參數(shù)化方法在幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化問題求解中展現(xiàn)出了良好的潛能,但亦存在額外的剛度矩陣計(jì)算導(dǎo)致其計(jì)算效率較低等問題.網(wǎng)格重劃分和局部網(wǎng)格細(xì)化策略可以一定程度緩解數(shù)值不穩(wěn)定難題,但是較難從根本上解決.單元變形縮放技術(shù)中單元內(nèi)力對(duì)外部位移場(chǎng)比較敏感,致使其處理幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化問題時(shí)有一定的局限性.

2.3 直接影響切線剛度矩陣非正定的幾何非線性連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化

直接影響切線剛度矩陣非正定特性是另一種解決幾何非線性連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值不穩(wěn)定的思路.Bruns 等[94]建議額外添加超彈性材料防止單元過度畸形導(dǎo)致的數(shù)值收斂困難.在多材料多輸出大位移柔性機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)中,Saxena[122]利用遺傳算法隱式地規(guī)避計(jì)算非線性變形時(shí)的不收斂解問題,見圖8(a).Cho 等[123]在水平集法框架下,采用均勻材料屬性和隱式邊界轉(zhuǎn)換為顯式邊界的策略實(shí)現(xiàn)了幾何非線性求解的數(shù)值穩(wěn)定性.Kawamoto[124]利用Levenberg-Marquardt 法替代Newton-Raphson法對(duì)非線性方程進(jìn)行迭代求解,避免了優(yōu)化迭代過程中的不收斂問題,見圖8(b).基于等效靜載荷思路,Lee 等[62]將非線性靜態(tài)響應(yīng)近似等效為某一些時(shí)刻靜載荷的線性靜態(tài)響應(yīng),有效解決了幾何非線性連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題.為了保證切線剛度矩陣的正定性,Lahuerta 等[83,125]采用多凸性本構(gòu)模型結(jié)合松弛函數(shù)實(shí)現(xiàn)了過度變形單元的穩(wěn)定.Yoo 等[126]使用改進(jìn)的蟻群優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)了幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化.Gomes 等[127]將序列分段線性規(guī)劃算法引入到幾何大變形結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題求解.Wang 等[79]基于SIMP 法提出一種新的能量插值策略,在低剛度單元區(qū)域和實(shí)體單元區(qū)域分別采用小變形理論和大變形理論對(duì)彈性能密度進(jìn)行插值,保證了切線剛度矩陣正定性.后來,Lazarov 等[128]將該方法應(yīng)用到微機(jī)電系統(tǒng)的大位移柔性機(jī)構(gòu)的穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì).Wallin 等[86]比較了使用割線剛度和切線剛度對(duì)最終優(yōu)化構(gòu)型的影響,他們發(fā)現(xiàn),當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生小變形時(shí),最終構(gòu)型基本一致,而當(dāng)發(fā)生大變形時(shí),則會(huì)出現(xiàn)明顯的區(qū)別.Zhu 等[129]發(fā)展了移動(dòng)可變形組件法,成功解決了幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化問題,見圖8(c);Silva 等[130]提出考慮應(yīng)力約束、制造不確定性和幾何非線性的柔性機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法;Zhu 等[131]使用開源軟件平臺(tái)FreeFEM 編寫了幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化MATLAB 程序.在SIMP 法框架下,Luo 等[87]提出附加超彈材料技術(shù),在中低密度區(qū)域中加入一種與原始單元共用節(jié)點(diǎn)的超彈性單元,通過所附加超彈性材料的高體積模量和剪切能力可以有效地緩解中低密度單元畸形導(dǎo)致的數(shù)值失穩(wěn)問題.基于附加超彈材料技術(shù),Chen 等[88]公布了幾何非線性結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化MATLAB 程序,將幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化算法與商業(yè)分析軟件ANSYS 結(jié)合,一定程度上推進(jìn)了拓?fù)鋬?yōu)化算法的工程實(shí)用性.在此基礎(chǔ)上,龍凱等[132]提出了一種控制結(jié)構(gòu)最大位移的幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化方法,具有良好的工程實(shí)用性,見圖8(d).為了進(jìn)一步提高優(yōu)化結(jié)果的精度,Liu 等[133]提出了一種改進(jìn)的附加超彈性技術(shù),并實(shí)現(xiàn)了大位移柔性機(jī)構(gòu)的幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),見圖8(e).此外,Dunning[134]提出一種基于共旋轉(zhuǎn)法的幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化方法,這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于切線剛度矩陣具有固有正定性,見圖8(f).需要指出的是,柔性機(jī)構(gòu)一般利用幾何大變形來實(shí)現(xiàn)大的位移或力傳遞,其拓?fù)鋬?yōu)化需要考慮幾何非線性,然而也應(yīng)考慮諸如多輸入多輸出需求、類鉸鏈、灰度單元等問題[2].比如,榮見華團(tuán)隊(duì)[135]近期提出了一種考慮多輸入多輸出的無鉸鏈全解耦柔性機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的新方法以解決上述問題,可將該方法進(jìn)一步推廣到考慮幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題.

圖8 基于直接影響切線剛度矩陣非正定思路的幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化: (a) 利用遺傳算法優(yōu)化大位移柔性機(jī)構(gòu)[122];(b) 基于Levenberg-Marquardt 法優(yōu)化直線運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)[124];(c) 基于MMC 的懸臂梁優(yōu)化[129];(d) 控制最大位移的懸臂梁設(shè)計(jì)[132];(e) 改進(jìn)的附加超彈性技術(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)柔性?shī)A持機(jī)構(gòu)[133];(f) 共旋轉(zhuǎn)優(yōu)化設(shè)計(jì)不同的位移反向器[134]Fig.8 Geometrically nonlinear topology optimization based on the idea of directly affecting the non positive definite tangent stiffness matrix:(a) optimization of a large displacement flexible mechanism using genetic algorithm[122];(b) optimization of a linear motion mechanism based on Levenberg-Marquardt method[124];(c) optimization of a cantilever based on MMC method[129];(d) design of a cantilever to control maximum displacement[132];(e) optimization design of a flexible clamping mechanism based on improved additional hyperelasticity technology[133];(f) optimal design of different inverter mechanisms with co-rotational method[134]

綜上所述,上述方法可以有效影響切線剛度矩陣非正定特性,進(jìn)而一定程度上緩解幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值不穩(wěn)定問題,但是,也存在進(jìn)一步改進(jìn)的空間.比如,能量插值策略在低密度單元區(qū)域的線性有限元分析會(huì)一定程度上影響最終優(yōu)化結(jié)果的精度;附加超彈材料技術(shù)額外地增加超彈性單元同樣會(huì)影響優(yōu)化結(jié)果的精度,且關(guān)鍵參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)選取對(duì)最終結(jié)果有一定的影響;Levenberg-Marquardt 法的實(shí)用性取決于迭代過程中啟發(fā)式更新方案的選擇;序列分段線性規(guī)劃算法需要較多的計(jì)算成本;共旋轉(zhuǎn)法由于需要進(jìn)行額外的矩陣轉(zhuǎn)換計(jì)算,計(jì)算效率較低.需要指出的是,基于排除“偽材料”單元和基于改變單元畸形思路來解決幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值不穩(wěn)定問題的核心還是為了解決非線性有限元計(jì)算過程中切線剛度矩陣非正定問題,所以,上述三種策略在本質(zhì)上是一樣的.

3 邊界非線性連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化

實(shí)際工程結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中,各結(jié)構(gòu)之間往往發(fā)生接觸,接觸體的變形和接觸邊界的摩擦使得部分邊界條件伴隨加載過程而發(fā)生非線性變化,諸如此類結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)需要考慮邊界非線性.邊界非線性一般發(fā)生在具有接觸邊界條件的結(jié)構(gòu)變形問題中,如汽車碰撞、齒輪的嚙合、電機(jī)組合轉(zhuǎn)子的組裝和軸承接觸等.本部分對(duì)邊界非線性連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化相關(guān)研究進(jìn)行綜述.

通過將次梯度優(yōu)化算法引入到拓?fù)鋬?yōu)化中,Petersson 等[136]優(yōu)化了單邊接觸條件下板結(jié)構(gòu),使其剛度最大,該方法具有較好的收斂性和較高的計(jì)算效率,見圖9(a).Mankame 等[137-138]借助正則化接觸模型對(duì)輔助接觸式柔性機(jī)構(gòu)進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),正則化接觸模型利用平滑逼近的單邊位移約束處理接觸相互作用;后來,針對(duì)具有給定非光滑路徑的輔助接觸式柔性機(jī)構(gòu),他們提出了一種考慮大變形的正則化法向接觸模型順序優(yōu)化方法,以克服該機(jī)構(gòu)的非光滑響應(yīng)求解難題,見圖9(b).在接觸邊界條件下,Fancello[139]研究了考慮局部失效的質(zhì)量最小多工況拓?fù)鋬?yōu)化問題,在每個(gè)迭代步和加載工況下采用接觸求解器以獲得平衡變形構(gòu)型.為了研究考慮結(jié)構(gòu)件相互接觸時(shí)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題,Peng 等[140]在給出接觸模型求解算法的基礎(chǔ)上,建立含有接觸約束的拓?fù)鋬?yōu)化列式.Desmorat[141]利用均勻熱力學(xué)勢(shì)的概念,引入接觸模型,建立了無摩擦單邊接觸柔度最小化的拓?fù)鋬?yōu)化列式,并通過固定網(wǎng)格和局部靈敏度計(jì)算策略進(jìn)行有效求解,見圖9(c).為了求得具有給定摩擦的單邊接觸彈性體拓?fù)鋬?yōu)化問題的數(shù)值解,My?liński[142-143]利用控制位移場(chǎng)的二階橢圓型變分不等式描述考慮摩擦的接觸問題,并通過拓?fù)鋵?dǎo)數(shù)和水平集法進(jìn)行求解,見圖9(d).在SIMP 框架下,Str?mberg 等[144]開展了無摩擦單邊剛性支座接觸的連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化問題,其中,利用增廣拉格朗日法和光滑近似方法對(duì)Signorini 接觸條件進(jìn)行改進(jìn),以描述無摩擦接觸問題.隨后,為了提高該方法的計(jì)算效率,Str?mberg[145]提出了一種以最大勢(shì)能為目標(biāo)的優(yōu)化列式.他還進(jìn)一步將該思想擴(kuò)展到解決具有制造約束和單邊接觸約束的結(jié)構(gòu)連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化問題[146],見圖9(e).基于線性等效載荷法思路,Yi 等[147]發(fā)展了考慮接觸非線性的連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法.基于顯式水平集法和擴(kuò)展有限元法,在無限小應(yīng)變和線彈性假設(shè)下,Lawry 等[148]提出了一種解決彈性體之間存在滑移接觸的連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法,見圖9(f);在此基礎(chǔ)上,他們又將該方法擴(kuò)展到解決有限應(yīng)變問題[149],見圖9(g).利用材料掩膜覆蓋策略,Kumar等[150-151]對(duì)考慮自接觸和相互接觸兩種工況的柔性機(jī)構(gòu)進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì).基于他們前面提出的附加超彈材料技術(shù)[87],并通過建立非線性彈簧模型模擬無摩擦接觸支承,Luo 等[97]進(jìn)一步研究了無摩擦接觸支承下超彈結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題,研究發(fā)現(xiàn),超彈結(jié)構(gòu)發(fā)生大變形將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的接觸邊界條件改變.針對(duì)無摩擦單邊接觸條件下結(jié)構(gòu)剛度最大拓?fù)鋬?yōu)化問題,Kanno[152]從拉格朗日對(duì)偶理論角度出發(fā),建立了一種新的優(yōu)化列式.基于三場(chǎng)SIMP 模型,通過引入接觸壓力方差約束,Niu 等[153]發(fā)展了一種無摩擦接觸彈性結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化方法,該方法可提高接觸壓力均勻性,見圖9(h).在假設(shè)接觸區(qū)域已知的前提下,Kristiansen 等[154]利用p范數(shù)的目標(biāo)函數(shù)控制接觸壓力分布和變化,同時(shí),為了控制接觸壓力,他們?cè)隈詈吓ｎD解中采用了基于拉格朗日乘子的接觸公式.Ma 等[155]提出了一種解決接觸問題的等效靜力位移法,該方法通過在靜力分析中施加一組位移模擬接觸力,所施加位移組的反力等于非線性分析中的接觸力.但是,該方法局限于尺寸優(yōu)化問題.針對(duì)多個(gè)三維可變形物體互相接觸的拓?fù)鋬?yōu)化問題,Fernandez 等[156]使用砂漿逐段接觸算法離散接觸面,該方法在模擬大變形固-固接觸時(shí)具有較好的魯棒性,見圖11(i).基于庫(kù)侖摩擦定律描述摩擦行為,Niu 等[157]發(fā)展了一種考慮摩擦接觸的彈性結(jié)構(gòu)剛度最大化設(shè)計(jì)拓?fù)鋬?yōu)化方法.最近,張衛(wèi)紅團(tuán)隊(duì)[158]研究了具有最大接觸壓力約束的彈性接觸的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題;他們采用了KS 凝聚函數(shù)表征一定接觸區(qū)域的最大接觸壓力,并將之作為約束引入到拓?fù)鋬?yōu)化列式.

圖9 邊界非線性連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化: (a) 利用次梯度優(yōu)化算法設(shè)計(jì)單邊接觸條件下板結(jié)構(gòu)[136];(b) 借助正則化接觸模型優(yōu)化設(shè)計(jì)輔助接觸式柔性機(jī)構(gòu)[137];(c) 單側(cè)無摩擦接觸結(jié)構(gòu)剛度優(yōu)化結(jié)構(gòu)[141];(d) 分段常數(shù)水平集法解決單側(cè)接觸問題[143];(e) 考慮制造約束和單邊接觸約束的優(yōu)化設(shè)計(jì)[146];(f) 考慮滑動(dòng)接觸界面的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)[148];(g) 有限應(yīng)變下雙邊接觸拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果[149];(h) 可提高接觸壓均勻性的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)[153];(i) 多個(gè)三維可變形物體互相接觸拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)[156]Fig.9 Topology optimization with boundary nonlinearity: (a) utilizing sub-gradient optimization algorithm to design the plate structure under the condition of unilateral contact[136];(b) optimization design of an auxiliary contact flexible mechanism with regularized contact model[137];(c) stiffness optimization of one side frictionless contact structure[141];(d) solving one side contact problem by the piecewise constant level set method[143];(e) optimal design considering manufacturing constraints and unilateral contact constraints[146];(f) topology optimization design considering sliding contact interface[148];(g) topology optimization with bilateral contact under finite strain[149];(h) topology optimization design to improve the uniformity of contact pressure[153];(i) topology optimization design of a multiple 3D deformable object in contact with each other[156]

由此可見,接觸帶來的強(qiáng)非線性和不連續(xù)性對(duì)優(yōu)化建模和求解算法提出了巨大挑戰(zhàn).目前研究已經(jīng)初步解決了基本的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題,但是,還存在一定的局限性,比如,主要局限于剛度最大設(shè)計(jì)問題,需要進(jìn)一步向其他優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)問題擴(kuò)展,以適應(yīng)實(shí)際工程需求;通常假設(shè)接觸區(qū)域已知,這與實(shí)際工程問題往往有較大出入,亟需進(jìn)一步的研究.

值得提出的是,近期羅陽(yáng)軍等[159-160]提出了一種基于材料場(chǎng)級(jí)數(shù)展開的結(jié)構(gòu)非梯度拓?fù)鋬?yōu)化方法,該方法通過模型降階的思想可為非線性拓?fù)鋬?yōu)化問題(包括材料非線性、幾何非線性和接觸非線性)提供一個(gè)全新的求解思路,已成功解決了類如軟體聲子晶體、柔性電子和薄膜等非線性結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì),以及動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)等連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域充滿挑戰(zhàn)性的問題[161-164].此外,引入其他力學(xué)約束或者性能需求的非線性拓?fù)鋬?yōu)化問題將變得更加復(fù)雜,但也是解決結(jié)構(gòu)實(shí)際工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題必須要考慮的.比如,工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過程中存在固有的客觀不確定性和主觀不確定性,進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)需要慎重考慮,邱志平團(tuán)隊(duì)近期在考慮不確定性線性結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域做了大量工作[165-167].另外,文桂林團(tuán)隊(duì)[44-49]近年來在穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方面取得了一些進(jìn)展,成功將云模型引入到拓?fù)鋬?yōu)化列式,得到了綜合主觀和客觀不確定性的創(chuàng)新性設(shè)計(jì);將區(qū)間優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為等效的確定性多工況優(yōu)化設(shè)計(jì)問題,大大提升了計(jì)算效率,如圖10(a)～10(c)所示.而考慮不確定性的非線性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)是一個(gè)更具挑戰(zhàn)和值得探索的領(lǐng)域.

圖10 穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化相關(guān)研究: (a) 外載力方向不確定性穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)[44];(b) 區(qū)間不確定性穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)[46];(c) 基于虛擬隨機(jī)載荷的穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)[48];(d) 外載力位置不確定性穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)[49]Fig.10 Research on robust topology optimization: (a) robust topology optimization (RTO) with uncertain direction of external load[46] and compared with that obtained from deterministic topology optimization(DTO);(b) interval uncertainty robust topology optimization[46];(c) robust topology optimization based on pseudo random load[48];(d) robust topology optimization with uncertainty ofexternal load position[49]

4 結(jié)論和展望

航空航天、航海工程、機(jī)器人等裝備領(lǐng)域結(jié)構(gòu)不管從自身材料屬性還是使用要求來看,都存在大量的非線性問題,即,材料非線性、幾何非線性和邊界非線性.而連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法為諸如這些結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供了一種優(yōu)于傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)方法的創(chuàng)新手段,因此,研究非線性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法具有重要意義.本文詳細(xì)介紹了國(guó)內(nèi)外在非線性連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方面的研究進(jìn)展,可以發(fā)現(xiàn),雖然非線性拓?fù)鋬?yōu)化方法近年來取得了長(zhǎng)足的進(jìn)展,但還尚未成熟,亟需進(jìn)一步的發(fā)展.

(1)材料非線性連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化和幾何非線性連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化相對(duì)于邊界非線性連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化研究較多,原因在于接觸問題的強(qiáng)非線性和不連續(xù)性對(duì)優(yōu)化模型的建立以及優(yōu)化算法提出了更高的挑戰(zhàn),特別對(duì)于高速碰撞結(jié)構(gòu)和材料的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題,需要進(jìn)一步的研究.材料非線性拓?fù)鋬?yōu)化研究大部分局限于理想彈塑性假設(shè),需要發(fā)展適用于更加復(fù)雜應(yīng)力-應(yīng)變行為的方法,特別是超彈材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)研究.幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化大多局限于大變形小應(yīng)變問題,對(duì)于大變形大應(yīng)變,甚至高應(yīng)變率問題需要進(jìn)一步探索;此外,目前方法大多數(shù)在拉格朗日法描述框架下進(jìn)行,非線性拓?fù)鋬?yōu)化循環(huán)中有限元響應(yīng)計(jì)算存在精度差的問題,因此,基于歐拉法的幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化方法值得進(jìn)一步的探索.

(2)目前非線性連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化還局限于靜力學(xué)或準(zhǔn)靜態(tài)系統(tǒng),而實(shí)際工程結(jié)構(gòu),如衛(wèi)星、火箭等在發(fā)射或者使用過程中,常常表現(xiàn)為復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)行為[168-169],考慮復(fù)雜非線性動(dòng)力學(xué)行為的連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法還鮮有人研究,是將來研究的重點(diǎn)方向.此外,非線性連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化由于需要求解大量的非線性方程組,計(jì)算效率往往很低,限制了其工程應(yīng)用,基于多分辨率的思路可以實(shí)現(xiàn)高效率和保精度的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)[90,170-173],但該方法仍存在諸如在過濾半徑較小的情況容易出現(xiàn)棋盤格現(xiàn)象和QR 模式等問題[174],需要進(jìn)一步解決.機(jī)器學(xué)習(xí)、并行高性能計(jì)算和多重網(wǎng)格法也是克服非線性連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算量大的潛在研究方向[6,8,175-178].