吳呈哲 劉長武， 袁 勛 王 丁

（1.四川大學(xué)水利水電學(xué)院；2.四川大學(xué)災(zāi)后管理與重建學(xué)院；3.西南科技大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院）

由于采礦工程涉及到巖層內(nèi)的原巖應(yīng)力場以及復(fù)雜的巖體性質(zhì)等問題，導(dǎo)致早期對于礦山壓力的研究往往需要先忽略一些非關(guān)鍵因素再進行討論。例如最早對于采場礦山壓力的研究分別根據(jù)頂板巖石的成拱作用和頂板的周期斷裂現(xiàn)象，提出了壓力拱假說和懸臂梁假說。隨后學(xué)者們在懸臂梁假說的基礎(chǔ)上分別考慮了上部巖層、斷裂巖塊之間的鉸接作用以及巖體裂隙等因素，提出了鉸接巖塊假說、預(yù)成裂隙假說、砌體梁模型［1］、傳遞巖梁理論［2］以及巖層控制關(guān)鍵層理論［3］。然而在工作面長度較短的情況下，相較于將頂板視為梁，將頂板簡化為彈性板更符合實際情況，因此，陳炎光［4］、錢鳴高［5］等將頂板視為彈性薄板，并通過模型試驗結(jié)合理論推導(dǎo)的方式對頂板的破壞形式、來壓步距等問題進行研究，認(rèn)為頂板在初次來壓時呈“O-X”型破壞，而在周期來壓時則呈半“X”型破壞。此外，蔣金泉［6］、付國彬［7］、戴興國［8］等亦將頂板視為薄板，從板的屈服線角度對頂板的斷裂形式、來壓步距等問題進行研究。陳忠輝等［9］則在彈性薄板的基礎(chǔ)上考慮了節(jié)理裂隙的影響，將頂板視為被許多節(jié)理或斷層切割成有限個薄板塊，薄板之間相互擠壓形成鉸接連接這一力學(xué)模型，進而分析了頂板的垮落以及來壓特性。

根據(jù)大量的生產(chǎn)實踐結(jié)合模型試驗可以發(fā)現(xiàn)，由于頂板破斷的角效應(yīng)，頂板在破壞時往往會在支承邊界附近產(chǎn)生弧形破斷，進而在頂板兩端留下兩個類似于三角形的弧形小角（圖1）［10］。然而，許多學(xué)者在運用薄板理論進行頂板的來壓預(yù)報時，通常忽視了這2個弧形三角塊的影響，將頂板視為不同支承條件下的矩形薄板。這種簡化方法雖然通過改變頂板的實際結(jié)構(gòu)減少了計算量，但目前仍缺乏對其合理性的討論。因此，本研究將頂板弧形破壞所留下的兩個弧形三角塊考慮到頂板的來壓計算中來，進一步探討頂板破斷角效應(yīng)對于頂板周期來壓特性的影響。

1 計算模型

為了討論頂板破斷角效應(yīng)對于頂板周期來壓特性的影響，需分別計算考慮弧形三角塊的頂板和不考慮弧形三角塊的頂板的最大應(yīng)力并進行比較，進而論證哪種計算方法更合理?；⌒稳菈K的尺寸主要由文獻(xiàn)［4］中模型試驗所得到的頂板破壞簡化模型來確定，具體的頂板周期來壓模型尺寸如圖2所示。

因為弧形邊界的存在導(dǎo)致較難推導(dǎo)薄板彎曲的解析解，因而本次討論采用差分法［11］來進行近似求解，并以Saint Venant原理為基礎(chǔ)將弧形邊界簡化為階梯形邊界，2個模型的尺寸和差分網(wǎng)格的劃分情況如圖3和圖4所示。

圖3和圖4中，a為工作面長度，0.17a和a/5為弧形三角塊的尺寸，b a代表周期來壓步距。其中，b為周期來壓步距與工作面長度的比值，在分析周期來壓步距與頂板最大應(yīng)力的關(guān)系時，若采用b來代表周期來壓步距能使分析結(jié)果適用于不同工作面長度的情況。在劃分差分網(wǎng)格時綜合考慮了計算量和計算精度的問題，將工作面十等分，將周期來壓步距三等分，將弧形三角板兩等分，編號A～R為差分網(wǎng)格各結(jié)點編號。由于首采工作面（三邊固支、一邊自由）和孤島工作面（一長邊固支、一長邊自由、兩短邊簡支）的邊界條件均對稱，因此可取一半的模型進行計算。

2 理論推導(dǎo)

2.1 建立差分方程

根據(jù)圖2和圖3可知，所劃分的差分網(wǎng)格存在3種不同尺寸的步長，分別為h1=a/10、h2=ba/3和h3=0.17a/2，這3種不同尺寸的步長可構(gòu)成4種不同的結(jié)點情況，如圖5所示。

圖5中，結(jié)點0代表符合該情況的所求結(jié)點，結(jié)點1～12為推導(dǎo)該結(jié)點的差分公式所需的周邊結(jié)點。其中，圖3中結(jié)點A～E、F～H和K～M、R均屬于情況1，I～J屬于情況2，N～O屬于情況3，P～Q屬于情況4。圖4中結(jié)點A～O均屬于情況1。通過推導(dǎo)相應(yīng)的差分公式再結(jié)合彈性曲面微分方程可獲得各情況所對應(yīng)的差分方程如下。

（1）結(jié)點情況一：

（2）結(jié)點情況二：

（3）結(jié)點情況三：

（4）結(jié)點情況四：

式中，h1=a/10，m；h2=b a/3，m；h3=0.17a/2，m；f為各結(jié)點的撓度，m；q為頂板上覆荷載，Pa；D為薄板的彎曲剛度，N·m。

2.2 虛結(jié)點的求解

根據(jù)所推導(dǎo)的差分方程可知，若所推求的差分方程要成立，則要求f0～f12均存在，但對于薄板邊界附近的結(jié)點而言，其周圍的結(jié)點數(shù)目明顯不夠，故需要合理運用邊界條件來導(dǎo)出滿足邊界條件的虛結(jié)點，以此來滿足求解所要求的結(jié)點數(shù)目。

對于矩形彈性薄板模型，其邊界條件主要有自由邊、固支邊和簡支邊。如圖6所示，假設(shè)AB邊為邊界，結(jié)點2、6、7、10為虛結(jié)點，則有如下結(jié)論［11-12］：

（1）若A B邊為簡支邊，則有f2=-f4。

（2）若A B邊為固支邊，則有f2=f4。

（3）若A B邊為自由邊，則有

式中，μ為巖石泊松比。

對于考慮了弧形三角塊的彈性薄板模型，其階梯形邊界附近所需求解的虛結(jié)點如圖7所示。

各虛結(jié)點的求解思路及結(jié)果如下。

（1）階梯形邊界結(jié)點1。由(M xy)0=0、(M x)2=0、(M y)2=0可得：

（2）階梯形邊界結(jié)點2。由(M xy)0=0、(M x)0=0、(M y)0=0、(F sx)0=0、(F sy)0=0可得：

（3）階梯形邊界結(jié)點3。同上可得

（4）階梯形邊界結(jié)點4。同上可得：

3 方程組求解與結(jié)果分析

在求得邊界條件附近的虛結(jié)點后就具備了每個差分方程計算時所需的f0～f12。將各結(jié)點分別代入差分方程式（1）～式（4），可分別得出含18個方程的方程組（考慮了弧形三角塊的彈性薄板模型）和含15個方程的方程組（矩形彈性薄板模型）。通過求解以上兩組方程組即可得到薄板上各結(jié)點的撓度，進而求出各點的應(yīng)力值［11］。本次討論采用Maple軟件來求解方程組，分析的情況主要有首采工作面和孤島工作面。為減小求解難度，此處將頂板巖石的泊松比μ設(shè)為0.25。

3.1 頂板破斷角效應(yīng)對于頂板最大應(yīng)力的影響

頂板最大應(yīng)力的大小及所在位置主要受頂板周期來壓步距b a的影響?？紤]到通常情況下頂板的周期來壓步距與工作面長度的比值（即b值）都相對較小，因此只考慮頂板的最大應(yīng)力在長邊中點處這一情況。在此，用考慮了板破斷角效應(yīng)的頂板最大應(yīng)力σ1與矩形頂板最大應(yīng)力σ2的差值和矩形頂板的最大應(yīng)力σ2的比值來分析弧形三角塊的存在對于頂板來壓特性的影響，結(jié)果如圖8所示。

可以看到，對于首采工作面，當(dāng)b小于0.147時，相減的結(jié)果大于0，也就是說在這種情況下考慮板破斷角效應(yīng)會使頂板的最大應(yīng)力增大，且最高可達(dá)到矩形頂板最大應(yīng)力的1.27倍左右。在此情況下若按矩形薄板模型計算，其結(jié)果偏危險。當(dāng)b大于0.147時，相減結(jié)果明顯小于0，這表明在此情況下弧形三角塊的存在會使頂板的最大應(yīng)力偏小，若按矩形薄板模型計算，其結(jié)果偏安全。

而對于孤島工作面，當(dāng)b值小于0.166時，2種模型相減的結(jié)果小于0，即在此情況下考慮板破斷角效應(yīng)會使頂板的最大應(yīng)力偏小，若按矩形薄板模型計算，其結(jié)果偏安全。當(dāng)b值大于0.166時，2種模型相減的結(jié)果大于0，即在這種情況下考慮板破斷角效應(yīng)會使頂板的最大應(yīng)力增大，且最高可達(dá)到矩形頂板最大應(yīng)力的1.25倍左右。在此情況下若按矩形薄板模型計算，其結(jié)果偏危險。

3.2 板破斷角效應(yīng)對于頂板周期來壓步距的影響

根據(jù)以上分析可知，在首采工作面的b小于0.147和孤島工作面的b大于0.166情況下，按矩形薄板模型計算的結(jié)果均偏危險。為進一步分析在這種偏危險的情況下用矩形薄板模型來估算頂板的周期來壓步距是否合理，在此將不利情況下考慮了頂板破斷角效應(yīng)和未考慮頂板破斷角效應(yīng)的頂板周期來壓步距與相關(guān)參數(shù)之間的關(guān)系曲線進行比較，具體見圖9、圖10（σm為頂板巖層的極限抗拉強度，Pa；δ為頂板厚度，m；a為工作面長度，m）。

不管是在首采工作面還是在孤島工作面，在相同條件下，2種模型計算所得到的周期來壓步距之間的差值呈先增長后降低的趨勢，但兩者的差值與周期來壓步距本身的數(shù)值相比則明顯較小，故在實際估算中可忽略其影響。

4 結(jié)論

（1）在估算頂板最大應(yīng)力時，若忽略頂板破斷角效應(yīng)的影響而采用矩形薄板模型進行計算，對首采工作面而言，當(dāng)b值于0.147時偏危險，b值大于0.147時則偏安全。對于孤島工作面而言，當(dāng)b值小于0.166時偏安全，b值大于0.166時則偏危險。

（2）考慮了頂板破斷角效應(yīng)的頂板最大應(yīng)力最高可達(dá)到矩形頂板最大應(yīng)力的1.27倍左右。由于頂板的內(nèi)力與工作面前方塑性區(qū)長度的計算密切相關(guān)，而工作面前方塑性區(qū)長度又是求得底板最大破壞深度的塑性解的關(guān)鍵參數(shù)。因此，在進行工作面前方塑性區(qū)長度以及底板最大破壞深度時應(yīng)考慮頂板破斷角效應(yīng)的影響設(shè)置相應(yīng)的安全系數(shù)。

（3）在首采工作面及孤島工作面情況下，考慮到周期來壓步距的常見取值范圍，按矩形薄板模型來估算頂板的周期來壓步距并不會產(chǎn)生較大的危險。此外，由于回采工作面的邊界條件介于首采工作面及孤島工作面2種情況之間，因此可認(rèn)為在回采工作面條件下按矩形薄板模型來估算周期來壓步距也是合理的。