張 翔，葉小華，彭 耀，黃建中

(1.安徽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽馬鞍山 243032；2.安徽燊泰智能設(shè)備有限公司，安徽馬鞍山 243000；3.液壓振動技術(shù)安徽省工程技術(shù)研究中心，安徽馬鞍山 243002)

線材打捆機(jī)是高線生產(chǎn)線自動打包的關(guān)鍵設(shè)備，包括壓緊、打捆、扭結(jié)和剪切等工位[1-2]。其中打捆機(jī)壓盤對線材的壓緊為最重要的一步，決定著打捆的質(zhì)量，故對壓緊力的控制提出了較高要求。但打捆機(jī)的閥控缸液壓系統(tǒng)存在較大的內(nèi)部參數(shù)變化和外部負(fù)載力擾動，使得現(xiàn)有PID 控制效果不佳。為抑制液壓系統(tǒng)中的擾動，目前主要采用自適應(yīng)控制算法、最優(yōu)控制算法、H∞魯棒控制算法[3-5]。這些控制算法對系統(tǒng)模型的精度要求高，設(shè)計(jì)的控制器結(jié)構(gòu)復(fù)雜、整定參數(shù)多。自抗擾控制(active disturbance rejection control，ADRC)是一種基于對被控系統(tǒng)外部和內(nèi)部干擾進(jìn)行估計(jì)并主動補(bǔ)償?shù)目刂品椒?，能有效抑制系統(tǒng)干擾，系統(tǒng)具有較強(qiáng)的自抗擾能力[6]。ADRC 對系統(tǒng)模型精度要求較低、控制器結(jié)構(gòu)相對簡單，故其在汽車主動轉(zhuǎn)向控制[7]、永磁同步電機(jī)控制[8]、飛行器姿態(tài)控制[9]以及液壓系統(tǒng)控制[10-11]等方面廣泛應(yīng)用，但少見在線材打捆機(jī)方面的應(yīng)用。

目前，對于閥控缸液壓系統(tǒng)的自抗擾控制研究[12-15]多采用機(jī)理推導(dǎo)建模方法，這種方法需進(jìn)行復(fù)雜的線性化處理，所建模型無法體現(xiàn)系統(tǒng)各狀態(tài)變量的聯(lián)系；忽略了控制閥動態(tài)特性對控制器階次的影響，設(shè)計(jì)的控制器結(jié)構(gòu)復(fù)雜、需整定參數(shù)多。鑒于此，設(shè)計(jì)基于ADRC 的線材打捆機(jī)電液力控制系統(tǒng)，采用適合于復(fù)雜非線性系統(tǒng)建模的功率鍵合圖法[16-18]，建立線材打捆機(jī)電液系統(tǒng)模型，通過零點(diǎn)配置的方法降低系統(tǒng)的階次，以簡化設(shè)計(jì)的控制器結(jié)構(gòu)和所需整定參數(shù)，最后通過軟件仿真驗(yàn)證系統(tǒng)的控制性能和抗干擾能力。

1 線材打捆機(jī)電液系統(tǒng)模型的建立

線材打捆機(jī)電液系統(tǒng)主要由比例伺服閥和液壓缸組成，通過輸入比例伺服閥的電壓來控制閥芯位移，進(jìn)而控制液壓缸的輸出力。比例伺服閥的輸入為電壓、輸出為閥芯位移，其動態(tài)特性是一個(gè)典型的二階振蕩環(huán)節(jié)，故文中主要對以閥芯位移為輸入、以力為輸出的液壓缸進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。

1.1 液壓缸的數(shù)學(xué)模型

零開口四邊滑閥控制非對稱液壓缸系統(tǒng)的功率鍵合圖如圖1。圖1中：系統(tǒng)的壓力源和回油箱阻力用力元代替，分別用p1和p8表示；四邊滑閥閥芯與閥套形成的4 個(gè)節(jié)流孔用阻性元代替，分別用R1，R2，R3，R4表示；液壓缸無桿腔和有桿腔用容性元代替，分別用C1和C2表示；液壓缸的內(nèi)泄漏用阻性元代替，用R5表示；液壓缸所受的慣性、黏性和彈性負(fù)載力分別用慣性元、阻性元、容性元代替，分別用I，R6，C3表示；A1，A2分別為液壓缸無桿腔和有桿腔的面積。

圖1 閥控缸的功率鍵合圖Fig.1 Power bonding diagram of valve controlled cylinder

由圖1知，與C1連接的0節(jié)點(diǎn)處各功率鍵壓力相等，且流量代數(shù)和為零，即有

式中q15，q16，q17，q23分別表示鍵合圖中通過通道15，16，17，23的流量。由圖1可知q15，q17，q23為：

式中：p16，p20分別為液壓缸無桿腔和有桿腔的壓力；v為液壓缸活塞速度。又因C1作用元上q16為自變量、p16為因變量，故有

由式(1)～(3)可得

同理，對容性元C2連接的0節(jié)點(diǎn)作同樣分析，可得

與代表各負(fù)載的作用元連接的1節(jié)點(diǎn)處各功率鍵速度相等、力代數(shù)和為零，即有

式中：F1和F2分別為無桿腔和有桿腔內(nèi)油液對活塞的壓力；F3，F(xiàn)4，F(xiàn)5分別為液壓缸受到的黏性、彈性及慣性負(fù)載力。由圖1可知F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4為：

式中：R6為黏性阻尼系數(shù)；x為液壓缸活塞位移；C3為負(fù)載的柔度。又因在I作用元上F5為自變量、v為因變量，故有

聯(lián)立式(6)～(8)可得

閥口通過流量q與閥芯位移x′和閥兩端壓差Δp的關(guān)系為

式中：kq為流量系數(shù)；w為面積梯度；ρ為液壓油密度。由式(9)和圖1所示的功率鍵合圖可得進(jìn)入液壓缸無桿腔的流量q15和流出有桿腔的流量q21：

當(dāng)無桿腔進(jìn)油、有桿腔回油時(shí)，R2和R3代表的閥口關(guān)閉，則液阻R2=R3= +∞；回油阻力很小，故令p8= 0，則由式(4)，(5)，(10)可得：

1.2 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

液壓缸的狀態(tài)方程可寫為

比例伺服閥是以電壓U為輸入、閥芯位移xv為輸出的二階振蕩環(huán)節(jié)，ω1和ξ分別為其固有頻率和阻尼比，k1為二階振蕩環(huán)節(jié)的增益。因此用微分方程的形式可表示為

聯(lián)立式(13)，(14)可得系統(tǒng)以電壓U為輸入量、輸出力F為輸出量的表達(dá)式為

1.3 系統(tǒng)階次的降低

由式(15)可知系統(tǒng)為三階，由自抗擾控制原理可知需設(shè)計(jì)三階自抗擾控制器，控制器中包含四階擴(kuò)張觀測器和三階跟蹤微分器。同時(shí)需要三階跟蹤微分器產(chǎn)生指令的跟蹤信號及其一階和二階微分信號，并與擴(kuò)張狀態(tài)觀測器估計(jì)出的3 個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)變量進(jìn)行比較，構(gòu)成狀態(tài)誤差反饋。這樣設(shè)計(jì)的自抗擾控制器結(jié)構(gòu)復(fù)雜、控制器參數(shù)眾多、難以整定，不利于實(shí)際應(yīng)用，故需通過降低系統(tǒng)階次來簡化自抗擾控制器的設(shè)計(jì)。

文中結(jié)合打捆機(jī)電液系統(tǒng)中比例伺服閥作為已知二階振蕩環(huán)節(jié)的特點(diǎn)，采用系統(tǒng)零點(diǎn)配置法，通過增加1個(gè)跟蹤微分器，產(chǎn)生1個(gè)可抵消比例伺服閥環(huán)節(jié)的二階微分環(huán)節(jié)，其原理如圖2。

圖2 系統(tǒng)零點(diǎn)配置原理Fig.2 Principle of system zero point configuration

引入的跟蹤微分器狀態(tài)方程如式(17)，u為控制器輸出量；n1，n2，n3為跟蹤微分器的狀態(tài)變量。在選取速度因子r足夠小的情況下，n1近似等于u，相應(yīng)的n2和n3分別近似為u的一階和二階導(dǎo)數(shù)；再通過n1，n2，n3線性組合近似構(gòu)造二階微分環(huán)節(jié)，如式(18)。

通過零點(diǎn)配置，抵消比例伺服閥的動態(tài)特性，系統(tǒng)為

再以力傳感器輸出量y為系統(tǒng)輸出時(shí)，由式(18)可得

式中：b3為控制量u的放大系數(shù)，b3=k1k2b1；k2為代表力傳感器的比例環(huán)節(jié)增益；f3為b3u以外動態(tài)部分的總和，f3=k2f1。

2 ADRC線材打捆機(jī)電液力控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

自抗擾控制線材打捆機(jī)電液力控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)原理如圖3。圖3 中，β為期望與輸出信號之間誤差的反饋系數(shù)，g為未知外部擾動。通過將u和y作為擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的輸入，估計(jì)出控制系統(tǒng)的總擾動，再對u進(jìn)行實(shí)時(shí)補(bǔ)償，抵消總擾動的影響。通過被控量y與指令信號a的誤差反饋?zhàn)饔脤?shí)現(xiàn)控制，其中自抗擾控制器由狀態(tài)觀測器、擾動補(bǔ)償和誤差反饋組成。

圖3 ADRC系統(tǒng)原理Fig.3 Principle of ADRC system

2.1 擴(kuò)張狀態(tài)觀測器

被控系統(tǒng)為一階，所以設(shè)計(jì)二階擴(kuò)張狀態(tài)觀測器。二階擴(kuò)張狀態(tài)觀測器以控制量u和傳感器輸出量y為輸入，其狀態(tài)變量用z1和z2表示，分別代表對y和f3的估計(jì)值。

式中：e為估計(jì)值z1與實(shí)際值y的誤差；b為放大系數(shù)b3的估計(jì)值；α1，α2為擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的參數(shù)，采用帶寬ω1概念確定，分別取2ω2，。

2.2 誤差反饋和擾動補(bǔ)償

通過將擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對總擾動的估計(jì)值z2對輸入u進(jìn)行補(bǔ)償，抵消總擾動，使系統(tǒng)變成輸出y僅受輸入u影響的積分串形式，再通過a和y的誤差信號e0進(jìn)行負(fù)反饋控制。誤差反饋和擾動補(bǔ)償為：

3 仿真分析

采用AMESim 和Simulink 軟件對系統(tǒng)進(jìn)行聯(lián)合仿真。在AMESim 軟件中建立線材打捆機(jī)電液系統(tǒng)模型，供油壓力為200 Pa；無桿腔和有桿腔直徑分別為160，110 mm；活塞及負(fù)載折算到活塞上的質(zhì)量為8 150 kg；黏性阻尼系數(shù)為1 000 N·m-1·s；液壓缸的內(nèi)泄露系數(shù)為4×10-3L·min-1·Pa-1；比例伺服閥的固有頻率和固有阻尼比分別為5 Hz,0.7；負(fù)載剛度為4×105N/m；力傳感器的增益為1×10-5V/N。在Simulink 軟件中搭建ADRC和PID控制器模型，通過加入白噪聲(白噪聲能量NP為0.1，1.0)來模擬外部干擾，以階躍信號和正弦信號為指令信號，仿真分析干擾情況下基于ADRC和PID控制系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)跟蹤性能。

3.1 動態(tài)響應(yīng)

反饋控制率參數(shù)β= 20，擴(kuò)張狀態(tài)觀測器帶寬ω2= 100，放大系數(shù)估計(jì)值b= 0.2，用于零點(diǎn)配置的跟蹤微分器參數(shù)r= 200，NP分別為0.1和1.0時(shí)ADRC和PID控制系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)曲線如圖4。由圖4可知：在對階躍信號的動態(tài)響應(yīng)過程中，NP較小(0.1)時(shí)，PID控制系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間為2.5 s，ADRC的響應(yīng)時(shí)間僅1.2 s，同時(shí)PID 控制下液壓缸輸出力伴隨較大的超調(diào)和振蕩，最大超調(diào)為33.5%，而ADRC 下輸出力幾乎沒有超調(diào)和振蕩；NP較大(1.0)時(shí)，ADRC系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)幾乎不受影響，但PID控制系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)性能變差，超調(diào)進(jìn)一步加劇，最大達(dá)39.2%。

圖4 NP為0.1和1.0時(shí)ADRC和PID系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)曲線Fig.4 Dynamic response curves of ADRC and PID systems when NP is 0.1 and 1.0

NP 為0.1 和1.0 時(shí)ADRC 系統(tǒng)總擾動估計(jì)曲線如圖5。由圖5 可看出：相較于PID 控制系統(tǒng)，ADRC 控制系統(tǒng)能較好地對總擾動進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)，且通過對控制量的主動補(bǔ)償使系統(tǒng)具有較強(qiáng)的抗干擾能力，有效提高了線材打捆機(jī)電液力控制系統(tǒng)在干擾下的動態(tài)響應(yīng)性能。

圖5 NP為0.1和1.0時(shí)ADRC系統(tǒng)總擾動估計(jì)曲線Fig.5 Total disturbance estimation curves of ADRC system when NP is 0.1 and 1.0

3.2 穩(wěn)態(tài)跟蹤性能

反饋控制率參數(shù)β= 200，NP 分別為0.1 和1.0 時(shí)ADRC 和PID 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)跟蹤曲線如圖6。由圖6可知：ADRC控制系統(tǒng)對正弦信號的跟蹤好于PID控制系統(tǒng)；在干擾較大(NP=1.0)時(shí)，ADRC控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)跟蹤性能幾乎不受影響，但PID控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)跟蹤性能變差。

圖6 NP為0.1和1時(shí)ADRC和PID系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)跟蹤曲線Fig.6 Steady state tracking curves of ADRC and PID systems when NP is 0.1 and 1.0

NP為0.1和1.0時(shí)ADRC和PID控制系統(tǒng)跟蹤誤差曲線如圖7。分析圖7可知：不同NP下，ADRC控制系統(tǒng)相對跟蹤誤差都維持在2.4%以內(nèi)；對于PID 控制系統(tǒng)，NP 較小(0.1)時(shí)相對跟蹤誤差為7.9%，NP 較大(1.0)時(shí)相對跟蹤誤差增至10.8%。由此可看出，ADRC控制系統(tǒng)具有更好的穩(wěn)態(tài)跟蹤性能，抗干擾能力更強(qiáng)，打捆機(jī)在干擾條件下依然保持較穩(wěn)定的打捆力。

圖7 NP分別為0.1和1.0時(shí)ADRC和PID系統(tǒng)的跟蹤誤差曲線Fig.7 Tracking error curves of ADRC and PID systems when NP is 0.1 and 1.0

4 結(jié)論

針對PID 線材打捆機(jī)電液力控制系統(tǒng)控制性能不佳的問題，設(shè)計(jì)基于自抗擾控制(ADRC)的線材打捆機(jī)電液力控制系統(tǒng)。通過功率鍵合圖法對線材打捆機(jī)閥控缸液壓系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模；根據(jù)系統(tǒng)中比例伺服閥為二階振蕩環(huán)節(jié)的特點(diǎn)，通過配置其零點(diǎn)的方法降低系統(tǒng)的階次，簡化自抗擾控制器的設(shè)計(jì)。仿真結(jié)果表明：與PID 控制相比，在同一外加干擾情況下ADRC 系統(tǒng)階躍響應(yīng)時(shí)間縮短了50%，動態(tài)過程無超調(diào)、更平穩(wěn)，穩(wěn)態(tài)跟蹤時(shí)誤差減小到2.7%，ADRC 系統(tǒng)具有較好的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)跟蹤性能；在加大干擾的情況下，ADRC 系統(tǒng)控制性能基本保持不變，表現(xiàn)出較好的抗干擾能力和魯棒性。設(shè)計(jì)的ADRC 線材打捆機(jī)閥控缸液壓系統(tǒng)能有效提高打捆機(jī)的打捆質(zhì)量，可為系統(tǒng)的工程應(yīng)用提供參考。