譚敏堯 ，程文明 ，李杭飛 ，臧付連

（西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 四川 成都 610031）

在起重機(jī)械中薄壁箱形梁在工程中得到了廣泛的使用，在這些應(yīng)用中減輕重量是非常重要的.同時(shí)，由于這種結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是高剛度重量比，且在靜載荷和動(dòng)載荷的作用下薄壁箱形梁對扭轉(zhuǎn)和不穩(wěn)定性都非常敏感. 薄壁箱形梁在反對稱荷載作用下，除引起截面扭轉(zhuǎn)外，還產(chǎn)生截面畸變. 在薄壁箱形結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，傳統(tǒng)方法僅考慮延伸、彎曲、扭轉(zhuǎn)、翹曲4 種位移形變，在高階模態(tài)下，若不考慮畸變效應(yīng)，將大大影響自由振動(dòng)頻率預(yù)測的準(zhǔn)確度. 為了提高薄壁箱形梁結(jié)構(gòu)的計(jì)算精度，根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)特征建立廣義位移模型，在原有基礎(chǔ)上，增加畸變形變，這對薄壁箱形梁振動(dòng)特性的研究具有重要的意義.

Gere 等[1]采用Rayleigh-Ritz 方法研究了各種邊界條件下均布梁的彎扭耦合自由振動(dòng). 根據(jù)圣維南理論，Dokumaci 等[2-3]在靜載荷和動(dòng)載荷作用下建立了一些存有扭轉(zhuǎn)的模型. Ohga 等[4]利用傳遞矩陣法研究了開、閉截面薄壁構(gòu)件的自由振動(dòng). 此外，Adam[5]分析了單對稱梁的耦合彎扭振動(dòng). Arpaci等[6-7]研究了任意截面梁的自由振動(dòng). 對于任意開口截面薄壁梁的振動(dòng)，Jrad 等[8]推導(dǎo)了不同邊界條件下彎扭耦合模態(tài)的高自由振動(dòng)模態(tài)的解析解.G?kda?等[9]研究了單對稱開截面梁的自由振動(dòng)和受迫振動(dòng)的彎扭耦合. 在模型中，由虛功原理導(dǎo)出了包含質(zhì)量和剛度特性的動(dòng)力剛度矩陣. Rafezy 等[10]建立了三維非對稱截面的復(fù)合材料梁彎曲運(yùn)動(dòng)的精確動(dòng)力剛度矩陣. 李海超等[11]提出一種半解析法來分析圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性. 蒲育等[12]基于擴(kuò)展的N階廣義剪切變形梁理論獲得彈性地基簡支梁的自由振動(dòng)精確解. Ovesy 等[13]通過考慮不同的本構(gòu)方程假設(shè)，對薄壁組合梁的自由振動(dòng)特性進(jìn)行了研究. Vo 等[14]利用精剪變形理論對任意疊合梁進(jìn)行了振動(dòng)和屈曲分析. 該理論解釋了剪切應(yīng)變隨梁高的拋物線變化，產(chǎn)生的耦合稱為三耦合振動(dòng)和屈曲. Filippi 等[15]提出了一類用于組合結(jié)構(gòu)靜力和動(dòng)力分析的新型精細(xì)化梁理論. 這些梁模型是通過對梁截面上位移場的3 個(gè)分量執(zhí)行切比雪夫多項(xiàng)式的高階展開得到的. 考慮軸向翹曲效應(yīng)和材料各向異性對殼壁中表面剪切應(yīng)變的影響，Wang 等[16]提出了一種精度較高的薄壁封閉截面組合梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型.

雖然一些文獻(xiàn)對薄壁閉合梁進(jìn)行了動(dòng)力分析，但很少有文獻(xiàn)考慮彎曲、扭轉(zhuǎn)和畸變的耦合來求解薄壁閉合梁. 分析發(fā)現(xiàn)，薄壁箱梁的截面畸變對固有頻率有顯著影響. 因此，要正確地預(yù)測薄壁箱梁的動(dòng)力特性，必須同時(shí)考慮彎曲、扭轉(zhuǎn)和畸變形變.Kim 等[17]就薄壁箱梁靜力和動(dòng)力進(jìn)行了翹曲、扭轉(zhuǎn)和畸變耦合變形的靜力和動(dòng)力特性分析. Kaya 等[18]采用微分變換方法（DTM）分析軸向加載的閉口截面復(fù)合材料Timoshenko 梁的自由振動(dòng)響應(yīng)，該梁的材料耦合特性是由于鋪層方向的影響而發(fā)生彎曲和扭轉(zhuǎn)振動(dòng). Kim[19]對在軸向力作用下組合梁的空間耦合進(jìn)行了自由振動(dòng)分析，利用能量原理推導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)方程和力-位移關(guān)系方程，并基于位移分量的冪級數(shù)展開式給出位移參數(shù)的顯式表達(dá)式. 基于能量法，Proki?等[20]利用Benscoter 理論推導(dǎo)了薄壁梁的微分運(yùn)動(dòng)方程，研究了簡支薄壁梁的自由振動(dòng)行為. 但僅考慮到橫向剪切變形、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及翹曲影響，假設(shè)了薄壁箱形梁板面完全剛性，即忽略了箱梁橫截面的畸變形變. Dancila 等[21]提出了除非考慮薄壁箱形梁橫截面畸變形變，否則無法準(zhǔn)確預(yù)測更高的固有頻率.

本文基于彈性力學(xué)理論，用能量法分析了簡支薄壁箱形梁的自由振動(dòng). 考慮到彎曲、扭轉(zhuǎn)和畸變的耦合作用，預(yù)測了薄壁箱形梁自由振動(dòng)的固有頻率和模態(tài)振型. 根據(jù)Benscoter 理論，在廣義位移的基礎(chǔ)上，將各變形模態(tài)用廣義坐標(biāo)位移表示出來，進(jìn)而求出薄壁箱形梁的固有頻率和模態(tài)振型的精確顯示公式. 該表達(dá)式簡單明了，適合于一般的簡支薄壁箱形梁理論的實(shí)際使用.

1 動(dòng)力學(xué)基本理論

1.1 基本假設(shè)

為了確定薄壁箱形梁的幾何形狀，使用了兩個(gè)坐標(biāo)系. 如圖1 所示. 圖中：θ為扭轉(zhuǎn)角. (x，y，z)為笛卡爾直角坐標(biāo)系，其中，x軸與薄壁箱形梁的梁長重合，y軸和z軸與橫截面的主軸重合. (n，s，x)為局部坐標(biāo)系，其中，n為沿等值線（截面中線）測量的法向坐標(biāo)，s為任意起始點(diǎn)沿等值線測量的剖面坐標(biāo). 點(diǎn)M(w，v，u)為橫截面上任意一點(diǎn)，其中，v、w、u分別為y、z、x軸方向的位移. 薄壁箱形梁的理論基于以下假設(shè)：

圖1 薄壁箱形梁坐標(biāo)系Fig. 1 Coordinate systems of thin-walled box beams

1） 在各板中，中線平面沿輪廓線方向的線剪切應(yīng)變分布與圣維南扭轉(zhuǎn)的線剪切應(yīng)變分布相同；

2） 假設(shè)薄壁箱形梁截面的中面輪廓不可延伸；

3） 變形量足夠小，可采用線彈性理論.

1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

根據(jù)薄壁箱形梁的靜力屈曲分析[22]可以得出，薄壁箱形梁上以任意一點(diǎn)M為初始點(diǎn)的位移分量在小扭轉(zhuǎn)的情況下，使用Vlasov 模型產(chǎn)生的經(jīng)典位移關(guān)系為

式中：χ為畸變角；i= 1 ～ 4 是箱梁各板的編號；ωi為扭轉(zhuǎn)翹曲函數(shù)，如式（4）；Ωi為畸變翹曲函數(shù)，如式（5）；ηi、ψni分別為橫截面y軸和z軸方向的畸變位移，如式（6）、（8）；t為時(shí)間；Zi(s)、Yi(s)、hi(s)均為橫截面系數(shù)，分別如式（9） ～ （11）； ξ1、 ξ2分別如式（12）、（13）.

式（4） ～ （13）中：b和h分別為箱梁橫截面的寬和高；(z0,y0)為橫截面的剪切中心；Lside為箱梁橫截面各邊相對應(yīng)的長度.

根據(jù)Kim 等[17]理論研究，橫截面畸變形變的幾何系數(shù)ψsi(s)可滿足主要的靜、動(dòng)平衡條件. 此外，當(dāng)每個(gè)板是不等厚時(shí)，κ是不連續(xù)的.

本文重點(diǎn)研究薄壁箱形梁在動(dòng)載荷作用下的行為. 因此，在自由振動(dòng)和線性動(dòng)力學(xué)框架下，用式（1） ～ （3）作為運(yùn)動(dòng)學(xué)方程是充分、有效的. 為此需要對應(yīng)變、動(dòng)能和外載荷進(jìn)行分析，進(jìn)而推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)控制方程. 應(yīng)變能U的微分為

式中：σxi和τsi為薄壁箱形梁的正應(yīng)力和切應(yīng)力分量；εxi和 γsi分別為正應(yīng)變和剪切應(yīng)變，分別如式（15）、（16）；Fi為各板的面積；L為梁長.

式中：u0、w0、v0分別為任意點(diǎn)M在u、w、v方向的初始位移.

應(yīng)變能的變化可以用薄壁單元截面上的內(nèi)力函數(shù)表示. 在動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)變分原理的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程. 根據(jù)式（14）對橫截面進(jìn)行積分后，應(yīng)變能可表示為

式中：N為軸向力；My和Mz分別為關(guān)于y軸和z軸的彎矩；Bωθ為雙力矩；Bωχ為畸變引起的雙力矩；Msv為圣維南扭矩；Msvχ為畸變引起的扭矩. 具體如式（18）所示.

2 運(yùn)動(dòng)控制方程

在能量原理的基礎(chǔ)上，應(yīng)用哈密頓理論推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)控制方程. 箱梁總能量的微分可由應(yīng)變能U、動(dòng)能T和外載荷功W表示，如式（19）.

式中：t1和t2分別為起、止時(shí)間.

利用虛位移原理可以得到薄壁箱形梁的運(yùn)動(dòng)方程. 圖2 中考慮了橫截面x1=x和x2=x+dx之間的一個(gè)小單元，在中面上承受單位面積上的外載荷p(px,py,pz)，其中：px、py、pz分別為x、y、z單位面積上的外載荷. 圖2 中：ρ為單位體積質(zhì)量密度. 在橫截面上作意一點(diǎn)的應(yīng)力為

圖2 薄壁箱形梁的微單元Fig. 2 A micro-element of a thin-walled box beam

式中：α為輪廓中線的法線與x軸之間的夾角；τxs為切應(yīng)力.

虛位移δu滿足必要的連續(xù)性條件和位移邊界條件，可以采用與實(shí)位移向量相同的形式. 根據(jù)虛位移原理，虛位移可表示為

加速度矢量可以表示為

等質(zhì)量密度薄壁箱形梁單元的動(dòng)能為

動(dòng)能的微分表示為

根據(jù)能量原理，薄壁箱形梁單元單位長度外載荷和慣性力的虛功為

經(jīng)整理計(jì)算，應(yīng)用虛位移原理，可獲得關(guān)于虛位移參數(shù)δu0、δv0、δw0、δθ、δχ的方程，對于任意虛位移參數(shù)均能恒等地滿足這些方程，即虛位移參數(shù)的系數(shù)表達(dá)式必須消失. 將式（17）代入式（18），可以得到控制方程和相關(guān)的邊界條件，則關(guān)于延伸、彎曲、扭轉(zhuǎn)和畸變耦合的方程為

式中：mz和my分別為單位長度外力引起的關(guān)于z軸和y軸的彎矩；mp和mω分別為單位長度外力引起扭矩和雙力矩；mpχ和mΩ分別為單位長度外力引起畸變扭矩和畸變雙力矩.

式（26） ～ （30）是薄壁箱形梁延伸、彎曲、扭轉(zhuǎn)和畸變的自由振動(dòng)的最一般形式，變量u、v、w、θ、χ是完全耦合的.

對于具有連續(xù)質(zhì)量分布且結(jié)構(gòu)形式簡單的結(jié)構(gòu)可采用廣義位移法. 對于簡支梁，設(shè)任意時(shí)間t的任一截面的位移可用三角函數(shù)表示為

式中：V(x)、W(x)、Θ(x)、X(x)分別為橫向位移、縱向位移、扭轉(zhuǎn)和畸變的振幅，如式（31）.

式中： s in λk為滿足位移邊界條件的振動(dòng)模態(tài)函數(shù)，其中， λk=kπx/L，為形狀函數(shù),k=1，2，3，…；CV、CW、CΘ、CX均為常數(shù).

在簡支梁的情況下，各支點(diǎn)處的支撐為防止旋轉(zhuǎn)和可自由彎曲，其邊界條件為

為了求出CV、CW、CΘ、CX為非零解，式（30） ～ （32）的導(dǎo)數(shù)必須為0，即

式中：ω*=，E為彈性模 量；G為 剪 切模量；Iy和Iz分別為關(guān)于y、z軸的慣性矩；It和Iωθ分別為圣維南扭轉(zhuǎn)和翹曲常數(shù)；Id和Iωχ分別為畸變引起的扭轉(zhuǎn)和翹曲常數(shù)；Ip為扭轉(zhuǎn)和翹曲耦合慣性矩；Ipχ為畸變與翹曲耦合慣性矩；A為橫截面面積；A1、A2分別為縱向、橫向彎曲與畸變耦合慣性矩參數(shù)；A3、A4分別為縱向、橫向彎曲與翹曲耦合慣性矩參數(shù).

經(jīng)整理可得四階頻率代數(shù)方程為

式中：a、c、d、e和f均為常數(shù).

3 算例分析

3.1 畸變模態(tài)下薄壁箱形梁的自由振動(dòng)（算例1）

為了驗(yàn)證理論公式（式（34））的正確性，求解薄壁箱形梁在畸變模態(tài)下自由振動(dòng)時(shí)的頻率和振型，并與有限元分析（ANSYS）結(jié)果進(jìn)行對比. 圖3 為簡支薄壁箱形梁的幾何參數(shù). 通過對薄壁箱梁的模態(tài)分析，驗(yàn)證該方法的有效性和準(zhǔn)確性. 該梁的材料參數(shù)和幾何參數(shù)為：E= 210 GPa，G= 80.7 GPa，ρ=7 850 kg/m3，b= 150 mm，h= 200 mm. 薄壁箱形梁的板厚為：m1=m3= 4 mm，m2= 8 mm，m4= 5 mm. 在有限元分析過程中，ANSYS 軟件中采用4node181的殼單元進(jìn)行分析，在網(wǎng)格劃分后生成1 932 個(gè)節(jié)點(diǎn)和1 890 個(gè)單元.

圖3 薄壁箱形梁的幾何參數(shù)Fig. 3 Geometrical parameters of thin-walled box beams

表1 為考慮橫截面畸變形變的理論方法和有限元分析方法下薄壁箱形梁其中的4 階模態(tài)（2、4、6、8 階）的固有頻率對比. 為了對結(jié)果進(jìn)行評估，將有限元法的固有頻率表示為ωFEA，本方法的固有頻率表示為ω1,Δ為本理論的固有頻率與有限元固有頻率的相對誤差.

由表1 可以看出：固有頻率結(jié)果具有較強(qiáng)的一致性，其中最大誤差為0.89%（在第8 階時(shí)），驗(yàn)證了本文分析方法可以較準(zhǔn)確地進(jìn)行薄壁箱形梁固有頻率的預(yù)測；伴隨著模態(tài)階數(shù)的升高，固有頻率的誤差逐漸增加.

表1 薄壁箱形梁其中4 階的固有頻率比較Tab. 1 Comparison of 2-, 4-, 6-, and 8-order natural frequencies of thin-walled box beams

圖4 為2、4、6 階和8 階的彎曲模態(tài)振型.

圖4 彎曲模態(tài)振型Fig. 4 Bending mode shapes

由圖4 可以看出：薄壁箱形梁的所有振型均為傅立葉變換，所得到的彎曲模態(tài)振型與ANSYS 彎曲模態(tài)振型結(jié)果吻合良好.

3.2 不同長度對自由振動(dòng)的影響（算例2）

為了研究畸變形變對薄壁箱梁自由振動(dòng)特性的影響，考慮了3 種不同長度的結(jié)構(gòu). 將本文的計(jì)算結(jié)果與Proki?等[20]的彎扭耦合（不考慮畸變形變）情況下求解的自由振動(dòng)的精確解進(jìn)行對比分析. 薄壁箱形梁的材料參數(shù)和幾何參數(shù)與算例1 相同. 表2 為箱梁長度分別為3、4、5 m 時(shí)薄壁箱形梁的前4 階自由振動(dòng)頻率及其相對誤差. Proki?方法計(jì)算的彎扭組合結(jié)果用ω1表示；考慮畸變形變的相關(guān)結(jié)果用ω2表示；Δ1為Proki? 結(jié)果與有限元分析法的自由振動(dòng)頻率的相對誤差；Δ2為考慮畸變形變情況下的自由振動(dòng)頻率與有限元分析法的自由振動(dòng)頻率的相對誤差.

表2 簡支薄壁箱形梁的固有頻率Tab. 2 Natural frequencies of simply supported thin-walled box beams

在表2 中，將ω1與ωFEA進(jìn)行比較，可以看出：本方法的解與有限元方法的結(jié)果有較強(qiáng)的一致性，且準(zhǔn)確性和有效性較高，尤其是在第4 階模態(tài)情況下，最大相對誤差Δ2僅為0.38%（當(dāng)L=3 m）；與Proki? 方法相比，自由振動(dòng)頻率ω1＜ω2，即考慮畸變形變可有效降低自由振動(dòng)頻率，進(jìn)而提高了自由振動(dòng)數(shù)值精確解的有效值；長細(xì)比越大，自振頻率越??；在高階模態(tài)下考慮畸變時(shí)的固有頻率更接近于有限元法的解，因此，在高階模態(tài)上考慮畸變效應(yīng)的振動(dòng)分析更占優(yōu)勢.

4 結(jié) 論

考慮畸變效應(yīng)的耦合位移模態(tài)特征，提高了預(yù)測自由振動(dòng)的準(zhǔn)確度，有利于薄壁箱形梁的設(shè)計(jì)和性能分析. 得到如下結(jié)論：

1） 推導(dǎo)出包含軸向延伸、彎曲、翹曲、扭轉(zhuǎn)和畸變的運(yùn)動(dòng)學(xué)高耦合強(qiáng)度的控制方程.

2） 考慮畸變形變的模態(tài)振型與有限元分析結(jié)果吻合較好. 前4 階模態(tài)情況下最大相對誤差僅有0.38%（當(dāng)L=3 m 時(shí)）.

3） 與Proki?方法相比，考慮畸變效應(yīng)情況下，自由振動(dòng)頻率可以得到有效降低，提高了自由振動(dòng)數(shù)值精確解的有效值.