黃政杰，鐘文鍵

（廣東工業(yè)大學(xué)，廣東廣州 510006）

倒立擺的本質(zhì)就是一個(gè)擺桿的支點(diǎn)（轉(zhuǎn)軸）在這個(gè)擺桿的重心下方。倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)非線性、多變量、強(qiáng)耦合、不穩(wěn)定的系統(tǒng)?，F(xiàn)實(shí)中有許多系統(tǒng)與倒立擺系統(tǒng)非常相似，如攝像機(jī)云臺(tái)的控制，雙足、四足機(jī)器人的穩(wěn)定，空間飛行器和衛(wèi)星的姿態(tài)控制等。從倒立擺系統(tǒng)衍生出來(lái)的科研成果極大推動(dòng)了科技的發(fā)展，推動(dòng)了航天科技、深度學(xué)習(xí)、機(jī)器人等領(lǐng)域的發(fā)展。

本文針對(duì)倒立擺的起擺和穩(wěn)擺問(wèn)題，設(shè)計(jì)一種將改進(jìn)能量控制策略與模糊PID控制相結(jié)合的控制方法，使直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)平滑迅速的起擺和快速抗干擾的穩(wěn)擺。本文所設(shè)計(jì)的控制方法通過(guò)了Simulink和Simcape MultiBody的仿真驗(yàn)證。

1 倒立擺系統(tǒng)建模

為了便于建立直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的模型，首先假定系統(tǒng)內(nèi)不存在任何摩擦力和阻力；各結(jié)構(gòu)之間連接緊密，不會(huì)互相滑動(dòng)。這樣，直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)就可以等效成小車和擺桿所組成的系統(tǒng)，如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)模型

為了方便后續(xù)計(jì)算，規(guī)定擺桿處于垂直向下的位置時(shí)，角度θ=-π；擺桿處于垂直向上的位置時(shí)，角度θ=0，角度范圍為-π～π。定義為擺桿與垂直向下方向的夾角。

實(shí)際系統(tǒng)的模型參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 系統(tǒng)參數(shù)

分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

式中，N為由小車與擺桿相互作用力的水平方向的分量，F(xiàn)為小車的前進(jìn)動(dòng)力，為小車加速度，M為小車質(zhì)量。對(duì)N進(jìn)行分析，可以得到：

把式（2）代入式（1）中，得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：

然后對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到：

如果擺桿一開(kāi)始是垂直向上的，控制倒立擺在外部擾動(dòng)下保持垂直向上，不需要從垂直向下處起擺，那么 非常接近-π，則可以進(jìn)行近似處理：cos=-1，sin=-經(jīng)拉普拉斯變換后可得：

2 起擺算法設(shè)計(jì)

2.1 能量控制策略

若定義擺桿垂直向上時(shí)擺桿的能量為E=0，則擺桿于垂直向下位置（θ=-π）開(kāi)始，運(yùn)動(dòng)到擺桿垂直向上的位置（θ=0），擺桿所需的能量為E=2mgl。設(shè)J為擺桿到軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則J=I+ml2，結(jié)合式（4），可得：J+mglsinθ+mlcosθ=0。而擺桿的能量：

因?yàn)榉治隹芍芰勘冉嵌雀菀卓刂?，且搖擺角θ在一四或者二三象限時(shí)小車會(huì)隨著擺桿速度向上向下運(yùn)動(dòng)而左右運(yùn)動(dòng)，從而擺蕩起來(lái)，起擺階段完成。選擇sign（cosθ）作為小車運(yùn)動(dòng)的方向，將搖擺角θ限制在一四象限，能量控制策略如式（11）所示：

式中，ue為在誤差e下的輸出，satng為以ng為幅值的飽和函數(shù)；ke為比例系數(shù)；E為擺桿的能量；E0為目標(biāo)能量，E0=0。

2.2 改進(jìn)型能量控制策略

針對(duì)能量控制策略的缺點(diǎn)，本文采用改進(jìn)后的能量控制策略。通過(guò)建立小車位置和速度懲罰算法，實(shí)現(xiàn)了有限長(zhǎng)度的直線倒立擺的起擺控制。同時(shí)引入能量保持策略，捕獲起擺后的擺桿，使其能維持在垂直向上附近的位置，這樣便于后續(xù)的穩(wěn)擺控制。

根據(jù)純能量控制的缺點(diǎn)，將目標(biāo)能量設(shè)為E0+μgl（μ＜1），以加快擺起速度，否則擺桿將近似處于一個(gè)無(wú)限接近的狀態(tài)，如式（12）所示。

小車的位置懲罰，也就是當(dāng)小車在導(dǎo)軌中間時(shí)位置懲罰為0，當(dāng)小車在兩邊時(shí)懲罰非常大，迫使小車向?qū)к壷虚g運(yùn)動(dòng)。這種懲罰可以用對(duì)數(shù)函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)，如式（13）所示，xmax為允許小車運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)距離，x為小車位置：

當(dāng)擺桿擺到θ=0的位置附近時(shí)，擺桿經(jīng)常是速度過(guò)大，因此引入能量保持策略，將擺桿的能量捕獲在E=0的位置，如式（14）所示。

這樣當(dāng)擺桿角度誤差較大時(shí)，能量保持策略的輸出非常大，且顯然uem與ue方向相同，此時(shí)uem與ue形成正向疊加關(guān)系，可以大幅縮短起擺前期用時(shí)。而如果擺桿角度在θ=0附近時(shí)，uem方向與ue方向相反，速度迅速降低，將擺桿的能量降低在E=0附近，使后面的穩(wěn)擺控制更加平滑。

引入位置懲罰和能量保持策略之后，小車的速度常常過(guò)快，導(dǎo)致沖出導(dǎo)軌，因此需要引入速度懲罰，原理同位置懲罰。如式（15）所示：

結(jié)合式（12）～（15），得到最終的改進(jìn)型能量控制策略算法：

3 穩(wěn)擺算法設(shè)計(jì)

本文引入模糊PID控制器，使用模糊控制器來(lái)時(shí)刻調(diào)整內(nèi)環(huán)PID的參數(shù)，以求更好的控制效果，結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。

圖2 倒立擺控制框圖

本文選用Mamdani型模糊控制器，以誤差e和誤差的差分ec作為輸入，以ΔKp、ΔKi、ΔKd作為輸出，三者分別見(jiàn)表2～表4。量化因子Ke=2，Kec=0.1。解模糊化使用重心法，模糊控制器各個(gè)輸入和輸出的量化論域均選取為[-3，3]，選 取NB、NM、NS、ZE、PS、PM、PB作為輸入輸出空間的模糊分割。

表2 模糊規(guī)則表dKp

表4 模糊規(guī)則表dKd

表3 模糊規(guī)則表dKi

3.1 模糊控制規(guī)則庫(kù)設(shè)計(jì)

在本系統(tǒng)中，誤差e較大時(shí)，應(yīng)該適當(dāng)增大Kp，以提高響應(yīng)速度；在誤差較小時(shí)，應(yīng)該減小Kp，以減小超調(diào)量；而當(dāng)誤差非常小時(shí)，可以稍微增加Kp，以減少穩(wěn)態(tài)誤差，提升抗干擾能力。

在誤差e較小時(shí)，可以增大Ki，以減小穩(wěn)態(tài)誤差；在e較大時(shí)，需要減小Ki。

對(duì)于Kd來(lái)說(shuō)，在調(diào)節(jié)前期，需要增大Kd，以加快調(diào)節(jié)速度，減少超調(diào)量；在調(diào)節(jié)中期Kd不宜變化過(guò)大；在調(diào)節(jié)后期，應(yīng)當(dāng)減小Kd，避免振蕩。

3.2 倒立擺3D仿真

MATLAB中的Simscape工具箱可以快速創(chuàng)建各種系統(tǒng)模型，在生成這些模型的同時(shí)與Simulink中其他組件直接連接。本文使用Simscape MultiBody組件建立一個(gè)3D倒立擺模型，并用于算法驗(yàn)證。

首先使用Simscape MultiBody建立一個(gè)機(jī)械仿真環(huán)境，并設(shè)置重力加速度為-9.80665m/s2。然后建立3個(gè)長(zhǎng)方體塊，分別作為導(dǎo)軌、小車和擺桿，并分別設(shè)置好對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)寬高和質(zhì)量。其中小車通過(guò)一個(gè)滑塊連接到導(dǎo)軌的頂面上，而擺桿通過(guò)一個(gè)旋轉(zhuǎn)節(jié)點(diǎn)與小車相連，如圖3所示。

圖3 倒立擺3D模型

隨后將其封裝為一個(gè)子系統(tǒng)，并在Simulink中調(diào)用。為了對(duì)比，首先使用傳統(tǒng)的串級(jí)PID控制，令比例因子kkp=kki=kkd=0，Kp=140，Ki=100，Kd=44，運(yùn)行結(jié)果如圖4和圖5所示。

圖4 倒立擺3D仿真

圖5 起擺+串級(jí)PID控制效果

從圖4中可以看到，起擺階段中，擺桿迅速平滑地蕩起，當(dāng)擺桿接近垂直向上的位置時(shí)，其角速度也接近0，同時(shí)小車位置也不會(huì)偏離原點(diǎn)太多。

穩(wěn)擺階段中，串級(jí)PID控制的切換不夠平滑，而且調(diào)節(jié)時(shí)間較長(zhǎng)。并且經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)，切換平滑和調(diào)節(jié)時(shí)間難以兼得。

令比例因子kkp=10，kki=20，kkd=20，Kp=80，Ki=25，Kd=50，仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 起擺+模糊PID+串級(jí)控制效果

顯然，內(nèi)環(huán)PID控制器改用模糊PID控制器之后，不僅切換變得更加平滑，而且調(diào)節(jié)時(shí)間也有了大幅改善。

4 總結(jié)

本文采用改進(jìn)型能量控制策略，相比于能量控制策略，改進(jìn)型能量控制策略不僅能夠加快起擺速度，還實(shí)現(xiàn)了可限制小車位移和速度的起擺控制。

穩(wěn)擺階段中，本文在串級(jí)PID控制的基礎(chǔ)上，將內(nèi)環(huán)控制器改為模糊PID控制器，并成功與改進(jìn)能量控制策略較好地結(jié)合起來(lái)，實(shí)現(xiàn)了更加平滑的切換、更加迅速的調(diào)節(jié)、更小的超調(diào)，同時(shí)也具有串級(jí)PID的優(yōu)點(diǎn)：小車位置可控，抗干擾能力強(qiáng)。