胡晉賓， 趙 月， 劉洪璐

(1.江蘇第二師范學院數(shù)學系， 江蘇 南京 210013；2.昆山市石牌中學， 江蘇 昆山 215312；3.南京師范大學附中， 江蘇 南京 210003)

一、研究緣起

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》(簡稱《標準(2017)》)在課程性質(zhì)中，提出了“引導學生會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界”[1]的課改理念。自此“三會”被高度關注，通常簡記為數(shù)學眼光(即“數(shù)學的眼光”)、數(shù)學思維和數(shù)學語言，含義分別等價于數(shù)學觀察、數(shù)學思考和數(shù)學表達?！读x務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》(簡稱《標準(2022)》)承接并發(fā)展了相關思想，明確提出了“數(shù)學課程要培養(yǎng)的學生核心素養(yǎng)”，即會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界[2]。“三會”被寫進《標準(2022)》課程目標，作為重要理念統(tǒng)領數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)。相對于數(shù)學思維和數(shù)學語言來說，數(shù)學眼光一詞大家比較陌生。數(shù)學眼光理論內(nèi)涵是什么，學生數(shù)學眼光水平如何、原因何在，應該怎樣去培養(yǎng)數(shù)學眼光，是當下亟待研究的課題。以下結(jié)合高一學生數(shù)學眼光問卷測試，對上述問題進行相關探討。

二、內(nèi)涵解讀

《標準(2022)》指出：“數(shù)學為人們提供了一種認識與探究現(xiàn)實世界的觀察方式。通過數(shù)學眼光，可以從現(xiàn)實世界的客觀現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關系與空間形式，提出有意義的數(shù)學問題；能夠抽象出數(shù)學的研究對象及其屬性，形成概念、關系與結(jié)構(gòu)；能夠理解自然現(xiàn)象背后的數(shù)學原理，感悟數(shù)學的審美價值；形成對數(shù)學的好奇心與想象力，主動參與數(shù)學探究活動，發(fā)展創(chuàng)新意識?！盵3]為了方便理解，我們給出數(shù)學眼光的如下操作定義：“數(shù)學眼光主要指在現(xiàn)實與數(shù)學之間進行的思維切換，也即：立足知識儲備，關涉活動經(jīng)驗，借助數(shù)學抽象和直觀想象，從現(xiàn)實案例‘看到’數(shù)學內(nèi)涵，從數(shù)學內(nèi)涵‘想到’現(xiàn)實案例?！盵4]數(shù)學眼光是雙向的，既有看到現(xiàn)實案例想到數(shù)學內(nèi)涵的一個側(cè)面，也有看到數(shù)學內(nèi)涵想到現(xiàn)實案例的一個側(cè)面。圖1給出了數(shù)學“三會”與數(shù)學特點、三個基本思想的大致對應關系。從根本上來說，無論是數(shù)學眼光(數(shù)學觀察)、數(shù)學思維(數(shù)學思考)還是數(shù)學語言(數(shù)學表達)，背后內(nèi)核都是“數(shù)學地思考”的能力。只不過差異在于，如果把數(shù)學整個活動看作是從現(xiàn)實世界提升到數(shù)學世界、在數(shù)學世界內(nèi)部推進、從數(shù)學世界回饋到現(xiàn)實世界這樣三個發(fā)展樣態(tài)的話，那么數(shù)學眼光對準的是第一個階段，即從現(xiàn)實世界到數(shù)學世界這一跨越中。數(shù)學眼光是“三會”之一，不涉及后面數(shù)學思維和數(shù)學語言兩個階段。數(shù)學“三會”和數(shù)學關鍵能力、“四基”“四能”都有對應關系，其中數(shù)學眼光在高中階段主要對應的核心素養(yǎng)(關鍵能力)是數(shù)學抽象和直觀想象[5]。

圖1 “三會”、基本思想與數(shù)學特點對應關系

三、問卷編制

(一)模型建構(gòu)

基于數(shù)學眼光內(nèi)涵，研究從現(xiàn)實、數(shù)學、素養(yǎng)這三個維度建立測評框架(如圖2所示)。第一，現(xiàn)實維度，按照弗賴登塔爾的“現(xiàn)實數(shù)學”理論，“現(xiàn)實性(reality)”是指真實世界(real-world)和數(shù)學世界(math-world)的總和，不能望文生義地理解為真實世界、現(xiàn)實世界[6]。結(jié)合國際PISA測試等研究，劃分為生活情境、數(shù)學情境、科學情境三種類別，每種情境參考《課標(2017)》劃分為熟悉的、關聯(lián)的和綜合的三個水平。第二，數(shù)學維度，根據(jù)課標理念，劃分為數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率三種類別。第三，素養(yǎng)維度(關鍵能力)，對準數(shù)學抽象和直觀想象兩種類別，參照《課標(2017)》劃分為三個水平。

圖2 數(shù)學眼光的測評框架

(二)試題編制

考慮到數(shù)學眼光的雙向性質(zhì)，即一方面能夠從現(xiàn)實案例“看到”數(shù)學內(nèi)涵(正向)，另一方面能夠由數(shù)學內(nèi)涵“想到”現(xiàn)實案例(反向)，因此測試題可以分別從現(xiàn)實到數(shù)學、數(shù)學到現(xiàn)實這兩個角度來編制。測試卷共計30道試題，涉及正向有21道試題，涉及反向有9道試題。在現(xiàn)實維度中，生活情境、數(shù)學情境、科學情境試題數(shù)分別為13，10，7；在數(shù)學維度中，數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率試題數(shù)分別是14，12，4；在素養(yǎng)維度方面，預設水平 1、水平 2、水平 3 試題數(shù)分別為9，13，8。

(三)信度效度

在文獻研究基礎上，根據(jù)數(shù)學眼光內(nèi)涵，從現(xiàn)實、素養(yǎng)、數(shù)學維度建立框架，并在多位同行幫助下完成初稿，之后邀請數(shù)名一線特級教師以及研究專家審閱。選取30名高一學生進行試測，回收有效問卷28份。之后根據(jù)測試答卷擬定評分標準進行數(shù)據(jù)分析，克朗巴赫Alpha系數(shù)為0.701。利用SPSS軟件進行因子分析，KMO值為0.732，巴特利特球形檢驗統(tǒng)計量為χ2=345.53，P=0.000(<0.01)。事后深入反思并據(jù)作答情況對測試卷做了修改完善，特別是明確要求測試時詳細寫下理由。

四、數(shù)據(jù)統(tǒng)計

(一)測試組織

正式測試選取江蘇省兩所四星級學校高一學生210名，其中甲校男生60名、女生45名，乙校男生58名、女生47名。(兩校各1個重點班、1個普通班)。測試時間45分鐘。共收回問卷190份，其中169份有效。進行審閱和編碼后，導入EXCEL和SPSS中進行數(shù)據(jù)分析。

(二)評分示例

鑒于部分試題會出現(xiàn)空白以及出現(xiàn)一些與題目無關的答案，因此在素養(yǎng)水平的基礎上增加零級水平，并參照數(shù)學核心素養(yǎng)水平劃分，由低到高賦值為0，1，3，5分，測試卷滿分為150分。具體評分示例如下。

試題：(1)拉面師傅拉面時將1根粗面團一分為二，再由2根到4根、到8根，……由此聯(lián)想到的數(shù)學知識是什么？為什么？(2)你還能舉出相似的例子嗎？越多越好。

分析：本題考查從現(xiàn)實案例中抽象出數(shù)學知識的能力，屬于數(shù)與代數(shù)領域，要求發(fā)現(xiàn)數(shù)字變化規(guī)律，同時將之總結(jié)為底數(shù)為2的冪指數(shù)，并且聯(lián)想到生活中含有數(shù)字翻倍增長特點的案例。評分如表1。

表1 評分標準舉例

(三)描述統(tǒng)計

測試描述性統(tǒng)計數(shù)據(jù)，如表2所示。數(shù)學眼光最小值為42分，最大值為106分，分數(shù)差距較大，沒有學生獲得滿分，平均分為65.25。同時，標準差13.442，波動較大，意味著測試樣本數(shù)學眼光差異較大。偏度為0.608，大于0，呈正偏態(tài)，說明數(shù)據(jù)的分布具有較長的右尾，高于均值的數(shù)據(jù)居多。峰度為0.276，大于0，說明分布呈高狹峰，在平均值左右的數(shù)據(jù)頻數(shù)較大。大體上看，水平1和水平2的試題得分率大部分在50%左右，但是水平3的試題得分率明顯低于其他2個水平，最高得分率為41.8%，最低得分率僅為20.2%。由此說明高一學生數(shù)學眼光處于中低等水平，層次高的學生較少。數(shù)學眼光水平處于水平2的學生人數(shù)最多，占總?cè)藬?shù)的46.7%；水平1的學生占比為24.5%，人數(shù)較多；居于水平3的學生較少，僅占22.3%；還有6.5%的高一學生，數(shù)學眼光處于零水平(0分)。

表2 數(shù)學眼光描述統(tǒng)計

(四)性別差異

首先按照性別進行統(tǒng)計(表格從略)，表明男生測試卷總分略高于女生。其次分析學生在每道測試題的得分情況，發(fā)現(xiàn)女生在水平1的測試題平均分高于男生得分，但男生在水平3試題得分高于女生，其他2個水平試題得分情況不相上下，再次驗證男生數(shù)學眼光水平略高于女生，同時發(fā)現(xiàn)男生與女生數(shù)學眼光水平差異主要體現(xiàn)在水平1和水平3上。再次對測試卷總分進行分析，發(fā)現(xiàn)“方差方程的Levene檢驗”中Sig的值大于0.05，所以方差相等，再看“均值方程的t檢驗”中Sig的值，小于0.05。因此男生與女生數(shù)學眼光有顯著差異，并且男生數(shù)學眼光水平略高于女生。

(五)班型差異

對不同班型做統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)(表格從略)，實驗班學生中處于水平0、水平1和水平2的人數(shù)占比都小于普通班，但實驗班達到水平3的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的25.3%，而普通班達到水平3的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的19.9%。進一步對不同班型學生的各個測試題得分及總分間的差異進行獨立樣本t檢驗，從各個測試題得分來看，除了第17題以外，實驗班學生在其他各題平均分均高于普通班；再從測試卷的總分來看，實驗班學生的平均分高于普通班學生。因此，總體上高一實驗班學生數(shù)學眼光比普通班學生強。再從測試卷的總分來說，“方差方程的Levene檢驗”中Sig的值大于0.05，表明方差相等，再看“均值方程的t檢驗”中Sig的值，小于0.05。因此，實驗班與普通班學生的數(shù)學眼光存在顯著差異，并且實驗班學生數(shù)學眼光水平高于普通班學生。

(六)知識差異

學生數(shù)學眼光按照數(shù)學知識維度進行統(tǒng)計，如表3所示?？梢园l(fā)現(xiàn)圖形與幾何知識得分最高，每道題均分為2.3948。這表明高一學生在圖形與幾何的知識方面，有著較好的數(shù)學眼光。同時，觀察3個維度得分的標準差，發(fā)現(xiàn)圖形與幾何的標準差低于其他2個維度，意味著在這一維度得分比較穩(wěn)定，水平差距不大。

表3 不同數(shù)學知識描述統(tǒng)計

為了進一步了解不同性別和班型學生是否在3個知識領域存在數(shù)學眼光差異，根據(jù)數(shù)學眼光得分將每位按照性別進行班型差異做分析，結(jié)果如表4和表5所示。從中可以看出，男生平均分始終高于女生，實驗班學生平均分也高于普通班學生。由表4發(fā)現(xiàn)，男生與女生在各個內(nèi)容維度得分均不存在顯著差異。由表5發(fā)現(xiàn)，實驗班與普通班學生在3個知識領域得分存在顯著差異。綜上可知，在3個數(shù)學知識領域維度，男生比女生具有較好的數(shù)學眼光，但差異不明顯；實驗班學生數(shù)學眼光高于普通班學生，且存在顯著差異。

表4 不同性別學生在知識維度水平差異

表5 不同班型學生在知識維度水平差異

(七)學業(yè)相關

為了解高一學生數(shù)學眼光與數(shù)學成績之間關系，根據(jù)數(shù)學眼光得分和上學期數(shù)學學業(yè)成績，采用Pearson相關分析方法，得到如表6所示結(jié)果?？梢园l(fā)現(xiàn)：高一學生數(shù)學眼光與數(shù)學學業(yè)成績的相關系數(shù)為0.504，且顯著性0.000<0.05，屬于較顯著正相關。通過各個水平上數(shù)學眼光相關性分析可知，數(shù)學眼光越強，數(shù)學學業(yè)成績越好。

表6 數(shù)學眼光與數(shù)學學業(yè)成績相關分析

五、結(jié)果剖析

(一)數(shù)學抽象概括能力不強

在面對具體情境時，許多學生無法舍棄和數(shù)學無關的非本質(zhì)屬性，抽象出數(shù)學概念及相應知識，因此導致得分偏低。測試第28題如下：(1)某科技小組去戶外探險，通過危險的濕地時人有可能陷進去爬不出來，他們急中生智想到了利用鋪墊木板的方式獲得通過，利用什么數(shù)學知識可以解釋這種做法的原因？理由是什么？(2)這種數(shù)學知識還能解釋哪些現(xiàn)象？理由是什么？回答正確的學生都能從壓強的公式抽象出反比例函數(shù)，水平不高的學生答案往往是壓強與面積有關，但具體的數(shù)學函數(shù)關系卻概括不出來。導致學生概括能力不足的原因很大程度上在于，數(shù)學教學中現(xiàn)實情境和數(shù)學知識切換不自然，數(shù)學知識本質(zhì)揭示不充分。很多學生發(fā)散思維不佳，因此測試中未見該題以下數(shù)學眼光回答案例：旋轉(zhuǎn)臺燈的亮度調(diào)節(jié)，收音機的音量改變，電壓一定時電流和電阻關系，距離一定時平均速度和時間關系，釣魚時怎樣握桿省力氣(杠桿原理)，滑雪時為啥要用滑雪板，物理學中的波義爾馬略特定理，磨刀鋒利后切割更加省力(磨刀不誤砍柴工)背后的數(shù)學內(nèi)核，等等。

(二)數(shù)學直觀想象水平偏弱

通過對錯誤答案分析發(fā)現(xiàn)，學生能夠利用已有經(jīng)驗，從新問題中抽象出一些熟悉的數(shù)學知識，但是部分學生遇到陌生的或改編的試題，無法想到與正確答案有關的知識點。從圖形與幾何維度的試題作答情況分析，發(fā)現(xiàn)很多學生的直觀想象水平不高，從而導致失分嚴重。這有可能和日常教學中，過于重視邏輯推理和計算，忽視形象思維和想象有關。測試第8題如下：(1)因為三角形具有穩(wěn)定性，所以這種屬性被廣泛地應用到生活中。除了前面所說的晾衣架之外，你能再舉出幾個三角形穩(wěn)定性的例子嗎？越多越好。(2)理由是什么？很多學生往往只是記住了教材中的案例，但是不能學以致用，不會見異思遷，很難展開想象。實際上，以三角形的穩(wěn)定性為例，就有自行車撐子停車、空調(diào)外機安裝固定、攝影器材三角鼎立、太陽能熱水器結(jié)構(gòu)性焊接、步兵射擊采用跪姿等案例。對比四邊形就沒有這樣的穩(wěn)定性，因此自動伸縮門一般都是平行四邊形結(jié)構(gòu)等。

(三)數(shù)學活動經(jīng)驗積累缺少

六、教學建議

(一)注重“四基”素養(yǎng)教學

數(shù)學“四基”指的是，數(shù)學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗，它們是數(shù)學學習和發(fā)展的一個整體系統(tǒng)。從廣義的教育心理學上來說，上述“四基”都是純度不同的知識。學生通過數(shù)學活動，積累基本活動經(jīng)驗，有的沉淀為基礎知識，有的物化為基本技能，有的上升為基本思想。在這個過程中，學生逐漸獲得數(shù)學核心素養(yǎng)。其中，數(shù)學眼光在高中階段主要對應數(shù)學抽象和直觀想象。測試表明，數(shù)學知識與數(shù)學眼光高度相關。數(shù)學“三會”包括數(shù)學眼光，都是建基在數(shù)學“四基”和素養(yǎng)的基礎上的。因此要把數(shù)學“四基”和核心素養(yǎng)教學，落實到日常教學之中去。只有這樣，數(shù)學“三會”才能落地生根。

(二)強調(diào)應用創(chuàng)新意識

數(shù)學學習無疑應該強調(diào)學以致用，在繼承基礎上才能不斷推陳出新。數(shù)學“三會”中明確指出，數(shù)學眼光要“觀察現(xiàn)實世界”。結(jié)合前面理論框架，這種“現(xiàn)實”實際上對應數(shù)學應用，劃分為生活、數(shù)學和科學應用等，應該和數(shù)學進行雙向性互動切換。這種強調(diào)現(xiàn)實的理念既能激發(fā)學生學習興趣，也能溝通生活數(shù)學、學校數(shù)學和純粹數(shù)學之間的關聯(lián)。天長日久的浸潤，日積月累的熏陶，學生逐漸養(yǎng)成帶著數(shù)學眼光觀察現(xiàn)實世界的習慣，從而不斷形成伴隨終生的數(shù)學應用和創(chuàng)新意識。

(三)倡導多種思維互補

眾所周知“數(shù)學是思維的科學”，一般說來數(shù)學思維主要有邏輯思維、形象思維和直覺思維之分。既往數(shù)學學習和研究中，以演繹推理為主的邏輯思維占據(jù)主導地位。數(shù)學邏輯思維循規(guī)蹈矩，形象直覺思維創(chuàng)意無限。在數(shù)學學習和發(fā)明創(chuàng)造過程中，數(shù)學形象和直覺思維無處不在。數(shù)學眼光強調(diào)的是學科味道的數(shù)學觀察，它是看到現(xiàn)實想到數(shù)學后“一觸即發(fā)”的專業(yè)敏感，或者是看到數(shù)學想到現(xiàn)實后“條件反射”的學科本領。在這數(shù)學眼光的發(fā)生過程中，表現(xiàn)更多的是數(shù)學形象思維和直覺思維，因此它們對于數(shù)學眼光的培養(yǎng)至關重要。在日常教學中應該兼顧不同思維形式，強調(diào)數(shù)學思維品質(zhì)培育?！?/p>