陳霽恒， 劉 星， 譚經(jīng)松

(海軍士官學(xué)校 機(jī)電系，安徽 蚌埠 230012)

0 引 言

薄壁件如葉輪葉片等在航空航天領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用，該類零件結(jié)構(gòu)復(fù)雜、剛度低，刀具與工件之間的動(dòng)態(tài)相互作用易產(chǎn)生振動(dòng)失穩(wěn)等問題，其高品質(zhì)加工一直是制造領(lǐng)域的難題。由于刀具切削位置的改變及材料去除現(xiàn)象，工件在銑削加工中呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)模態(tài)時(shí)變特性，工件的實(shí)際切削量與名義值之間產(chǎn)生偏差，因此加工精度和表面質(zhì)量難以控制。針對(duì)薄壁件加工過程結(jié)構(gòu)模態(tài)的變化進(jìn)行研究，分析材料去除對(duì)薄壁件模態(tài)的影響規(guī)律，對(duì)掌握薄壁件加工狀態(tài)、保證其加工質(zhì)量具有重要意義，為薄壁件銑削加工穩(wěn)定性的深入分析，例如振動(dòng)預(yù)測(cè)和顫振預(yù)報(bào)等奠定基礎(chǔ)[1]。

在材料去除過程的動(dòng)力學(xué)建模分析中，常規(guī)研究手段是利用相關(guān)有限元分析軟件[2]，例如ANSYS和Abaqus等，進(jìn)行模態(tài)仿真分析[3-4]；對(duì)薄壁件模型進(jìn)行修改，改變其結(jié)構(gòu)參數(shù)，即質(zhì)量矩陣、剛度矩陣，模擬材料去除過程[5]。但在薄壁件加工的每個(gè)刀具切削位置均進(jìn)行薄壁件幾何模型重建與有限元模型網(wǎng)格重劃，必然導(dǎo)致工作量增加。因此，為提高動(dòng)力學(xué)分析計(jì)算效率，學(xué)者們從多個(gè)角度進(jìn)行改進(jìn)研究。

萬敏等[6]使用徑向切削量名義值，對(duì)原始有限元網(wǎng)格模型進(jìn)行修正，得到工件材料去除后的動(dòng)態(tài)特性，無須考慮刀具進(jìn)給的中間過程。李江威[7]綜合考慮刀具和工件子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，建立相應(yīng)的銑削加工模型，并以延時(shí)微分方程描述系統(tǒng)工作狀態(tài)。楊東輝等[8]從薄壁件加工模型理論入手，建立不同切削參數(shù)計(jì)算模型，并利用有限元軟件Abaqus對(duì)模型進(jìn)行仿真分析。何恩元等[2]基于三維彈性理論，提出薄板銑削加工的材料去除特性模型，并將該模型推廣至整體框結(jié)構(gòu)加工動(dòng)態(tài)分析。MODAK[9]將模型擴(kuò)展至具有彈性結(jié)構(gòu)的振-聲系統(tǒng)，利用直接矩陣修正公式，更新模型彈性結(jié)構(gòu)與聲學(xué)部分的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。TUYSUZ等[10]提出一種基于改進(jìn)的降階子結(jié)構(gòu)時(shí)域動(dòng)態(tài)參數(shù)更新模型，降低結(jié)構(gòu)矩陣維數(shù)，將該模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與其先前建立的頻域模型[11]進(jìn)行比較，計(jì)算效率提升4倍。AHMADI[12]針對(duì)型腔銑削過程中的薄壁件結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析，提出一種基于有限條帶建模(Finite Strip Modeling，F(xiàn)SM)的新方法，可同時(shí)結(jié)合多跨板(Multi-Span Plate，MSP)模型的高計(jì)算效率和有限元方法的通用性。

由于薄壁件結(jié)構(gòu)模態(tài)的變化造成加工參數(shù)選擇和穩(wěn)態(tài)極限區(qū)域的變化，因此通過模態(tài)試驗(yàn)和仿真規(guī)避加工共振區(qū)域是研究結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性和保證加工穩(wěn)定性的主要手段之一[13-16]，除將材料去除過程劃分為幾段離散的加工狀態(tài)進(jìn)行分析外，DANG等[17]進(jìn)一步提出減少質(zhì)量/剛度矩陣維數(shù)與分析模態(tài)數(shù)量，通過確定主導(dǎo)模態(tài)，在理論上得到被加工工件的頻響函數(shù)，以有效預(yù)測(cè)薄壁件銑削加工動(dòng)態(tài)特性變化。TIAN等[18]將矩陣攝動(dòng)法與有限元法相結(jié)合，簡(jiǎn)化求解特征值過程，通過簡(jiǎn)單的數(shù)值計(jì)算得到不同切削狀態(tài)的近似模態(tài)參數(shù)。KIRAN等[19]基于逆容差耦合確定固定邊界條件容差，在此基礎(chǔ)上分析預(yù)測(cè)在銑削加工過程中材料去除時(shí)工件固有頻率的變化。

薄壁件加工是在基體材料上逐步去除材料的過程，在分析材料去除過程薄壁件結(jié)構(gòu)模態(tài)變化時(shí)，矩陣攝動(dòng)法在原模型基礎(chǔ)上增加攝動(dòng)項(xiàng)并通過迭代求解，具有效率高的特點(diǎn)。但用于薄壁件加工過程模態(tài)分析的精度和適用性仍不明確，因此針對(duì)薄壁件加工建立模態(tài)分析的矩陣攝動(dòng)方法模型，并與商業(yè)有限元軟件的分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比和驗(yàn)證。

1 基于攝動(dòng)法的薄壁件模態(tài)參數(shù)計(jì)算

在已知每個(gè)工藝狀態(tài)薄壁件的整體剛度矩陣與質(zhì)量矩陣前提下，快速求解特征值和特征向量是動(dòng)態(tài)模態(tài)計(jì)算的關(guān)鍵。但在物理空間表達(dá)的工件動(dòng)力學(xué)方程的階數(shù)較高，重復(fù)求解工件動(dòng)力學(xué)方程的廣義特征值存在計(jì)算量大和耗時(shí)的問題[1]。因此基于攝動(dòng)理論，從初始工件結(jié)構(gòu)開始，將每道工序的材料去除部分作為整個(gè)結(jié)構(gòu)發(fā)生的微小改動(dòng)(質(zhì)量和剛度攝動(dòng))(見圖1)，基于初始工件結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，直接獲取修正的模態(tài)參數(shù)，無須針對(duì)每個(gè)材料去除步驟重復(fù)求解式(1)。

圖1 加工步驟i時(shí)的薄壁件結(jié)構(gòu)變化示例

假設(shè)薄壁件在加工步驟i-1時(shí)的廣義特征值可被描述為

Kwi-1φj,wi-1=λj,wi-1Mwi-1φj,wi-1

(1)

式中：Kwi-1和Mwi-1分別為工件的整體剛度矩陣與質(zhì)量矩陣；φj,wi-1為相應(yīng)的特征向量；λj,wi-1為薄壁件wi-1的j階特征值，λj,wi-1=(ωj,wi-1)2，且ωj,wi-1為固有頻率。

式(1)滿足如下模態(tài)正交條件：

(2)

式中：δjk為克羅內(nèi)克函數(shù)，其形式為

(3)

經(jīng)1個(gè)加工步驟的材料去除，薄壁件特征值變?yōu)?/p>

Kwiφj,wi=λj,wiMwiφj,wi

(4)

但仍受到模態(tài)正交條件(式(2))的約束。由于經(jīng)1個(gè)加工步驟的材料去除，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)發(fā)生小幅變動(dòng)[20]，因此可將材料去除部分rsi的質(zhì)量和剛度作為攝動(dòng)項(xiàng)，則薄壁件wi的質(zhì)量和剛度矩陣以攝動(dòng)形式可表示為

(5)

式中：ΔKrsi和ΔMrsi為由材料去除引起的工件系統(tǒng)剛度和質(zhì)量矩陣變化量；ε為偏差參數(shù)。

根據(jù)攝動(dòng)理論，加工中的工件wi的特征值λj,wi和特征向量φj,wi可按小參數(shù)ε展開為冪級(jí)數(shù)[21]：

(6)

式中：Δλq,j,rsi和Δφq,j,rsi(q=1,2,3,…,n)分別為由于加工中的工件wi-1受到材料去除部分rsi的攝動(dòng)所產(chǎn)生的有關(guān)j階特征值和特征向量的q階攝動(dòng)項(xiàng)。由于攝動(dòng)理論計(jì)算精度較高，因此可在二階攝動(dòng)項(xiàng)后截?cái)嗍?6)，略去高階次項(xiàng)O(ε3)。

將式(5)和式(6)代入式(4)，合并等式兩邊ε的同次冪因數(shù)，忽略高階次項(xiàng)，整理可得：

ε(Κwi*1Δφ1,j,rsi+ΔKrsiΔφj,wi-1)=ε(λj,wi-1Μwi-1Δφ1,j,rsi+λj,wi-1ΔMrsiφj,wi-1+Δλ1,j,rsiMwi-1φj,wi-1)

(7)

ε2(Κwi-1Δφ2,j,rsi+ΔΚrsiΔφ1,j,rsi)=ε2(λj,wi-1Mwi-1Δφ2,j,rsi+λj,wi-1ΔMrsiΔφ1,j,rsi+Δλ1,j,rsiMwi-1Δφ1,j,rsi+

Δλ1,j,rsiΔMrsiφj,wi-1+Δλ2,j,rsiMwi-1φj,wi-1)

(8)

引入加工中的工件wi-1的未攝動(dòng)特征向量，則一階和二階振型攝動(dòng)項(xiàng)可表示為

(9)

式中：ajk和bjk分別為工件wi-1的k階振型對(duì)j階模態(tài)的一階和二階振型攝動(dòng)項(xiàng)貢獻(xiàn)因數(shù)。

將式(9)中的Δφ1,j,rsi表達(dá)式代入式(7)，分別乘以(φj,wi-1)T和(φk,wi-1)T(k≠j)，可得式(10)與式(13)：

(10)

由式(2)的模態(tài)正交條件可得：

(11)

結(jié)合式(10)與(11)，可得j階特征值的一階攝動(dòng)公式為

Δλ1,j,rsi=(φj,wi-1)T(ΔKrsi-λj,wi-1ΔMrsi)φj,wi-1

(12)

同理，

λj,wi-1ΔMrsiφj,wi-1+Δλ1,j,rsiMwi-1φj,wi-1)

(13)

由式(2)的模態(tài)正交條件可得：

(14)

結(jié)合式(13)與(14)，可得貢獻(xiàn)因數(shù)ajk的表達(dá)式為

(15)

類似地，將式(9)中的Δφ2,j,rsi表達(dá)式代入式(8)，分別乘以(φj,wi-1)T和(φk,wi-1)T(k≠j)，可得式(16)與式(17)：

Δλ1,j,rsiMwi-1Δφ1,j,rsi+Δλ1,j,rsiΔMrsiφj,wi-1+Δλ2,j,rsiMwi-1φj,wi-1)

(16)

Δλ1,j,rsiMwi-1Δφ1,j,rsi+Δλ1,j,rsiΔMrsiφj,wi-1+

Δλ2,j,rsiMwi-1φj,wi-1)

(17)

同理，由式(2)的模態(tài)正交條件根據(jù)式(16)可得j階特征值的二階攝動(dòng)公式為

Δλ2,j,rsi=(φk,wi-1)T(ΔKrsi-λj,wi-1ΔMrsi-Δλ1,j,wi-1Mwi-1)Δφ1,j,rsi-(φk,wi-1)TΔλ1,j,rsiΔMrsiφj,wi-1

(18)

由式(2)的模態(tài)正交條件根據(jù)式(17)可得貢獻(xiàn)因數(shù)bjk的表達(dá)式為

(19)

為獲得j階振型對(duì)其一階和二階振型攝動(dòng)項(xiàng)的貢獻(xiàn)因數(shù)(ajj和bjj)，取薄壁件在加工步驟i(wi)時(shí)的模態(tài)正交條件表達(dá)式為

(φk,wi)TMwiφj,wi=1

(20)

將式(5)中的質(zhì)量矩陣表達(dá)式Mwi及式(6)中的j階振型表達(dá)式φwi代入式(20)，可得：

(φj,wi-1+εΔφ1,j,rsi+ε2Δφ2,j,rsi)T(Mwi-1+εMrsi)(φj,wi-1+εΔφ1,j,rsi+ε2Δφ2,j,rsi)=1

(21)

將式(21)展開，合并ε的同次冪因數(shù)，并忽略高階次項(xiàng)，整理可得：

(22)

將式(9)中的一階和二階振型攝動(dòng)項(xiàng)Δφ1,j,rsi和Δφ2,j,rsi的表達(dá)式分別代入式(22)的一次和二次冪因數(shù)，并令j=k時(shí)的ε和ε2的因數(shù)為0，可得式(23)與式(25)：

(23)

由式(2)的模態(tài)正交條件根據(jù)式(23)可得：

(24)

同理，

(25)

由式(2)的模態(tài)正交條件根據(jù)式(25)可得：

(26)

將所推導(dǎo)的貢獻(xiàn)因數(shù)表達(dá)式(15)、(19)、(24)和(26)代入式(9)，可得j階振型的一階和二階攝動(dòng)公式為

(27)

(28)

由一階攝動(dòng)公式(式(12)和式(27))與二階攝動(dòng)公式(式(18)和式(28))可知：若提取材料去除過程某個(gè)加工步驟的薄壁件動(dòng)態(tài)特性，僅需要知道前一步的動(dòng)態(tài)參數(shù)即可直接代入上述公式進(jìn)行求解，從而避免重復(fù)求解特征方程，不僅可提升計(jì)算效率，而且可簡(jiǎn)化實(shí)際模態(tài)試驗(yàn)的復(fù)雜過程，便于后續(xù)的工程應(yīng)用?；谠摂z動(dòng)理論，對(duì)上述材料去除過程進(jìn)行同樣的求解。

2 模態(tài)參數(shù)計(jì)算及誤差分析

基于薄壁件有限元數(shù)值建模方法，組裝薄壁件材料去除過程不同加工步驟的系統(tǒng)整體剛度和質(zhì)量矩陣，并調(diào)用MATLAB中的eig函數(shù)求解廣義特征值，得到其不同工序階段的前五階模態(tài)參數(shù)?；谏鲜鰯z動(dòng)理論所推導(dǎo)的一階和二階攝動(dòng)公式，同樣在MATLAB中編程對(duì)材料去除過程進(jìn)行求解。與Abaqus模態(tài)仿真分析所獲取的固有頻率進(jìn)行分析對(duì)比，對(duì)攝動(dòng)法求解的可靠性進(jìn)行驗(yàn)證，可將有限元結(jié)構(gòu)數(shù)值建模后的特征值求解作為精確解；將攝動(dòng)公式解作為近似解，且Abaqus模態(tài)仿真分析結(jié)果較為準(zhǔn)確，因此假定仿真解為實(shí)際值，則所設(shè)定的誤差η1和η2可表示為

(29)

式中：ωFEM為薄壁件在單邊固支條件下的有限元結(jié)構(gòu)數(shù)值建模獲得的固有頻率預(yù)測(cè)值；ωFER為基于攝動(dòng)理論推導(dǎo)的固有頻率近似解；ωAbaqus為Abaqus模態(tài)仿真分析得到的固有頻率。

材料去除過程薄壁件固有頻率預(yù)測(cè)及誤差分析如表1～表5所示。

表1 材料去除過程薄壁件固有頻率預(yù)測(cè)及誤差分析(初始工件)

表2 材料去除過程薄壁件固有頻率預(yù)測(cè)及誤差分析(工序1)

表3 材料去除過程薄壁件固有頻率預(yù)測(cè)及誤差分析(工序2)

表4 材料去除過程薄壁件固有頻率預(yù)測(cè)及誤差分析(工序3)

表5 材料去除過程薄壁件固有頻率預(yù)測(cè)及誤差分析(工序4)

根據(jù)表1～表5的數(shù)據(jù)，利用MATLAB繪制攝動(dòng)求解誤差與有限元數(shù)值建模分析誤差分布圖。不同工序階段一階和二階攝動(dòng)求解誤差η1分布如圖2所示。有限元數(shù)值建模分析誤差η2分布如圖3所示。由圖3可知：一階和二階攝動(dòng)公式對(duì)于不同工序階段的薄壁件頻率求解具有較好的近似，誤差分布大約以2%作為中值。一階攝動(dòng)解已具備較好的計(jì)算精度，二階解與一階解相比精度提升有限，因此一階攝動(dòng)公式的求解完全可滿足薄壁件材料去除過程的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)分析與預(yù)測(cè)。有限元數(shù)值建模求解與Abaqus模態(tài)仿真分析結(jié)果接近，尤其對(duì)于初始工件結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性分析而言精度較高。觀察不同工序階段的誤差隨模態(tài)階次的變化可知：隨著模態(tài)階次的提升，各工序誤差變化呈現(xiàn)相同的趨勢(shì)。

圖2 不同工序階段一階和二階攝動(dòng)求解誤差η1分布

圖3 有限元數(shù)值建模分析誤差η2分布

對(duì)基于一階攝動(dòng)公式求解得到的前五階固有頻率展開分析，繪制薄壁件材料去除過程不同工藝階段的頻率變化趨勢(shì)。薄壁件材料去除過程模態(tài)演變趨勢(shì)如圖4所示。由結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論可知：模態(tài)頻率變化趨勢(shì)取決于模態(tài)剛度與模態(tài)質(zhì)量二者誰的變化占主導(dǎo)地位。在模態(tài)質(zhì)量下降占主導(dǎo)時(shí)，模態(tài)頻率處于上升趨勢(shì)；在模態(tài)剛度下降占主導(dǎo)時(shí)，模態(tài)頻率處于下降趨勢(shì)。對(duì)于薄壁件銑削加工過程，工件材料不斷被切除，工件的模態(tài)剛度與模態(tài)質(zhì)量均呈整體下降趨勢(shì)。因此，由圖4的頻率變化趨勢(shì)可知：在工件加工初期，即初始工件至工序1階段，前三階頻率曲線呈一定上升趨勢(shì)，模態(tài)質(zhì)量下降占主導(dǎo)；隨著加工的進(jìn)行，各階頻率均明顯下降，模態(tài)剛度下降更占優(yōu)；對(duì)于頻率變化幅度，在整個(gè)固有頻率范圍內(nèi)，四階和五階頻率變化較顯著。

圖4 薄壁件材料去除過程模態(tài)演變趨勢(shì)

薄壁件高速銑削加工一般采用的主軸轉(zhuǎn)速為3 000～12 000 r/min，若采用四齒銑刀，則對(duì)應(yīng)的頻率為200～800 Hz，涵蓋所研究薄壁件的前二階固有頻率。因此，在實(shí)際的生產(chǎn)加工中應(yīng)避開這些頻率區(qū)域，以免發(fā)生共振，可取一階和二階固頻中間的切削頻率進(jìn)行等速切削，如圖4虛線①所示。為提升加工效率，可考慮采用變速切削方法，如圖4虛線②所示。在加工初始階段，基于某一轉(zhuǎn)速進(jìn)行銑削加工，再考慮二階頻率下降，開始提高轉(zhuǎn)速，可有效遠(yuǎn)離共振頻率，保證薄壁件材料去除過程的穩(wěn)定性，提升加工效率。

3 結(jié) 語

基于有限元結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論，建立薄壁件加工時(shí)變結(jié)構(gòu)模態(tài)分析的矩陣攝動(dòng)方法，通過MATLAB建模獲取薄壁件材料去除過程的整體質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，將材料去除作為當(dāng)前質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的攝動(dòng)項(xiàng)，對(duì)薄壁件模態(tài)參數(shù)變化進(jìn)行解析預(yù)測(cè)，并對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行誤差分析。結(jié)果表明，攝動(dòng)方法分析材料去除過程工件結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)變化具有較好的精度，基于該方法對(duì)薄壁件模態(tài)參數(shù)演變規(guī)律進(jìn)行分析，結(jié)合模態(tài)頻率變化，對(duì)薄壁件加工工藝策略進(jìn)行初步規(guī)劃。