閆振英，王宇，韓寶明，李曉娟*

(1.內(nèi)蒙古大學(xué)，交通學(xué)院，呼和浩特 010020；2.北京交通大學(xué)，交通運(yùn)輸學(xué)院，北京 100044）

0 引言

經(jīng)過大規(guī)模建設(shè)，我國高鐵運(yùn)營里程已達(dá)4 萬km。高鐵建設(shè)成本和運(yùn)營成本較高，改善高鐵收益是實(shí)現(xiàn)高鐵可持續(xù)發(fā)展的重要保障。自2016年高鐵定價(jià)權(quán)下放，國鐵集團(tuán)不斷探索“一車一價(jià)”“一日一價(jià)”等靈活定價(jià)方式，以調(diào)節(jié)客流需求，平衡運(yùn)力資源，提升客票收益。研究有效的靈活定價(jià)與售票控制機(jī)制，是改善高鐵收益的重要途徑。

收益管理技術(shù)大致可分為存量控制(Inventory Control)與動(dòng)態(tài)定價(jià)兩大類。近年來，收益管理理論研究聚焦在考慮旅客選擇行為的網(wǎng)絡(luò)收益管理(Choice-Based Network Revenue Management,CNRM)上[1]。其中，存量控制多用于獨(dú)立需求的研究中，而在CNRM 中常用到可售控制(Availability Control)；動(dòng)態(tài)定價(jià)可分為連續(xù)價(jià)格和離散價(jià)格。

鐵路運(yùn)輸領(lǐng)域積極探索收益管理的應(yīng)用研究。動(dòng)態(tài)定價(jià)由史峰等[2]最早引入我國鐵路運(yùn)輸領(lǐng)域，采用馬氏純滅過程得到離散價(jià)格的最優(yōu)策略和實(shí)用策略。張小強(qiáng)等[3]針對(duì)單列車多停站服務(wù)網(wǎng)絡(luò)，使用最大凹向包絡(luò)法縮小離散價(jià)格備選集規(guī)模，提升求解速度。后續(xù)研究拓展到多列車多停站動(dòng)態(tài)定價(jià)問題，例如，蔡鑒明等[4]基于多項(xiàng)Logit 模型優(yōu)化各時(shí)段的連續(xù)價(jià)格。存量控制方面重點(diǎn)研究多列車多停站的網(wǎng)絡(luò)售票控制問題。WANG等[5]在單一票價(jià)下基于多項(xiàng)Logit 模型優(yōu)化不同類型列車的票額分配；駱泳吉等[6]提出設(shè)置通售席位的票額分配模型；YAN 等[7]放松容量約束，設(shè)置多等級(jí)票價(jià)，提出基于靈活編組的票額分配模型?？紤]到票價(jià)和售票控制分別影響著需求和供給，兩者的聯(lián)合優(yōu)化能夠有效改善收益。趙翔等[8]將高鐵列車差別定價(jià)和票額分配聯(lián)合優(yōu)化，采用人工蟻群算法求解；秦進(jìn)等[9]將動(dòng)態(tài)定價(jià)與票額分配協(xié)同優(yōu)化，并設(shè)計(jì)分布求解算法；XU 等[10]將該協(xié)同優(yōu)化模型重構(gòu)線性化后，通過迭代求解獲得全局最優(yōu)解。既有聯(lián)合優(yōu)化的研究多采用多項(xiàng)Logit模型刻畫旅客選擇行為。該模型方便嵌入收益管理模型，獲得較高效的近似控制策略，但確定概率函數(shù)需精確識(shí)別屬性和標(biāo)定大量參數(shù)，且受IIA (Independent of Irrelevant Alternatives)特性影響，需求估計(jì)易出現(xiàn)偏差。

基于偏好序的無參數(shù)選擇模型不假定任何概率形式，由大量歷史數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)，對(duì)需求的刻畫更精確[11]。偏好序模型逐漸在收益管理中應(yīng)用，例如，HOSSEINALIFAM等[12]提出存量控制模型，并設(shè)計(jì)列生成求解算法；BARBIER 等[13]提出可高效求解的可售控制模型，但缺乏對(duì)票價(jià)與售票控制聯(lián)合優(yōu)化的探索。

本文采用偏好序模型研究高鐵票價(jià)與售票控制聯(lián)合優(yōu)化的方法，針對(duì)多列車多停站的服務(wù)網(wǎng)絡(luò)，建立票價(jià)與售票時(shí)間窗的聯(lián)合優(yōu)化模型?？紤]運(yùn)營企業(yè)的售票要求將客票進(jìn)行排序，設(shè)計(jì)粒子群與線性規(guī)劃模型求解相結(jié)合的算法快速求解模型。結(jié)果可為高鐵列車客票定價(jià)和制定售票控制策略提供決策支持。

1 模型構(gòu)建

1.1 問題描述

針對(duì)多列車和多停站的高鐵服務(wù)網(wǎng)絡(luò)，為每列車每個(gè)OD的相同類型座位(例如二等座)設(shè)置若干客票等級(jí)，各等級(jí)票價(jià)允許在一定范圍內(nèi)波動(dòng)。按照列車、OD和票價(jià)等級(jí)設(shè)置客票產(chǎn)品j，J表示所有客票產(chǎn)品集合。將每列車在每個(gè)區(qū)段上的座位資源表示為i，資源集合為I?？推碑a(chǎn)品與列車席位資源的占用關(guān)系用矩陣A=表示，其中，客票產(chǎn)品j占用列車區(qū)段資源i時(shí)，aij=1；否則，aij=0。rj表示客票產(chǎn)品j的票價(jià)，設(shè)置票價(jià)上限及下限保證票價(jià)優(yōu)化不改變其客票等級(jí)。將客票銷售期劃分為τ個(gè)時(shí)段，t=0，售票開始；t=τ結(jié)束時(shí)，售票結(jié)束。一般來說，低價(jià)客票需提前開售，而高價(jià)客票提前開售也有利于增加收益，因此，將售票開始時(shí)間均設(shè)在t=0，通過優(yōu)化停售時(shí)間設(shè)定售票時(shí)間窗進(jìn)行售票控制。Tj表示客票產(chǎn)品j的停售時(shí)間，Tj∈[ ]0,τ。售票時(shí)間窗為[0,Tj]，即客票產(chǎn)品j在該時(shí)間段內(nèi)可售，由于所有客票產(chǎn)品售票開始時(shí)間均設(shè)為0，售票時(shí)間窗也可直接表示為Tj?？紤]旅客購買偏好的差異，l∈L表示購買行為相似的一類旅客，L為旅客類別集合，λl表示每個(gè)時(shí)段l類旅客的平均到達(dá)率。旅客購票需求具有價(jià)格彈性，票價(jià)可調(diào)節(jié)購票需求。售票時(shí)間窗則用來控制客票產(chǎn)品的供給狀態(tài)。鐵路運(yùn)營企業(yè)通過決策每個(gè)客票產(chǎn)品j的最優(yōu)票價(jià)rj和對(duì)應(yīng)的停售時(shí)間Tj，同時(shí)調(diào)節(jié)旅客需求和客票產(chǎn)品供給，促進(jìn)供需精細(xì)匹配，實(shí)現(xiàn)客票期望總收益最大。不考慮列車超員或超售的情況，也不考慮旅客的退票和改簽行為。

1.2 偏好序模型

采用偏好序描述旅客的購票選擇行為。將具有相同購買行為的旅客歸為一類，該類旅客l的可選客票產(chǎn)品集合相同，為Cl，該集合中有nl個(gè)產(chǎn)品。Cl中客票產(chǎn)品排序反映了旅客的購買偏好順序。當(dāng)排名靠前的客票產(chǎn)品可售時(shí)，直接購買；否則，將以一定概率轉(zhuǎn)移購買后續(xù)客票產(chǎn)品，依此類推，直到旅客購買某種客票或離開。用?l,j表示產(chǎn)品j在Cl中的排序，若j∈Cl，?l,j∈[1,nl]；若j?Cl，?l,j=0。θ(lk-1,k)表示l類別旅客在前一個(gè)客票不可售時(shí)轉(zhuǎn)移購買后一個(gè)客票的概率，方便起見，設(shè)定θ(l0,1)=1。子集C[lk]?Cl(k∈[1,nl])表示Cl中排在前k位的客票集。用S表示當(dāng)前可售客票集合，旅客類別l面臨可售客票集合S時(shí)，選擇客票產(chǎn)品j的概率Pl(j|S)為

根據(jù)式(1)，旅客購買產(chǎn)品j的概率為Cl中排序在該產(chǎn)品之前的所有產(chǎn)品的轉(zhuǎn)移概率的乘積?？蓪類別旅客購買客票產(chǎn)品j的概率表示為Pl(j|{j})。轉(zhuǎn)移概率的估計(jì)可參考文獻(xiàn)[11]。

1.3 彈性需求

旅客購票需求相對(duì)價(jià)格具有一定彈性。各類旅客的平均到達(dá)率λl受到其偏好產(chǎn)品的價(jià)格影響。將l類旅客購買各偏好客票產(chǎn)品的概率Pl(j|{j})作為權(quán)重，近似得到l類旅客偏好客票產(chǎn)品的平均票價(jià)為

式中：為l類旅客偏好客票產(chǎn)品的平均票價(jià)。假設(shè)l類旅客的到達(dá)率受其偏好客票產(chǎn)品的平均票價(jià)影響，則l類旅客的彈性需求函數(shù)[9]為

式中：η為彈性系數(shù)；為根據(jù)歷史售票數(shù)據(jù)推測(cè)得到的基準(zhǔn)到達(dá)率；為根據(jù)歷史銷售情況推測(cè)得到的基準(zhǔn)平均票價(jià)。

1.4 售票時(shí)間窗

客票產(chǎn)品j的售票時(shí)間窗可表示為Tj。依據(jù)偏好序購買邏輯，當(dāng)排序靠前的客票產(chǎn)品可售時(shí)，旅客便不會(huì)購買排序靠后的客票產(chǎn)品，所以，售票時(shí)間窗并不是各類旅客實(shí)際購買客票產(chǎn)品j的持續(xù)時(shí)間段。為了計(jì)算客票銷售量，需要根據(jù)售票時(shí)間窗Tj計(jì)算旅客購買客票產(chǎn)品的實(shí)際時(shí)間段。定義和分別表示各類別旅客購買各類客票的時(shí)間窗和客票停售時(shí)間。定義ψ(lk)∈Cl表示旅客類別l的偏好集合中第k個(gè)客票。定義γ∈[1,k-1]表示在偏好集合中客票排序在k之前。要使旅客類別l選擇第k個(gè)客票，就需要設(shè)置第k個(gè)客票的停售時(shí)間晚于排序更靠前的客票。因此，類別l旅客購買產(chǎn)品k的時(shí)間窗為

1.5 票價(jià)與售票時(shí)間窗聯(lián)合優(yōu)化模型

旅客到達(dá)服從泊松過程，動(dòng)態(tài)定價(jià)下的旅客平均到達(dá)率為λl，票價(jià)優(yōu)化后產(chǎn)品j的售票量為

式中：為l類旅客可選集合中產(chǎn)品j的售票時(shí)間窗；λl依據(jù)彈性需求函數(shù)式(3)計(jì)算。

根據(jù)上述假設(shè)，以客票收益最大化為目標(biāo)函數(shù)，以票價(jià)rj和停售時(shí)間Tj為決策變量，構(gòu)建聯(lián)合優(yōu)化模型為

式中：Q為由Qj組成的向量；ci為各列車在各區(qū)段的席位資源i的最大席位數(shù)；c為由ci組成的向量。

式(7)以期望客票收益最大為目標(biāo)函數(shù)；式(8)為列車容量約束；式(9)為各類旅客購買各客票產(chǎn)品的時(shí)間窗與停售時(shí)間的關(guān)系；式(10)為各類旅客任意前k個(gè)客票產(chǎn)品最晚停售時(shí)間；式(11)為客票產(chǎn)品停售時(shí)間的取值范圍，由售票期決定；式(12)為票價(jià)的上下限約束，使票價(jià)波動(dòng)不足以改變產(chǎn)品排序。

在停售時(shí)間控制中，可以用客票產(chǎn)品停售時(shí)間排序滿足嵌套銷售的需求。定義客票產(chǎn)品排序H={Hj}j∈J，如果對(duì)于客票產(chǎn)品?u,v∈J,Tu ＞Tv，則Hu ＞Hv；若Tu=Tv，則Hu=Hv。一般來說，可按照運(yùn)營企業(yè)的需要進(jìn)行排序，例如，客票價(jià)格，價(jià)格除以資源數(shù)及單位里程價(jià)格等。當(dāng)給定排序H時(shí)，模型中的非線性約束條件式(10)可以轉(zhuǎn)化為

然后，上述聯(lián)合優(yōu)化模型可轉(zhuǎn)換為以式(7)為目標(biāo)函數(shù)，約束條件為式(8)，式(9)，式(11)～式(13)的等價(jià)模型。

2 求解算法

本文提出的聯(lián)合優(yōu)化模型為非線性規(guī)劃，該類模型難以精確求解。價(jià)格需求彈性的引入使模型變得更為復(fù)雜，因此，本文構(gòu)造粒子群與線性規(guī)劃嵌套的求解算法。

外層采用粒子群迭代優(yōu)化票價(jià)。將粒子位置定義為票價(jià)。迭代中，粒子按照一定速度更新位置。粒子速度更新規(guī)則為

式中：sg(m)為第g個(gè)粒子第m次迭代時(shí)的速度；Pg(m)為第m次迭代時(shí)自身最優(yōu)位置；O(m)為第m次迭代時(shí)全局最優(yōu)位置；rg(m)為第g個(gè)粒子第m次迭代時(shí)的位置；θ1和θ2為在區(qū)間(0,1)內(nèi)的隨機(jī)數(shù)；ω為慣性因子；c1為自身學(xué)習(xí)因子；c2為全局學(xué)習(xí)因子，通常取ω=c1=c2=0.5。粒子位置更新為

式中：μ=0.01。

內(nèi)層調(diào)用CPLEX 求解線性規(guī)劃，計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)。將適應(yīng)度函數(shù)定義為期望總收益R，即式(7)目標(biāo)函數(shù)。將粒子產(chǎn)生的票價(jià)方案輸入式(3)，計(jì)算彈性客流需求。此時(shí)，等價(jià)模型轉(zhuǎn)化為決策變量僅為售票時(shí)間窗的線性規(guī)劃模型，調(diào)用CPLEX求解。將得到的適應(yīng)度函數(shù)值返回到外層迭代，找到滿意的票價(jià)和售票時(shí)間窗。

算法步驟如下。

Step 1 參數(shù)初始化。設(shè)定最大迭代次數(shù)M，粒子群規(guī)模G，在各客票允許的票價(jià)優(yōu)化范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生初始粒子位置矩陣r(0)，置粒子的初始速度矩陣s(0)=0，迭 代次數(shù)m=0，粒 子序號(hào)g=0，O(m)=0。

Step 2 置g=g+1，將rg(0)帶入式(3)計(jì)算λ；將λ與rg(0)輸入式(8)，式(9)，式(11)～式(13)，調(diào)用CPLEX 得到停售時(shí)間矩陣Tg(0)和期望總收益Rg(0)；置Pg(0)=rg(0)，粒子g最優(yōu)位置對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)(0)；重復(fù)Step 2，直到g=G。

Step 4 置m=m+1，g=1，根據(jù)式(14)和式(15)更新粒子的速度sg(m)和位置rg(m)。

Step 5 判斷當(dāng)前粒子票價(jià)矩陣rg(m)中的各元素是否滿足約束條件式(11)，若全部滿足，則轉(zhuǎn)至Step 6；否則，將置其適應(yīng)度函數(shù)Rg(m)=0。

Step 6 將rg(m)輸入式(3)更新λ；將λ與rg(m)輸入式(8)，式(9)，式(11)～式(13)，調(diào)用CPLEX求解，得到適應(yīng)度函數(shù)Rg(m)和停售時(shí)間矩陣Tg(m)。

Step 7 若Rg(m)，置Pg(m)=rg(m)，(m)；否則，置Pg(m)=Pg(m-1)。 若Rg(m)，置Og(m)=rg(m)，(m)；否則，置Og(m)=Og(m-1)。

Step 8 若g≤G，置g=g+1，返回Step 5。

Step 9 若m≤M，返回Step 4；否則，輸出最優(yōu)票價(jià)方案O(M)、期望總收益R(opt)和對(duì)應(yīng)的最佳客票停售時(shí)間T*。

3 算例分析

3.1 基礎(chǔ)數(shù)據(jù)

選擇京滬高鐵4趟列車的二等座進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，服務(wù)網(wǎng)絡(luò)如圖1[9]所示。

圖1 列車服務(wù)網(wǎng)絡(luò)Fig.1 Train service network

客票產(chǎn)品由列車、OD和票價(jià)等級(jí)來區(qū)分，將現(xiàn)狀客票全價(jià)和8 折作為基準(zhǔn)票價(jià)設(shè)置兩個(gè)票價(jià)等級(jí)，并將各OD 的客票按照價(jià)格和運(yùn)行時(shí)間排序，如表1所示。

表1 客票產(chǎn)品與票價(jià)Table 1 Ticket products and fares

在基準(zhǔn)票價(jià)上下浮動(dòng)10%的范圍內(nèi)優(yōu)化票價(jià)。各OD旅客類別、基準(zhǔn)票價(jià)下的平均到達(dá)率和偏好產(chǎn)品集合如表2所示。

表2 各OD旅客類別、平均到達(dá)率和偏好產(chǎn)品集合Table 2 Collection of each OD passenger category,average arrival rate and preferred products

將預(yù)售期劃分為30 個(gè)時(shí)段。為計(jì)算方便，各產(chǎn)品間的轉(zhuǎn)移概率取相同的值，即各車次座位容量為1120個(gè)。價(jià)格彈性系數(shù)η=2。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為對(duì)比本文模型的收益效果，將票價(jià)固定僅優(yōu)化售票時(shí)間窗的方案作為對(duì)比方案。前者稱為聯(lián)合優(yōu)化方案，后者稱為固定票價(jià)方案。固定票價(jià)下，售票時(shí)間窗優(yōu)化模型為線性規(guī)劃模型，使用CPLEX求解。取最大迭代次數(shù)M=100，粒子群規(guī)模G=30，算法收斂如圖2所示。

圖2 迭代優(yōu)化過程Fig.2 Iterative optimization process

結(jié)果表明，聯(lián)合優(yōu)化方案總收益為2315554.07元，較固定票價(jià)方案提升收益約4.54%。最優(yōu)售票時(shí)間窗和票價(jià)如表3所示。

表3 客票產(chǎn)品售票時(shí)間窗及票價(jià)Table 3 Ticket time window and price of ticket products

模型通過價(jià)格彈性將票價(jià)與購票需求聯(lián)動(dòng)，利用售票時(shí)間窗調(diào)節(jié)席位資源在不同客票產(chǎn)品間優(yōu)化分配，優(yōu)化后的票價(jià)有升有降。

3.3 討論

(1)不同旅客平均到達(dá)率的情況

保持供給不變，將基準(zhǔn)價(jià)格下的平均到達(dá)率乘以一定倍數(shù)，計(jì)算不同需求規(guī)模下的客票收益情況如圖3所示。

由圖3可知，聯(lián)合優(yōu)化方案的客票收益均優(yōu)于固定票價(jià)方案，收益提升4.32%～8.49%。需求規(guī)模較小時(shí)，收益增加比例更大，應(yīng)重視票價(jià)優(yōu)化改善收益。當(dāng)需求達(dá)到一定規(guī)模，受列車席位容量和票價(jià)上限的約束，優(yōu)化票價(jià)對(duì)提升收益的貢獻(xiàn)趨于平穩(wěn)。

圖3 不同到達(dá)率下的客票收益情況Fig.3 Ticket revenue under different arrival rates

需求變化時(shí)，截取OD(1,8)的客票產(chǎn)品觀察票價(jià)和售票時(shí)間窗的變化，如圖4和圖5所示。

圖4 不同需求下部分客票產(chǎn)品的票價(jià)Fig.4 Ticket prices of some ticket products under different demand

圖5 不同需求下部分客票產(chǎn)品的售票時(shí)間窗Fig.5 Ticket time window of some ticket products under different demand

在不同需求下，客票產(chǎn)品票價(jià)出現(xiàn)一定差異。隨著需求的增大，部分客票產(chǎn)品售票時(shí)間窗縮小。由于需求增加后提前停售部分偏好序排名靠前的低價(jià)產(chǎn)品，能夠?yàn)榕琶亢蟮母邇r(jià)產(chǎn)品預(yù)留更多席位資源。計(jì)算不同需求水平下的列車客座率如表4所示。

表4 客座率對(duì)比Table 4 Comparation of passenger load factors

相比固定票價(jià)方案，聯(lián)合優(yōu)化方案總體上提升了客座率，有利于滿足更多旅客的出行需求。

(2)不同轉(zhuǎn)移概率的情況

轉(zhuǎn)移概率越高，客票產(chǎn)品被轉(zhuǎn)移購買的可能性越大，增加了排序靠后的客票產(chǎn)品需求。保持其他數(shù)據(jù)不變，僅改變轉(zhuǎn)移概率，計(jì)算聯(lián)合優(yōu)化方案和固定票價(jià)方案的總收益變化情況如表5和圖6所示。

圖6 不同轉(zhuǎn)移概率下的客票收益情況Fig.6 Ticket revenue under different transfer probabilities

表5 不同轉(zhuǎn)移概率下的客票收益增加情況Table 5 Increase of ticket revenue under different transfer probabilities

轉(zhuǎn)移概率越大，期望客票總收益越大，且聯(lián)合優(yōu)化方案的期望總收益均高于固定票價(jià)方案。實(shí)際運(yùn)營中應(yīng)重視轉(zhuǎn)移概率的估計(jì)精度。

選取OD(1,8)的客票產(chǎn)品觀察不同轉(zhuǎn)移概率下票價(jià)和時(shí)間窗的變化，如圖7和圖8所示。

圖7 不同轉(zhuǎn)移概率下部分客票產(chǎn)品的票價(jià)Fig.7 Ticket prices of some ticket products under different transfer probabilities

圖8 不同轉(zhuǎn)移概率下部分客票產(chǎn)品的售票時(shí)間窗Fig.8 Ticket time window of some ticket products under different transfer probabilities

隨著轉(zhuǎn)移概率增加，偏好序排名靠后的高價(jià)產(chǎn)品需求增加，票價(jià)的浮動(dòng)有利于調(diào)整供需適配關(guān)系，偏好序中排名靠前的客票產(chǎn)品停售時(shí)間提前，為高價(jià)產(chǎn)品保留更多席位資源。

4 結(jié)論

(1)本文基于偏好序選擇行為構(gòu)建了高鐵票價(jià)和售票時(shí)間窗的聯(lián)合優(yōu)化模型。綜合考慮多趟高鐵列車，通過價(jià)格調(diào)節(jié)彈性需求，采用售票時(shí)間窗調(diào)節(jié)席位資源在各OD 和各等級(jí)客票間的優(yōu)化分配，尋求供給和需求的最佳匹配，實(shí)現(xiàn)運(yùn)營企業(yè)收益最大化。根據(jù)模型特點(diǎn)，設(shè)計(jì)粒子群算法分層求解。外層由粒子群隨機(jī)產(chǎn)生票價(jià)，內(nèi)層已知票價(jià)后引入客票銷售排序，將模型轉(zhuǎn)化為等價(jià)的線性規(guī)劃模型，調(diào)用CPLEX求解，通過迭代比選獲得模型的滿意解。

(2)與已知固定票價(jià)優(yōu)化售票時(shí)間窗的方案相比，本文提出的聯(lián)合優(yōu)化模型能夠根據(jù)彈性客流需求為每個(gè)客票產(chǎn)品確定最佳的票價(jià)和售票時(shí)間窗，從而提升總體客票收益。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明：不同需求水平下，聯(lián)合優(yōu)化方案能夠提升期望總收益4.32%～8.49%。

(3)偏好序模型中的轉(zhuǎn)移概率對(duì)期望總收益具有顯著影響，但聯(lián)合優(yōu)化方案總是優(yōu)于固定票價(jià)方案。轉(zhuǎn)移概率越大，偏好序列表中排名靠后的高價(jià)客票產(chǎn)品被購買的概率越大。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明：隨著轉(zhuǎn)移概率增加，期望總收益增加，且期望總收益增加比例在16.09%～4.08%變化。實(shí)際應(yīng)用中運(yùn)營企業(yè)應(yīng)重視旅客轉(zhuǎn)移概率的估計(jì)精度。