谷士鵬，常志遠，馬曼曼，李志農(nóng)，龍盛蓉，程娟

1.中國飛行試驗研究院，陜西 西安 710089

2.南昌航空大學 無損檢測教育部重點實驗室，江西 南昌 330063

3.南昌航空大學 江西省圖像處理與模式識別重點實驗室，江西 南昌 330063

由于低熵性、多分辨率分析、去相關(guān)等特性，小波變換在圖像去噪、數(shù)據(jù)壓縮、故障診斷和多傳感器定位等領(lǐng)域取得了良好的效果[1-5]。小波變換通常被用來處理一維信號。當將一維小波基推廣到處理二維圖像時，由于其支撐區(qū)間將變?yōu)檎叫?，因此小波變換的方向性較差。如果直接用二維小波處理圖像，不能有效地逼近圖像的奇異性曲線，導致無法準確地提取目標的邊緣特征。特別是在高維情況下，傳統(tǒng)的小波變換無法直接利用圖像的幾何特征對其進行最優(yōu)或者最稀疏表示，即無法保證相應(yīng)的濾波器是最佳的。因此，尋求一種能夠根據(jù)圖像自身包含的信息來生成自適應(yīng)表示的算法是本文需要解決的重要問題之一。經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（EMD）[6]通過其特有的時間尺度特征將信號分解為多個模態(tài)函數(shù)和殘差趨勢項，使得信號平穩(wěn)化，從而實現(xiàn)對信號的自適應(yīng)表示。近年來，EMD算法在圖像處理領(lǐng)域得到了初步的應(yīng)用[7-11]。J.Gilles[12]給出了經(jīng)驗小波變換（EWT），并將所提方法由一維擴展到二維，提出了二維經(jīng)驗小波變換（2D-EWT）方法。EWT是基于Littlewood Paley小波提出的通過設(shè)計適當?shù)男〔V波器組來提取信號的不同模式。與EMD一樣，經(jīng)驗小波變換可以從信號中提取出調(diào)幅—調(diào)頻（AM-FM）成分。在傅里葉域中，經(jīng)驗小波變換的支撐區(qū)域不是由二進制分解得到的，而是根據(jù)所分析的信號自適應(yīng)選擇的?；?D-EWT 算法的獨特優(yōu)勢，本文將該算法應(yīng)用到金屬斷口圖像消噪中，同時，對比研究傳統(tǒng)的小波變換的金屬斷口圖像消噪方法，通過仿真和試驗驗證提出的方法的有效性。

1 二維經(jīng)驗小波變換

二維經(jīng)驗小波變換是在經(jīng)典的二維Littlewood Paley小波變換的基礎(chǔ)上改進的，它的濾波器組在傅里葉（Fourier）域內(nèi)具有環(huán)形支撐，支撐的內(nèi)、外半徑固定在Fourier 域的二元分解平面上，即尺度因子[13]。這里，應(yīng)用經(jīng)驗分析方法對環(huán)形支撐的每個環(huán)進行檢測。檢測是在傅里葉的偽極坐標平面下進行的，因此可以用頻率模量|ω|來表示邊界。為了解決偽極點傅里葉變換的構(gòu)造問題，參考文獻[14]和[15]提出了一些方法，并且提供了一個算子FP(f)(θ,|ω|)對其進行構(gòu)造。在傅里葉支撐中，一維傅里葉譜存在于每個角度θ中。然而，在張量變換下，如果單獨對每個角度θ進行傅里葉邊界檢測，則其輸出頻譜中將會產(chǎn)生一些不連續(xù)性。為了避免這種影響，二維經(jīng)驗小波變換采用了張量變換的思想來計算平均頻譜，即

式中，ψn(X)為經(jīng)驗小波函數(shù)，?1(X)為經(jīng)驗尺度函數(shù)；BELP為所建立的一組二維經(jīng)驗小波。該定義是一維經(jīng)驗小波的直接擴展[16]。由于在ωN-1≤|ω|≤ωN= π上擴展環(huán)是為了保持傅里葉域的“角”，因此除最后的環(huán)形外，其定義如式(3)～式(5)所示。

（3）由式（3）～式（5）檢測傅里葉邊界，得到頻譜半徑集合Ω和對應(yīng)的濾波器組

（4）利用式（6）和式（7）對原始圖像進行過濾，得到目標圖像f。

（5）輸出：BELP,WELPf(n,Χ)。

2 仿真研究

為了驗證所提方法是否有效，以Lena圖像為對象進行仿真研究。在仿真研究中，分別給Lena圖像人為地加入不同比例的椒鹽噪聲或高斯白噪聲，噪聲的閾值由式（11）給出

式中，Np為像素數(shù)量。

為了比較去噪效果，在此對于算法效果評價引入業(yè)內(nèi)常用的兩個指標：代表圖像失真或者噪聲水平的峰值信噪比（PSNR）和反映人類視覺特性的結(jié)構(gòu)相似指數(shù)（SSⅠM）[15]。

式中，Max表示灰度級；Ix是原始含噪圖像；Iy是經(jīng)過去噪處理后的圖像。

SSⅠM 用來計算兩個圖像的相似度。其結(jié)果接近1，則表示兩個圖像在結(jié)構(gòu)上越相似，它可被定義為

式中，μx,μy是Ix,Iy的平均值，σx,σy分別是Ix,Iy的協(xié)方差。c1,c2的定義分別為

式中，L是動態(tài)范圍（見參考文獻[14]）。

圖1和圖2分別是基于小波、經(jīng)驗小波變換兩種算法在不同噪聲環(huán)境下去噪的效果圖。表1 表示加入不同噪聲后，不同樣本的峰值信噪比和結(jié)構(gòu)相似指數(shù)的計算結(jié)果。

表1 兩種噪聲環(huán)境下Lena圖像的去噪效果Table 1 Denoising of Lena images in two noisy environments

由表1 可見，基于二維經(jīng)驗小波算法的圖像消噪峰值信噪比（PSNR）明顯高于小波算法。圖1和圖2可以直觀地觀察到利用該算法消噪具有的優(yōu)越性，可見即使是簡單的取閾值，二維經(jīng)驗小波變換算法消噪的PSNR 與典型的小波變換算法消噪相當，甚至更高。在中等程度噪聲背景下，二維經(jīng)驗小波算法處理圖像的能力在視覺上更清晰，特別是對于重建邊緣和微小非奇異的線性結(jié)構(gòu)非常有效。SSⅠM方面分析，也能體現(xiàn)出該算法在兩種噪聲環(huán)境下優(yōu)于小波變換表達圖像的能力。

3 試驗研究

二維經(jīng)驗小波變換可以根據(jù)圖像自身包含的信息來生成圖像的自適應(yīng)表示，并且該算法在提取圖像紋理方面有突出的優(yōu)點。在圖像處理中，多數(shù)圖像在頻域中的模式差異并不明顯。所以，要檢測有用的傅里葉支撐來獲取圖像的相關(guān)模式。經(jīng)驗小波變換方法中，傅里葉頻譜的邊界檢測是至關(guān)重要的。該算法使用了一個由低通濾波器和N-1個帶通濾波器組成的濾波器組在信號譜中選擇相關(guān)模式。其中，低頻分量集中了大量能量，還含有較多來自同一模式的局部最大值，表示圖像平坦變化的部分。為了驗證二維經(jīng)驗小波變換在金屬斷口圖像中的有效性，在此，分別取沿晶、解理、韌窩三種紋理圖像來進行消噪分析。

圖3給出了三種金屬斷口圖像及其傅里葉譜邊界檢測的效果圖?？梢钥吹剑糠鶊D像的二維經(jīng)驗小波變換的傅里葉支撐都嘗試分離不同的模式，這直接關(guān)系到二維經(jīng)驗小波變換自適應(yīng)分解的結(jié)果。由圖3 知，該算法可以提取出信號的不同模式，表達出較強自適應(yīng)性的特點。

為了突出提出方法的優(yōu)越性，這里分別給三種金屬斷口圖像添加椒鹽噪聲（噪聲方差σ=57）與高斯白噪聲（SNR=-35dB），在不同噪聲強度與噪聲環(huán)境下，對金屬斷口圖像分別進行二維經(jīng)驗小波變換，并進行消噪分析。最后改變噪聲強度，在不同噪聲環(huán)境下，分別抽取20 組斷口圖像數(shù)據(jù)作樣本，進行對比分析，并通過圖像質(zhì)量評價指標PSNR與SSⅠM來反映。

表2和表3分別是在椒鹽噪聲和高斯白噪聲下，圖像質(zhì)量評價指標的消噪結(jié)果。表2和表3中PSNR和SSⅠM兩個圖像質(zhì)量評價指標結(jié)果，更有力地驗證了二維經(jīng)驗小波比經(jīng)典小波提供了更好的結(jié)果。

表2 椒鹽噪聲下，噪聲方差σ=57，三種斷口圖像的去噪效果Table 2 Denoising effect of fracture image under salt and pepper noise with σ=57

表3 高斯白噪聲下SNR=-35dB，三種斷口圖像的去噪效果Table 3 Denoising effect of fracture image under Gaussian white noise with SNR=-35dB

圖4、圖6、圖8和圖5、圖7、圖9分別是在兩種噪聲環(huán)境下，對一組斷口圖像進行消噪后的直觀顯示結(jié)果。圖4～圖9表明，在不同噪聲強度與噪聲環(huán)境下，二維經(jīng)驗小波變換算法圖像消噪效果優(yōu)于小波變換，其中。圖4（a）中PSNR=22.45dB，SSⅠM=0.58；圖4（b）中PSNR=27.70dB，SSⅠM=0.68；圖4（c）中PSNR=30.51dB，SSⅠM=0.77。圖5（a）中PSNR=20.01dB，SSⅠM=0.51；圖5（b）中PSNR=22.63dB，SSⅠM=0.61；圖5（c）中PSNR=23.74dB，SSⅠM=0.67。圖6（a）中PSNR=22.81dB，SSⅠM=0.72；圖6（b）中PSNR=25.14dB，SSⅠM=0.75；圖6（c）中PSNR=28.87dB，SSⅠM=0.87）。圖7（a）中PSNR=19.88dB，SSⅠM=0.45；圖7（b)中PSNR=23.70dB，SSⅠM=0.58；圖7（c) 中PSNR=25.13dB，SSⅠM=0.70。圖8（a）中PSNR=21.85dB，SSⅠM=0.79；圖8 中（b) PSNR=22.90dB，SSⅠM=0.79；圖8（c) 中PSNR=25.85dB，SSⅠM=0.88。圖9（a）中PSNR=20.10dB，SSⅠM=0.62；圖9（b）中PSNR=22.56dB，SSⅠM=0.62 圖9（c）中 PSNR=26.77dB，SSⅠM=0.81。

圖10 和圖11 分別是在兩種噪聲環(huán)境下對于不同噪聲強度，20組樣本數(shù)據(jù)的PSNR與SSⅠM兩個度量指標的曲線對比圖。1為2D-EWT變換算法去噪；2為小波變換算法去噪；3 為原圖含噪。由圖10 和圖11 可知，根據(jù)處理圖像的不同種類，隨著噪聲強度的增強，在經(jīng)驗小波變換優(yōu)于小波變換的基礎(chǔ)上，經(jīng)驗方法的結(jié)果根據(jù)處理圖像的不同而表現(xiàn)不同，有時甚至與小波變換相當，但絕大部分表現(xiàn)出了更好的效果，這也充分表現(xiàn)了經(jīng)驗小波變換能夠從圖像本身提取一些幾何信息，建立自適應(yīng)小波表示的自適應(yīng)性的特點，隨著噪聲強度的增加，提出的方法相比小波變換具有更強的表達圖像的能力。

4 結(jié)論

本文提出了一種基于2D-EWT的金屬斷口圖像消噪方法，并進行了仿真和試驗驗證，對比分析二維經(jīng)驗小波變換和小波變換在不同噪聲強度與環(huán)境下圖像的消噪效果，并通過性能指標PSNR與SSⅠM來反映。結(jié)果表明，提出的方法明顯優(yōu)于小波分析方法，隨著噪聲強度的增加，提出的方法相比小波變換該算法具有更強的表達圖像的能力。這是因為二維經(jīng)驗小波變換可以根據(jù)圖像自身包含的信息來生成其自適應(yīng)表示，該優(yōu)越性使二維經(jīng)驗小波變換的自適應(yīng)分解結(jié)果更有利于圖像處理。