付 曉，梅志遠，陳國濤，張 二

（海軍工程大學(xué)艦船與海洋學(xué)院，武漢 430033）

0 引 言

艦船的幾何外形特征較為復(fù)雜，微曲率殼板是其中一類常見的結(jié)構(gòu)。艦船在服役期內(nèi)會承受各類載荷作用，橫向載荷極為常見（如靜水壓力、波浪砰擊等）。尤其在遭遇各類惡劣天氣時，船體殼板出現(xiàn)失穩(wěn)甚至破壞將威脅艦船的航行安全。近年來，復(fù)合材料在船舶結(jié)構(gòu)中得到了廣泛使用，由于復(fù)合材料與金屬材料力學(xué)性能存在明顯差異，復(fù)合材料殼板的橫向承載穩(wěn)定性也逐漸受到關(guān)注[1-2]。雖然艦船因船體殼板失穩(wěn)導(dǎo)致的事故鮮見報道，但是海軍工程大學(xué)梅志遠團隊在針對大尺寸微曲率復(fù)合材料板架模型開展力學(xué)性能試驗時卻發(fā)現(xiàn)了殼板失穩(wěn)的現(xiàn)象。由此可見，微曲率殼板的橫向承載穩(wěn)定性機理還需深入研究。

由于殼板軸向力的存在，在橫向載荷作用下，微曲率殼板普遍會出現(xiàn)某一時刻位移突增但仍可繼續(xù)承載的現(xiàn)象，有學(xué)者將其命名為“跳躍”失穩(wěn)[3]。多數(shù)學(xué)者將此現(xiàn)象歸結(jié)為殼板的屈曲與后屈曲問題[4-10]，并對此進行了理論分析與求解[11-15]。在20世紀70年代，中科院力學(xué)所十二室[5-9]就對加筋曲板的側(cè)壓穩(wěn)定性問題開展了較為系統(tǒng)的理論研究，形成了比較完整的分析思路。但由于當時技術(shù)條件的限制，相關(guān)研究缺乏仿真與試驗的支撐。計算機的發(fā)展以及有限元技術(shù)的普及，為深入研究“跳躍”失穩(wěn)現(xiàn)象的產(chǎn)生機理與影響因素提供了條件。Budiansky和Roth[16]對淺球殼受突加外壓作用的“失穩(wěn)跳躍”行為進行了研究，將系統(tǒng)動力穩(wěn)定性準則與淺球殼的動力學(xué)控制方程結(jié)合起來,描述了結(jié)構(gòu)的“跳躍”特性。陳偉等[17]基于ABAQUS有限元軟件研究了雙曲率殼板側(cè)壓穩(wěn)定性屈曲與后屈曲載荷曲線，并對影響因素進行了分析。胡文飛等[18]探討了扁球殼“跳躍”現(xiàn)象的影響因素，發(fā)現(xiàn)殼體厚度和矢高之比是主要因素。雖然借助有限元軟件可以直觀地了解“跳躍”失穩(wěn)現(xiàn)象的變化過程與影響因素[19-28]，但是由于此問題理論分析過程較為繁瑣，復(fù)雜的計算也使解析解的求解難度驟增，導(dǎo)致數(shù)值分析的準確性難以得到驗證。現(xiàn)階段，針對微曲率結(jié)構(gòu)失穩(wěn)問題可供借鑒的資料較為匱乏，相關(guān)文獻一般多討論殼板或加筋板受軸向壓力時的失穩(wěn)問題，對于橫向載荷作用下殼板穩(wěn)定性問題的研究也多停留在“跳躍”失穩(wěn)現(xiàn)象仿真分析層面，缺乏理論支撐。因此，建立可適用于工程實際的微曲率殼板理論分析模型，探討微曲率殼板的“跳躍”失穩(wěn)機理，有利于掌握其橫向承載規(guī)律，避免結(jié)構(gòu)安全問題的發(fā)生。

本文根據(jù)鐵木辛柯曲梁理論，推導(dǎo)了單向微曲率殼板的臨界失穩(wěn)載荷公式，并基于Riks弧長法對典型模型進行數(shù)值計算，獲取其臨界失穩(wěn)載荷，以期為微曲率殼板的橫向承載穩(wěn)定性預(yù)報提供參考。

1 微曲率殼板“跳躍”失穩(wěn)現(xiàn)象

微曲率板架廣泛存在于艦船結(jié)構(gòu)中，艦艇航行時，其主要承受靜水壓力、流擊載荷以及波浪砰擊載荷作用，需要具備較高的強度與足夠的穩(wěn)定性。本文在對船體微曲率板架模型進行力學(xué)性能試驗時，發(fā)現(xiàn)殼板在承受外壓時出現(xiàn)了大面積凹曲的現(xiàn)象。然而，出現(xiàn)大面積凹曲后，結(jié)構(gòu)并未破壞，仍能繼續(xù)承載，即認為殼板發(fā)生了“跳躍”失穩(wěn)。試驗所用玻璃鋼殼板模型如圖1所示，試驗所得“跳躍”失穩(wěn)現(xiàn)象如圖2所示。

2 微曲率殼板橫向承載穩(wěn)定性理論模型

對于薄板而言，當板的撓度與板厚為同一量級時，在推導(dǎo)板的微分方程時就必須考慮附加在中面內(nèi)的薄膜應(yīng)力，幾何關(guān)系不再滿足線性假設(shè)，板的小撓度彎曲理論以及克?；舴颉辗蚣僭O(shè)均不再成立[29]。微曲率殼板的理論求解方法過程復(fù)雜，應(yīng)用于指導(dǎo)工程設(shè)計存在一定困難。參考曲拱結(jié)構(gòu)中的矢跨比概念[30]，本文定義殼板最高點與最低點豎直方向距離與跨距的比值為矢跨比，矢跨比小于0.05 的殼板可視為微曲率殼板。在幾何特征方面，雖然該結(jié)構(gòu)擁有一定的曲率，但是曲率較小，與平板較為相似；在變形特征方面，由于微曲率殼板存在的軸向力，其承受橫向載荷時，容易出現(xiàn)“跳躍”失穩(wěn)等問題，又與曲板變形相似。由船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)可知，求解薄板柱面彎曲問題時，常采用板條梁的方法，將二維板模型退化為一維梁模型進行分析。針對本文研究的單向微曲率殼板結(jié)構(gòu)，選取單位寬度板條梁模型（板厚為t），進而分析結(jié)構(gòu)在承受橫向均布載荷下的穩(wěn)定性問題。

以鐵木辛柯為代表的部分學(xué)者完成了曲線梁變形的理論推導(dǎo)，認為可以使用承受軸向力以及橫向載荷聯(lián)合作用時的直梁模型求解微曲率曲梁（桿）橫向承載問題[31]，其示意圖如圖3所示。

對于上述簡支梁模型，根據(jù)文獻[31]求解，首先應(yīng)判斷其是否失穩(wěn)，即比較軸向力T與結(jié)構(gòu)歐拉臨界失穩(wěn)載荷Se的大小關(guān)系。臨界失穩(wěn)載荷TE可表示為式中：E表示材料彈性模量；I表示結(jié)構(gòu)抗彎慣性矩；n表示結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)半波數(shù)，結(jié)合工程實際與試驗數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)在本文研究背景下的微曲率殼板失穩(wěn)變形特征可近似為3個半波，因此n暫時取3。

根據(jù)文獻[31]可計算圖3所示梁的最大撓度為

由式（1）～（3）可知：當梁所承受的軸向力T與歐拉臨界失穩(wěn)載荷Se相比很小時，γ的值很小，式（2）中第二個因子數(shù)值接近于1，說明在此時軸向力對撓度的影響可以忽略；當軸向力T與歐拉臨界載荷接近時，γ值接近π/2，則式（2）中第二個因子無限增大，導(dǎo)致梁的撓度急劇增加。

軸向力對結(jié)構(gòu)失穩(wěn)至關(guān)重要，在研究此問題過程中，在鐵木辛柯微曲梁推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，假設(shè)結(jié)構(gòu)的軸向力達到歐拉臨界載荷時結(jié)構(gòu)發(fā)生失穩(wěn)。因此，以承受軸向壓力的薄板板條梁模型為對象，通過求解該板條梁的大撓度復(fù)雜彎曲問題，反推當梁軸向力達到臨界失穩(wěn)載荷時結(jié)構(gòu)所承受的均布載荷q，該載荷即為結(jié)構(gòu)臨界失穩(wěn)載荷qcr，其推導(dǎo)過程如下：

針對微曲梁，首先求解其撓曲線方程，微曲梁的撓曲線方程通過級數(shù)法表示，微曲梁初始長度如圖4所示。

本文僅取式（4）中第1項表示微曲梁的撓曲線，已知微曲梁的曲率半徑R、跨距l(xiāng)，即可由下式求得系數(shù)a1。

微曲梁初始狀態(tài)下梁的長度為

則其初始長度較直梁的伸長量為

然后以直梁模型代替微曲梁模型，進行理論推導(dǎo)。取圖5所示板條梁微段dx，其變形后長度為ds，則有

根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)板的柱面大撓度彎曲理論，將式（8）中w'展開為冪級數(shù)后，可求得整個板條梁變形后的伸長量為

則微曲梁的整體伸長量為

繼而由應(yīng)變的定義可得

同時，板的柱面彎曲求解過程中參數(shù)u與軸向力T之間存在如下關(guān)系式：

式中，D表示板的彎曲剛度，根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)中復(fù)雜彎曲梁的微分方程，可推導(dǎo)出軸向壓力作用下的簡支直梁復(fù)雜彎曲撓曲線方程為

考慮到微曲梁初始曲率的影響，則簡支狀態(tài)下微曲梁復(fù)雜彎曲的撓曲線方程可表示為

則有

又令w0(x)=q·g(x)，則可得

根據(jù)假設(shè)，已知失穩(wěn)時，軸向力達到失穩(wěn)臨界載荷，因此，T=TE，將式（11）～（16）聯(lián)立，即可得到失穩(wěn)時均布載荷q的表達式，再由式（12）解得u，最后臨界失穩(wěn)載荷qcr可由式（17）計算。

對于ICP-AES分析，可調(diào)節(jié)的儀器參數(shù)主要有射頻發(fā)生功率、工作氣體流量(包括冷卻氣、輔助氣、霧化氣)、蠕動泵轉(zhuǎn)速、觀測方式等。其中射頻發(fā)生功率、霧化氣流量和輔助氣流量是影響分析線信號的關(guān)鍵因素[19-20]。

式（17）用于計算單向微曲率殼板的臨界失穩(wěn)載荷，可對微曲率殼板的極限承載能力進行預(yù)測，進而對結(jié)構(gòu)安全進行評估。

3 基于Riks弧長法的微曲率殼板橫向承載穩(wěn)定性數(shù)值分析

3.1 改進弧長法

曲殼在凸殼面承受分布壓載時，初始階段容易在曲殼頂部出現(xiàn)反向凹曲的變形特征，此后，隨著橫向壓載荷的增加，凹曲邊界將持續(xù)穩(wěn)定地擴展[32]。研究此問題必須考慮幾何大變形的影響，平衡方程和幾何關(guān)系均存在非線性關(guān)系，應(yīng)變的表達式中包括位移的二次項[33]。因此，對于均布載荷下微曲率殼板的變形問題，本文采用非線性方法對其求解。

目前，一般使用弧長法[34-42]對曲殼結(jié)構(gòu)進行非線性分 析，該 方 法 由Wempner 和Risk 提 出，后 經(jīng)Roma 和Crisfield 等人改進，形成了改進的弧長法。改進弧長法是一種穩(wěn)定高效的結(jié)構(gòu)非線性分析方法，對于結(jié)構(gòu)的非線性前屈曲以及后屈曲的路徑跟蹤較為有效，改進弧長法是通過約束方程進行迭代求解收斂點來進行非線性靜力學(xué)求解。圖6為改進弧長法的迭代過程[43]。

3.2 微曲率殼板數(shù)值分析模型

本節(jié)基于Riks 弧長法，選取典型微曲率殼板對其開展數(shù)值仿真，以驗證理論計算模型的準確性。為不失一般性，結(jié)合船舶結(jié)構(gòu)中常見微曲率殼板實際情況，建立單曲率矩形殼板模型。對各類殼板開展數(shù)值計算，其中曲率半徑分別為4000 mm、6000 mm、8000 mm、10 000 mm，跨距為1000 mm，長寬比分別為1、1.5、2、3，探討不同曲率與長寬比矩形曲殼板的橫向承載穩(wěn)定性規(guī)律，圖7所示為長寬比1.5，曲率半徑為6000 mm時的殼板承載示意圖。

數(shù)值模型采用實體單元建模，材料為碳纖維（T700/350），參數(shù)為：E1=58.7 GPa，G12=3.32 GPa，ρ=1.46 g·cm-3，υ=0.045；鋪層方式為0°/90°正交鋪層，殼板的厚度為16 mm，表面施加200 kPa 均布載荷，邊界條件為簡支約束。

模型的網(wǎng)格劃分如圖8 所示，采用四邊形SC8R 單元，網(wǎng)格密度為20 mm，殼板厚度方向采用數(shù)值積分法來求解剛度矩陣，板殼的面內(nèi)采用減縮積分。模型采用Riks弧長法進行求解，可防止在載荷施加時殼板屈曲過程中出現(xiàn)短時間內(nèi)變形過大的現(xiàn)象，導(dǎo)致計算不收斂。

在非線性分析過程中，可通過繪制殼板的載荷比例因子（LPF）曲線，并通過第一次出現(xiàn)的峰值點位置計算殼板臨界失穩(wěn)載荷，不同曲率半徑殼板的LPF曲線如圖9所示。

圖10 是跨距為1000 mm，長寬比分別為1、1.5、2、3的平板LPF 曲線。由圖可知，長寬比越大，單位時間內(nèi)承受載荷越大，曲線斜率越大。與圖9所示不同曲率殼板的LPF 曲線對比可知，曲率對“跳躍”失穩(wěn)現(xiàn)象影響較明顯，長寬比一定時，曲率半徑越小，“跳躍”失穩(wěn)現(xiàn)象越容易發(fā)生，對應(yīng)的臨界失穩(wěn)載荷越大。然而，在曲率半徑一定時，長寬比對“跳躍”失穩(wěn)現(xiàn)象的影響較小。但是，矩形殼板與正方形殼板的LPF 曲線仍存在一定的差異。此外，結(jié)合圖9 和圖10 可知，殼板長寬比越小，“跳躍”失穩(wěn)現(xiàn)象越不容易出現(xiàn)，同一曲率半徑不同長寬比殼板對應(yīng)的失穩(wěn)載荷差別不大。

3.3 數(shù)值與理論計算結(jié)果對比分析

根據(jù)數(shù)值計算結(jié)果可知，微曲率殼板的“跳躍”失穩(wěn)現(xiàn)象與殼板曲率密切相關(guān)，在本文研究背景下，在殼板曲率半徑超過6000 mm后該現(xiàn)象較難出現(xiàn)。為驗證理論計算模型，本文選取曲率半徑分別為4000 mm、4500 mm、5000 mm、6000 mm 的不同長寬比微曲率殼板，將3.2 節(jié)數(shù)值計算中模型的相關(guān)要素代入理論計算模型中，通過式（17）計算微曲率殼板的臨界失穩(wěn)載荷，與表2中數(shù)值計算所得臨界失穩(wěn)載荷進行比較，并對理論解與數(shù)值解存在的差異進行誤差分析，數(shù)值計算結(jié)果與理論計算結(jié)果如表2所示。

由表2可知，數(shù)值解與理論解存在誤差，且隨著曲率半徑的增加，誤差會小幅上升，這是由于曲率半徑增加后，殼板的變形特征向平板趨近，因此導(dǎo)致誤差出現(xiàn)一定程度累積。隨著矩形微曲率殼板長寬比的增加，臨界失穩(wěn)載荷值會小幅降低，正方形殼板較難出現(xiàn)“跳躍”失穩(wěn)現(xiàn)象，半徑越大，殼板越難出現(xiàn)該現(xiàn)象。綜上所述，可以認為本文提出的殼板臨界失穩(wěn)載荷計算方法針對曲率半徑在4000～6000 mm范圍內(nèi)的單向微曲率殼板具有較高的準確性。

4 結(jié) 論

本文基于鐵木辛柯曲梁理論與薄板大撓度彎曲理論，提出了單向微曲率殼板的橫向承載穩(wěn)定性理論計算模型，對臨界失穩(wěn)載荷進行了預(yù)報，通過理論與仿真對比分析，得到以下結(jié)論：

（1）微曲率殼板在橫向承載時會出現(xiàn)穩(wěn)定性問題，本文通過理論分析與數(shù)值仿真計算，發(fā)現(xiàn)單向微曲率殼板的“跳躍”失穩(wěn)現(xiàn)象主要與曲率半徑相關(guān)。半徑越小，“跳躍”失穩(wěn)現(xiàn)象的臨界失穩(wěn)載荷越高；隨著殼板曲率半徑的增加，殼板承載特征越接近平板，“跳躍”失穩(wěn)現(xiàn)象越不容易出現(xiàn)；在殼板曲率半徑相同的情況下，矩形殼板的長寬比對臨界失穩(wěn)載荷影響不明顯。

（2）通過單曲率柱面大撓度彎曲薄板的板條梁模型可以求解微曲率殼板橫向承載問題，假設(shè)以軸向力接近歐拉失穩(wěn)臨界載荷作為判斷“跳躍”失穩(wěn)的發(fā)生條件，求解過程中需考慮軸向力作用以及微曲率殼板初始曲率的影響。

（3）由殼板臨界失穩(wěn)載荷的理論計算結(jié)果與數(shù)值計算結(jié)果對比可知，本文提出的臨界失穩(wěn)載荷計算方法具有較高的準確性，能夠較好地預(yù)測微曲率殼板的橫向承載穩(wěn)定性。