趙 陽，黃強(qiáng)先

（1. 安徽建筑大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，安徽 合肥 230601；2. 合肥工業(yè)大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，安徽 合肥 230009）

1 引 言

原子力顯微鏡（Atomic Force Microscopy，AFM）具有原子尺寸量級(jí)的高分辨率，是納米技術(shù)研究的重要工具，被廣泛用于納米尺度成像、測(cè)量和操縱等領(lǐng)域［1-7］。AFM 微懸臂工作在輕敲模式時(shí)，其探針針尖保持輕敲在試樣表面，此時(shí)微懸臂與試樣表面間距離非常小。在微懸臂的周期性振動(dòng)過程中，它與試樣間隙的氣體相應(yīng)地流入或流出，產(chǎn)生一定的壓膜阻尼效應(yīng)。由于微懸臂對(duì)力的敏感傳遞以及阻尼效應(yīng)對(duì)于懸臂動(dòng)態(tài)特性的影響［8］，空氣壓膜阻尼效應(yīng)不能被忽略?？諝庾枘釋?duì)微懸臂的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)有較大影響，從而會(huì)進(jìn)一步影響懸臂的測(cè)量特性。

Hoummady 觀察到空氣壓膜阻尼效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象［9］：當(dāng)懸臂下方放置和不放置試樣時(shí)微懸臂的振幅會(huì)有一定的偏移；改變微懸臂試樣間的距離，其振幅和諧振頻率皆會(huì)相應(yīng)地偏移。Gunther 針對(duì)掃描探針顯微鏡中的音叉臂振動(dòng)中空氣阻尼進(jìn)行了研究［10］，將探針末端和被測(cè)試樣間的阻尼簡(jiǎn)化為球體和平板間的阻尼模型，分析了振動(dòng)過程中音叉臂末端的探針和試樣間產(chǎn)生的空氣阻尼，對(duì)于振動(dòng)過程中音叉臂和試樣間的空氣阻尼則未做探討。Leveque，Girard 等結(jié)合基于連續(xù)梁系統(tǒng)的歐拉-伯努利方程和流體力學(xué)理論分析了微懸臂探針低頻振動(dòng)時(shí)的空氣阻尼效應(yīng)［11］，進(jìn)而分析了微懸臂受到的大氣阻尼效應(yīng)對(duì)振動(dòng)幅值的影響，而振動(dòng)過程中阻尼對(duì)于阻尼系數(shù)和品質(zhì)因數(shù)的影響則未加分析。Zheng Wei 團(tuán)隊(duì)進(jìn)一步分析了不同形狀的微懸臂在壓膜阻尼影響下品質(zhì)因數(shù)的變化［12］。

以上研究皆為基礎(chǔ)諧振模態(tài)下壓膜阻尼的影響，未考慮壓膜阻尼對(duì)于微懸臂高階諧振模態(tài)的影響。Ashok Kumar Pandey 仿真了不同階次諧振模態(tài)下微懸臂的空氣壓膜阻尼系數(shù)［13］，對(duì)于同一懸臂的一階、二階、三階諧振模態(tài)下的空氣壓膜阻尼系數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明，隨著諧振階次的提高，其空氣壓膜阻尼對(duì)于微懸臂的影響相應(yīng)減小，品質(zhì)因數(shù)相應(yīng)增加。但是，其測(cè)量的品質(zhì)因數(shù)其實(shí)是包含微懸臂振動(dòng)與大氣摩擦所引起的阻尼和壓膜阻尼之和，且未對(duì)壓膜阻尼對(duì)于微懸臂振動(dòng)狀態(tài)的影響做進(jìn)一步的研究和分析。

本文基于歐拉-伯努利梁方程和雷諾方程對(duì)微懸臂的阻尼效應(yīng)進(jìn)行分析，研究基礎(chǔ)諧振模態(tài)和高階諧振模態(tài)微懸臂的壓膜阻尼效應(yīng)對(duì)微懸臂動(dòng)態(tài)特性參數(shù)、動(dòng)態(tài)AFM 測(cè)量特性的影響，并圍繞系統(tǒng)的阻尼效應(yīng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測(cè)試。

2 壓膜阻尼效應(yīng)

AFM 微懸臂示意圖如圖1 所示。矩形懸臂為均質(zhì)等截面，其長(zhǎng)度、寬度和厚度分別為L(zhǎng)，b和W，密度為ρ，微懸臂的彈性模量為E，微懸臂的截面面積為A（A=Wb），截面慣性矩為I（I=W3b/12）。

圖1 微懸臂-試樣簡(jiǎn)化模型示意圖Fig.1 Schematic of simplified cantilever and sample model

由于探針尺寸、質(zhì)量和微懸臂相比數(shù)值微小，故本文忽略探針的作用，將運(yùn)動(dòng)的矩形微懸臂簡(jiǎn)化為矩形平板。忽略慣性效應(yīng)且不考慮微懸臂在橫向的位移，微懸臂和試樣間空氣壓膜效應(yīng)可用雷諾方程表示為：

其中：x為懸臂長(zhǎng)度方向，y為微懸臂寬度方向；p為板間氣體壓膜壓強(qiáng)，μ為氣體黏度系數(shù)，h為臂與試樣間變化的距離，即流體膜的厚度。由于微懸臂振動(dòng)頻率遠(yuǎn)小于壓膜阻尼的中介頻率［14］，兩板間的氣體視為不可壓縮氣體，同時(shí)忽略溫度變化，可將式（1）簡(jiǎn)化為：

進(jìn)一步推導(dǎo)出壓膜阻尼系數(shù)為：

考慮動(dòng)態(tài)AFM 微懸臂在大氣環(huán)境下振動(dòng)時(shí)，存在著微懸臂振動(dòng)和大氣摩擦產(chǎn)生的能量耗散以及壓膜阻尼效應(yīng)產(chǎn)生的能量耗散。設(shè)空氣對(duì)微懸臂振動(dòng)導(dǎo)致附加阻尼系數(shù)為γair，則分布的外阻尼力為，f（x，t）為微懸臂受到的z向力。微懸臂振動(dòng)方程為：

其中：

式中：A0為微懸臂振動(dòng)的振幅值，各階諧振模態(tài)的特征參數(shù)αn可由特征方程求出。

設(shè)Zi（t）為AFM 微懸臂的第i階振型，?i（t）為相應(yīng)的廣義坐標(biāo)，則利用振型正交性質(zhì)，并對(duì)所得方程進(jìn)行解耦［15］可得AFM 懸臂第n階振動(dòng)在廣義坐標(biāo)下的微分方程：

式中：cair為微懸臂所受的總阻尼系數(shù)，是微懸臂壓膜阻尼系數(shù)和微懸臂內(nèi)部能量耗散引起的阻尼系數(shù)之和。將一階諧振模態(tài)的α1=1.875，二階諧振模態(tài)的α2=4.694 代入式（9）計(jì)算，可得二階諧振模態(tài)和一階諧振模態(tài)微懸臂的阻尼比的關(guān)系為：

由此可見，和基礎(chǔ)諧振模態(tài)相比，處于二階諧振模態(tài)的微懸臂探針，其阻尼比相應(yīng)地下降，從而減小了阻尼對(duì)于微懸臂振動(dòng)狀態(tài)的影響。

由于微懸臂工作在近諧振點(diǎn)處，其最大動(dòng)力位移（即振幅）與靜力位移之比為動(dòng)力放大系數(shù)δ，即：

其中γ為微懸臂諧振系統(tǒng)的阻尼比?？梢娢冶鄣恼駝?dòng)幅值由阻尼比決定。在微懸臂和試樣接近的過程中，二者距離的改變會(huì)導(dǎo)致其阻尼比的變化，進(jìn)而導(dǎo)致微懸臂振幅的變化。因此，可以通過觀察懸臂振幅的變化來觀察壓膜阻尼的變化情況。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

3.1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

基于AFM 工作原理，自制了多模態(tài)原子力顯微鏡［16］。該系統(tǒng)可以工作于接觸模式、非接觸模式，以及輕敲模式。輕敲模式下，系統(tǒng)可工作于基礎(chǔ)諧振模態(tài)或者高階諧振模態(tài)下。系統(tǒng)示意圖如圖2 所示。采用具有較高諧振頻率的壓電陶瓷片勵(lì)振微懸臂，微懸臂變形檢測(cè)系統(tǒng)采用光杠桿法檢測(cè)其Z向變形信息。

圖2 多模態(tài)原子力顯微鏡系統(tǒng)示意圖Fig. 2 Functional block diagram of multi-mode AFM

探針-樣品逼近系統(tǒng)由遠(yuǎn)距離逼近系統(tǒng)和近距離逼近系統(tǒng)兩部分組成，位于多模態(tài)原子力顯微鏡系統(tǒng)的基座部分。測(cè)頭及基座部分如圖3 所示。遠(yuǎn)距離逼近系統(tǒng)通過精密微型直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)螺旋測(cè)微頭旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)探針和試樣的大范圍、遠(yuǎn)距離逼近。逼近系統(tǒng)采用千分尺頭，可保證逼近過程的平穩(wěn)性；逼近選用微型直流電機(jī)、減速箱減速方式。直流電機(jī)通過聯(lián)軸器與千分尺頭相連接，帶動(dòng)千分尺頭旋轉(zhuǎn)，沿著導(dǎo)桿的方向上下運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)探針針尖與樣品臺(tái)Z方向距離的精密調(diào)節(jié)。

圖3 測(cè)頭及基座實(shí)物Fig.3 Head and base of multi-mode AFM system

近距離逼近系統(tǒng)由封裝在基座內(nèi)部工作臺(tái)下方的三維壓電陶瓷掃描器組成，采用兩段單管型壓電掃描器控制三維位移量。控制其中一個(gè)未四分的壓電陶瓷管，分別在其內(nèi)、外壁施加電壓，產(chǎn)生軸向伸縮，從而提供Z向位移，實(shí)現(xiàn)探針-試樣間距離的小范圍、近距離逼近。

3.2 壓膜阻尼對(duì)懸臂品質(zhì)因數(shù)的影響

選擇Budget Sensor 的ContAl 探針，使用公稱彈性常數(shù)為3 N/m 的微懸臂，微懸臂的幾何尺寸（長(zhǎng)，寬，高）為225 μm×28 μm×3 μm。激勵(lì)懸臂工作于一階諧振模態(tài)及二階諧振模態(tài)，一階諧振頻率為82.30 kHz，二階諧振頻率為522.40kHz。保持其他條件不變，僅改變微懸臂-試樣間距離，每次距離改變后進(jìn)行掃頻測(cè)試，通過幅頻特性曲線中的諧振中心頻率及半功率帶寬計(jì)算品質(zhì)因數(shù)。

懸臂與試樣間距離控制的具體實(shí)現(xiàn)過程為：先給Z向壓電陶瓷外壁供120 V 電壓，其伸長(zhǎng)量約為2 μm；然后，驅(qū)動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)帶動(dòng)試樣工作臺(tái)逼近懸臂，直至探針近似輕敲至試樣表面，此時(shí)停止電機(jī)，撤去Z向壓電陶瓷電壓，則探針-試樣間距離為2 μm。以此為起始位置，通過給樣品臺(tái)中的Z向壓電陶瓷的內(nèi)外壁施加不同電壓使其產(chǎn)生一定的變形量，從而改變微懸臂和試樣表面間的距離。

品質(zhì)因數(shù)測(cè)量數(shù)據(jù)如表1 所示。整個(gè)測(cè)試過程，探針-試樣逐漸遠(yuǎn)離，使用電感測(cè)微儀測(cè)量其間距離約從2 μm 逐漸增加至10 μm。當(dāng)探針試樣間距離減小時(shí)，壓膜阻尼效應(yīng)會(huì)導(dǎo)致一階諧振微懸臂品質(zhì)因數(shù)的明顯降低，且隨著距離的減小，其壓膜阻尼相應(yīng)增加，品質(zhì)因數(shù)總減小量達(dá)到未受壓膜阻尼時(shí)品質(zhì)因數(shù)的18%。而二階諧振微懸臂在探針試樣間距離減小的過程中，品質(zhì)因數(shù)沒有明顯的規(guī)律性變化。

表1 壓膜阻尼影響下品質(zhì)因數(shù)測(cè)試數(shù)據(jù)Tab. 1 Test data of quality factor with squeeze film damping

3.3 壓膜阻尼效應(yīng)對(duì)AFM 測(cè)量特性的影響

3.3.1 基礎(chǔ)諧振模態(tài)下壓膜阻尼效應(yīng)

在微懸臂與樣品間距離為20～2 μm 區(qū)間進(jìn)行了逼近并連續(xù)測(cè)試懸臂振幅。采用公稱彈性常數(shù)為0.2 N/m 的探針，幾何尺寸（長(zhǎng)，寬，高）為450 μm×50 μm×2 μm。使用相同的光強(qiáng)，分別驅(qū)動(dòng)微懸臂工作于接觸模式和一階諧振模態(tài)的輕敲模式，測(cè)試微懸臂在此范圍內(nèi)向試樣表面逼近過程中的力曲線。圖4（a）與圖4（b）分別為接觸模式和輕敲模式下得到的測(cè)試曲線。

圖4 0.2 N/m 懸臂遠(yuǎn)距離逼近力曲線Fig.4 Approach curves of 0.2 N/m cantilever

在接觸模式下，微懸臂無振動(dòng)，向試樣表面靠近，在逼近過程中其偏轉(zhuǎn)量并未發(fā)生變化，說明在逼近過程中沒有受到外力的作用。而動(dòng)態(tài)輕敲模式下，微懸臂處于近諧振狀態(tài)，振動(dòng)頻率為15.43 kHz。當(dāng)微懸臂和試樣表面距離較遠(yuǎn)（大于15 μm）時(shí)，逼近過程中微懸臂振動(dòng)幅值基本不變；當(dāng)微懸臂和試樣表面間距離進(jìn)一步減小時(shí)，微懸臂振動(dòng)幅值隨著微懸臂和試樣表面間距離的減小而顯著減小。整個(gè)逼近過程中振幅減小量約為180 mV，微懸臂自由振幅為870 mV，減小量達(dá)到微懸臂自由振幅的20.6%。

由于范德華力的作用區(qū)域在1 μm 以內(nèi)，實(shí)驗(yàn)中的微懸臂與試樣間距離是超出范德華力作用范圍的，接觸模式的測(cè)試反映了逼近過程中沒有其他外力的作用，輕敲模式下逼近過程中微懸臂受到的力應(yīng)為由于微懸臂振動(dòng)引起的壓膜阻尼力。

實(shí)驗(yàn)還使用公稱彈性常數(shù)為3 N/m 的探針，在相同的實(shí)驗(yàn)條件下進(jìn)行了壓膜阻尼特性測(cè)試，測(cè)試結(jié)果如圖5（a）所示。

圖5 基礎(chǔ)諧振模態(tài)下3 N/m 懸臂的逼近力曲線Fig.5 Approach curves of 3 N/m cantilever in fundamental resonance mode

從圖5（a）可以看到，其逼近力曲線的變化規(guī)律和0.2 N/m 微懸臂相同，微懸臂自由振幅為3 250 mV，振幅減小量約為250 mV，約占微懸臂自由振幅的7.8%。進(jìn)一步進(jìn)行近距離的力曲線測(cè)試，結(jié)果如圖5（b）所示，可以看到，在微懸臂受到范德華力作用而振幅快速減小之前，隨著微懸臂和試樣間距離的減小，微懸臂振幅持續(xù)減小，減小量約為200 mV。

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可見，微懸臂處于基礎(chǔ)諧振模態(tài)下，當(dāng)針尖距離試樣表面較近時(shí)（15 μm 以內(nèi)），微懸臂的振動(dòng)會(huì)產(chǎn)生壓膜阻尼效應(yīng)，隨著微懸臂試樣間距離的減小，微懸臂的總阻尼系數(shù)和阻尼比增加，使微懸臂的動(dòng)力放大系數(shù)減小，進(jìn)而導(dǎo)致微懸臂振幅相應(yīng)減小。同時(shí)，寬度較大的微懸臂受到的壓膜阻尼影響更大，當(dāng)微懸臂-試樣間距離從20 μm 減小到2 μm，寬度為28 μm 的3 N/m微懸臂在接近過程中振幅減小了約7.8%，而寬度為50 μm 的0.2 N/m 微懸臂在接近過程中振幅減小了約20.6%。微懸臂與試樣間距離和微懸臂寬度是影響壓膜阻尼的主要因素。

3.3.2 高階諧振模態(tài)下壓膜阻尼效應(yīng)

仍使用公稱彈性常數(shù)為3 N/m 的探針，驅(qū)動(dòng)微懸臂工作于二階諧振模態(tài)，其他實(shí)驗(yàn)條件保持和一階諧振模態(tài)實(shí)驗(yàn)相同，測(cè)試微懸臂逼近力曲線，測(cè)試結(jié)果如圖6 所示。

圖6 二階諧振模態(tài)下3 N/m 懸臂的逼近力曲線Fig.6 Approach curve of 3 N/m cantilever in second-order resonant mode

由圖6 可知，二階諧振模態(tài)下的微懸臂在20 μm 范圍內(nèi)逼近過程中其幅值并無發(fā)生明顯的變化，直至它受到范德華力作用而快速減小，說明在逼近過程中幾乎沒有受到外力的作用。高階振動(dòng)模式時(shí)，可以克服空氣阻尼作用和流體力阻尼作用的交迭，由微懸臂振動(dòng)過程中引起的空氣阻尼作用占主導(dǎo)，而流體力的阻尼作用可以忽略。由此可見，相較于基礎(chǔ)諧振模態(tài)，高階諧振模態(tài)更有利于輕敲式AFM 減小阻尼對(duì)于測(cè)試的影響。

AFM 在工作于基礎(chǔ)諧振模態(tài)下掃描試樣形貌測(cè)試的過程中，微懸臂和試樣間的距離非常小，附加產(chǎn)生的空氣壓膜阻尼效應(yīng)則會(huì)引起微懸臂所受總阻尼的增加，進(jìn)而引起微懸臂品質(zhì)因數(shù)的減小。對(duì)于AFM 而言，其微懸臂品質(zhì)因數(shù)的減小一方面會(huì)導(dǎo)致懸臂最小可探測(cè)力梯度的增加，AFM 測(cè)量分辨率的降低；另一方面會(huì)引起懸臂響應(yīng)時(shí)間的增加，AFM 掃描速度的減小。由此可見，壓膜阻尼效應(yīng)的產(chǎn)生會(huì)直接影響懸臂動(dòng)態(tài)特性及AFM 系統(tǒng)的測(cè)量特性。

4 結(jié) 論

本文對(duì)動(dòng)態(tài)AFM 微懸臂的空氣壓膜阻尼特性進(jìn)行了研究，分析了影響空氣壓膜阻尼的因素以及空氣壓膜阻尼對(duì)于AFM 系統(tǒng)測(cè)量特性的影響?；诙嗄B(tài)原子力顯微鏡系統(tǒng)，進(jìn)行了幅值反饋模式下的基礎(chǔ)和高階諧振模態(tài)微懸臂及AFM 系統(tǒng)測(cè)量特性的實(shí)驗(yàn)研究。測(cè)試結(jié)果表明，當(dāng)微懸臂下方有試樣且距離較近（10 μm 以內(nèi)）時(shí)，基礎(chǔ)諧振模態(tài)微懸臂品質(zhì)因數(shù)會(huì)由于壓膜阻尼的影響而明顯降低，且隨著微懸臂和試樣間距離的減小，其壓膜阻尼相應(yīng)增加，品質(zhì)因數(shù)總減小量達(dá)到未受壓膜阻尼時(shí)品質(zhì)因數(shù)的18%。在微懸臂振幅測(cè)試中，所采用的兩種微懸臂振幅均有明顯減小。當(dāng)微懸臂-試樣間距離從20 μm減小到2 μm，寬度為28 μm 的3 N/m 微懸臂在接近過程中振幅減小了約7.8%，而寬度為50 μm的0.2 N/m 微懸臂在接近過程中振幅減小了約20.6%。可見，微懸臂試樣間距離和懸臂寬度是影響壓膜阻尼的主要因素。壓膜阻尼引起了微懸臂品質(zhì)因數(shù)和振幅的明顯下降，并進(jìn)一步影響懸臂動(dòng)態(tài)特性及AFM 系統(tǒng)測(cè)量特性。

在相同的實(shí)驗(yàn)條件下，高階諧振模態(tài)微懸臂品質(zhì)因數(shù)及振幅沒有發(fā)生明顯的變化，說明采用高階諧振模態(tài)可以有效地減少壓膜阻尼對(duì)系統(tǒng)測(cè)量特性的影響。本文的研究為進(jìn)一步研究動(dòng)態(tài)AFM 的阻尼效應(yīng)提供了理論和實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)。