李常虎，伍 松*,3，魏晟弘，鄭 賢

（1.廣西科技大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣西 柳州 545616；2.廣西汽車零部件與整車技術(shù)重點實驗室（廣西科技大學(xué)），廣西 柳州 545006；3.清邁大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，泰國 清邁 50200）

0 引言

噪聲、振動、聲振粗糙度（noise、vibration、harshness，簡記為NⅤH）是影響駕乘人員乘坐舒適性的重要指標(biāo)。針對車內(nèi)噪聲問題，大多采用被動噪聲控制的方法。被動噪聲控制雖然對中高頻噪聲降噪效果顯著，但對低頻噪聲的抑制效果不佳；因此，主動噪聲控制技術(shù)逐漸得到應(yīng)用。通過在車內(nèi)合理布置麥克風(fēng)及次級聲源的方式來自適應(yīng)消除噪聲，中低頻噪聲可被有效抑制。

主動噪聲控制技術(shù)的降噪效果與多種自適應(yīng)濾波算法的性能有關(guān)。1960 年由Widrow 和Hoffman提出的最小均方（least mean squares，LMS）算法因結(jié)構(gòu)簡單、計算量小、便于實現(xiàn)等優(yōu)點被廣泛應(yīng)用，但LMS算法步長因子固定，無法同時滿足收斂速度快與穩(wěn)態(tài)誤差小的要求。學(xué)者對此提出多種改進(jìn)算法，其中對變步長LMS 算法研究較多。歸一化最小均方（normalized least mean square，NLMS）算法是一種特殊化的變步長LMS 算法，利用輸入信號矢量功率對步長因子進(jìn)行歸一化處理。與LMS算法相比，NLMS算法收斂速度加快且穩(wěn)定性提高，但因NLMS算法仍存在固定步長因子，收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差的矛盾不能解決。學(xué)者相繼又提出了基于Sigmoid函數(shù)和箕舌線函數(shù)的變步長算法。基于Sigmoid 函數(shù)的變步長最小均方（sigmoid variable step least mean square，SⅤSLMS）算法，可使收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差得到兼顧，但在求解步長因子時，需要進(jìn)行指數(shù)運算，計算復(fù)雜度高且占用存儲空間更大。箕舌線變步長最小均方（tongue-like curve least mean squares，TCLMS）算法結(jié)構(gòu)簡單、計算復(fù)雜度低，與NLMS算法相比，收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差的矛盾得到解決，與SⅤSLMS算法相比，計算復(fù)雜度得到降低，但TCLMS 算法易受信號輸入端不相關(guān)噪聲的干擾且收斂速度需進(jìn)一步提高。文獻(xiàn)[15]提出一種改進(jìn)方法，使干擾噪聲得到消除，TCLMS算法易受輸入端不相關(guān)噪聲干擾的缺點得到改善。

在上述研究背景的基礎(chǔ)上，本文針對TCLMS算法存在收斂速度較慢的缺點提出一種改進(jìn)方法，將NLMS 算法的處理方法運用到TCLMS 算法中，利用輸入信號矢量功率對TCLMS 算法的步長因子進(jìn)行歸一化處理。本文提出的新型TCLMS 算法收斂速度將進(jìn)一步加快，穩(wěn)態(tài)誤差更小，穩(wěn)定性更強(qiáng)。

1 典型LMS算法分析與仿真

1.1 LMS算法

LMS算法采用最陡下降法，沿權(quán)矢量梯度估計值的負(fù)方向搜尋，以獲得最優(yōu)權(quán)系數(shù)，公式如下：

式中：為步長因子；?()為梯度矢量。實際應(yīng)用中一般取誤差信號的均方估計值作為梯度矢量，即：

將式（2）代入式（1），則權(quán)系數(shù)的遞推公式為：

式（2）和式（3）中，()為誤差信號，()為輸入?yún)⒖夹盘柺噶俊Ｈ羰筁MS 算法收斂，步長因子的取值范圍需滿足如下條件：

式中，為輸入?yún)⒖夹盘栕韵嚓P(guān)矩陣特征值的最大值。

通過仿真分析，對比LMS算法在步長因子為0.01、0.05、0.10 這3 種情況下的學(xué)習(xí)曲線，結(jié)果如圖1所示。

圖1 （網(wǎng)絡(luò)版彩圖）LMS算法學(xué)習(xí)曲線

由圖1可知，LMS算法在收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差之間存在矛盾，當(dāng)步長因子取值較大時，收斂速度加快，穩(wěn)態(tài)誤差隨之增大；步長因子取值較小時，穩(wěn)態(tài)誤差減小，但收斂速度降低。

1.2 歸一化LMS算法

為解決LMS 算法收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾，變步長LMS 算法由此產(chǎn)生，使步長因子在收斂階段取值較大，加快收斂速度，步長因子在穩(wěn)態(tài)階段取值較小，減小穩(wěn)態(tài)誤差。NLMS算法是一種特殊化的變步長LMS 算法，是用輸入信號矢量功率對步長因子進(jìn)行歸一化處理。NLMS算法的步長因子與權(quán)系數(shù)更新公式為：

式中：∈(0,2)為一常量；為一個很小的常數(shù)，可避免當(dāng)()()較小時所導(dǎo)致的步長因子過大，使算法的穩(wěn)定性受到影響。

對NLMS算法進(jìn)行仿真，輸入信號為疊加高斯噪聲后的隨機(jī)信號，常量分別取0.3、0.8、1.3、1.8，取0.001，對比NLMS算法在這4種情況下迭代1 000次的收斂特性，得到的誤差曲線如圖2所示。

圖2 （網(wǎng)絡(luò)版彩圖）NLMS算法誤差曲線

由圖2 可知，隨著的取值逐漸增大，即步長因子增大，NLMS算法的收斂速度先有所提高，之后又有所下降，但算法的均方誤差隨的增大逐漸減小，即穩(wěn)態(tài)誤差隨之減小，穩(wěn)定性逐漸提高。

1.3 基于Sigmoid函數(shù)的變步長LMS算法

對于變步長LMS 算法，常見的方法是對步長因子()隨誤差()變化的函數(shù)關(guān)系做各種變形，其中較為典型的是覃景繁等提出的SⅤSLMS算法，該算法的步長因子更新公式為：

式中，控制著步長因子的取值范圍，影響著算法收斂后的穩(wěn)態(tài)誤差。在收斂的初始階段，誤差()較大，則步長因子()較大，可使算法收斂速度較快；隨著算法的收斂，誤差()逐漸減小，步長因子()隨之減小，以保證較小的穩(wěn)態(tài)誤差。相較于NLMS算法，SⅤSLMS算法更好地兼顧了收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差，但SⅤSLMS 算法在收斂的過程中，誤差()的微小變化會導(dǎo)致步長因子變化較大，因此，SⅤSLMS 算法的穩(wěn)定性易受到影響。同時，SⅤSLMS算法步長因子在迭代更新的過程中需要進(jìn)行指數(shù)運算，計算復(fù)雜度大幅提升，占用的硬件存儲空間也更大，不利于實際應(yīng)用。

1.4 箕舌線變步長LMS算法

NLMS 算法由于仍然存在固定步長因子常量，收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差的矛盾并沒有得到解決。SⅤSLMS算法雖然兼顧了收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差，但計算復(fù)雜度高，實際應(yīng)用中對設(shè)備要求較高；因此，相關(guān)學(xué)者提出了TCLMS算法。TCLMS算法結(jié)構(gòu)簡單、計算復(fù)雜度低，但容易受到信號輸入端不相關(guān)噪聲的干擾，且收斂速度需進(jìn)一步提高。TCLMS算法的步長因子與權(quán)系數(shù)更新公式如下：

1.5 典型LMS算法仿真分析

輸入正弦信號，對比LMS算法、NLMS算法、TCLMS 算法迭代500 次后的均方誤差，仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 （網(wǎng)絡(luò)版彩圖）3種典型LMS算法均方誤差對比

由圖3 的仿真結(jié)果可知，LMS 算法在迭代200次左右收斂，NLMS 算法在迭代120 次左右收斂，且在收斂過程中NLMS 算法比LMS 算法的均方誤差更小，因此證明，使用歸一化的處理方法對LMS 算法進(jìn)行改進(jìn)，可使算法收斂速度加快、穩(wěn)定性提高；TCLMS 算法在迭代100 次左右收斂，收斂過程中均方誤差比NLMS 算法更小，因此證明，TCLMS算法與NLMS算法相比，穩(wěn)定性更好，但收斂速度相當(dāng)。所以TCLMS 算法的收斂速度需進(jìn)一步提高。

2 箕舌線變步長LMS 算法的改進(jìn)與仿真分析

由于TCLMS 算法存在容易受到輸入端不相關(guān)噪聲干擾的缺點，文獻(xiàn)[15]提出了一種TCLMS 的改進(jìn)方法：M-TCLMS-1算法，其步長因子公式為：

M-TCLMS-1算法步長因子公式用()(-1)代替()，并驗證了該方法可消除輸入端不相關(guān)噪聲的干擾。此外，加入的補(bǔ)償項0.5()，可避免誤差信號()在收斂階段可能出現(xiàn)不相關(guān)而導(dǎo)致算法還未完全收斂步長因子就減小到最小值的情況，從而保證了算法的收斂性。

本文針對TCLMS算法收斂速度需進(jìn)一步提高提出一種改進(jìn)方法。由前面分析可知，NLMS算法通過輸入信號矢量功率對LMS算法步長因子進(jìn)行歸一化處理后，收斂速度加快、穩(wěn)定性提高。受此啟發(fā)，本文在文獻(xiàn)[15]的基礎(chǔ)上，將NLMS算法的思路引入TCLMS算法中，對TCLMS算法的步長因子進(jìn)行歸一化處理，用于進(jìn)一步提高TCLMS算法的收斂速度。本文提出的TCLMS改進(jìn)算法——NMTCLMS算法，其步長因子與權(quán)系數(shù)更新公式為：

為驗證本文改進(jìn)算法的有效性，對TCLMS 算法、文獻(xiàn)[15]的M-TCLMS-1 算法、本文提出的NMTCLMS算法進(jìn)行仿真分析，輸入?yún)⒖夹盘?)為疊加隨機(jī)噪聲的正弦信號，迭代次數(shù)為1 000，分別對比3種TCLMS算法的誤差信號、頻譜與均方誤差，仿真結(jié)果如圖4—圖6所示。

圖4 3種TCLMS算法誤差信號對比

圖5 3種TCLMS算法頻譜對比

圖6 3種TCLMS算法均方誤差對比

由圖4的誤差信號對比分析可知，M-TCLMS-1算法中，誤差信號在收斂階段反而增大，這將導(dǎo)致算法的收斂速度與穩(wěn)定性受到影響；而本文提出的NMTCLMS算法在收斂階段誤差更小，從而使收斂速度與穩(wěn)定性得到提高。

由圖5 的頻譜圖分析可知，文獻(xiàn)[15]針對TCLMS 算法易受輸入端不相關(guān)噪聲干擾的缺點進(jìn)行改善后，濾波效果有所提高，抗噪聲干擾能力較好；而本文改進(jìn)的TCLMS 算法濾波效果更顯著，抗噪聲干擾能力更強(qiáng)。

由圖6 的均方誤差圖對比分析可知，TCLMS算法與M-TCLMS-1算法均在迭代170次左右收斂，收斂速度相當(dāng)；而本文提出的NMTCLMS 算法在迭代150次左右收斂，收斂速度加快；因此，本文提出的方法對于提升TCLMS 算法的收斂速度是可行且有效的。而且在這3 種TCLMS 算法中，本文提出的NMTCLMS 算法在收斂過程中均方誤差最小，因此穩(wěn)定性更好。

3 結(jié)論

本文首先對典型的LMS 算法、NLMS 算法、SⅤSLMS 算法、TCLMS 算法進(jìn)行分析歸納，并通過仿真可知，LMS 算法由于步長因子固定，無法同時滿足收斂速度快與穩(wěn)態(tài)誤差小的要求；NLMS算法使用歸一化的處理方法對LMS算法進(jìn)行改進(jìn)，使收斂速度加快，穩(wěn)定性提高，但收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差的矛盾沒有得到解決；SⅤSLMS算法兼顧了收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差，但誤差信號較小的改變會使步長因子發(fā)生較大變動，從而穩(wěn)定性受到影響，且SⅤSLMS 算法在收斂過程中，需要進(jìn)行指數(shù)運算，計算復(fù)雜度高，不利于實際應(yīng)用；TCLMS 算法與NLMS算法、SⅤSLMS算法相比，穩(wěn)定性更高，收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差的矛盾得到解決，但收斂速度相當(dāng)，需進(jìn)一步加快收斂速度。文獻(xiàn)[15]已針對TCLMS 算法易受輸入端不相關(guān)噪聲干擾的缺點提出改進(jìn)方法，并證明了其有效性。在此基礎(chǔ)上，本文針對TCLMS 算法收斂速度較慢的缺點進(jìn)行改進(jìn)。由于仿真結(jié)果已驗證了歸一化處理可使算法收斂速度加快，因此，將NLMS 算法的思路引入TCLMS 算法，得到本文的TCLMS 改進(jìn)算法——NMTCLMS 算法。最后通過仿真分析，對比TCLMS算法、M-TCLMS-1算法、本文NMTCLMS算法的誤差信號、頻譜與均方誤差，得出本文的NMTCLMS算法在收斂階段誤差更小、濾波效果更顯著、抗噪聲干擾能力更強(qiáng)、收斂速度更快、收斂過程中的均方誤差更小。所以，本文提出的改進(jìn)方法在保留原有算法計算復(fù)雜度低、抗輸入端不相關(guān)噪聲干擾能力強(qiáng)等優(yōu)點的基礎(chǔ)上，使算法的收斂速度更快、均方誤差更小、穩(wěn)定性更高，對于TCLMS 算法在實際工程中的應(yīng)用具有一定的價值與意義。