張海江，文家燕*，謝廣明,2，景永年

（1.廣西科技大學(xué) 自動化學(xué)院，廣西 柳州 545616；2.北京大學(xué) 工學(xué)院，北京 100871；3.黑芝麻智能科技有限公司，廣東 深圳 518005）

0 引言

近年來多智能體的編隊控制問題作為一個熱點問題被廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域。環(huán)形編隊作為編隊控制的一個基準(zhǔn)問題而備受學(xué)者關(guān)注。Ⅹu等給出了環(huán)形編隊的具體定義，并證明了環(huán)形編隊的可行性。Wang等針對在環(huán)形編隊過程中的智能體排序和碰撞問題進行分析，設(shè)計了相應(yīng)的通信協(xié)議以保證環(huán)形編隊可實現(xiàn)。

上述控制方法是假設(shè)系統(tǒng)中智能體之間的通信信道具有足夠大的帶寬或容量。但在實際系統(tǒng)中，數(shù)字網(wǎng)絡(luò)通信會受到不同程度的帶寬和容量限制。針對這一問題，F(xiàn)rasca 等提出了基于數(shù)據(jù)量化的通信算法，通過使用靜態(tài)量化器來完成智能體之間的信息交換。在此基礎(chǔ)上，Carli等提出了一種動態(tài)編解碼量化算法，設(shè)計了一種基于編碼-解碼器的量化器并在量化器中引入一個標(biāo)度函數(shù)，實現(xiàn)了系統(tǒng)在有限量化級別上的一致性。此后，量化算法得到了快速發(fā)展，形成了不少理論成果。Li等設(shè)計了一種可以對稱補償?shù)牧炕椒?，通過調(diào)整量化器自身相應(yīng)參數(shù)，將每個數(shù)字通道傳輸?shù)谋忍財?shù)減少到只有1 bit。

在系統(tǒng)實際工作中，有時無需對系統(tǒng)的控制輸入信息進行實時更新，尤其是在某些資源受限的工況下。基于此，Guo 等將事件觸發(fā)機制引入多智能體系統(tǒng)中，相對于時間驅(qū)動機制，這種方法可以有效降低系統(tǒng)的更新頻率，減少不必要的通信資源損耗。事件觸發(fā)機制也被進一步應(yīng)用于一般線性系統(tǒng)、二階系統(tǒng)以及非線性系統(tǒng)中。此外，在實際物理系統(tǒng)中存在輸入受限的工程約束，這是控制理論面向工程實現(xiàn)所必然要面對的問題。蔡旭等考慮了多智能體系統(tǒng)在實際應(yīng)用中存在的輸入飽和現(xiàn)象，并給出了系統(tǒng)闡述。

綜上可知，在多智能體系統(tǒng)研究中，綜合考慮輸入受限、通信帶寬有限和節(jié)約有限資源消耗等約束在一起的環(huán)形編隊控制問題，仍是一個熱點、難點問題。為此，本文針對一階帶有輸入限制的多智能體動力學(xué)模型，圍繞耦合考慮系統(tǒng)資源有限、通信帶寬限制等問題，提出基于事件觸發(fā)控制策略和量化通信機制的控制律，在保證系統(tǒng)能實現(xiàn)環(huán)形編隊的前提下，探究對系統(tǒng)有限資源的節(jié)約和通信所需帶寬的減小。

1 問題描述

1.1 代數(shù)圖論

令R、N 和Z分別表示實數(shù)集、自然數(shù)集和正整數(shù)集。表示矩陣的轉(zhuǎn)置，‖‖表示矩陣的范數(shù)。列向量1∈R，0∈R表示向量內(nèi)所有元素分別等于1和0，為自然數(shù)。

對于一個加權(quán)有向圖=(,E,A)，其中={,,…,v}表示節(jié)點集，={1,2,…,}為節(jié)點的下標(biāo)集。E?×表示邊集，(v,v)∈E表示智能體到智能體的單向通信信道。 A=[a]∈R 為加權(quán)鄰接矩陣，如果a≠0則表示智能體與智能體之間存在相應(yīng)權(quán)重的信息交換，a=0則表示智能體與智能體之間不存在信息交換。矩陣=- A為對應(yīng)拓撲圖的Laplace 矩陣，其中矩陣是有向圖的度矩陣（為對角陣）。

1.2 環(huán)形編隊問題描述

考慮由(≥2)個智能體組成的系統(tǒng)，每個智能體都是相互獨立的個體。所有智能體的初始位置都隨機分布在一個圓上且不發(fā)生重合。規(guī)定每個智能體只能與其逆時針方向的鄰居進行信息交互。

如圖1所示，為了更易于解釋環(huán)形編隊的編隊運動過程，將按照逆時針方向?qū)λ械闹悄荏w從1到(≥2)進行編號，即()=[(),(),…,x()]，其中（t）表示智能體在時刻的角度位置狀態(tài)。所有智能體初始位置均滿足如下條件：

圖1 智能體在環(huán)上分布圖

如圖1所示，所有的智能體始終都在固定的圓環(huán)上運動，且每個智能體僅能感知到逆時針方向鄰居的信息；因此，為不失一般性，作如下定義：

其中，為智能體逆時針方向緊鄰的智能體，為智能體順時針方向緊鄰的智能體。令d表示智能體與其鄰居智能體之間的期望角度間距；因此，期望的環(huán)形編隊相對間距可以由式（2）的向量確定：

2 系統(tǒng)動力學(xué)模型

考慮一個具有輸入限制的個智能體組成的多智能體系統(tǒng)，其一階動力學(xué)模型描述如下：

其中，x()為智能體的當(dāng)前狀態(tài)，u()為智能體的控制輸入。sat(*)為非線性的對稱輸入飽和函數(shù)，其函數(shù)表達式為：

令y∈(0,2π)表示智能體與其逆時針方向鄰居之間的實際角度距離，其表達式如下：

環(huán)形編隊定義：對于一個給定的可容許的期望環(huán)形編隊，通過設(shè)計分布式控制協(xié)議u()=u(y,d)，=1,2,…,，使得在滿足式（1）的初始條件下，系統(tǒng)（3）的解始終收斂到某個平衡點，且滿足=，即可實現(xiàn)環(huán)形編隊。

其中()表示矩陣I-去掉第一行第一列的一個子矩陣，則有如下關(guān)系成立：

3 基于事件觸發(fā)與量化通信的控制律設(shè)計

首先，借助環(huán)形編隊控制問題的相關(guān)做法，基于事件觸發(fā)的環(huán)形編隊控制協(xié)議設(shè)計如下：

其次，將介紹在有限通信帶寬下，多智能體系統(tǒng)中任意2個相鄰的智能體間的量化通信的實現(xiàn)過程。對于每個智能體，其中∈{1,2,…,}，其對應(yīng)的基于事件觸發(fā)編碼器φ設(shè)計如下：

其中：ξ()∈R 為編碼器φ的內(nèi)部狀態(tài)；s()為智能體傳輸給其鄰居的當(dāng)前信息；(-1) ＞0是一個衰減函數(shù)；q()表示具有有限量化級數(shù)的均勻量化器，其作用是把智能體當(dāng)前狀態(tài)的偏差值映射為離散的量化器所對應(yīng)的量化層級。q()如下所示：

式中：為量化器的量化間隔；≥1 為量化層級。在每次智能體進行信息傳遞時，其通信信道的傳輸比特數(shù)為log(2+1)比特。此外，在智能體之間進行信息交換時必須保證量化器始終處于不飽和狀態(tài)。

當(dāng)智能體接收到智能體傳遞過來的當(dāng)前狀態(tài)信息s()時，需要通過對應(yīng)的解碼器ψ將智能體的狀態(tài)值估計出來。解碼器ψ數(shù)學(xué)表達式如下：

為便于分析，在分布式控制協(xié)議（6）的基礎(chǔ)上，引入中間變量以簡化后續(xù)的理論證明，其變換如下：

綜上設(shè)計與分析，聯(lián)合式（11）、編碼器（8）、解碼器（10），對控制協(xié)議（6）進行設(shè)計，可以得到基于事件觸發(fā)與量化通信機制的分布式控制協(xié)議，具體如下：

4 環(huán)形編隊可實現(xiàn)性與量化器設(shè)計合理性分析

4.1 環(huán)形編隊可實現(xiàn)性理論證明

證明系統(tǒng)在所設(shè)計的控制協(xié)議（12）的作用下，可以實現(xiàn)期望的環(huán)形編隊。具體包括2個方面：一是系統(tǒng)在事件觸發(fā)條件（7）下是穩(wěn)定的；二是證明系統(tǒng)在前述條件作用下，環(huán)形編隊可以實現(xiàn)。具體如下：

將式（12）代入式（3），可以得到如下結(jié)果：

根據(jù)式（13）可以將個智能的系統(tǒng)模型寫成緊湊形式，具體如下：

考慮如下合適的Lyapunov函數(shù)：

沿著時間變量對Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)，得到：

令Δ＜0，可以得到如下不等式：

根據(jù)范數(shù)的運算法則可以將式（15）改寫為：

綜上，證明了系統(tǒng)在事件觸發(fā)條件（7）和控制協(xié)議（12）下是穩(wěn)定的。根據(jù)文獻[15]中的定理1 可知，當(dāng)時間步長≤1 時，在所給出的控制協(xié)議（12）下，可以實現(xiàn)任意一個期望的環(huán)形編隊。

4.2 量化器設(shè)計合理性分析

由于量化器一旦出現(xiàn)飽和則無法確定此時傳遞的信息是否為智能體的真實狀態(tài)信息，因此，如何通過合理設(shè)計相應(yīng)參數(shù)，保證所設(shè)計的量化器在任意時刻都不會飽和是十分必要的。

則基于量化通信的環(huán)形編隊可以實現(xiàn)，且智能體之間進行信息交互時，量化器始終不會出現(xiàn)飽和。

證明：結(jié)合編碼-解碼器對表達式可以得到：

定義矩陣J= Iξ，其中向量為引理1 中矩陣的第一行，則JL= LJ=0 成立。結(jié)合式（18）可得：

為了使證明過程更加清晰明了，將分2個步驟來證明系統(tǒng)工作過程中所有的量化器不會飽和：

由式（23）中的結(jié)果可知，當(dāng)=0 時，系統(tǒng)中所有量化器均不飽和。

2）當(dāng)≥1，對任意的非負整數(shù)=0,1,…,，假定如下關(guān)系成立：

在式（26）中，可將復(fù)雜關(guān)系式分三部分進行整理，具體如下：

結(jié)合給出的的存在條件以及式（24）與式（30）可得：

根據(jù)式（31）的結(jié)果可知，如果存在（2+1）量化電平數(shù)的量化器滿足式（17）與式（31）的條件時，那么在系統(tǒng)運行的整個過程中，所有智能體對應(yīng)的量化器都不會出現(xiàn)飽和現(xiàn)象。至此，量化器合理性得證。

5 數(shù)值仿真與驗證

為驗證所提出算法的有效性，本節(jié)將給出基于Matlab的數(shù)值仿真驗證?？紤]由6個智能體組成多智能體系統(tǒng)，智能體初始狀態(tài)為滿足條件（1）的任意位置，智能體之間的期望環(huán)形編隊的角度差由滿足條件（2）的向量確定，具體如下：

設(shè)定量化器的相關(guān)參數(shù)為=0.05，=10，=0.982 88。仿真結(jié)果如圖2、圖3所示。

圖2 （網(wǎng)絡(luò)版彩圖）連續(xù)時間觸發(fā)下各智能體的狀態(tài)信息

圖3 （網(wǎng)絡(luò)版彩圖）事件觸發(fā)下各智能體的狀態(tài)信息

通過觀察圖2 和圖3 中的仿真結(jié)果可知，在系統(tǒng)允許的誤差范圍內(nèi)，事件觸發(fā)控制策略能有效地降低智能體之間的通信頻率，達到節(jié)省系統(tǒng)有限通信資源的目的。

本文在文獻[16]的研究基礎(chǔ)上進一步考慮系統(tǒng)中存在輸入飽和限制，結(jié)果如圖4、圖5所示。對比圖4 和圖5 可以看出，雖然系統(tǒng)中控制器的調(diào)節(jié)時間會受到輸入飽和限制的影響而增加，但系統(tǒng)中的每個智能體都能在所設(shè)計的控制協(xié)議下使自身狀態(tài)保持在一個很小的誤差范圍內(nèi)，使得多智能體運動至期望編隊位置。

圖4 （網(wǎng)絡(luò)版彩圖）輸入不受限時各智能體的狀態(tài)信息（詳見文獻[16]）

圖5 （網(wǎng)絡(luò)版彩圖）輸入受限時各智能體的狀態(tài)信息

文中設(shè)定的量化器量化間隔=0.05。從圖6中可以清晰地看到，在系統(tǒng)運行過程中的任意一個時間點上，各個智能體的量化器都沒有出現(xiàn)飽和現(xiàn)象，證實了本文所設(shè)計的量化通信方案可行。

圖6 （網(wǎng)絡(luò)版彩圖）各智能體的量化誤差（β=0.05）

6 結(jié)束語

本文研究了一階帶有輸入飽和限制的多智能體系統(tǒng)事件觸發(fā)量化通信環(huán)形編隊問題，其中智能體與其鄰居之間的通信和狀態(tài)更新由事件觸發(fā)機制控制?？紤]實際工程中存在輸入飽和、系統(tǒng)資源受限和通信帶寬受限等問題，設(shè)計了帶有輸入飽和的事件觸發(fā)機制與量化通信方式相結(jié)合的控制策略，在保證任意一個時間點上所有量化器均不飽和的前提下使系統(tǒng)達到期望的環(huán)形編隊。最后通過仿真驗證了所提出控制策略的有效性。未來的工作將更加關(guān)注實際系統(tǒng)中的問題，例如將量化通信與輸入飽和限制推廣到一般線性或者異構(gòu)系統(tǒng)中。