紀(jì)超，呂衛(wèi)民，張超

(1.海軍航空大學(xué) 岸防兵學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264001；2.中國(guó)人民解放軍66172部隊(duì)，河北 石家莊 050200 )

現(xiàn)代火炮是戰(zhàn)場(chǎng)上應(yīng)用廣泛的骨干常規(guī)武器，而火炮身管是決定火炮性能的關(guān)鍵部件。在火炮射擊的過程中，火藥燃?xì)夂蛷椡鑿棊Х磸?fù)地對(duì)身管內(nèi)膛造成燒蝕沖刷和機(jī)械磨損，導(dǎo)致其結(jié)構(gòu)遭到破壞，影響火炮的射擊性能，增大了安全事故發(fā)生的概率[1]。因此，研究預(yù)測(cè)火炮身管可靠壽命，對(duì)于指導(dǎo)基層部隊(duì)科學(xué)管理裝備、制定針對(duì)性維修保養(yǎng)計(jì)劃以及降低實(shí)彈射擊的安全風(fēng)險(xiǎn)等方面具有重要意義[2]。

目前身管壽命預(yù)測(cè)主要有基于理論推導(dǎo)和基于退化數(shù)據(jù)外推兩類方法，二者中以基于退化數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的相關(guān)研究較多[3]，但基于退化數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)方法主要集中在單退化特征的分析研究上，而身管在射擊過程中伴隨著復(fù)雜的物理和化學(xué)變化，存在多個(gè)性能特征同時(shí)退化的情況，單一退化特征難以全面精準(zhǔn)地反映身管的實(shí)際工作狀態(tài)，并且各退化特征之間通常是相關(guān)的，將其假設(shè)為線性相關(guān)或者多元正態(tài)分布，又不符合實(shí)際情況，因而有必要研究基于多元性能退化特征的身管可靠壽命預(yù)測(cè)方法[4]。

筆者以提高身管壽命預(yù)測(cè)精度和基層部隊(duì)可操作性為目標(biāo)，在考慮退化特征相關(guān)性的基礎(chǔ)上，提出了基于二元Wiener過程的火炮身管可靠壽命預(yù)測(cè)方法。首先利用隨機(jī)Wiener過程描述身管退化過程中的個(gè)體差異和非單調(diào)性，建立身管內(nèi)膛磨損和彈丸初速的退化模型，采用基于Bayesian更新的EM算法識(shí)別模型中的未知參數(shù)；之后利用Copula函數(shù)描述它們之間的相關(guān)關(guān)系，建立考慮多個(gè)退化特征的退化模型，為綜合評(píng)估火炮身管可靠壽命提供參考依據(jù)。

1 基于Wiener過程的退化建模

1.1 隨機(jī)效應(yīng)Wiener過程的退化模型

假設(shè)身管在退化過程中，各性能退化特征表現(xiàn)出非嚴(yán)格的單調(diào)遞增(或遞減)且觀測(cè)時(shí)間一致，則可以利用隨機(jī)Wiener過程進(jìn)行建模分析。其第i個(gè)特征的退化模型可表達(dá)為

X(i)(t)=X(i)(0)+λ(i)t+δ(i)B(t)，

(1)

式中：t表示射彈數(shù)；X(i)(t)表示在射彈數(shù)為t時(shí)第i個(gè)性能退化特征量；λ(i)表示第i個(gè)性能特征的漂移系數(shù)；B(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)；δ(i)表示第i個(gè)性能退化特征量的擴(kuò)散系數(shù)。

上述退化過程{X(i)(t),t≥0}具有如下性質(zhì)：

1)X(i)(0)=0;

2){X(i)(t),t≥0}具有平穩(wěn)的獨(dú)立增量；

3)任意時(shí)刻間的增量服從正態(tài)分布，即：X(i)(t+Δt)-X(i)(t)～N(λ(i)Δt,δ2(i)Δt)，根據(jù)維納過程的定義，增量ΔX(i)(t)服從正態(tài)分布，再令Δt=1，就得到其概率密度函數(shù)為

(2)

可定義ω(i)為第i個(gè)性能特征的失效閾值，定義T(i)為第i個(gè)性能特征的失效時(shí)間，即

T(i)=inf{t:X(i)(t)≥ω(i)|X(i)(0)<ω(i)},

(3)

式中，inf表示下確界。

在身管退化過程中，若其性能特征變化的情況服從Wiener過程，則其壽命服從逆高斯分布。在得到Wiener過程模型中的參數(shù)λ(i)和δ(i)之后，即可得到第i個(gè)性能特征失效時(shí)間的概率密度函數(shù)和可靠度函數(shù)，分別為[5]

(4)

(5)

式中，Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

(6)

(7)

式中，p(i)(·)表示λ(i)的概率密度函數(shù)。

對(duì)應(yīng)的剩余壽命分布函數(shù)為

(8)

1.2 基于Bayesian更新EM算法的未知參數(shù)估計(jì)

(9)

(10)

(11)

對(duì)比式(10)和式(11)可知：

(12)

(13)

將式(12)和式(13)代入式(10)中，可有E步如下：

(14)

M步如下：

(15)

(16)

(17)

2 基于Copula函數(shù)的多元特征建模

2.1 Copula函數(shù)的基本理論

身管退化過程中，需要考慮不同性能特征之間的相關(guān)性，其中的機(jī)理較為復(fù)雜，相關(guān)系數(shù)的獲取比較困難，采用協(xié)方差的方法確定其聯(lián)合分布較為不妥，可引入Copula函數(shù)來解決這一問題。Copula函數(shù)能夠描述各性能特征聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)之間的關(guān)系，可以簡(jiǎn)化聯(lián)合分布函數(shù)建模的復(fù)雜度，并提高相關(guān)性建模的可行性，如式(18)所示[9]：

H(X1,X2,…,Xn)=C(u1,u2,…,un;α)，

(18)

式中：H(X1,X2,…,Xn)表示各特征的聯(lián)合分布函數(shù)；C(u1,u2,…,un;α)和α分別表示Copula函數(shù)和Copula函數(shù)中的參數(shù)；u1,u2,…,un表示各個(gè)特征的邊緣分布函數(shù)。

2.2 常用的Copula函數(shù)及其選擇標(biāo)準(zhǔn)

常用的Copula函數(shù)主要有Gaussian Copula、Frank Copula、Gumbel Copula和Clayton Copula等[10]，如表1所示。

表1 4種常見的Copula函數(shù)

可利用赤池信息準(zhǔn)則(AIC)選擇適合的Copula函數(shù)，其表達(dá)式為

EAIC=-2lnZ+2s，

(19)

式中：Z表示模型對(duì)應(yīng)的極大似然函數(shù)；s為模型中的參數(shù)；EAIC值越小，說明模型的擬合程度越高。

2.3 相關(guān)多退化特征建模及可靠壽命預(yù)測(cè)

筆者選取典型的二元相關(guān)退化特征進(jìn)行建模，并假設(shè)每個(gè)退化特征均服從前文所建立的隨機(jī)Wiener退化模型。因此，聯(lián)合分布函數(shù)可表示為

H(X1,X2)=C(u1,u2;α)，

(20)

對(duì)應(yīng)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

h(X1,X2)=c(u1,u2;α)·u1·u2，

(21)

式中，c(u1,u2;α)表示C(u1,u2;α)的概率密度函數(shù)。

由于式(21)只含有一個(gè)未知參數(shù)α，所以可采用極大似然估計(jì)法求解其估計(jì)值。

若身管兩個(gè)特征中的任意一個(gè)先達(dá)到失效閾值時(shí)即認(rèn)為身管失效，則身管的可靠度表示為[11]

R(t)=P(T>t)=P(min(T(i))>t)=P(T(1)>tT(2)>t)=1-P(T(1)≤t)-P(T(2)≤t)+P(T(1)≤tT(2)≤t)=R(1)(t)+R(2)(t)-1+Cα(u,v).

(22)

根據(jù)式(6)，可得到身管失效時(shí)間的聯(lián)合概率函數(shù)：

(23)

3 實(shí)例分析

火炮身管退化失效的過程中主要有內(nèi)膛燒蝕磨損、彈丸初速下降、最大膛壓下降、射彈散布增大、彈帶削光等表現(xiàn)。其中內(nèi)膛燒蝕磨損是其失效的主要機(jī)理，彈丸初速和最大膛壓下降等表現(xiàn)是由內(nèi)膛燒蝕磨損引起的，因此內(nèi)膛磨損量是身管性能退化的直接特征量，彈丸初速下降、最大膛壓下降等表現(xiàn)是間接特征量[12]。兩者在整個(gè)身管試驗(yàn)過程中都表現(xiàn)為退化，所以筆者采用內(nèi)膛磨損和彈丸初速作為主要特征進(jìn)行研究。實(shí)例的研究對(duì)象為某型號(hào)坦克炮身管，所選身管內(nèi)膛磨損量的失效閥值約為4 mm，彈丸初速的失效閥值約為1 657.1 m/s。

為得到同類型身管的內(nèi)膛磨損和彈丸初速數(shù)據(jù)，根據(jù)文獻(xiàn)[2]的做法和文獻(xiàn)[13]的數(shù)據(jù)，分別在內(nèi)膛磨損量和彈丸初速值上疊加一組隨機(jī)數(shù)(初始數(shù)值均為0)，以模擬同類型其他身管的性能退化情況，從而生成4組數(shù)據(jù)，退化趨勢(shì)如圖1所示。

由于樣本數(shù)少于50個(gè)，所以采用Shapiro-Wilk正態(tài)性統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法，對(duì)相等時(shí)間間隔內(nèi)的每個(gè)身管樣品退化量ΔX(i)(t)進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，得到各組數(shù)據(jù)p′值，如表2和表3所示，由于篇幅限制，展示部分圖像如圖2所示。

表2 內(nèi)膛磨損增量S-W假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果

表3 彈丸初速下降增量S-W假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果

由表2、3和圖2可知，p>αc表示不拒絕退化特征增量為正態(tài)分布的原假設(shè)，因此兩個(gè)性能退化特征增量都服從正態(tài)分布，故身管整個(gè)性能退化過程服從隨機(jī)Wiener過程。

表4 未知參數(shù)估計(jì)結(jié)果

表5 各Copula函數(shù)參數(shù)估計(jì)值及AIC值

由表5可知，Gumbel Copula模型對(duì)應(yīng)的AIC值結(jié)果最小，對(duì)二元相關(guān)退化特征的聯(lián)合退化模型的擬合效果最好，因此采用Gumbel Copula函數(shù)描述身管兩個(gè)性能退化特征之間的相關(guān)關(guān)系。

為驗(yàn)證特征相關(guān)性對(duì)可靠性和可靠壽命的影響，將式(1)表示的單一特征內(nèi)膛磨損和彈丸初速度的壽命預(yù)測(cè)模型分別記為A1和A2，其可靠度和可靠壽命的計(jì)算公式分別為式(6)和式(7)；將未考慮樣本差異的模型和本文所建立的模型分別記為A3和A4，其可靠度和可靠壽命的計(jì)算公式分別為式(22)和式(23)，結(jié)果如圖3、4和表6所示。

表6 4種模型的可靠壽命和中位壽命 發(fā)

由圖3可知，4種模型在初期均保持著較高的可靠度，但是隨著時(shí)間的增加，可靠度結(jié)果出現(xiàn)差異，考慮個(gè)體差異和特征量相關(guān)性的可靠度較為保守，而單一特征量和不考慮個(gè)體差異的結(jié)果在一定程度上會(huì)高估身管的可靠度。由圖4可以看出，模型A1和模型A2對(duì)應(yīng)的壽命分別在第615發(fā)和第627發(fā)左右達(dá)到峰值，而模型A3和模型A4對(duì)應(yīng)的壽命分別在第630發(fā)和第650發(fā)左右達(dá)到峰值，而且壽命曲線較A1和A2顯得“窄而高”，表明剩余壽命預(yù)測(cè)的不確定性較小，準(zhǔn)確度較高。所以，僅靠單一特征量和單一樣本難以完全反映出坦克炮身管的健康狀態(tài)，因此，在身管可靠性評(píng)估和壽命預(yù)測(cè)中有必要考慮多個(gè)性能特征和個(gè)體差異。

若以中位壽命R=0.5時(shí)表示身管的可靠壽命，則經(jīng)過計(jì)算得到壽命為588發(fā)；當(dāng)可靠性在R=0.9時(shí)，對(duì)應(yīng)的壽命為478發(fā)。因此根據(jù)可靠壽命預(yù)測(cè)結(jié)果，可以為身管的維護(hù)保養(yǎng)和修理更換提供理論依據(jù)。

4 結(jié)束語

身管性能退化中存在的個(gè)體差異，基于傳統(tǒng)Wiener過程的模型已經(jīng)無法滿足對(duì)火炮身管可靠性評(píng)估要求。筆者通過引入隨機(jī)參數(shù)的方法，利用隨機(jī)Wiener過程分別建立了內(nèi)膛磨損和彈丸初速度的退化過程模型，采用基于Bayesian更新的EM算法計(jì)算模型里的未知參數(shù)。從實(shí)例分析結(jié)果來看，考慮個(gè)體差異后，火炮身管的可靠度略低于傳統(tǒng)方法。

目前較少有文獻(xiàn)研究同時(shí)考慮火炮身管多個(gè)退化特征的情況。筆者提出了利用二元退化特征進(jìn)行可靠性評(píng)估和可靠壽命預(yù)測(cè)的方法，利用Copula函數(shù)描述各退化特征間的相關(guān)關(guān)系，簡(jiǎn)化了聯(lián)合退化特性分布函數(shù)建模難度，在一定程度上提高火炮身管壽命預(yù)測(cè)的精度，為實(shí)際火炮身管的可靠壽命預(yù)測(cè)提供了一定的參考價(jià)值。