石金誠，肖勝中

(1.廣州華商學院 數據科學學院，廣東 廣州 511300； 2.廣東農工商職業(yè)技術學院 科研處，廣東 廣州 510507)

Saint-Venant原理在數學與力學中有著廣泛的應用，而解的空間指數衰減估計是Saint-Venant原則的一個重要性質，在研究解的Saint-Venant原則時，需要添加一個解在無窮遠點處趨于零的限制.近年來，許多學者開始研究解的空間衰減估計或Phragmén-Lindel?f二擇一結果.經典的Phragmén-Lindel?f定理指出:調和方程的解從圓柱面有限的一端到無窮遠處必須隨距離呈指數增長或指數衰減.后來, Payne 和Schaefer[1]將研究由調和方程推廣到雙調和方程上來, 得到了雙調和方程在3個不同區(qū)域的Phragmén-Lindel?f二擇一結果. 文獻[2-5]利用各種方法研究了雙調和方程的空間性態(tài). 對于與時間相關的雙調和方程的解的性態(tài)研究可見Liu等[6]，作者采用二階微分不等式的方法得到與時間相關的Stokes方程的Phragmén-Lindel?f二擇一結果. 上述文獻所考慮的方程均是單個方程, 由于雙調和方程研究的難度較大, 導致研究雙調和方程組的文獻較少.

1 問題描述

在如下無界區(qū)域Ω0內考慮，其中Ω0為

Ω0={(x1,x2)|x1>0,0

(1)

其中h是一給定的正常數.同時引入下面的記號

LZ={(x1,x2)|x1=Z≥0,0≤x2≤h}.

(2)

在文獻[14]中，作者采用C0-半群方法，研究了如下含有熱現象波板系統(tǒng)方程組解的分析性態(tài).

ρ1utt-Δu-μΔut+λΔv=0,

(3)

ρ2vtt+γΔ2v+λΔu+mΔθ=0,

(4)

τθt-κΔθ-mΔvt=0,

(5)

其中u表示彈性模的垂直擾度，v表示彈性板的垂直擾度，θ表示溫度差，ρ1,ρ2,μ,λ,κ,γ,τ,m均為非負數，Δ表示Laplace算子，Δ2表示雙調和算子.上述模型可以用來描述由彈性膜和彈性板組成的系統(tǒng)板的演化過程.

文中考慮(3)～(5)系統(tǒng)中當λ=0的情形，由于此時u未與其他方程耦合,因此考慮如下雙曲拋物耦合系統(tǒng).

ρvtt+γΔ2v+mΔθ=0,

(6)

τθt-κΔθ-mΔvt=0.

(7)

方程(6)和(7)滿足如下初邊值條件：

(8)

gi(x2,t),i=1,2,3是給定函數并滿足如下的相容性條件：

(9)

此外，解在無窮遠處添加如下限制條件：當z→∞時，

v,vt,vα,vαt,vαβ,vααβ,θ,θα→0.

(10)

本文,得到雙調和方程組 (6～7)的解在條件(8～10)下的空間衰減估計.

2 能量表達式 φ(z,t)

首先需要推導出能量表達式.

在式(1)兩邊同時乘以exp(-ωt)vt并積分，可得

(11)

定義函數φ1(z,t)如下：

(12)

聯合式(11)和(12)，可得

(13)

在式(7)兩邊同時乘以exp(-ωt)θ并積分，可得

(14)

定義函數φ2(z,t)如下：

(15)

聯合式(14)和(15)，可得

(16)

在式(7)兩邊同時乘以exp(-ωt)vt并積分，可得

(17)

定義函數φ3(z,t)如下：

(18)

聯合式(17)和(18)，可得

(19)

在式(6)兩邊同時乘以exp(-ωt)θ并積分，可得

(20)

定義函數φ4(z,t)如下：

(21)

聯合式(20)和(21)，可得

(22)

在式(6)兩邊同時乘以exp(-ωt)vαα并積分，可得

(23)

定義函數φ5(z,t)如下：

(24)

聯合式(23)和(24)，可得

(25)

定義一個新的能量函數φ(z,t)：

(26)

其中k1,k2是大于零的任意常數.

3 空間衰減估計

這一節(jié)將得到如下的空間衰減估計：

定理1假設(v,θ)為初邊值問題(6～9)的經典解，則

其中，E(z,t)是大于零的函數，k3是大于零的常數.

證明聯合式(12)和(15)，可得

(27)

由式(18)和(21)，可得

(28)

由式(24)，可得

(29)

式(28)，由Schwarz不等式，可得

(30)

其中ε2是大于零的任意常數.

式(29)，由Schwarz不等式，可得

(31)

聯合式(26)、(27)，(30)和(31)，可得

(32)

在式(32)中，取

(33)

聯合式(13)，(16)，(19)，(22)和(25)，可得

(34)

式(34),由Schwarz不等式和式(33)，可得

(35)

其中k3為可計算的大于零的常數.

式(35)，可寫為

(36)

積分式(36)，可得

(37)

其中φ(0,t)可以通過初始數據來控制,省略其估計過程.

由式(33)，可知

(38)

由式(37)和(38)，可得

(39)

式(39)即是所需的空間衰減估計.