?瀘州市教育科學(xué)研究所 鄒倫富

1 引言

新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)，數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的理性思維和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用.2016年9月，教育部發(fā)布了《關(guān)于進(jìn)一步推進(jìn)高中階段學(xué)?？荚囌猩贫雀母锏闹笇?dǎo)意見》(以下簡稱《指導(dǎo)意見》).《指導(dǎo)意見》指出：要依據(jù)義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)確定初中學(xué)業(yè)水平考試內(nèi)容，提高命題質(zhì)量，減少單純記憶、機(jī)械訓(xùn)練性質(zhì)的內(nèi)容，增強(qiáng)與學(xué)生生活、社會實際的聯(lián)系，注重考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.近年來，各省市初中學(xué)業(yè)水平考試和高中階段學(xué)校招生考試試題的命制按照《指導(dǎo)意見》精神，積極探究，涌現(xiàn)了不少緊密貼合課程標(biāo)準(zhǔn)，牢牢扎根教材，體現(xiàn)能力立意，素養(yǎng)導(dǎo)航的試題.下面淺析近幾年部分中考數(shù)學(xué)試題的“根”與“源”，供大家參考.

2 試題溯源

2.1植根教材正文

圖1

評析：人教版教材八年級下冊“勾股定理”一節(jié)中，介紹了運(yùn)用“趙爽弦圖”證明勾股定理的基本思路，即通過對圖形的切割、拼接，巧妙地利用面積關(guān)系證明勾股定理.“趙爽弦圖”曾被作為2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會徽.一般地，涉及“趙爽弦圖”的相關(guān)問題，需要弄清構(gòu)成“趙爽弦圖”中的兩個正方形、四個直角三角形的邊角以及面積間的等量關(guān)系.“趙爽弦圖”溝通了代數(shù)與幾何的聯(lián)系，能夠完美地體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，由“趙爽弦圖”派生出的多種問題，對于考查學(xué)生的理性思維能力，提升核心素養(yǎng)具有較大的幫助，因此它備受各級命題者青睞.多年來，全國各省市州中考數(shù)學(xué)試題中，涉及“趙爽弦圖”的試題可以說不計其數(shù)，而且?？汲Ｐ拢档梦覀冴P(guān)注.

圖2

2.2 源于閱讀與思考

評析：人教版教材八年級下冊第16頁閱讀與思考安排了閱讀素材“海倫-秦九韶公式”，通過對這段材料的閱讀，可以幫助學(xué)生了解已知三角形的三邊求其面積的方法和求三角形面積的數(shù)學(xué)歷史.本題將教材閱讀與思考欄目提供的素材加以改編，給出三角形的半周長和c邊的長，要求學(xué)生靈活使用公式，消元減參，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，主要考查學(xué)生的閱讀理解、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，同時滲透了數(shù)學(xué)文化.

2.3 立足數(shù)學(xué)活動

圖3

(1)求拋物線的解析式；

(2)在直線l上是否存在一點P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

(3)已知F(x0,y0)為平面內(nèi)一定點，M(m,n)為拋物線上一動點，且點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等，求定點F的坐標(biāo).

評析：本題的第(3)問實際上是已知拋物線的方程，在題設(shè)條件下求拋物線的焦點坐標(biāo)，一般思路是運(yùn)用勾股定理建立方程，再通過恒成立問題得出方程組，最后求出定點F的坐標(biāo).

人教版教材九年級上冊第54頁，在第二十二章學(xué)習(xí)結(jié)束之后安排了兩個數(shù)學(xué)活動，其中活動2要求學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中探求拋物線的解析式，滲透了拋物線的定義、焦點、準(zhǔn)線等.本題的第(3)問可以看作是對該數(shù)學(xué)活動的延伸與拓廣.

2.4 扎根實驗與探究

例4(2021重慶中考第9題)如圖4，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，M是邊AD上一點，連接OM，過點O作ON⊥OM，交CD于點N.若四邊形MOND的面積是1，則AB的長為( ).

圖4

評析：本題源于人教版教材八年級下冊第十八章“平行四邊形”中的實驗與探究：

圖5

本題以教材中的實驗與探究為原型，適度改編和變形，給出四邊形MOND的面積，逆向求正方形的邊長.對于學(xué)生來講，試題來源于教材，面目親切，難度適中，體現(xiàn)了命題者考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)師生立足教材開展數(shù)學(xué)實驗與探究的良苦用心.

2.5 拓展教材習(xí)題

圖6

評析：本題源于人教版教材八年級下冊習(xí)題的拓廣探索“如圖7，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的頂點A在△ECD的斜邊DE上，求證：AE2+AD2=2AC2”.

圖7

本題以教材習(xí)題為原型，在原題設(shè)條件下，增加線段AE，AD的長度，求出兩個三角形重疊部分的面積.解決本題需要首先求出△ACB的邊長，再添加輔助線，發(fā)現(xiàn)∠ADB=90°，且CD平分∠ADB，求出CD分線段AB之比，進(jìn)而解決問題.此題與教材習(xí)題相比，問題的深度和廣度都得到進(jìn)一步的提升，對學(xué)生分析問題、解決問題的能力提出了較高的要求.本題源于教材，高于教材，考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力，并且具有一定的選撥功能，是一道改編于教材的較為成功的試題.

3 啟示與思考

啟示一：深入學(xué)習(xí)新課程標(biāo)準(zhǔn)，研讀教材，理解教材，弄清教材體系、體例和各個欄目的作用，認(rèn)真體會編者的意圖是開展教學(xué)工作的前提，要用教材教，而不是教教材.在平常教學(xué)中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生用好教材，結(jié)合教材安排的閱讀素材、實驗與探索、數(shù)學(xué)活動等，指導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)閱讀、數(shù)學(xué)實驗、數(shù)學(xué)活動；適時安排一些具有針對性的研究性學(xué)習(xí)課題，對拓展學(xué)生的視野，提高分析問題、解決問題的能力，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，無疑具有較大的幫助.

啟示二：當(dāng)前，一些學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)中還存在著教學(xué)脫離課程標(biāo)準(zhǔn)和教材，盲目使用教輔資料的現(xiàn)象，教師忙于歸納各種題型和套路，學(xué)生忙于機(jī)械“刷題”，課堂教學(xué)容量過大，教學(xué)節(jié)奏過快；教學(xué)過程中，學(xué)生獨立思考、感悟、反思的時間不多，師生交流、碰撞、合作的機(jī)會較少；所用的資料和考題絕大多數(shù)來自于現(xiàn)成的出版物或者網(wǎng)絡(luò)，缺少改編、自編、原創(chuàng)試題，影響教學(xué)質(zhì)量的進(jìn)一步提升.因此，建議教師在教學(xué)中要認(rèn)真揣摩課程標(biāo)準(zhǔn)，研究回歸教材的具體措施，增加整合、激活、落實教材的環(huán)節(jié)，細(xì)化對教材各個欄目作用的研究；鼓勵教師立足教材，積極開展改編、自編、原創(chuàng)試題的研究，形成具有校本特色的教材拓展資源，提升資料、試卷的針對性，切實提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).