李偉東 李文濤 楊易凱 曹雪梅 念朝暉

（1 河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 河南 洛陽 471003）

（2 河南科技大學(xué) 學(xué)生處， 河南 洛陽 471003）

（3 河南科技大學(xué) 國際教育學(xué)院， 河南 洛陽 471003）

0 引言

為了提高齒輪嚙合性能，通常采用對(duì)漸開螺旋面拓?fù)湫扌蔚姆椒?，即沿齒廓和齒寬進(jìn)行修正[1]，這需要將全齒面拓?fù)淦钚畔⒂糜邶X面精密加工的數(shù)字化控制。目前，實(shí)現(xiàn)齒輪精度全面、高精度、低成本的測(cè)量仍然是研究的熱點(diǎn)。石照耀等[2]提出圓柱齒輪齒面三維誤差表征可充分挖掘齒輪誤差信息中包含的物理和工程意義參數(shù)；基于嚙合坐標(biāo)系表征齒面誤差，通過Legendre 多項(xiàng)式分解了齒面誤差。林虎等[3]提出了一種基于正交距離回歸齒面的誤差計(jì)算方法，研究了齒面特征線誤差的評(píng)定算法和拓?fù)潺X形誤差的計(jì)算與分解。曹雪梅等[4]1799-1780提出了一種基于三坐標(biāo)測(cè)量的弧齒錐齒輪的齒面檢測(cè)方法，為齒面質(zhì)量控制數(shù)字化提供了條件。Pei 等[5]提出了高精度齒廓徑向跳動(dòng)測(cè)量算法。林家春等[6]利用激光跟蹤儀采集齒面數(shù)據(jù)點(diǎn)，獲得了大型齒輪齒廓偏差。魏建杰等[7]對(duì)ISO 1328-1：2013的齒廓偏差定義及評(píng)定方法進(jìn)行了計(jì)算和分析。Koulin 等[8]利用粗糙度測(cè)量儀檢測(cè)表面特征，建立了粗糙度與齒廓偏差相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。Lin 等[9-10]利用擬合算法實(shí)現(xiàn)漸開線圓柱齒輪齒廓測(cè)量數(shù)據(jù)與理論齒廓模型擬合，得到了齒廓偏差曲線。

隨著齒面拓?fù)湫扌渭夹g(shù)的廣泛使用，綜合評(píng)價(jià)拓?fù)湫扌锡X面是加工參數(shù)反調(diào)修正及齒輪副嚙合性能評(píng)價(jià)的重要依據(jù)。齒輪檢測(cè)中心僅提供了齒廓偏差和螺旋線偏差，無法全面評(píng)價(jià)齒面拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，難以滿足圓柱修形齒輪齒面加工反調(diào)修正的目的。本文中根據(jù)圓柱齒輪齒面實(shí)測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)，通過角向定位，建立實(shí)測(cè)點(diǎn)與理論漸開螺旋面齒面點(diǎn)的一一映射關(guān)系，計(jì)算了齒面三維拓?fù)淦睿辉诖嘶A(chǔ)上降維處理，得到二維偏差曲線——齒廓偏差、螺旋線偏差；采用最小二乘法建立了齒廓偏差和螺旋線偏差的評(píng)定方法。通過提煉齒面三維測(cè)量數(shù)據(jù)，為齒面精密加工數(shù)字化控制和嚙合性能評(píng)估提供依據(jù)。

1 構(gòu)建實(shí)測(cè)齒面的齒面拓?fù)淦?/h2>

1.1 建立理論漸開線螺旋面方程

理論斜齒圓柱齒輪齒面為標(biāo)準(zhǔn)漸開線螺旋面，其齒面方程為

式中，u、θ均為齒面參數(shù)；rb為基圓半徑；P1為螺旋參數(shù)，有

式中，mn為法向模數(shù)；z為齒數(shù)；β為齒輪螺旋角，左旋為正，右旋為負(fù)。

1.2 確定與實(shí)測(cè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的理論齒面點(diǎn)

圖1所示為齒面旋轉(zhuǎn)投影面，橫坐標(biāo)軸H為齒輪的回轉(zhuǎn)軸，縱坐標(biāo)軸R軸為旋轉(zhuǎn)投影軸。為了避讓倒角區(qū)和齒根過渡曲面，應(yīng)設(shè)定齒面檢測(cè)范圍，m為齒寬方向檢測(cè)點(diǎn)數(shù)，n為齒高方向檢測(cè)點(diǎn)數(shù)。設(shè)實(shí)測(cè)齒面點(diǎn)為p′ij(x′ij，y′ij，z′ij)（其中，i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）。根據(jù)實(shí)測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)確定相應(yīng)的理論齒面點(diǎn)，理論齒面點(diǎn)為Pij(xij，yij，zij)。

圖1 齒面網(wǎng)格規(guī)劃Fig.1 Tooth surface mesh planning

將齒面所有實(shí)測(cè)點(diǎn)投影到旋轉(zhuǎn)投影面上，其坐標(biāo)值為

其中，i= 1，2，…，m；j= 1，2，…，n。

實(shí)測(cè)點(diǎn)與對(duì)應(yīng)理論齒面點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)投影面的位置重合，在二維投影平面的位置關(guān)系為

其中，i= 1，2，…，m；j= 1，2，…，n。

求解該二維非線性方程組，即可求出理論齒面點(diǎn)的參數(shù)(u，θ)，進(jìn)而確定與實(shí)測(cè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的理論齒面點(diǎn)Pij坐標(biāo)(xij，yij，zij)。

1.3 實(shí)測(cè)齒面的角向定位

理論齒面和實(shí)測(cè)齒面在齒輪不同的角向位置，因此，需進(jìn)行角向定位[4]1800-1801，即角向基準(zhǔn)重合。實(shí)際齒面轉(zhuǎn)動(dòng)ψ角度后，角向定位基準(zhǔn)點(diǎn)(x′m，y′m，z′m)應(yīng)與理論齒面重合，完成實(shí)測(cè)齒面的角向定位，即

求解三維非線性方程組（5），得到實(shí)測(cè)齒面與理論齒面在基準(zhǔn)點(diǎn)重合時(shí)的θ、u、ψ；再將所有測(cè)點(diǎn)全部繞z軸旋轉(zhuǎn)ψ角，即可完成角向定位，即

其中，i= 1，2，…，m；j= 1，2，…，n。

1.4 實(shí)測(cè)齒面與理論齒面拓?fù)淦?/h3>

齒面拓?fù)淦疃x為：沿理論齒面給定測(cè)點(diǎn)法線方向，實(shí)際齒面測(cè)點(diǎn)與理論齒面的偏離距離。實(shí)測(cè)點(diǎn)的齒面誤差為

式中，γij為實(shí)際齒面測(cè)點(diǎn)到理論齒面測(cè)點(diǎn)的連線與理論齒面測(cè)點(diǎn)法線的夾角。其中，i= 1，2，…，m；j= 1，2，…，n。

圖2所示為齒面拓?fù)淦顖D。圖2中，R為齒高方向，H為齒寬方向。網(wǎng)格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的偏差為測(cè)點(diǎn)偏差值。

圖2 齒面拓?fù)淦顖DFig.2 Tooth surface topological deviation diagram

2 實(shí)測(cè)齒面偏差評(píng)定

2.1 實(shí)測(cè)齒面齒廓偏差評(píng)定

齒廓偏差定義為：在端截面上，齒廓工作部分內(nèi)，包容實(shí)際齒廓且距離為最小的兩條設(shè)計(jì)齒廓間的法向距離。根據(jù)最小二乘法確定齒廓的方法為：尋找一條最短直線，使各個(gè)采樣點(diǎn)偏差值相對(duì)于該理想直線的偏差的平方和最小。所得到的極值之差作為評(píng)定的誤差值，所得到的直線即為平均齒廓跡線[11]。齒廓偏差可分為齒廓總偏差Fα、齒廓形狀偏差ffα和齒廓傾斜偏差fHα。

根據(jù)構(gòu)建的齒面拓?fù)淦顖D，做H軸的切片，得到不同齒寬位置的齒輪端截面齒廓偏差曲線圖，如圖3 所示。圖3 中，δj軸為實(shí)測(cè)點(diǎn)的齒廓偏差值；tj軸為測(cè)量點(diǎn)位置。平均齒廓跡線可采用最小二乘法確定。

圖3 齒廓偏差示意圖Fig.3 Schematic diagram of tooth profile deviation

設(shè)平均齒廓跡線方程為

則各個(gè)測(cè)點(diǎn)到平均齒廓跡線的偏差為

偏差的平方和為

根據(jù)最小二乘法原理，偏差值的平方和最小。為使Q1值最小，有

求解方程得

齒廓形狀偏差ffα、齒廓傾斜偏差fHα和齒廓總偏差Fα分別為

式中，δmax、δmin分別為實(shí)測(cè)點(diǎn)到平均齒廓跡線的最大、最小距離。

式中，tjmax、tjmin分別為實(shí)測(cè)點(diǎn)起始與截至位置坐標(biāo)。

式中，δjmax、δjmin分別為實(shí)測(cè)點(diǎn)最大、最小偏差。

2.2 實(shí)測(cè)齒面螺旋線偏差評(píng)定

螺旋線偏差定義為：在端面基圓切線方向上測(cè)得的實(shí)際螺旋線偏離設(shè)計(jì)螺旋線的量。螺旋線偏差可分為螺旋線總偏差Fβ、螺旋線形狀偏差ffβ和螺旋線傾斜偏差fHβ，其中，螺旋線傾斜偏差fHβ反映的是斜齒圓柱齒輪螺旋角偏差。

根據(jù)齒面拓?fù)淦顖D，做R軸的切片，得到不同齒高位置的螺旋線偏差圖。圖4所示為螺旋線偏差示意圖。

圖4 螺旋線偏差示意圖Fig.4 Schematic diagram of helix deviation

同理，根據(jù)最小二乘法原理，確定平均螺旋線跡線，計(jì)算測(cè)點(diǎn)到平均螺旋線跡線的最大、最小距離分別為δmax、δmin，進(jìn)而確定螺旋線總偏差Fβ、螺旋線形狀偏差ffβ和螺旋線傾斜偏差fHβ。

3 算例分析

3.1 齒輪參數(shù)

檢測(cè)一個(gè)圓柱齒輪，齒輪參數(shù)如表1所示。根據(jù)實(shí)測(cè)齒面點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算三維齒面拓?fù)淦罴褒X廓偏差和螺旋線偏差；在Gleason 650GMS 測(cè)量中心檢測(cè)齒輪精度（圖5），并對(duì)齒輪偏差結(jié)果進(jìn)行分析對(duì)比。

表1 齒輪參數(shù)Tab.1 Gear parameters

圖5 Gleason 650GMS檢測(cè)Fig.5 Gleason 650GMS detection

3.2 齒面偏差分析

齒寬方向檢測(cè)點(diǎn)數(shù)為5個(gè)，齒廓方向檢測(cè)點(diǎn)數(shù)為9 個(gè)，根據(jù)測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)值，計(jì)算齒面偏差。圖6 所示為實(shí)測(cè)齒面拓?fù)淦顖D，從圖6中可以看出，齒面偏差主要是壓力角偏差；齒頂部螺旋線偏差較大。

圖6 實(shí)測(cè)齒面拓?fù)淦顖DFig.6 Topological deviation diagram of measured tooth surface

3.3 齒廓偏差評(píng)定

沿齒寬方向?qū)X面拓?fù)淦顖D切片，得到齒廓偏差圖。圖7所示為齒寬位置20.529 mm的齒廓偏差曲線，表2 所示為計(jì)算得到的齒廓傾斜偏差fHα、齒廓總偏差Fα和齒廓形狀偏差ffα。

圖7 齒廓偏差圖Fig.7 Tooth profile deviation diagram

表2 齒廓偏差計(jì)算結(jié)果Tab.2 Tooth profile deviation calculation results

圖8 所示為Gleason 650GMS 檢測(cè)的齒廓偏差圖及檢測(cè)報(bào)告單。

對(duì)比表2 和圖8 中可知，本文中方法計(jì)算的齒廓傾斜偏差fHα為-18.4 μm，Gleason 650GMS 檢測(cè)結(jié)果為-20.4 μm，差值為2.0 μm；本文中方法計(jì)算的齒廓總偏差Fα均值為19.9 μm，Gleason 650GMS 檢測(cè)結(jié)果為19.5 μm，差值為0.4 μm；本文中方法計(jì)算的齒廓形狀偏差ffα均值為3.3 μm，Gleason 650GMS檢測(cè)結(jié)果為5.5 μm，差值為2.2 μm。

圖8 Gleason 650GMS齒廓偏差檢測(cè)報(bào)告Fig.8 Gleason 650GMS tooth profile error detection report

3.4 螺旋線偏差評(píng)定

沿齒高方向?qū)X面拓?fù)淦顖D切片，得到螺旋線偏差圖。圖9 所示為展角23.46°的螺旋線偏差圖，表3 所示為計(jì)算得到的螺旋線傾斜偏差fHβ、螺旋線總偏差Fβ和螺旋線形狀偏差ffβ。

圖9 螺旋線偏差圖Fig.9 Helix deviation

表3 螺旋線偏差計(jì)算結(jié)果Tab.3 Helix deviation calculation results

圖10 所示為Gleason 650GMS 檢測(cè)的螺旋線偏差圖及檢測(cè)報(bào)告單。

對(duì)比表3 和圖10 中可知，本文中方法計(jì)算的螺旋線傾斜偏差fHβ均值為-6.1 μm，Gleason 650GMS檢測(cè)結(jié)果為-6.4 μm，差值為0.3 μm；本文中方法計(jì)算的螺旋線總偏差Fβ均值為6.4 μm，Gleason 650GMS檢測(cè)結(jié)果為7.1 μm，差值為0.7 μm；本文中方法計(jì)算 的 螺 旋 線 形 狀 偏 差ffβ均 值 為2.3 μm，Gleason 650GMS檢測(cè)結(jié)果為3.2 μm，差值為0.9 μm。

圖10 Gleason 650GMS螺旋線偏差檢測(cè)報(bào)告Fig.10 Gleason 650GMS spiral deviation detection report

根據(jù)實(shí)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)，計(jì)算齒廓偏差和螺旋線偏差，計(jì)算結(jié)果與Gleason 650GMS 檢測(cè)報(bào)告基本一致。本文中僅對(duì)1 個(gè)齒面沿齒寬中點(diǎn)和展角位置計(jì)算了齒廓偏差、螺旋線偏差。Gleason 650GMS 檢測(cè)中心測(cè)量檢測(cè)了4 個(gè)齒面，計(jì)算平均偏差，結(jié)果也將更加精確。

4 結(jié)論

基于圓柱齒輪實(shí)測(cè)齒面點(diǎn)坐標(biāo)，構(gòu)建齒面三維拓?fù)淦顖D，直觀地反映了全齒面偏差，為全齒面數(shù)字化控制提供了依據(jù)；基于齒面三維拓?fù)淦顖D，沿齒寬和齒高方向切片，得到不同位置的齒廓偏差曲線和螺旋線偏差曲線，給出齒廓偏差和螺旋線偏差計(jì)算方法。由本文中方法檢測(cè)結(jié)果與Gleason 650GMS齒輪檢測(cè)中心的檢測(cè)報(bào)告對(duì)比可知，計(jì)算精度與Gleason 650GMS 報(bào)告基本一致。本文中方法可為齒面精密數(shù)字化控制提供依據(jù)。