郭曉嫻，葉尚尚，谷繼品，張健鑫，翟曉

（中國原子能科學研究院，北京 102413）

主泵是鈉冷快堆中最關鍵的設備之一，主要功能是為一回路液鈉的循環(huán)提供動力。主要由電機及電機支架、聯(lián)軸器、電控系統(tǒng)、上部組合軸承、氣體軸密封、檢修密封、泵蓋、主軸、泵體、隔熱板、靜壓軸承、葉輪、蝸室、流量計、截止閥驅(qū)動裝置等組成。為確保主泵能在規(guī)定的工況下、規(guī)定的時間內(nèi)完成規(guī)定的功能，需要對主泵提出可靠性指標要求?？煽啃灾笜蓑炞C工作所面臨的最大問題是工期和經(jīng)費，因此如何用最小的試驗樣本量得到相應的可靠性評價指標是目前面臨的重要難題。故針對鈉泵部件上部軸承的高可靠性要求、可試驗數(shù)量少的情況展開可靠性評價方法研究的工作迫在眉睫。

1 極小樣本評估方法

1.1 半經(jīng)驗法

半經(jīng)驗評估方法的思想是充分利用這些大量工程試驗的經(jīng)驗信息，結(jié)合現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計和可靠性評估理論來對數(shù)據(jù)進行分析處理，得到一個在一定的誤差范圍內(nèi)滿足工程需要的評估結(jié)果。

半經(jīng)驗評估法的數(shù)學描述如下[1]：

設隨機子樣T=(T1,T2,…,Tn)來自服從對數(shù)正態(tài)分布的壽命總體T，令Y=lgT，則得到服從正態(tài)分布的總體Y～N(μY,)，同時得到對應的隨機子樣Y=(Y1,Y2,…,Yn)。

由數(shù)理統(tǒng)計理論可知

式中，σY可以由工程經(jīng)驗給出，一般取為0.13～0.17。而μY隨著具體的結(jié)構(gòu)疲勞壽命總體不同而不同。由數(shù)理統(tǒng)計理論可知，樣本均值是總體均值的最小方差無偏估計，所以μY的值可以用樣本均值的估計值代替，即。

經(jīng)定置信度1-α時，Y的 100(1 -α) %置信下限表示為

從而得到試驗壽命的 100(1 -α) %置信下限為

1.2 綜合概率分布評估法

現(xiàn)有的極小子樣可靠性試驗評估方法的精度都相當?shù)蚚2-5]。當產(chǎn)品為高可靠性產(chǎn)品時，評估方法的精度就更低。因此，如何由極小樣本容量數(shù)據(jù)得到壽命的分布特性以及尋找精度更高的可靠性數(shù)據(jù)處理方法是重難點。本文綜合利用歷史信息和當前試驗數(shù)據(jù)對樣本量為1 時進行可靠性評估。大量文獻及統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，與機械部件疲勞、磨損、腐蝕等耗損型失效相關的壽命分布大多可用對數(shù)正態(tài)分布或威布爾分布來表征[6,7]。根據(jù)文獻［8］中的先驗信息，推力滑動軸承啟停階段的累積磨損量服從對數(shù)正態(tài)分布。根據(jù)文獻相關信息及計算，主泵滑動軸承的對數(shù)標準差取0.129 7[9]，滑動軸承磨損耐久壽命試驗結(jié)果為582 次。

綜合概率分布評估法可用于單樣本試驗評估，基本思想是根據(jù)一次試驗結(jié)果對經(jīng)驗概率密度函數(shù)進行修正得到當前概率密度函數(shù)，然后與經(jīng)驗概率密度函數(shù)綜合得出驗后概率密度函數(shù)，從而對未知參數(shù)進行推斷估計。綜合概率方法的主要執(zhí)行步驟為[10,11]：

（1）據(jù)類似件試驗確定待試件的驗前概分布特性；

（2）確定一個試驗件時的單件值當前密度分布特性。

以單次試驗值的對數(shù)為均值估計，即

在當前概率密度函數(shù)的整個定義域內(nèi)，經(jīng)驗概率密度函數(shù)都減去fT,ex，le（或fT,ex,rl），并乘以一個大于1 的修正系數(shù)k，即可得到當前概率密度函數(shù)fT,cu

根據(jù)概率密度函數(shù)的性質(zhì)，則

求解上式，即可確定修正系數(shù)k。

確定綜合概率密度函數(shù)的步驟是提出下述加權綜合法，加權系數(shù)可有正負值，在采用下述公式時≤0 .5，γ值越大代表越強調(diào)當前分布，則

式中：下標p0代表驗后概率密度分布；γ的取值在分級較粗時，建議可按下述3種情況取值，即γ1=-0 .2,γ2= 0,γ3= 0.2。

1.3 虛擬增廣樣本評估法+Bootstrap 方法

虛擬增廣樣本評估法是針對極小子樣試驗評估而提出的，其基本思想是把原始試驗樣本虛擬增廣至小樣本，然后應用Bootstrap 方法對小樣本進行評估，Bootstrap 方法能很好地解決試驗樣本量n＞10 的子樣可靠性評估問題。在工程允許范圍之內(nèi)，虛擬增廣的過程需要滿足以下兩個基本條件[12]即：

（1）虛擬增廣后的子樣均值應與原來的子樣均值相等；

（2）虛擬增廣后的子樣標準差應與類似件的標準差相等。

根據(jù)原始試驗樣本均值T以及以往類似件試驗估計得到的分布型形式和標準差，即可虛擬增廣試驗樣本。為使虛擬增廣得到的樣本更合理，建議用以下近似公式增廣原始試驗樣本。

把增廣樣本T1～T13代入方程組（12）中，即可求解得到ξ的表達式為

原始試驗樣本被增廣后，即可應用Bootstrap方法對增廣樣本進行評估，得到未知參數(shù)的估計。

Bootstrap 方法是用現(xiàn)有的樣本去模仿未知的分布，充分利用了樣本本身的信息，對于分布不需要做出假設，運用模擬再抽樣技術代替理論分析，用試驗觀測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性代替真實母體的特性。Bootstrap 方法的數(shù)學描述是：設隨機樣本X=[x1,x2,…,xn]來自未知的總體分布F，R(X,F)為某個預先選定的隨機變量，是X和F的函數(shù)。根據(jù)觀測樣本X=[x1,x2,…,xn]計算R(X,F)分布特征[13]，其步驟流程歸納如圖1所示。

圖1 Bootstrap 基本計算步驟流程Fig.1 Bootstrap basic calculation steps

應用Bootstrap 方法估計μ和σ2的具體步驟如下：

根據(jù)式（14）、（15）計算得到樣本X的均值和方差S2；

將x1,x2,…,xn按由小到大排列，利用式（16）確定樣本X的經(jīng)驗分布Fn，并從中隨機抽樣產(chǎn)生N組自助樣本（N足夠大）：X*(1)，X*(2)，…，X*(N)。其中，

2 鈉冷快堆主泵上軸承磨損可靠性評估

鈉泵上部軸承的可靠性指標要求為：125次載荷循環(huán)（5 年）壽命可靠度P≥0.999 9，置信度γ≥0.9?；瑒虞S承的主要失效模式是磨損，在主泵實際工況中，磨損的發(fā)生主要在啟停階段。基于鈉泵實際運行工況下的載荷剖面、轉(zhuǎn)速、環(huán)境溫度、冷卻水溫度及流量等參數(shù)，模擬相關參數(shù)環(huán)境，搭建試驗臺架，讓軸瓦處于相應的狀態(tài)進行啟停磨損壽命試驗，啟停582次后進行性能試驗驗證，發(fā)現(xiàn)相關參數(shù)無異常。將582 次啟停磨損試驗保守的作為一次完全數(shù)據(jù)分別采用三種計算方法進行可靠性評估，詳細情況如下。

2.1 半經(jīng)驗法

試驗得出滑動軸承的壽命（循環(huán)次數(shù)）N0=582 次，根據(jù)經(jīng)驗知壽命N服從對數(shù)正態(tài)分布的隨機變量，令T=lgN，則T是一個服從正態(tài)分布的隨機變量，來自于正態(tài)總體T的樣本對數(shù)均值也是一個隨機變量。根據(jù)文獻相關信息及計算，總體T的對數(shù)標準差σT= 0.129 7，基于半經(jīng)驗評估法的步驟如下。

（1）把正態(tài)分布變量T轉(zhuǎn)換為標準正態(tài)分布Z。

（2）90%置信度的下限值計算

由γ=0.9，根 據(jù) Φ (Zlow) =γ，得Tlow=2.5516，壽命試驗對數(shù)均值的下限：

（3）任務可靠度計算

任務壽命的可靠度計算式為

式中：P′ ——任務壽命的可靠度評估值；

T′ ——任務壽命的對數(shù)值，即T′=lg125= 2.096 9。

代入壽命下限和對數(shù)標準差后可計算得到P′=0.999 772。

2.2 綜合概率分布評估法

軸承軸瓦試驗壽命為582 次，則樣本的對數(shù)均值= lgN0= lg 582= 2.764 9，對數(shù)標準差σT=0 .129 7，對應的經(jīng)驗概率密度函數(shù)的形式為

可求得系數(shù)k=2.092 8，當前概率密度函數(shù)為

定義域為［2.570 4，2.959 5］。

根據(jù)單次試驗值擴展而得到當前概率密度函數(shù)后，為了進一步綜合考慮驗前經(jīng)驗概率密度函數(shù)，概率密度函數(shù)需考慮加權系數(shù)。

取加權系數(shù)ω=0[10]，即得到綜合概率密度函數(shù)。

經(jīng)驗概率密度函數(shù)、當前概率密度函數(shù)以及綜合概率密度函數(shù)的對比見圖2。

圖2 不同概率密度函數(shù)對比圖Fig.2 Comparison of different probability density functions

在置信度γ=0.9 下，可由式（28）得到試驗壽命對數(shù)均值置信下限，Tlow=2.593 5，Nlow=392.259 1。從定性角度出發(fā)，在任務125次時，處于曲線圖的最左側(cè)，這時，綜合概率密度函數(shù)為經(jīng)驗概率密度函數(shù)的0.5 倍，故可知，其任務可靠度高于經(jīng)驗概率密度函數(shù)對應的任務可靠度。經(jīng)驗概率密度函數(shù)的任務可靠度為求出結(jié)果為0.999 869。

2.3 虛擬增廣樣本+Bootstrap 方法

根據(jù)虛擬增廣方法的原理將原始試驗樣本量從n=1 虛擬增擴至n*=13，取定控制系數(shù)a和b后，應用式（11），得到增廣樣本T1～T13，然后采用Bootstrap 方法進行抽樣和評估。在增廣樣本的過程中對a，b取不同值得到的樣本分布如圖3 所示。

圖3 不同控制系數(shù)下的增廣樣本分布函數(shù)對比圖Fig.3 Contrast of the expanding sample distribution function under different control coefficients

根據(jù)圖3 可初步確定a=0.065，b=2 時增廣得到的樣本更加符合實際情況，因此將其作為評估的樣本。Bootstrap 抽樣樣本量N=10 000時的對數(shù)均值和對數(shù)標準差的分布圖分別如圖 4 和圖5 所示。由圖中可看出，當樣本量足夠多時，對數(shù)均值和對數(shù)標準差的估計均接近正態(tài)分布。增廣樣本為：2.525 6，2.601 5，2.660 5，2.702 6，2.727 9，2.736 4，2.764 9，2.793 4，2.8019，2.827 2，2.869 3，2.928 3，3.004 2。

圖4 Bootstrap 抽樣時對數(shù)均值的頻率分布圖和直方圖Fig.4 Frequency distribution and histogram of bootstrap sampling logarithmic mean

圖5 Bootstrap 抽樣時對數(shù)標準差的頻率分布圖和直方圖Fig.5 Frequency distribution and histogram of bootstrap sampling logarithmic variance

綜上所述，在確定對數(shù)均值和對數(shù)標準差的估計值后，根據(jù)任務壽命的可靠度計算式，帶入Tlow= 2.530 7和T′=lg125= 2.096 9后，計算得到P′= 0.999 588。

2.4 極小樣本方法對于鈉泵部件的適用性對比分析

將三種計算方法進行對比如表1 所示。

表1 不同方法計算結(jié)果對比Table 1 Comparison of calculation results of different methods

從表1 中我們可看到虛擬增廣+Bootstrap、綜合概率法的分布密度函數(shù)中的可靠度函數(shù)和失效率函數(shù)的變化趨勢基本一致，在一定范圍內(nèi)處于同一量級水平，故兩種都具有一定的合理性。對于虛擬增廣+Bootstrap 方法進行抽樣和評估，其分析統(tǒng)計結(jié)果更加符合數(shù)據(jù)統(tǒng)計規(guī)律。從以上數(shù)據(jù)分析及概念來看，當以往類似件的試驗估計信息與鈉泵部件的相似度大時，采用半經(jīng)驗方法、綜合概率方法評價兩種方法進行分析更合理；當以往類似件的試驗估計信息與鈉泵部件的相似度不大時，采用虛擬增廣+Bootstrap 方法進行評價更加合理。

3 結(jié)論

針對鈉泵軸承的試驗數(shù)據(jù)，驗證了綜合概率評價法和虛擬增廣樣本+Bootstrap 方法的適應性。綜合概率分布評估法得到的部件綜合概率密度函數(shù)更接近于真實的概率密度函數(shù)，精度相對較高；虛擬增廣樣本+Bootstrap 方法通過大量的抽樣使數(shù)據(jù)更加貼合數(shù)據(jù)統(tǒng)計的原理，兩種方法的分析結(jié)果為鈉泵部件在極小樣本情況下的可靠性評估提供了理論依據(jù)。同時，對鈉泵部件極小樣本的后續(xù)可靠性研究工作還需要做到以下兩點。

（1）極小樣本可靠性的評估重點是對類似部件的可靠性相關信息的收集，應注重相似部件的售后及維修情況的跟蹤；

（2）對極小樣本可靠性評估方法的確定，必須充分利用驗前信息和本次試驗的樣本信息，才能給出精度相對高的可靠度評估結(jié)果。