張宇寧，孫卓

（1.華北電力大學(xué)電站能量傳遞轉(zhuǎn)化與系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102206；2.華北電力大學(xué)能源動力與機(jī)械工程學(xué)院，北京 102206）

空化泡動力學(xué)是核工程領(lǐng)域中一項(xiàng)十分值得關(guān)注的重要課題。在核電站設(shè)備及其附屬的泵[1]、管道[2]，以及相關(guān)的閥門[3]、孔板[4]等過流部件中，液體的高速流動和局部壓力驟降，經(jīng)常會導(dǎo)致空化現(xiàn)象的產(chǎn)生，在部件材料附近不斷形成微小的空化泡并潰滅。大量、長期的空化泡潰滅會對材料表面產(chǎn)生嚴(yán)重破壞，同時(shí)伴隨著強(qiáng)烈的噪音和異常振動，極大地增加了核電站的安全隱患和維護(hù)成本[5]。所以，對空化泡射流及其對邊界材料的沖擊作用的研究具有重大的工程意義[6,7]。

相關(guān)研究表明，空化泡在固體材料附近潰滅時(shí)，會在材料表面附近產(chǎn)生瞬時(shí)局部高壓和高速微射流。在此過程中，高速射流已被證明是導(dǎo)致材料損傷的最顯著機(jī)理[8]。因此，為了系統(tǒng)地闡釋空化泡與邊界相互作用的微觀機(jī)理，本文從理論研究方面入手，結(jié)合射流實(shí)驗(yàn)研究，對邊界附近的單個(gè)球形空化泡的潰滅射流相關(guān)研究進(jìn)行綜述。

理論研究方面，空化泡的射流強(qiáng)度和方向可以用Kelvin 沖量來預(yù)測。Kelvin 沖量是非定常流體力學(xué)中一個(gè)特別有價(jià)值的動力學(xué)概念，是根據(jù)勢流理論推導(dǎo)出的表征空化泡運(yùn)動狀態(tài)的一個(gè)量，其實(shí)質(zhì)相當(dāng)于空化泡在整個(gè)周期內(nèi)的動量變化量[9]。下面，本文將簡要回顧空化泡 -邊界相互作用的Kelvin 沖量理論和空化泡射流方面的相關(guān)研究。

Benjamin 和 Ellis[10]早在 1966 年首次將Kelvin 沖量應(yīng)用于空化泡動力學(xué)，以解釋邊界附近空化泡的非球形變形、射流的形成以及空化泡的運(yùn)動。其后，Blake等[11-14]在空化泡Kelvin 沖量方向做了大量工作，進(jìn)一步奠定了該方法的理論基礎(chǔ)，推導(dǎo)了多種邊界情況下空化泡Kelvin 沖量的近似解析表達(dá)式，并通過實(shí)驗(yàn)與數(shù)值研究證實(shí)了空化泡Kelvin 沖量與潰滅射流間的聯(lián)系，使空化泡 -壁面相互作用的研究向前推進(jìn)了一大步。Best 和Blake[15]在已有Kelvin 沖量理論的基礎(chǔ)之上，基于Lagally 定理將空化泡所受Bjerknes 力表達(dá)式進(jìn)行簡化，進(jìn)而簡化了空化泡Kelvin 沖量計(jì)算公式。實(shí)驗(yàn)研究方面，Lauterborn 和Bolle[16]在1975 年利用高速攝影技術(shù)對剛性水平壁面附近的激光誘導(dǎo)空化泡進(jìn)行了細(xì)致的實(shí)驗(yàn)研究，通過250 000幀/秒的高速攝影圖像測量到了壁面附近空化泡射流尖端速度高達(dá)120 m/s。Vogel等[17]通過高速攝影實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步研究了水平壁面附近空化泡射流行為與空化泡 -壁面間無量綱距離的關(guān)系，并深入討論了射流造成的空蝕機(jī)理。

近年來，許多學(xué)者對空化泡 -邊界相互作用研究進(jìn)行豐富和拓展，探究了不同邊界附近空化泡的泡動力學(xué)行為以及射流情況。Tagawa和Peters[18]對不同角度的角形壁面附近空化泡射流進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，分析了射流角度隨空化泡位置角度的變化規(guī)律，并且計(jì)算驗(yàn)證了Kelvin 沖量角度與射流角度的對應(yīng)關(guān)系。Bempedelis等[19]對空化泡與自由液面的相互作用進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，圍繞射流高度、寬度、尖端速度以及射流在時(shí)間尺度上的演化等展開討論，并結(jié)合數(shù)值研究，分析了空化泡誘導(dǎo)霧化的機(jī)理。Brujan等[20]研究了直角壁面附近激光誘導(dǎo)空化泡的行為，對空化泡與水平壁面和垂直壁面間不同距離情況下的射流等行為進(jìn)行了細(xì)致的實(shí)驗(yàn)研究。Zhang等[21]利用高速相機(jī)對球形顆粒附近的激光誘導(dǎo)空化泡進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，對潰滅形狀、射流行為進(jìn)行了詳細(xì)的分析。Zhang等[22,23]還研究了球形顆粒與固體壁面的復(fù)合邊界對空化泡潰滅和射流行為的影響。

總體而言，空化泡 -邊界相互作用是泡動力學(xué)領(lǐng)域中的一個(gè)重要方向，多年來吸引了眾多國內(nèi)外學(xué)者開展研究。然而，盡管Best 和Blake[15]在20 世紀(jì) 90 年代就已提出空化泡Kelvin 沖量理論可用于邊界附近空化泡射流行為的預(yù)測及理論解釋，但遺憾的是，目前在空化泡 -邊界相互作用研究中，大多缺乏深入的理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)合，Kelvin 沖量理論的應(yīng)用非常有限。

因此本文系統(tǒng)地回顧推導(dǎo)Best 和Blake 的Kelvin 沖量理論，簡要梳理具體計(jì)算流程并指出核心問題的解決思路。同時(shí)，綜述了相關(guān)邊界條件下的射流實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果以展示Kelvin 沖量理論的可靠性。此外，對Kelvin 沖量理論與高速攝影實(shí)驗(yàn)研究可能的結(jié)合點(diǎn)提出了建議，并給出了適用條件。本文的章節(jié)安排如下：第1 節(jié)系統(tǒng)地展示并優(yōu)化了Kelvin 沖量理論的推導(dǎo)過程，并總結(jié)出了其通用計(jì)算流程。第2 節(jié)介紹了用以處理邊界對空化泡影響的鏡像法原理及應(yīng)用。第3～6 節(jié)分別對水平壁面、自由液面、角形壁面以及球形顆粒四種邊界附近Kelvin 沖量的計(jì)算與分析進(jìn)行展開，并展示了相應(yīng)邊界附近空化泡射流的實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果。第7 節(jié)對上述工作進(jìn)行了總結(jié)，并對Kelvin 沖量理論與高速攝影實(shí)驗(yàn)研究可能的結(jié)合點(diǎn)進(jìn)行了細(xì)致討論。

1 Kelvin 沖量理論

Blake等[11,14]從流體動量的基本概念出發(fā)，提出了不可壓縮流體中空化泡Kelvin 沖量的理論公式。在此基礎(chǔ)上Best 和Blake[15]將邊界作用于空化泡的Bjerknes 力與泡內(nèi)速度勢奇點(diǎn)的強(qiáng)度聯(lián)系起來，進(jìn)而得出一種簡化的通用計(jì)算公式，可更簡捷地計(jì)算空化泡Kelvin 沖量。本節(jié)將系統(tǒng)地回顧空化泡Kelvin 沖量理論，對其中 Blake 等未展示的中間過程進(jìn)行細(xì)致推導(dǎo)，最后對Kelvin 沖量計(jì)算流程進(jìn)行較清晰的梳理。

1.1 Kelvin 沖量理論推導(dǎo)式

假定體積為V′、邊界面為S′的無粘勢流控制體初始動量為零，其沖量即為動量變化量[11]

式中：I——控制體所受沖量；

ρ——流體密度；

dV——流體的體積微元；

u——流體局部速度；

Φ——流體局部速度勢；

n——流體外法線單位向量；

dA——流體的面積微元。

在針對半無限流體中邊界附近空化泡的Kelvin 沖量理論中，如圖1 所示選取體積為V′的控制體，其邊界S′由三部分構(gòu)成：空化泡表面S、半無限流體的平面邊界的控制表面Σb、外部邊界面Σ。根據(jù)式（1），控制體的沖量可表示為兩積分之和[11]

圖1 選取的控制體及其邊界示意圖[11]Fig.1 The schematic of selected control body and its boundaryx=0[11]

式中：IS——空化泡表面S所受沖量；

——控制體其他邊界面Σ∪Σb所受沖量。

對于有限體積V中流體動量的變化率，等于作用在控制體上的合力F，即[11]

式中：t——時(shí)間；

p——某點(diǎn)處的流體壓強(qiáng)。

假設(shè)泡內(nèi)蒸汽均勻分布，則空化泡表面S上的壓力是均勻的，并近似等于空化泡內(nèi)的飽和蒸氣壓，因此式（3）右側(cè)括號內(nèi)的第一個(gè)積分為零[11]。

將式（2）帶入式（3），變形可得

連續(xù)介質(zhì)中的雷諾傳輸定理如下[24,25]

式中：f——可以是張量、標(biāo)量或向量函數(shù)。

根據(jù)雷諾傳輸定理，對式（4）等式右側(cè)第二項(xiàng)進(jìn)行化簡

式中：Vb——邊界面Σ∪Σb所對應(yīng)的體積。

根據(jù)非定常伯努利方程，在不考慮重力勢能時(shí)有

式中：p∞——無窮遠(yuǎn)處的流體壓強(qiáng)。

將式（6）、（8）帶入式（4）中整理可得

式中：FS——空化泡所受合外力。

當(dāng)選取的控制體體積足夠小時(shí)，可近似認(rèn)為面S與面Σ∪Σb表面重合、法向方向相反，因此可通過以下等式將空化泡所受合外力表示為面S上的積分[11]

將式（10）代入式（9）可得[11]

式中：Fg——空化泡所受浮力；

FΣ——空化泡所受Bjerknes 力；

ez——豎直方向的方向向量。

根據(jù)沖量與所受作用力之間的關(guān)系，空化泡所受Kelvin 沖量計(jì)算公式即[11,15]

式中：T——空化泡周期。

1.2 空化泡Bjerknes 力簡化

Landweber 和Miloh 基于Lagally 定理建有以下方程[26]

式中：Φ——邊界存在時(shí)空化泡附近流體的速度勢；

φ——無限大流場中空化泡附近流體的速度勢；

φ′——邊界作用產(chǎn)生的空化泡附近流體的附加速度勢；

q——求和約定數(shù)，滿足α+β+γ=q；

()s——對速度勢奇點(diǎn)s處的求值；

R——空化泡瞬時(shí)半徑。

將式（15）代入式（13），可得由奇點(diǎn)速度勢表示的Bjerknes力[15]

本文假設(shè)流體為無粘、不可壓縮的均勻理想流體，空化泡表面與內(nèi)部的壓力和溫度均勻恒定，空化泡表面不存在熱量傳遞和質(zhì)量傳輸，且空化泡的非球形擾動足夠小?？捎命c(diǎn)源模型表示空化泡流場的速度勢：

式中：m——源強(qiáng)，即單位時(shí)間從點(diǎn)源釋放的流體體積；

——空化泡瞬時(shí)半徑對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，即空化泡壁面處的徑向速度。

對空化泡流場而言，唯一的速度勢奇點(diǎn)為點(diǎn)源中心r0，根據(jù)式（17）與式（20）可知，此時(shí)求和約定數(shù)q=0，代入式（19），Bjerknes力可進(jìn)一步簡化為[15]

其中，邊界干擾產(chǎn)生的附加速度勢φ′可寫為以下形式[15]

其中g(shù)(r)的具體形式取決于邊界情況，可通過鏡像法求得，本文第二節(jié)將詳細(xì)介紹鏡像法的概念、原理及具體應(yīng)用案例。

將式（22）、（23）聯(lián)立，再引入?yún)?shù)Γ，可將Bjerknes 力進(jìn)一步簡化表示為[15]

1.3 Kelvin 沖量簡化計(jì)算式

要對簡化的Bjerknes 力積分得出Kelvin 沖量，須求出空化泡泡壁瞬時(shí)速度R˙。為方便快速計(jì)算，本節(jié)推導(dǎo)過程中的變量將分別以下列規(guī)定的對應(yīng)尺度進(jìn)行無量綱化：以空化泡最大半徑Rmax作為長度尺度，以遠(yuǎn)場壓力與泡壁處液體壓力之差Δp=p∞-pR作為壓力尺度，以作為時(shí)間尺度[15]。本節(jié)以“*”表示參數(shù)的無量綱形式。

對非定常伯努利方程進(jìn)行無量綱化可得[15]

式中：δ——無量綱浮力參數(shù)，滿足

將式（16）、（20）、（21）代入式（26）可得[15]

式中：r0(x0,y0,z0)——空化泡中心的坐標(biāo)向量。

將式（23）帶入（27）可得[15]

已知當(dāng)空化泡尺寸達(dá)到最大值時(shí)R*=1、= 0，于是對式（30）求解可得[15]

將浮力無量綱化，整理可得[15]

將無量綱浮力、Bjerknes 力代入式（14），即可計(jì)算空化泡所受Kelvin 沖量[15]

將式（31）代入式（33）、式（34），整理可得無量綱Kelvin 沖量簡化計(jì)算式[15]

式中：B(a,b) ——貝塔函數(shù)[27]。

綜上，本節(jié)詳細(xì)推導(dǎo)了邊界附近空化泡無量綱Kelvin 沖量通用計(jì)算公式。具體而言，計(jì)算流程如下：

（1）根據(jù)流場邊界的具體性質(zhì)和幾何條件，利用鏡像法得出邊界作用的附加速度勢φ′；

（2）對于邊界附加速度勢φ′，代入式（23）、式（25）和式（29），得到參數(shù)Γ*和μ；

（3）將上述參數(shù)代入通用計(jì)算公式（35）和公式（36），即可求得空化泡所受無量綱Kelvin 沖量。

2 鏡像法原理及應(yīng)用

根據(jù)第1 節(jié)可知，在空化泡Kelvin 沖量簡化計(jì)算方法中，關(guān)鍵步驟為通過鏡像法求得邊界作用的附加速度勢φ′。因此本節(jié)介紹鏡像法的原理，并討論其具體應(yīng)用。

2.1 鏡像法原理

鏡像法的概念起源于靜電學(xué)問題，其基本理論依據(jù)是等效原理和唯一性定理[28]。鏡像法也被應(yīng)用于流體力學(xué)領(lǐng)域，通過在流場邊界外添加鏡像項(xiàng)來等效邊界對流場的影響。對于無粘、不可壓縮勢流中的剛性壁面，添加鏡像項(xiàng)后應(yīng)滿足不可穿透壁面條件，即流體在剛性壁面上的法向分速度為零，而在沿著壁面的切向分速度不一定為零[29]。

2.2 水平壁面鏡像法應(yīng)用

為計(jì)算與表達(dá)的方便起見，本節(jié)在二維平面上進(jìn)行鏡像法應(yīng)用案例的推導(dǎo)與討論，以復(fù)平面取代x-y平面，用復(fù)數(shù)表示平面上的坐標(biāo)。

任意平面勢流的速度勢函數(shù)φ和流函數(shù)ψ都滿足柯西 -黎曼條件，因此以φ為實(shí)部和以ψ為虛部可以構(gòu)造一個(gè)解析函數(shù)，稱為復(fù)位勢[29]

以實(shí)軸為邊界的鏡像法平面定理如下：假設(shè)奇點(diǎn)只在y＞ 0區(qū)域內(nèi)，無壁面存在時(shí)其復(fù)位勢為f(z)，如果流場中存在與實(shí)軸相重合的水平壁面，則奇點(diǎn)在上半平面產(chǎn)生的復(fù)位勢為[29]

根據(jù)式（40）可知，實(shí)軸上F(z)只有實(shí)部φ而虛部ψ為零，即實(shí)軸上法向分速度為零。同時(shí)，的奇點(diǎn)只在y＜ 0的區(qū)域內(nèi)，未在上半平面增加新的奇點(diǎn)，因此上半平面F(z)的奇點(diǎn)和f(z)的奇點(diǎn)完全相同，F(xiàn)(z)是除原奇點(diǎn)外的解析函數(shù)，證明式（39）是滿足實(shí)軸為邊界的復(fù)位勢[29]。

以水平壁面上方z=z0處的沿逆時(shí)針方向的點(diǎn)渦為例，其本身的復(fù)位勢為[29]

將上式代入式（39）中，可得[29]

上式即所求水平壁面上方的復(fù)位勢。如圖2所示，相當(dāng)于除了原來位于z0點(diǎn)的點(diǎn)渦外，又在z0點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸的對稱點(diǎn)=x-iy處添加了一個(gè)強(qiáng)度相同、旋轉(zhuǎn)方向相反的點(diǎn)渦，以滿足鏡像法的等效條件[29]。

圖2 水平壁面上方的點(diǎn)渦及其鏡像[29]Fig.2 The point vortex and its mirror image above the horizontal wall[29]

以上內(nèi)容以水平壁面為例，展示了利用鏡像法求邊界附加速度勢的推導(dǎo)過程?？傮w而言，對于任何種類的剛性邊界，只要能滿足第2.1 小節(jié)所述的數(shù)理?xiàng)l件，即可求得對應(yīng)的附加速度勢。本文后續(xù)還將分別展示非剛性的自由液面、剛性角形壁面以及球形顆粒邊界的鏡像法應(yīng)用案例。

3 水平壁面附近空化泡Kelvin 沖量

3.1 Kelvin 沖量計(jì)算

基于1.1 節(jié)中推導(dǎo)的Kelvin 沖量理論公式，Blake等[11,12]對水平壁面附近的空化泡Kelvin沖量進(jìn)行了詳細(xì)計(jì)算，并在考慮浮力作用的情況下，對空化泡Kelvin 沖量的方向進(jìn)行了細(xì)致的定量分析。

根據(jù)式（9），空化泡所受Bjerknes 力還可表示為[11]

以x軸、y軸、z軸相互垂直建立直角坐標(biāo)系，令x軸正方向?yàn)樨Q直向上，以表示水平方向的圓柱徑向坐標(biāo)。選擇x=0平面作為控制表面Σb，則x方向上Bjerknes 力的表達(dá)式為[11]

式中：FΣx——Bjerknes 力在x方向上的分量；

ex——x方向的單位向量；

u——流體沿x軸方向速度；

v——流體沿徑向方向的速度。

假設(shè)空化泡位于x=h、r=0處，可將其視為源強(qiáng)為m的點(diǎn)源，剛性水平壁面與x=0平面重合。根據(jù)鏡像法原理，水平壁面對上半空間流場的作用可等效為在x=-h處添加一個(gè)源強(qiáng)同為m的點(diǎn)源。因此，上半空間流場的速度勢為[11]

將以上兩式代入式（45），可得x方向上Bjerknes力[11]

再考慮到浮力，空化泡在x方向上受力為[12]

值得注意的是，上述Bjerknes 力項(xiàng)與源強(qiáng)m的正負(fù)號無關(guān)，即該式對點(diǎn)源或點(diǎn)匯都適用，可以用來描述空化泡生長或潰滅時(shí)的情況[12]。

對于源強(qiáng)中的R˙項(xiàng)，可通過Rayleigh 泡動力學(xué)方程解得[12]

將式（50）、（51）與式（21）代入式（14）中，可得x方向的空化泡Kelvin 沖量為[12]

式中：γ——空化泡 -壁面間無量綱距離參數(shù)，

3.2 結(jié)果分析

Kelvin 沖量的符號和大小是非常有價(jià)值的參數(shù)，因?yàn)樗鼪Q定了空化泡的射流方向、移動方向和潰滅的劇烈程度。根據(jù)式（52）可知，壁面附近空化泡的Kelvin 沖量大小取決于空化泡最大半徑Rmax、流體密度ρ、無窮遠(yuǎn)處與泡壁處壓力差Δp、空化泡 -壁面距離h等參數(shù)，而Kelvin 沖量的符號則取決于空化泡 -壁面間無量綱距離γ和無量綱浮力參數(shù)δ。令式（52）等于零，可得Kelvin 沖量為零的條件[12]

如圖3 所示，在δ-γ圖上畫出了γδ=0.442的零Kelvin 沖量曲線，箭頭表示基于邊界積分法的數(shù)值計(jì)算所得的空化泡射流和移動方向。如果空化泡參數(shù)γδ＞ 0.442，空化泡射流方向?qū)⑦h(yuǎn)離壁面；如果空化泡參數(shù)γδ＜ 0.442，空化泡射流方向?qū)⒊虮诿妫@與基于邊界積分法對空化泡射流和移動方向的數(shù)值計(jì)算結(jié)果相吻合[12]。

圖3 不同γ和δ 參數(shù)下剛性水平壁面附近空化泡數(shù)值計(jì)算結(jié)果[12]Fig.3 Numerical results of cavitation near the rigid horizontal wall under different γ and δ parameters[12]

值得注意的是，Blake等[12,14]的計(jì)算還表明，當(dāng)空化泡體積較小時(shí)，浮力作用并不明顯。在可忽略浮力的情況下，空化泡只受Bjerknes 力的作用，Kelvin 沖量方向朝向剛性水平壁面，且空化泡 -壁面間距離越小，Kelvin 沖量的絕對值越大。

3.3 實(shí)驗(yàn)研究

Vogel等[17]通過高速攝影實(shí)驗(yàn)研究了剛性水平壁面附近激光空化泡的動力學(xué)特性及其與空化泡 -壁面間距離的關(guān)系。圖4 為空化泡 -水平壁面間不同無量綱距離γ時(shí)的空化泡潰滅射流圖像，其中每幀圖像下方較暗的部分為水平壁面，子圖（a）、（b）、（c）、（d）對應(yīng)無量綱距離γ分別為2.3、1.56、0.75、0.34[17]。如圖4 所示，潰滅時(shí)產(chǎn)生朝向壁面的射流是水平壁面附近空化泡動力學(xué)的主要特征。當(dāng)空化泡相對遠(yuǎn)離水平壁面時(shí)，它在潰滅過程中向壁面移動，并形成朝向壁面的射流（子圖a）。當(dāng)空化泡 -壁面距離更近些時(shí)，潰滅過程中朝向壁面的射流更為明顯，此外還出現(xiàn)了一個(gè)較小的反向射流（子圖b）。隨著空化泡 -壁面距離繼續(xù)減小，潰滅過程明顯變得更為劇烈，射流變得更厚，并在潰滅初期接觸到了壁面（子圖c、子圖d）[17]。這與Blake等[12]的Kelvin 沖量理論所預(yù)測的情況一致。

圖4 空化泡 -水平壁面間不同無量綱距離γ 時(shí)空化泡潰滅射流[17]Fig.4 The bubble collapse jet at different dimensionless distance γ between bubble and horizontal wall[17]

4 自由液面附近空化泡Kelvin 沖量

4.1 Kelvin 沖量計(jì)算

Blake等[11,13]對自由液面影響下的空化泡Kelvin 沖量進(jìn)行了詳細(xì)計(jì)算，并對無量綱距離和浮力參數(shù)對空化泡Kelvin 沖量方向的影響進(jìn)行了定量分析。

令x軸正方向?yàn)樨Q直向下，假設(shè)空化泡位于x=h、r=0處，可將其視為源強(qiáng)為m的點(diǎn)源，自由液面與x=0平面重合。對于自由液面邊界，與剛性壁面有所不同，其鏡像法等效條件并非邊界上法向速度為零，而是邊界上速度勢為零[11]。因此，自由液面對下半空間流場的作用可等效為在x=-h處添加一個(gè)源強(qiáng)為m的點(diǎn)匯。下半空間流場速度勢為[11]

在自由液面x=0處[11]

將以上兩式代入式（45），可得x方向上Bjerknes力[11]

再考慮到浮力，空化泡在x方向上受力為[13]

將上式代入式（14），可得x方向的Kelvin沖量為[13]

4.2 結(jié)果分析

對比式（49）與式（57）可知，對于剛性水平壁面邊界，空化泡所受Bjerknes 力朝向壁面方向，而對于自由液面邊界，空化泡所受Bjerknes 力朝向遠(yuǎn)離液面方向。

與剛性水平壁面附近的情況類似，自由液面附近空化泡Kelvin 沖量的符號也取決于空化泡 -壁面間無量綱距離γ和無量綱浮力參數(shù)δ。令式（59）等于零，即可得到Kelvin 沖量為零的條件[13]

如圖5 所示，圖中畫出了γδ= 0.442的零Kelvin 沖量曲線，箭頭表示基于數(shù)值計(jì)算或?qū)嶒?yàn)研究所得的空化泡射流和移動方向。如果空化泡參數(shù)γδ＞ 0.442，空化泡射流方向?qū)⒊蜃杂梢好?；如果空化泡參?shù)γδ＜ 0.442，空化泡射流方向?qū)⒊蜻h(yuǎn)離液面方向，這與射流方向的數(shù)值計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本吻合[13]。

圖5 不同γ和δ 參數(shù)下自由液面附近空化泡數(shù)值計(jì)算結(jié)果[13]Fig.5 Numerical results of cavitation near the free surface under different γ and δ parameters[13]

4.3 實(shí)驗(yàn)研究

Bempedelis等[19]對空化泡與自由液面之間的相互作用進(jìn)行了一系列實(shí)驗(yàn)研究，其重點(diǎn)在于深入探究空化泡在自由液面附近形成液體射流的模式和動力學(xué)。圖6 為不同無量綱距離時(shí)空化泡潰滅和自由液面變形的陰影圖，其中子圖（a）、圖（b）、圖（c）所對應(yīng)的空化泡 -液面無量綱距離γ分別為0.86、1.10、1.27，圖像中間偏下處的水平黑線表示自由液面[19]。如圖6 所示，空化泡在t= 0.1 ms 時(shí)達(dá)到最大尺寸，隨后的潰滅過程呈現(xiàn)非球形。空化泡上端靠近自由液面的一側(cè)被液體射流向下推入泡內(nèi)，因此空化泡的上表面呈現(xiàn)平坦形狀（子圖a、子圖b 的t= 0.15 ms 時(shí)刻）。潰滅過程中空化泡頂部被向下的液體射流擊穿而呈現(xiàn)圓環(huán)狀，在側(cè)視圖中看起來像一條粗線段（子圖a、子圖b 的t= 0.2 ms 時(shí)刻）。對比子圖a 與子圖b 可知，空化泡與液面距離更近時(shí)，潰滅過程更劇烈。在之后的階段，空化泡在反彈、再潰滅或分離的過程中，會朝著液面的反方向移動（子圖a、子圖b 的t= 0.5 ms 時(shí)刻、子圖c 的t= 0.4 ms時(shí)刻）[19]。此外，對于空化泡與自由液面相互作用研究，除了本文討論的液面下方的射流情況外，自由液面上方產(chǎn)生的水?，F(xiàn)象等也是廣受關(guān)注的內(nèi)容，讀者可參考Zhang等[30]的相關(guān)工作，本文不再展開贅述。

圖6 不同無量綱距離時(shí)空化泡潰滅和自由液面變形的高速攝影圖[19]Fig.6 High-speed photographs of bubble collapse and free surface deformation at different dimensionless distances [19]

5 角形壁面附近空化泡Kelvin 沖量

5.1 Kelvin 沖量計(jì)算

Tagawa 和Peters[18]在Blake 的Kelvin 沖量理論基礎(chǔ)上，對多個(gè)角度的角形壁面附近空化泡Kelvin 沖量方向進(jìn)行了計(jì)算，并通過實(shí)驗(yàn)測得空化泡射流方向，與計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對比驗(yàn)證。

Tagawa 和Peters[18]在空化泡 -壁面模型的對稱截面上計(jì)算Kelvin 沖量，用復(fù)數(shù)表示平面上的坐標(biāo)以實(shí)現(xiàn)計(jì)算的簡捷性。假設(shè)角形壁面的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，水平壁面沿實(shí)軸正方向，另一個(gè)壁面與其夾角為α= πn。對于位于角形壁面內(nèi)點(diǎn)的空化泡，以點(diǎn)源模型簡化表示空化泡流場。根據(jù)鏡像法原理，滿足不可透壁面條件，角形壁面可等效為2n-1個(gè)虛擬汽泡點(diǎn)源（n為自然數(shù)），每個(gè)虛擬汽泡點(diǎn)源與角形壁面頂點(diǎn)的距離都為r0，其中，1 個(gè)虛擬汽泡點(diǎn)源的角度為(2π -θb)，n-1個(gè)虛擬汽泡點(diǎn)源的角度為(2πk-θb)，n-1個(gè)虛擬汽泡點(diǎn)源的角度為(2πk+θb)，k為從1 到n-1的自然數(shù)[18]。

根據(jù)Best 和Blake[15]的理論，Kelvin 沖量的方向取決于邊界產(chǎn)生的附加速度勢的梯度，即邊界產(chǎn)生的附加速度。因此，每個(gè)虛擬汽泡點(diǎn)源在空化泡位置處產(chǎn)生的速度us的合速度方向即為空化泡Kelvin 沖量方向。單個(gè)虛擬汽泡點(diǎn)源在空化泡位置處的速度[18]

式中：us——單個(gè)虛擬汽泡點(diǎn)源在空化泡位置處的速度；

——虛擬汽泡點(diǎn)源位置向量rs的單位向量。

對于α= π的角形壁面，全部虛擬汽泡點(diǎn)源在空化泡位置產(chǎn)生的合速度[18]

式中：uj——全部虛擬汽泡點(diǎn)在空化泡位置產(chǎn)生的合速度；

C——常數(shù)項(xiàng)，

因此，Kelvin 沖量的角度為[18]

式中：θj——Kelvin 沖量角度；

Im(uj)——向量的uj虛部，即虛擬汽泡點(diǎn)源合速度的豎直方向分量；

|uj|——向量uj的模，即虛擬汽泡點(diǎn)源合速度的大小。

5.2 結(jié)果分析

根據(jù)計(jì)算過程可知，Kelvin 沖量的角度θ j只與空化泡位置角度θb有關(guān)，而與空化泡到角形壁面頂點(diǎn)的距離r0、空化泡最大半徑Rmax等參數(shù)無關(guān)。對于不同角度的壁面，空化泡位置角度θb的范圍為0到α，Kelvin 沖量的角度θ j的范圍為0 到π-α，這意味著壁面角度α越小，射流角的范圍就越大[18]。

為了統(tǒng)一、標(biāo)準(zhǔn)化地分析不同α?xí)rKelvin沖量角度與空化泡位置角度間的關(guān)系，做如下無量綱處理[18]

式中：——無量綱空化泡位置角度；

——無量綱Kelvin 沖量角度。

圖7 為不同壁面情況下無量綱射流角度與空化泡位置角度關(guān)系，六條曲線分別對應(yīng)n=2、3、8、20、100、1 000 時(shí)的壁面情況[18]。如圖6 所示，所有曲線都具有平滑的S 型形狀，當(dāng)和θ?b→1時(shí)，曲線的斜率，并且=0處的斜率隨著n的增大而增大。當(dāng)n→∞，即壁面角度α→ 0時(shí)，曲線會接近于一個(gè)階躍函數(shù)。這種極限情況對應(yīng)于兩個(gè)平行壁面之間的空化泡，如果形成射流，則射流指向最近的壁面，而不是任何其他方向[18]。

圖7 不同壁面情況下無量綱射流角度與空化泡位置角度關(guān)系[18]Fig.7 Relationship between dimensionless jet angle and bubble position angle under different wall conditions [18]

5.3 實(shí)驗(yàn)研究

Tagawa 和Peters[18]對α=π/2和α=π/3的角形壁面分別做了大量實(shí)驗(yàn)，研究空化泡射流角度與空化泡位置角度之間的關(guān)系，并將射流角度實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與Kelvin 沖量角度的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比驗(yàn)證。圖8 為射流角度實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與Kelvin 沖量角度計(jì)算結(jié)果對比圖，圖中兩條實(shí)線分別對應(yīng)n=2、3時(shí)的Kelvin 沖量角度計(jì)算結(jié)果，空心圓形、實(shí)心正方形符號分別對應(yīng)n=2、3 時(shí)的射流角度實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[18]。如圖8 所示，射流角度實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與Kelvin沖量角度計(jì)算結(jié)果基本一致，因此基于勢流理論計(jì)算的Kelvin 沖量方向，能夠準(zhǔn)確地預(yù)測空化泡潰滅時(shí)產(chǎn)生的射流方向[18]。

圖8 射流角度實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與Kelvin 沖量角度計(jì)算結(jié)果對比圖[18]Fig.8 Comparison between experimental data of jet angle and calculation results of Kelvin impulse angle[18]

6 球形顆粒附近空化泡Kelvin 沖量

6.1 Kelvin 沖量計(jì)算

Best 和Blake[15]基于簡化的Kelvin 沖量計(jì)算方法，對剛性球形顆粒附近空化泡Kelvin 沖量進(jìn)行了計(jì)算與分析。

假設(shè)在三維直角坐標(biāo)系中，一個(gè)無量綱半徑為a的剛性球形顆粒固定在原點(diǎn)處，源強(qiáng)為m的空化泡位于r0=(0,0,ξ)處。根據(jù)鏡像法中的Weiss 球定理[31]，該球形顆粒對流場的影響可等效于一個(gè)位于 (0,0,a2/ξ)處的源強(qiáng)為ma/ξ的虛擬汽泡點(diǎn)源，和一個(gè)從坐標(biāo)原點(diǎn)到(0,0,a2/ξ)點(diǎn)的源強(qiáng)密度為m/a的均勻線性匯，如圖9 所示。具體而言，根據(jù)Weiss 球定理可知球形顆粒產(chǎn)生的附加速度勢φ′為[15]：

圖9 Weiss 球定理鏡像法示意圖[15]Fig.9 The schematic of the mirror image method of Weiss ball theorem[15]

式中：r——表示流場中某點(diǎn)坐標(biāo)，r=(x,y,z)；

z′——積分變量，無物理意義。

將式（23）與式（66）聯(lián)立可得[15]

將式（67）代入式（25）、（29），并令r=r0可得[15]

式中：er——指向球形顆粒中心的方向向量。

將式（68）、（69）代入式（35）、（36）即可求得Kelvin 沖量。

6.2 結(jié)果分析

通過上述公式，Best 和Blake[15]計(jì)算了考慮浮力作用下的球形顆粒附近空化泡Kelvin 沖量，并分析了顆粒附近各點(diǎn)處的Kelvin 沖量方向。

定義一個(gè)圍繞球形顆粒的臨界表面Sa，在此臨界面上任意點(diǎn)處的空化泡Kelvin 沖量方向與球形顆粒相切。那么在這個(gè)臨界面以內(nèi)顆粒的Bjerknes 力對空化泡吸引作用足夠大，以至于最終Kelvin 沖量方向指向顆粒，相反在臨界面Sa以外的區(qū)域空化泡Kelvin 沖量方向?qū)⑦h(yuǎn)離顆粒。因此將面Sa內(nèi)的區(qū)域定義為“吸引區(qū)”[15]。

圖10 為無量綱半徑a=2的球形顆粒周圍吸引區(qū)示意圖，其中空化泡的無量綱浮力參數(shù)δ= 0.1[15]。如圖9 所示，吸引區(qū)表面Sa的上半部分近似均勻地包圍著顆粒，當(dāng)z→∞時(shí)，吸引區(qū)表面Sa在x-y坐標(biāo)面上的投影近似與顆粒投影重合。這是因?yàn)楫?dāng)z→∞時(shí)，顆粒對空化泡的Bjerknes吸引力趨于零，顆粒下方的空化泡主要受浮力作用，產(chǎn)生豎直向上指向顆粒的Kelvin 沖量[15]。

圖10 無量綱半徑a=2的顆粒周圍吸引區(qū)示意圖[15]Fig.10 The schematic of attraction area around spherical particles with dimensionless radiusa=2[15]

6.3 實(shí)驗(yàn)研究

Zhang等[21]通過高速攝影實(shí)驗(yàn)研究空化泡與球形顆粒的相互作用，對空化泡尺寸、顆粒尺寸以及空化泡 -顆粒間距離的變化進(jìn)行了一系列的研究。

圖11 為不同無量綱距離下顆粒附近空化泡動力學(xué)的實(shí)驗(yàn)圖像[21]。當(dāng)空化泡 -顆粒無量綱距離較小時(shí)，空化泡在潰滅期間將呈蘑菇型。由于空化泡與顆粒緊密接觸，在射流形成過程中，空化泡將分為兩部分：一部分靠近顆粒、一部分遠(yuǎn)離顆粒（子圖a）。當(dāng)空化泡 -顆粒無量綱距離中等時(shí)，空化泡在潰滅期間將呈梨形。在射流形成過程中，空化泡中間區(qū)域被擊穿，在側(cè)視圖中表現(xiàn)為對稱地分成兩部分（子圖b）。當(dāng)空化泡 -顆粒無量綱距離較大時(shí)，在射流形成過程中，空化泡仍保持近似球形。與前兩種情況相比，此時(shí)微射流強(qiáng)度要弱得多。隨后空化泡的反彈和二次潰滅過程也近似球形，并朝向顆粒輕微移動（子圖c）?？梢灶A(yù)見，隨著γ值的增大，顆粒的影響將逐漸減小直至消失[21]。

圖11 不同無量綱距離顆粒附近空化泡動力學(xué)實(shí)驗(yàn)圖像[21]Fig.11 Experimental images of cavitation dynamics near particles at different dimensionless distances[21]

圖11 不同無量綱距離顆粒附近空化泡動力學(xué)實(shí)驗(yàn)圖像[21]（續(xù)）Fig.11 Experimental images of cavitation dynamics near particles at different dimensionless distances[21]

除顆粒或壁面的單一邊界外，Zhang等[22,23]還研究了顆粒與壁面復(fù)合邊界與空化泡相互作用情況，通過詳實(shí)的高速攝影實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，探究了空化泡、顆粒和壁面間的相對位置對空化泡潰滅形態(tài)、射流行為的影響。基于微射流方向的不同，將顆粒與壁面間的空化泡潰滅行為定量劃分為三種情況，并揭示了其主要特征。圖 12 為不同空化泡 -顆粒無量綱距離γp和空化泡 -壁面無量綱距離γw下，顆粒和壁面之間空化泡動力學(xué)實(shí)驗(yàn)圖像[22]。情況1 對應(yīng)空化泡距離顆粒較遠(yuǎn)、距離壁面較近時(shí)，潰滅時(shí)產(chǎn)生朝向壁面的射流，并且空化泡朝壁面方向移動（子圖a）。情況2 對應(yīng)空化泡距離顆粒和壁面都較近時(shí)，潰滅過程中空化泡主體朝向壁面移動，但其與顆粒下表面保持接觸。潰滅后期空化泡分裂為兩部分，一部分產(chǎn)生朝向顆粒的射流，另一部分產(chǎn)生朝向壁面的射流（子圖b）。情況3 對應(yīng)空化泡距離顆粒較近、距離壁面較遠(yuǎn)時(shí)，空化泡潰滅時(shí)產(chǎn)生朝向顆粒的射流（子圖c）[22]。

張湘晴和張宇寧[23]利用240 000 幀/秒的高速相機(jī)對顆粒與壁面復(fù)合邊界附近的空化泡射流角度及其移動進(jìn)行了定量分析。圖13 為顆粒和壁面附近空化泡潰滅射流實(shí)驗(yàn)圖像，其中球形顆粒與空化泡中心保持水平且均位于固體壁面上方。如圖13 所示，空化泡潰滅時(shí)產(chǎn)生朝向壁面的細(xì)長射流，并在一定程度上向顆粒方向傾斜[23]。圖14 為射流角度θ隨無量綱參數(shù)α0的變化規(guī)律。其中，無量綱參數(shù)α0為空化泡 -顆粒無量綱距離與空化泡 -壁面無量綱距離間的比值，表征空化泡在固體壁面與顆粒附近的相對位置。如圖14 所示，隨著α0的增大，射流角度θ呈減小趨勢，說明顆粒對空化泡的影響越來越小，壁面對空化泡的影響越來越趨于主導(dǎo)作用[23]。由于壁面的影響，空化泡在潰滅過程沿顆粒表面向下發(fā)生顯著的移動，如圖15 所示，無量綱參數(shù)α0越大，空化泡在顆粒表面的移動弧度β越大[23]。

圖13 顆粒和壁面附近空化泡潰滅射流實(shí)驗(yàn)圖[23]Fig.13 The experimental image of bubble collapse jet near particle and wall[23]

圖14 射流角度θ 隨無量綱參數(shù) α0的變化規(guī)律[23]Fig.14 The variation law of jet angleθ with dimensionless parameter α0[23]

圖15 空化泡移動弧度β 隨無量綱參數(shù) α0的變化規(guī)律[23]Fig.15 The variation law of cavitation movement radian β with dimensionless parameter α0[23]

7 結(jié)論

本文對空化泡 -邊界相互作用的Kelvin 沖量理論及相應(yīng)的射流實(shí)驗(yàn)研究進(jìn)行了詳細(xì)的綜述。系統(tǒng)闡述了空化泡Kelvin 沖量理論公式及其推導(dǎo)過程、鏡像法的數(shù)理原理以及應(yīng)用，最后對多種邊界附近空化泡Kelvin 沖量計(jì)算和射流實(shí)驗(yàn)研究進(jìn)行了較詳盡的回顧，得出如下結(jié)論：

（1）對Blake等[11-14]提出的空化泡Kelvin沖量理論公式進(jìn)行了細(xì)致的推導(dǎo)與梳理，該理論在相應(yīng)假設(shè)條件下具備科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性；

（2）Best 和Blake[15]簡化的Kelvin 沖量理論通用計(jì)算模型對不同流場邊界具備較為廣泛的適用性。通過對鏡像法的應(yīng)用拓展，該模型可適用于更為復(fù)雜的邊界情況。

（3）理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對照表明，Kelvin 沖量的大小、方向與空化泡射流強(qiáng)度、方向基本對應(yīng)。在此基礎(chǔ)上，本文建議將Kelvin 沖量理論體系與空化泡高速攝影實(shí)驗(yàn)研究進(jìn)行深入的結(jié)合，作為解釋、預(yù)測空化泡動力學(xué)行為的一種重要理論方法。

（4）值得注意的是，Kelvin 沖量在推導(dǎo)過程中假設(shè)空化泡始終保持球形，因此運(yùn)用Kelvin 沖量理論對泡動力學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行預(yù)測或解釋時(shí)，應(yīng)保證空化泡 -邊界間的距離大于空化泡最大半徑。

致謝

感謝國家自然科學(xué)基金（51 976056；U1965106）資助項(xiàng)目為本研究過程提供的資助。