王浩森，王樹平，謝革英，師浩楠，范 虹

河北建筑工程學院理學院，河北 張家口 075000

物理是中學的重要課程，但是由于涉及大量的公式推導及計算而顯得比較枯燥、乏味。針對這些問題，教師通常采用講故事、利用生活用品做小實驗等方法來改善教學效果。隨著技術(shù)的進步，“微課”“慕課”“翻轉(zhuǎn)課堂”等現(xiàn)代化手段被大量應用?！拔⒄n”短小精悍，強于講解重點和難點，但是知識點過于細碎，難以形成系統(tǒng)的學習?！澳秸n”更適合大規(guī)模開放課程。在此基礎(chǔ)上發(fā)展起來的“翻轉(zhuǎn)課堂”變“先教后學”模式為“先學后教”模式，通過改變學習主體來提升學生的主動性。然而，在實際教學過程中，很多學生往往采取“刷課”（學生利用手機、電腦等播放教學視頻的同時，干與學習無關(guān)的其他事情）的形式，導致教學效果達不到預期。

近年來，“智慧教育”逐漸走進了中學課堂。“智慧教育”在課堂中主要通過師生間的互動提高學生的注意力，同時通過大數(shù)據(jù)分析了解學生對授課內(nèi)容的掌握程度，教學的針對性強。眾所周知，很多物理概念、定理比較抽象，學生很難完全理解?，F(xiàn)有的“智慧教育”手段是讓學生通過各種圖片、視頻等教學資料來學習各知識點。但是，這些資料的內(nèi)容有限，無法涵蓋學生思考過程中的所有可能情況。新興的“智慧教育”技術(shù)可以深入到物理教學中的具體知識點，提高具體知識點的教學效果。

電場和電勢是靜電場教學的重點和難點，由于其看不見摸不著，對于學生來說很抽象。教師通常采用演示實驗或者看圖片、視頻等手段加深學生的理解。比如，利用電流和電場的相似性的模擬法描繪靜電場。再比如，給學生展示一些電場和電勢分布的圖片。近年來，不少同行用Matlab等軟件對靜電場進行模擬，讓學生直觀地觀察電場和電勢的分布。然而，這些軟件或是對點電荷等過于簡單的場景直接模擬，或是使用成本很高的商業(yè)軟件，很難推廣應用?，F(xiàn)在大部分教師已具備本科甚至研究生學歷，已掌握一定的編程能力，很容易利用編程的方法模擬學生能想到的帶電體電場和電勢分布情形。但是，學生很難根據(jù)自己的想法修改這些程序。因此，這需要教師根據(jù)實際情況，利用編程定制針對性的教學輔助軟件，實現(xiàn)互動式“智慧教育”的深層應用，提高教學效果。比如，學生在電腦或手機上通過改變帶電體的形狀、位置、電量等參數(shù)，觀察電場和電勢的三維分布，可以加深學生對復雜帶電體電場和電勢分布的理解，從而提高他們學習物理的興趣。

下面，將詳述靜電場教學輔助軟件的制作方法，并展示幾種經(jīng)常遇到的電荷分布情況（多個點電荷場景、多條均勻帶電線段場景、多個均勻帶電球體場景和多個帶電球面場景）的電場和電勢分布的模擬結(jié)果。利用編程思想和方法，教師可以根據(jù)實際需要定制教學輔助軟件，實現(xiàn)物理教學中針對具體知識點講解的智慧教育深層應用，從而提升教學效果。

1 教學輔助軟件制作方法

基于數(shù)學、物理基礎(chǔ)知識，通過高級語言C、Fortran或者數(shù)學軟件Matlab、Mathematica等編程實現(xiàn)教學輔助軟件的制作。然后，利用Gui圖形化界面制作出可操作的交互界面。我們制作的軟件已申請軟件著作權(quán)，其交互界面如圖1所示。它采用Fortran編程，可計算出三維空間中各種復雜帶電體的電場和電勢數(shù)據(jù)。把這些數(shù)據(jù)導入繪圖軟件后，很容易生成電場和電勢的全空間分布圖。下面介紹其具體制作方法。

圖1 軟件操作界面

制作三維模擬軟件時，要確定模擬計算空間，并在其中劃分三維網(wǎng)格（圖2）。沿x，y和z三坐標軸方向確定劃分均勻網(wǎng)格，網(wǎng)格節(jié)點分別為x（i），i=0，1，2，…，N；y（j），j=0，1，2，…，N；z（k），k=0，1，2，…，N。 可根據(jù)待模擬的物理模型自由選擇均勻網(wǎng)格或漸進網(wǎng)格。其中，選用漸進網(wǎng)格模擬時，電場和電勢變化迅速的區(qū)域網(wǎng)絡(luò)更密，模擬結(jié)果更準確。而選用均勻網(wǎng)格時，網(wǎng)格間距都相同，更具普適性。為了模擬更有普適性的場景，這里選用均勻網(wǎng)格。在軟件制作過程中，僅計算每個網(wǎng)格節(jié)點的電場和電勢就可以描繪其全空間分布。

圖2 網(wǎng)格劃分示意圖

2 不同場景模型計算結(jié)果展示

2.1 多個點電荷場景

2.1.1 場景設(shè)計原理

首先，計算每個點電荷在全空間的電場和電勢分布。然后，根據(jù)電場和電勢的疊加原理，計算其在多個點電荷場景中的分布。下面，模擬由N個帶電量分別為 q（m）（m=1，2，…，N），位置坐標分別為[x'（m），y'（m），z'（m）]（m=1，2，…，N）的點電荷組成的全空間電場和電勢。其中，第m個點電荷在網(wǎng)格節(jié)點[x（i），y（j），z（k）]（i=0，1，2，…，N；j=0，1，2，…，N；k=0，1，2，…，N）產(chǎn)生的電場為

式中，ε和ε分別為真空介電常數(shù)和相對介電常數(shù)。 r為從點電荷位置[x'（m），y'（m），z'（m）]到節(jié)點[x（i），y（j），z（k）]的向量。 根據(jù)電場疊加原理，可得N個點電荷在任意節(jié)點的電場為

2.1.2 場景應用實例

按照上述方法，可得多個點電荷場景的電場和電勢全空間分布，結(jié)果如圖3所示。該場景包含3個電荷量為1 C的點電荷，x，y和z方向的計算范圍都是從-3 m至3 m，各方面的節(jié)點總數(shù)N，N，N都是 100 個，其坐標分別為（1，0，0），（-1，0，0）和（0，0，1）。 整個體系相對介電常數(shù)為 1。 圖3（a）為xz平面的電場分布，箭頭表示電場方向。電場對 lg[|E（i，j，k）|]的量值用不同顏色表示，從藍色到紅色逐漸增大。圖3（b）是xz平面的電勢分布。在教學過程中，學生往往憑空想象該場景的電場和電勢分布。但是，通過該教學輔助軟件，學生可以清晰地觀察多電荷場景下電場和電勢的空間分布，更容易理解點電荷之間的相互作用。

圖3 多個點電荷場景

2.2 多條均勻帶電線段場景

2.2.1 場景設(shè)計原理

首先，用微積分的思想，把帶電線段看作一系列點電荷的疊加。然后，根據(jù)電場和電勢的疊加原理，計算多個點電荷場景的分布。下面，模擬N個帶電量分別為 q（m）（m=1，2，…，N）的均勻帶電線段場景。線段在三維空間中的參數(shù)方程為

式中，[x'（m），y'（m），z'（m）]表示帶電線段所在位置，x'（m），y'（m），z'（m），a（m），a（m），a（m）是參數(shù)方程的參數(shù)。 右邊的 t（m）∈[t（m），t（m）]，其邊界值t（m）和t（m）可以確定第m條線段的端點。

把第m條線段平均分為N（m）等份，每一份可以看作是一個點電荷，t（m）可取值為

2.2.2 場景應用實例

假設(shè)多條均勻帶電線段場景中包含2條均勻帶電線段，電荷量均為1 C，相對介電常數(shù)為1。x，y和z方向的計算范圍都是從-3 m至3 m，節(jié)點總數(shù) N，N，N都為 50 個。 2 條線段的 x'（m），y'（m），z'（m），a（m），a（m），a（m），t（m），t（m）參數(shù)分別是（0，0，0，1，1，-1，-1、1）和（1，0，0，1、1、1、0、1），其空間形態(tài)如圖 4 所示。 圖 5（a）和圖5（b）為xy平面的電場分布和電勢分布。這些模擬把枯燥的計算公式展現(xiàn)為形象的三維分布圖，方便學生理解公式的內(nèi)涵和重要性，最終明顯提高了學生的學習興趣。

圖4 場景示意圖

圖5 多條均勻帶電線段場景

2.3 多個均勻帶電球體與球面場景

2.3.1 場景設(shè)計原理

首先，計算每個均勻帶電球體在全空間的電場和電勢分布。然后，根據(jù)電場和電勢的疊加原理，計算其在多個均勻帶電球體場景中的分布。下面，模擬由N個帶電量和半徑分別為q（m）和R（m=1，2，…，N），球心位置為[x'（m），y'（m），z'（m）]（m=1，2，…，N）的均勻帶電球體組成的全空間電場和電勢。由高斯定理，第m個均勻帶電球體在網(wǎng)格節(jié)點[x（i），y（j），z（k）]產(chǎn)生的電場為

式中球心到網(wǎng)格節(jié)點的矢量r=[x（i）-x'(m)]e+[y（j）-y'（m）]e+[z（k）-z'（m）]e。 將式（8）代入式（2）可得該場景中電場分布。

第 m 個均勻帶電球體在網(wǎng)格節(jié)點[x（i），y（j），z（k）]產(chǎn)生的電勢為

將式（9）代入式（4）可得該場景中電勢分布。

球面場景與球體類似，在這里不再闡述。

2.3.2 場景應用實例

多個均勻帶電球體場景中，電場和電勢的模擬結(jié)果如圖6所示。該場景中包含2個電荷量均為1 C，半徑為1 m的均勻帶電球體，x，y和z方向的計算范圍均是從-3 m至3 m，節(jié)點數(shù)均為100個。 球心坐標分別為（2，0，0）和（0，0，2），相對介電常數(shù)為1。圖6（a）是xz平面的電場分布，顏色代表電場對數(shù)值 lg[|E（i，j，k）|]的大小，箭頭表示電場方向。圖6（b）為xz平面的電勢分布。

圖6 多個均勻帶電球體場景

多個均勻帶電球面場景中，電場和電勢的三維模擬圖如圖7所示。該場景包含2個電荷量均為1 C、半徑為1 m的均勻帶電球面，x，y和z方向的計算范圍均是從-3 m至3 m，節(jié)點數(shù)均為100個。球心坐標分別為（2，0，0）和（-2，0，0）。整個體系的相對介電常數(shù)為1。圖7（a）為xy平面的電場分布，其中顏色代表電場對數(shù)值的大小，箭頭表示電場方向。圖7（b）為xy平面的電勢分布。

圖7 多個均勻帶電球面場景

3 教學應用

現(xiàn)在，有不少學生特別重視物理問題的高分做題技巧，而往往忽略了物理問題的內(nèi)涵。物理課教學的目的并非是做題或考試，而是讓學生理解物理的概念、理論和方法，培養(yǎng)其形象思維、抽象思維和邏輯推理能力。同時，為學生學習后續(xù)專業(yè)課程和實際工作提供知識儲備。文章探究內(nèi)容對應人教版高中物理第九章第3節(jié)“電場和電場強度”和第十章第1節(jié)“電勢能和電勢”。因為兩者編程類似，所以一起制作。學生在學習靜電學時，可以利用教師制作的教學輔助軟件，根據(jù)自己的想法模擬不同場景下電場和電勢的三維分布情況，形成更準確的物理圖像。

4 結(jié)論

提出了一種在物理教學中將“智慧教育”深入到具體知識點的教學方法，并以靜電場分布為例詳述了具體實施過程。在靜電場教學中，根據(jù)學生情況制作教學輔助軟件，模擬了四種場景下的靜電場和電勢的三維空間分布，使學生形成更準確的物理圖像。文章詳細闡述制作軟件的方法，希望更多的老師結(jié)合每堂課的知識點和學生的實際情況靈活借鑒，并制作適合自己學生的應用軟件。