張博宇， 張 偉

(北京工業(yè)大學(xué) 材料與制造學(xué)部機(jī)械結(jié)構(gòu)非線性振動與強(qiáng)度北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124)

雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)是由多層纖維增強(qiáng)材料鋪設(shè)而成，是具有兩種不同穩(wěn)定狀態(tài)的復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)。在機(jī)械力、智能材料、溫度場等外載荷驅(qū)動下，可由一種穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N穩(wěn)態(tài)，并且無需持續(xù)的能量輸入即可維持穩(wěn)定構(gòu)型。Hyer[1]最早發(fā)現(xiàn)非對稱正交鋪設(shè)圓柱殼結(jié)構(gòu)具有雙穩(wěn)態(tài)特性。Daton-Lovett[2]發(fā)現(xiàn)反對稱鋪設(shè)的復(fù)合材料圓柱殼結(jié)構(gòu)也能夠呈現(xiàn)出規(guī)則圓柱狀的兩種穩(wěn)態(tài)，引起了國內(nèi)外諸多學(xué)者的廣泛關(guān)注。雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)作為基礎(chǔ)制造而成的產(chǎn)品在實(shí)際使用過程中不可避免地會受到周圍變化的環(huán)境(例如溫度和濕度等)的影響，使雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)加工成型后不同穩(wěn)態(tài)的結(jié)構(gòu)形狀尺寸以及不同穩(wěn)態(tài)間的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變過程發(fā)生改變，使得近年來眾多學(xué)者對溫度和濕度對雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的影響進(jìn)行研究。

復(fù)合材料從應(yīng)用性質(zhì)可分為功能和結(jié)構(gòu)復(fù)合材料兩大類。功能復(fù)合材料主要具有特殊功能，目前已在航空航天、船舶海洋、石油化工、機(jī)械工程等方面得到了廣泛應(yīng)用[3]。結(jié)構(gòu)復(fù)合材料[4]是由增強(qiáng)物和基體組成，將增強(qiáng)材料按照一定方式加入到基底材料，具有明顯的非均勻性和各向異性性質(zhì)，從而克服單一材料性能的某些缺點(diǎn)，以獲得具有特殊力學(xué)性能的一類新型材料。增強(qiáng)物起著承受載荷的主要作用，其幾何形式有長纖維、短纖維和顆粒狀物等多種?；w起著黏結(jié)、支持、保護(hù)增強(qiáng)物和傳遞應(yīng)力的作用，常采用橡膠、石墨、樹脂、金屬和陶瓷等。

纖維增強(qiáng)復(fù)合材料是一種高功能材料，它在力學(xué)性能、物理性能和化學(xué)性能等方面都明顯優(yōu)于單一材料，表現(xiàn)出高比模量、高比剛度、耐磨損和耐腐蝕等特性。復(fù)合材料層合板強(qiáng)大的可設(shè)計性，為振動性能設(shè)計提供了極大潛力，使其在航空、航天和船舶等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。在航空航天領(lǐng)域上，目前已經(jīng)有越來越多的部件采用纖維增強(qiáng)樹脂基復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)，所以對復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)的研究和開發(fā)已從單純減輕重量角度，發(fā)展到了綜合考慮減重、增加使用壽命和承載能力等多種復(fù)雜因素的層面。這些結(jié)構(gòu)在使用過程中也會因各種實(shí)際復(fù)雜服役環(huán)境表現(xiàn)出各種非線性振動問題而影響設(shè)備的功能使用。振動問題產(chǎn)生的可能原因有結(jié)構(gòu)設(shè)計缺陷、制造誤差和安裝誤差等，所以有必要從復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)振動特性的理論研究出發(fā)分析實(shí)際振動問題產(chǎn)生的本質(zhì)機(jī)理。因此，研究復(fù)合材料層合板的振動特性工程意義極為重大，受到廣大科學(xué)工作者的高度重視。

按照纖維增強(qiáng)復(fù)合材料層合板鋪層方式，可將其劃分為正交鋪設(shè)、反對稱鋪設(shè)和一般角鋪設(shè)三種類型。對于正交鋪設(shè)復(fù)合材料層合板的研究，Harras等[5]研究了固支對稱復(fù)合材料層合板的幾何非線性自由振動，分析了非線性特性對共振頻率和非線性低階模態(tài)的影響。段紀(jì)成[6]討論了正交各向異性層合板的彎曲與振動，建立了彎曲與振動的控制方程與邊界條件。胡浩等[7]分析了幾何非線性黏彈性正交各向異性對稱鋪設(shè)的層合矩形板的非線性動力響應(yīng)問題，得到了含有時間變量的非線性微積分方程。Leung等[8]利用三階剪切變形理論，研究了四邊簡支條件下對稱鋪設(shè)的復(fù)合材料層合板非線性動力學(xué)行為。Ye等[9]研究了正交對稱鋪設(shè)的復(fù)合材料層合板在參數(shù)激勵作用下的非線性振動和混沌運(yùn)動，用攝動分析法對系統(tǒng)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)了系統(tǒng)的周期和混沌運(yùn)動。Guo等[10-16]利用Reddy的高階剪切板理論研究了二自由度和三自由度正交對稱鋪設(shè)復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)，受面外和面內(nèi)激勵聯(lián)合作用的非線性動力學(xué)特性及全局動力學(xué)與混沌運(yùn)動。

由于反對稱鋪設(shè)的復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)常被應(yīng)用在直升飛機(jī)旋翼的設(shè)計中，對其非線性振動特性的研究也在不斷增多。Swaminathan等[17]用改進(jìn)的高階剪切板理論得到了反對稱鋪設(shè)復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)靜態(tài)分析的解析解。Huang等[18]研究了在濕熱作用下剪切變形的反對稱鋪設(shè)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的非線性振動和響應(yīng)，用高階剪切理論和von Karman變形理論，得到了系統(tǒng)的運(yùn)動方程，分析了溫度，濕度變化和非線性因素等對固有頻率和振動響應(yīng)的影響。Nath等[19]研究了彈性地基上反對稱鋪設(shè)復(fù)合材料方板受到橫向連續(xù)載荷和階躍載荷作用的靜態(tài)和動態(tài)性能。Soula等[20]利用經(jīng)典層合板理論、一階剪切變形理論和三階剪切變形理論研究了考慮阻尼影響的復(fù)合材料層合板的動力學(xué)特性。同年，Aagah等[21]利用三階剪切變形理論研究了復(fù)合材料層合板的自由振動特性。Swaminathan等[22-23]用各種高階剪切簡化理論和數(shù)值模型對反對稱角鋪設(shè)復(fù)合材料層合板進(jìn)行了靜力分析。Swaminathan等[24]又用高階剪切變形理論計算了反對稱角鋪設(shè)復(fù)合材料層合板自由振動的固有頻率，指出Reddy的高階剪切理論得到的固有頻率比實(shí)際值偏高。

對于一般非對稱角鋪設(shè)層合結(jié)構(gòu)的動力學(xué)性能研究，Matsunaga[25-26]討論了角鋪設(shè)復(fù)合材料層合板的熱屈曲問題并利用二維廣義的高階剪切變形理論研究了自由振動和穩(wěn)定性問題。Weaver等[27]描述了非對稱鋪設(shè)復(fù)合材料層合板的大幅分叉現(xiàn)象，用[0°/90°]兩層的復(fù)合材料板驗(yàn)證了發(fā)生大幅分叉過程中能量的傳遞和結(jié)構(gòu)的變形情況。Guo等[28-29]研究了角鋪設(shè)復(fù)合材料層合板在1∶1內(nèi)共振情況下非線性振動的周期和混沌運(yùn)動。Honda等[30]研究了短纖維和彎曲纖維增強(qiáng)復(fù)合材料層合板振動特性，考慮了由于短纖維引起的材料局部各向異性。

本文在經(jīng)典殼理論的基礎(chǔ)上，考慮溫度和濕度的影響，建立了反對稱正交鋪設(shè)雙穩(wěn)態(tài)扁殼非線性動力學(xué)模型。再應(yīng)用Galerkin方法對系統(tǒng)偏微分運(yùn)動控制方程進(jìn)行三階離散，得到了雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)在主共振Ω接近于ω1，內(nèi)共振為1∶2∶2條件下外激勵幅值變化對反對稱正交鋪設(shè)條件下雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性的影響規(guī)律。

1 反對稱正交鋪設(shè)雙穩(wěn)態(tài)扁殼的動力學(xué)控制方程

反對稱正交鋪設(shè)層合結(jié)構(gòu)是由正交各向異性單層結(jié)構(gòu)的材料主方向與坐標(biāo)軸夾角成0°和90°交錯鋪設(shè)而成，剛度系數(shù)具有以下關(guān)系：(Q11)0°=(Q22)90°,(Q22)0°=(Q11)90°及Q16=Q16=0。因此有：A11=A22,A16=A26=D16=D26=B16=B26=0, 且可證明B12=B66,B22=-B11。選擇4層[0°/90°/0°/90°]作為鋪設(shè)方式，模型在激振器激發(fā)振動下可以得到兩個穩(wěn)定狀態(tài)，如圖1所示。使用玻璃纖維和環(huán)氧樹脂基底作為制作材料，單層厚度為0.185 mm，其余材料參數(shù)如表1所示。

(a) 第一個平衡位置

(b) 第二個平衡位置圖1 雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)受激振器作用的模型圖Fig.1 Model diagram of bistable structure under the action of exciter

表1 S1002單層材料參數(shù)Tab.1 Single layer material parameters of S1002

在經(jīng)典層合殼理論的基礎(chǔ)上，考慮濕熱環(huán)境的影響，推導(dǎo)出濕熱環(huán)境下反對稱正交鋪設(shè)雙穩(wěn)態(tài)殼的動力學(xué)控制方程。首先，在濕度和溫度變化的環(huán)境中，單層殼材料主方向產(chǎn)生的應(yīng)力為

(1)

式中:α為材料的熱膨脹系數(shù)；β為材料的濕膨脹系數(shù)。

反對稱正交鋪設(shè)復(fù)合材料的內(nèi)力N和內(nèi)力矩M的表達(dá)式可寫作如下形式

(2)

式中:Aij為面向內(nèi)力與中面應(yīng)變有關(guān)的剛度系數(shù)，統(tǒng)稱為拉伸剛度矩陣；Bij為彎曲、拉伸之間的耦合剛度矩陣；Dij為內(nèi)力矩與曲率及扭曲率有關(guān)的剛度系數(shù)，統(tǒng)稱為彎曲剛度矩陣。

將式(1)代入式(2)中，可以得到

(3)

式中:NT、MT分別為由溫度產(chǎn)生的熱內(nèi)力和熱內(nèi)力矩；NH、MH分別為由濕度產(chǎn)生的濕內(nèi)力和濕內(nèi)力矩。

(4a)

(4b)

則中面產(chǎn)生的應(yīng)變和曲率可以表達(dá)為

(5)

其中，由溫度和濕度產(chǎn)生的應(yīng)變和曲率為

(6a)

(6b)

采用經(jīng)典非線性扁殼理論和馮卡門大變形理論，應(yīng)用Donnell圓柱殼中面的非線性幾何方程

(7a)

(7b)

(7c)

式中:u0,v0,w分別為圓柱殼中面上的點(diǎn)沿x,y,z方向上的位移；Rx,Ry分別為圓柱殼沿x,y方向上的初始截面曲率半徑。

由于扁殼振動的主要方向是橫向撓度，因此忽略面內(nèi)的慣性。由于幾何方程中面內(nèi)位移與橫向位移之間存在耦合，故需引入相容方程以組成完整的方程組。平面應(yīng)力狀態(tài)下的雙曲扁殼的相容方程表達(dá)式為

(8)

扁殼振動理論中獨(dú)立的內(nèi)力分量有六個：Nx、Ny、Nxy、Mx、My、Nxy，消去剪切力Nx、Qy后，可以得到3個動力平衡方程

(9a)

(9b)

(9c)

式中:F為殼所受的外激勵;γ為阻尼系數(shù)。3個內(nèi)力分量Nx、Ny、Nxy，可用艾雷應(yīng)力函數(shù)按下列方式加以聯(lián)系

(10a)

(10b)

(10c)

將式(7)代入式(8)中，可使動力平衡方程式(9a)和式(9b)自動滿足。再聯(lián)立式(3)與式(10)，可求得用Pij表示的中面應(yīng)變表達(dá)式

(11a)

(11b)

(11c)

可知，此時面內(nèi)、面外位移之間完成解耦，則非線性偏微分系統(tǒng)可以僅由橫向位移w(x,y,t)和應(yīng)力函數(shù)Φ(x,y,t)表示。再將內(nèi)力和內(nèi)力矩的簡化式(2)和中面應(yīng)變表達(dá)式(7)代入到動力平衡方程式(9c)中，可得

(12)

代入相容方程式(8)中可得

(13)

在模態(tài)疊加法的討論中，連續(xù)系統(tǒng)的解可寫作全部模態(tài)函數(shù)的線性組合。由于模型的邊界條件為四邊自由，中心固定支撐。因此，所選的形函數(shù)不需要滿足任何幾何邊界條件，則沿z方向的位移形函數(shù)表示如下

(14)

式中,Wij(t)為廣義坐標(biāo);wij(x,y)為系統(tǒng)的模態(tài)函數(shù)。下角標(biāo)i=0,1，…，M，j=0,1，…，N，所有形函數(shù)項均為非零的三角函數(shù)的組合運(yùn)算，其中M=4I+1，M×N即為近似時選取的自由度數(shù)。

由于所建模型為扁殼結(jié)構(gòu)，且橫向位移和應(yīng)力函數(shù)所定義的區(qū)域相同，因此假定它們可以以相同的形函數(shù)wij(x,y)進(jìn)行展開。取橫向位移w、應(yīng)力函數(shù)Φ的振型函數(shù)形式如下所示

(15a)

(15b)

式中,Wij、Fmn分別為橫向位移w、應(yīng)力函數(shù)Φ的廣義坐標(biāo)，代入動力平衡方程式(12)中有

(16)

代入相容方程式(13)中有

(17)

式中:()′=?/?x;()*=?/?y。

2 伽遼金離散

取λi=(πi)/L,γj=(πj)/L。將平衡方程式(16)兩邊同乘wab(x,y)，并在面積上積分

(18)

兩邊同除(ρhL2)/4，得到平衡方程式為

Ψab(Tkl+Cpq)=Fab

(19)

式中：

對相容方程式(17)的兩邊同乘wmn(x,y)，并在面積上積分有

(20)

令Fmn前系數(shù)為1，可得

(21)

將式(21)代入式(19)，可以得到最后的振動微分方程表達(dá)式為

Ψab(Tab+Cab)=Fab

(22)

為書寫方便，后續(xù)將撓度方向的位移wn改寫為xn，ζn為系統(tǒng)的阻尼參數(shù)，ωn為系統(tǒng)的固有頻率之一；Mn為各個平方非線性項前的系數(shù)。

3 內(nèi)共振1∶2∶2時的攝動分析

為了分析主共振，使強(qiáng)迫項的量階與非線性項和阻尼項一起出現(xiàn)在同一個攝動方程中，引入與振幅有關(guān)的、無量綱的小參數(shù)ε。代入式(22)得系統(tǒng)的非線性動力學(xué)方程

εm4x1x2+εm5x1x3+εm6x2x3+ε(ΔT+ΔC)=

εf1cos(Ωt)

(23a)

εm10x1x2+εm11x1x3+εm12x2x3+ε(ΔT+ΔC)=

εf2cos(Ωt)

(23b)

εm16x1x2+εm17x1x3+εm18x2x3+ε(ΔT+ΔC)=

εf3cos(Ωt)

(23c)

根據(jù)ε的任意性，式中ε同次冪的系數(shù)必然自行平衡，從而得到如下方程組

ε0階

(24a)

(24b)

(24c)

ε1階

ΔC+f2cos(Ωt)

(25b)

ΔT+ΔC+f3cos(Ωt)

(25c)

由于式(24)的解依賴于參數(shù)ε，從而將解展開為一次近似解一致展開式

x1(t;ε)=x10(T0,T1)+εx11(T0,T1)

(26a)

x2(t;ε)=x20(T0,T1)+εx21(T0,T1)

(26b)

x3(t;ε)=x30(T0,T1)+εx31(T0,T1)

(26c)

由于式(24)是一個線性常微分方程，因此通解可以表示為

(27a)

(27b)

(27c)

將式(27)代入式(25)中，得

ΔC+cc+NST

(28a)

ΔC+cc+NST

(28b)

ΔC+cc+NST

(28c)

式中:cc為前面項的復(fù)共軛項;NST為不產(chǎn)生長期項的所有項。

同時利用有限元軟件ABAQUS對圖1的模型進(jìn)行仿真建模和數(shù)值分析，對比結(jié)果如表2所示。從表2可知，反對稱鋪設(shè)雙穩(wěn)態(tài)層合扁殼前6階固有頻率值的理論與數(shù)值模擬對比結(jié)果的平均誤差率僅為0.197%，可知理論解與仿真結(jié)果具有良好的一致性，進(jìn)而驗(yàn)證了理論方法應(yīng)用在雙穩(wěn)態(tài)線性系統(tǒng)上的可行性。

表2 反對稱鋪設(shè)雙穩(wěn)態(tài)扁殼固有頻率值的理論值與有限元對比Tab.2 Comparison between theoretical value and finite element method of natural frequency value of antisymmetric bistable shallow shell

由線性系統(tǒng)的固有頻率可知，雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中第3～第5階存在1∶2∶2內(nèi)共振關(guān)系。在主共振Ω接近ω1的前提下，令Ω=ω1+εσ1,ω2=2ω1+εσ2,ω3=2ω1+εσ3,其中σ1、σ2、σ3為調(diào)諧參數(shù)，將其代入式(28)其可解性條件為

(29a)

(29b)

(29c)

此時引進(jìn)極進(jìn)式符號，令A(yù)n=(aneiθn)/2，并將所得結(jié)果分為實(shí)部和虛部，得到

(30c)

(30d)

(30e)

(30f)

式中：

γ1=θ2-2θ1+σ2T1

(31a)

γ2=θ3-2θ1+σ3T1

(31b)

γ3=σ1T1-θ1

(31c)

消去θ1和θ2，得到極坐標(biāo)下的平均方程

(32a)

(32b)

(32c)

(32d)

(32e)

(32f)

令A(yù)1=x1+ix2,A2=x3+ix4,A3=x5+ix6。同時代入式(29)的條件中，得到直角坐標(biāo)的平均方程，形式如下

(33c)

(33d)

(33e)

(33f)

4 內(nèi)共振1∶2∶2時的分叉和混沌動力學(xué)分析

通過雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)在溫度為30 ℃，濕度為60%RH的條件下，主共振Ω接近于ω1和1∶2∶2內(nèi)共振結(jié)合的情況下的直角坐標(biāo)平均方程式(33a)～式(33f)，利用數(shù)值方法分析雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)隨外激勵改變而發(fā)生的非線性動力學(xué)行為特性。

首先給定初始條件為x1=0.1,x2=0.24,x3=0.15,x4=0.26,x5=0.13,x6=0.28,其他參數(shù)取值為μ1=0.25,μ2=0.12,μ3=0.2,m4=5.8,m5=3.4,m7=2.5,m13=1.2,ΔT=0.025, ΔC=0.065。在直角坐標(biāo)平均方程中，f1為與外激勵相關(guān)的參數(shù)，這里選定f1為控制參數(shù)來研究系統(tǒng)受到外激勵影響的非線性動力學(xué)特性。

反對稱正交鋪設(shè)的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)第1階和第2階模態(tài)的分叉圖，如圖2和圖3所示。橫坐標(biāo)軸表示的是與外激勵有關(guān)的f1的變化，縱坐標(biāo)軸表示的是與系統(tǒng)第1階和第2階振幅相關(guān)的x1和x3的變化。隨著外激勵的增大，該系統(tǒng)的分叉圖出現(xiàn)明顯的上下振動現(xiàn)象，這表明反對稱鋪設(shè)雙穩(wěn)態(tài)層合圓柱殼的非線性動力學(xué)行為表現(xiàn)出雙穩(wěn)態(tài)的基本特征。在f1∈[6.5,7.3]的區(qū)間內(nèi)，雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)一直處于倍周期狀態(tài)之中。在f1∈[7.3,8.5]的區(qū)間內(nèi)，雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)處于混沌運(yùn)動當(dāng)中，振幅不斷擴(kuò)大。

圖2 反對稱正交鋪設(shè)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)第1階模態(tài)的分叉圖Fig.2 Bifurcation diagram of first-order modal of cross-ply laying bistable system

圖3 反對稱正交鋪設(shè)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)第2階模態(tài)的分叉圖Fig.3 Bifurcation diagram of second-order modal of cross-ply laying bistable system

反對稱正交鋪設(shè)的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的最大李雅普諾夫指數(shù)圖，如圖4所示。橫坐標(biāo)軸表示的是與外激勵有關(guān)的f1的變化，縱坐標(biāo)軸表示的是最大李雅普諾夫指數(shù)。從圖4可知，在f1接近6.8左右的區(qū)間內(nèi)，最大李雅普諾夫指數(shù)小于零，當(dāng)在f1的其余區(qū)間內(nèi)，最大李雅普諾夫指數(shù)一直大于零，說明雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)一直處于混沌狀態(tài)之中。下面將選定f1的取值，給出不同外激勵值下系統(tǒng)的波形圖、相圖、龐加萊截面圖以及頻譜圖。

圖4 反對稱正交鋪設(shè)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)最大李雅普諾夫指數(shù)圖Fig.4 The maximum Lyapunov exponent diagram of cross-ply laying bistable system

選定不同外激勵f1的參數(shù)值時對應(yīng)系統(tǒng)運(yùn)動的相圖、時間歷程圖、Poincaré截面圖和頻譜圖,如圖5～圖8所示。在各圖中，圖(a)和圖(b)分別為在空間(x4,x5,x6)上的三維相圖和(t,x5)上的時間歷程圖，圖(c)和圖(d)分別為空間(x1,x2,x3)上的三維相圖和二維平面(x1,x2)的二階模態(tài)相圖，圖(e)和圖(f)分別為在二維平面(x1,x2)上的Poincaré截面和頻譜圖。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)圖5 f1=7.5時系統(tǒng)的混沌運(yùn)動Fig.5 Chaotic motion when f1=7.5

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)圖6 f1=7時系統(tǒng)的周期運(yùn)動Fig.6 The periodic motion when f1=7

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(d)

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(f)圖7 f1=8時系統(tǒng)的混沌運(yùn)動Fig.7 Chaotic motion when f1=8

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(f)圖8 f1=8.5時系統(tǒng)的混沌運(yùn)Fig.8 Chaotic motion when f1=8.5

當(dāng)f1=7.5時，由圖5可知，系統(tǒng)發(fā)生了混沌現(xiàn)象。系統(tǒng)的相圖軌跡雜亂密集并且明顯有界，頻譜圖中出現(xiàn)了連續(xù)譜，龐加萊映射中出現(xiàn)無數(shù)映射點(diǎn)，最大李雅普諾夫指數(shù)大于零，這些都說明此時系統(tǒng)中發(fā)生了混沌運(yùn)動。

當(dāng)f1=7時，由圖6可知，系統(tǒng)發(fā)生了周期現(xiàn)象。系統(tǒng)的二維、 三維相圖中呈現(xiàn)出環(huán)狀稠密軌道，龐加萊映射中出現(xiàn)密集映射點(diǎn)，頻譜圖是離散譜，且最大李雅普諾夫指數(shù)接近于零。由圖6的這些特征可判斷，此時系統(tǒng)發(fā)生了概周期運(yùn)動。

當(dāng)f1=8時系統(tǒng)的運(yùn)動特性，系統(tǒng)的相圖軌跡雜亂密集并且明顯有界，頻譜圖中出現(xiàn)了連續(xù)譜，龐加萊映射中出現(xiàn)無數(shù)映射點(diǎn)，最大李雅普諾夫指數(shù)大于零，這些都說明此時系統(tǒng)中發(fā)生了混沌運(yùn)動(見圖7)。

當(dāng)f1=8.5時系統(tǒng)的運(yùn)動特性，系統(tǒng)的相圖軌跡雜亂密集并且明顯有界，波形圖表明系統(tǒng)運(yùn)動具有隨機(jī)特征，頻譜圖中出現(xiàn)了連續(xù)譜，龐加萊映射中出現(xiàn)無數(shù)映射點(diǎn)，最大李雅普諾夫指數(shù)大于零，這些都說明此時系統(tǒng)中發(fā)生了混沌運(yùn)動(見圖8)。

5 結(jié) 論

本文對濕熱環(huán)境下的反對稱正交鋪設(shè)雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行了非線性動力學(xué)建模和非線性動力學(xué)分析。得出以下主要結(jié)論：

(1) 在經(jīng)典殼理論的基礎(chǔ)上，考慮溫度和濕度的影響，在本構(gòu)方程中加入熱膨脹系數(shù)和濕膨脹系數(shù)。

(2) 聯(lián)立相容方程和動力平衡方程以建立模型，得到了反對稱正交鋪設(shè)雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)的偏微分運(yùn)動控制方程。最后應(yīng)用Galerkin方法對系統(tǒng)偏微分運(yùn)動控制方程進(jìn)行三階離散，得到了三自由度的常微分運(yùn)動控制方程。

在溫度為30 ℃，濕度為60%RH的條件下進(jìn)行了多尺度分析和攝動分析，得到了1∶2∶2內(nèi)共振條件下的反對稱鋪設(shè)雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)的非線性動力學(xué)響應(yīng)。由系統(tǒng)分叉圖可知，反對稱正交鋪設(shè)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)存在周期和混沌等典型非線性現(xiàn)象。取一定的參數(shù)值，利用相圖、時間歷程圖、頻譜、龐加萊映射、最大李雅普諾夫指數(shù)分析了系統(tǒng)的具體運(yùn)動狀態(tài)，說明激勵對雙穩(wěn)態(tài)模型的動力學(xué)特性有顯著影響。