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        決策蘊(yùn)涵與可變決策蘊(yùn)涵上的推理規(guī)則研究

        2022-10-16 05:51:10薛東前翟巖慧張少霞李德玉徐偉華
        計算機(jī)與生活 2022年10期
        關(guān)鍵詞:語義規(guī)則研究

        薛東前,翟巖慧,2+,張少霞,李德玉,2,徐偉華

        1.山西大學(xué) 計算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院,太原030006

        2.山西大學(xué) 計算智能與中文信息處理教育部重點實驗室,太原030006

        3.西南大學(xué) 人工智能學(xué)院,重慶400715

        形式概念分析(formal concept analysis)是德國Wille 教授1982 年提出的從形式背景建立概念格來進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的有效數(shù)學(xué)工具,其核心概念為形式背景、形式概念與概念格。形式概念分析通過概念格所展現(xiàn)出的概念之間的特化與泛化關(guān)系,揭示了數(shù)據(jù)表的內(nèi)在結(jié)構(gòu),發(fā)現(xiàn)了對象與屬性之間的依賴關(guān)系。目前,形式概念分析已被廣泛地研究,并應(yīng)用到關(guān)聯(lián)分析、推薦系統(tǒng)、屬性約簡以及基于概念的認(rèn)知學(xué)習(xí)等相關(guān)領(lǐng)域中。

        形式概念分析對知識獲取的研究就是對蘊(yùn)涵的研究。由于形式背景中得到的蘊(yùn)涵數(shù)量往往很龐大,Qu等提出了決策蘊(yùn)涵。決策蘊(yùn)涵是在決策情形下的蘊(yùn)涵,反映了條件屬性和決策屬性間的決策關(guān)系。Zhai等從語義方面給出了決策蘊(yùn)涵的閉包、一致閉包等相關(guān)概念,并對-推理規(guī)則的完備性進(jìn)行了討論;提出了合并推理規(guī)則,證明了擴(kuò)增推理規(guī)則與合并推理規(guī)則相對于決策蘊(yùn)涵語義層面的完備性,即給定一個完備集,可以通過擴(kuò)增推理規(guī)則和合并推理規(guī)則從完備集中推導(dǎo)出對應(yīng)的封閉集。在此基礎(chǔ)上,賈楠等提出了新的推理規(guī)則:合并推理規(guī)則。相比于合并推理規(guī)則,合并推理規(guī)則形式上更加簡潔,并證明了合并推理規(guī)則是合理的,并且該推理規(guī)則與擴(kuò)增推理規(guī)則組成的推理規(guī)則集是完備且無冗余的。

        上文研究僅僅考慮了確定條件下屬性蘊(yùn)涵,針對不確定條件的情況,Zaki等研究了關(guān)聯(lián)規(guī)則的語義,Balcázar提出了標(biāo)準(zhǔn)冗余、普通冗余和基于閉包冗余等概念,并且在此基礎(chǔ)上提出了基于普通冗余的推理規(guī)則以及基于閉包冗余的推理規(guī)則?;谶@些研究,Zhai等在不精確條件下對決策蘊(yùn)涵進(jìn)行了拓展,提出了可變決策蘊(yùn)涵,從邏輯層面研究了可變決策蘊(yùn)涵的語義和語構(gòu)特征。在語構(gòu)方面,文獻(xiàn)[22]提出了四條推理規(guī)則,并且證明了其中三條推理規(guī)則“有效度收縮推理規(guī)則”“有效度提升推理規(guī)則”和“置空推理規(guī)則”相對于可變決策蘊(yùn)涵的語義是合理的和完備的。另外,Zhang等考慮了其他知識表示形式,如概念規(guī)則和粒規(guī)則,討論了這些知識表示形式與決策蘊(yùn)涵之間的關(guān)系。Zhai等進(jìn)一步研究了模糊決策蘊(yùn)涵,從邏輯角度研究了模糊決策蘊(yùn)涵的語義特征和語構(gòu)特征。

        雖然不同框架提出了不同類型的決策蘊(yùn)涵,但是并沒有對不同類型的決策蘊(yùn)涵進(jìn)行比較性的研究。本文基于可變決策蘊(yùn)涵,提出了受限可變決策蘊(yùn)涵,并從語構(gòu)層面研究了受限可變決策蘊(yùn)涵和決策蘊(yùn)涵在推理規(guī)則上的關(guān)系,并從語義層面為語構(gòu)上的區(qū)別提供了解釋,同時對受限可變決策蘊(yùn)涵和決策蘊(yùn)涵在知識推理能力強(qiáng)弱等方面進(jìn)行了探討。

        1 基本概念及性質(zhì)

        1.1 決策蘊(yùn)涵邏輯

        決策蘊(yùn)涵主要分為數(shù)據(jù)層面與邏輯層面上的研究。本節(jié)主要介紹了決策蘊(yùn)涵邏輯層面上的研究,分為語義研究和語構(gòu)研究。

        決策蘊(yùn)涵的語構(gòu)方面主要研究推理規(guī)則的合理性、完備性和無冗余性。文獻(xiàn)[17]提出兩條推理規(guī)則。

        擴(kuò)增推理規(guī)則:

        合并推理規(guī)則:

        文獻(xiàn)[17]進(jìn)一步證明了擴(kuò)增推理規(guī)則和合并推理規(guī)則的合理性、完備性以及無冗余性。

        1.2 可變決策蘊(yùn)涵邏輯

        設(shè)為完備格,可變決策蘊(yùn)涵的形式為(→,),其中(→)為決策蘊(yùn)涵,∈稱為決策蘊(yùn)涵的有效度。

        設(shè)為完備格,?(?)。定義可變決策蘊(yùn)涵函數(shù)為α:2×2→,滿足對于任意,∈2,若?,則α(,)≥α(,)。

        幾種可變決策蘊(yùn)涵函數(shù)定義如下。

        令=(,,,)為決策背景T={g?g|∈}?(?),?,?。

        (1)設(shè)=[0,1],則置信度是可變決策蘊(yùn)涵函數(shù):

        (2)設(shè)=[0,1],則支持度是可變決策蘊(yùn)涵函數(shù):

        (3)設(shè)=[0,1]×[0,1],則置信度和支持度是可變決策蘊(yùn)涵函數(shù):

        設(shè)L為可變決策蘊(yùn)涵集,定義可變決策蘊(yùn)涵函數(shù)(,)=∨{y|(→B,y)∈L且?B}。

        設(shè)L為可變決策蘊(yùn)涵集,定義:

        可變決策蘊(yùn)涵的語構(gòu)方面主要是研究推理規(guī)則的合理性、完備性和無冗余性。文獻(xiàn)[22]提出四條推理規(guī)則。

        有效度收縮推理規(guī)則:

        有效度提升推理規(guī)則:

        置空推理規(guī)則:

        后件收縮推理規(guī)則:

        文獻(xiàn)[22]證明了有效度收縮推理規(guī)則、有效度提升推理規(guī)則和置空推理規(guī)則的合理性、完備性以及無冗余性。

        2 受限可變決策蘊(yùn)涵

        2.1 受限可變決策蘊(yùn)涵的語義

        需要將可變決策蘊(yùn)涵的不確定性剝離,才能對可變決策蘊(yùn)涵和決策蘊(yùn)涵進(jìn)行比較,為此,本文首先將有效度限制到集合={0,1}。

        令={0,1},∈,稱可變決策蘊(yùn)涵(→,)為受限可變決策蘊(yùn)涵。

        由定義9 可知,若有效度為1,可變決策蘊(yùn)涵(→,1) 成立;若有效度為0,可變決策蘊(yùn)涵(→,0)不成立。為了防止混淆,將受限可變決策蘊(yùn)涵集記為L。

        根據(jù)定義5,受限可變決策蘊(yùn)涵函數(shù)定義為:

        需要注意的是,命題3 僅僅在剝離不確定性情況下成立,對于一般的可變決策蘊(yùn)涵不成立,如例2所示。

        令L={(→,(1,0.5)),(→,(0.5,1))},=[0,1]×[0,1]。應(yīng)用有效度提升推理規(guī)則到L可得(→,(1,1)),即有L?(→,(1,1))。然而,L中并不存在{}?′滿足(→′,(1,1))?L。

        由例2 可以看出,命題3 對于可變決策蘊(yùn)涵不成立是源于真值結(jié)構(gòu)的不可比性或非鏈性。換句話說,若為鏈,則命題3 對可變決策蘊(yùn)涵成立。

        令=[0,1],L 為可變決策蘊(yùn)涵,則L?(→,1)當(dāng)且僅當(dāng)存在?′滿足(→′,1)∈L。

        2.2 受限可變決策蘊(yùn)涵的語構(gòu)

        本節(jié)將可變決策蘊(yùn)涵上的推理規(guī)則應(yīng)用于受限可變決策蘊(yùn)涵。

        通過分析可知,應(yīng)用有效度收縮推理規(guī)則到(→,1)只能推導(dǎo)出(→,1),因此該推理規(guī)則對于受限可變決策蘊(yùn)涵失效。應(yīng)用有效度提升推理規(guī)則可得到以下推理規(guī)則。

        有效度提升推理規(guī)則1:

        有效度提升推理規(guī)則2:

        對于(→,0)和(→,0),應(yīng)用有效度提升推理規(guī)則只能得到(→?,0),因此,有效度提升推理規(guī)則在這種情況失效。當(dāng)可變決策蘊(yùn)涵的有效度為0 時,該可變決策蘊(yùn)涵不成立,因此不是有效的決策知識。

        可以看出,有效度提升推理規(guī)則1 的作用是縮減成立的可變決策蘊(yùn)涵(→,1)或(→,1)的后件為?;有效度提升推理規(guī)則2 的作用是縮減(→,1)的后件。由有效度提升推理規(guī)則1 和有效度提升推理規(guī)則2 可知,無論(→,1)的有效度等于1 還是0 都可以得出(→?,1),因此,可變決策蘊(yùn)涵(→?,1)的成立與(→,1)的有效度沒有關(guān)系;換句話說,有效度提升推理規(guī)則1 和有效度提升推理規(guī)則2 可以合并為一條推理規(guī)則——-有效度提升推理規(guī)則:

        最后,應(yīng)用后件收縮推理規(guī)則可得-后件收縮推理規(guī)則:

        命題5 說明-有效度提升推理規(guī)則和-后件收縮推理規(guī)則是等價的。

        -有效度提升推理規(guī)則和-后件收縮推理規(guī)則等價。

        首先證明-有效度提升推理規(guī)則能夠推出-后件收縮推理規(guī)則的推理結(jié)果。當(dāng)(→,1)成立且?時,有?=,應(yīng)用-有效度提升推理規(guī)則有(→?,1)=(→,1)。反過來,當(dāng)(→,1)成立且?時,由??和-后件收縮推理規(guī)則有(→?,1)。

        與其他推理規(guī)則不同,雖然置空推理規(guī)則只能推導(dǎo)出不成立的可變決策蘊(yùn)涵,然而,該推理規(guī)則對于受限可變決策蘊(yùn)涵的完備性是必要的。其原因在于:首先,無論對于決策蘊(yùn)涵還是可變決策蘊(yùn)涵(或模糊決策蘊(yùn)涵),推理過程都是一個動態(tài)的過程,是將某條決策蘊(yùn)涵為真的程度提升的過程。對于決策蘊(yùn)涵,推理過程是推導(dǎo)出成立的決策蘊(yùn)涵的過程,也是將該決策蘊(yùn)涵為真的程度由0 提升為1 的過程;對于可變決策蘊(yùn)涵,推理過程是將可變決策蘊(yùn)涵的有效度提升的過程。因此,對于受限可變決策蘊(yùn)涵來說,類似于決策蘊(yùn)涵,推理過程是該受限可變決策蘊(yùn)涵的有效度由0 提升為1 的過程。其次,由受限可變決策蘊(yùn)涵的語義可知,任意有效度為0 的可變決策蘊(yùn)涵均可由任意受限可變決策蘊(yùn)涵集語義推出,因此包含在該受限可變決策蘊(yùn)涵集導(dǎo)出的封閉集中。因此,為了滿足該語義要求,需要使用置空推理規(guī)則導(dǎo)出這些受限可變決策蘊(yùn)涵。換句話說,對于有效度為1 的受限可變決策蘊(yùn)涵來說,置空推理規(guī)則提供了推理的起點;對于有效度為0 的受限可變決策蘊(yùn)涵來說,置空推理規(guī)則提供了推理的終點。

        因此,在剝離不確定性后,可變決策蘊(yùn)涵上只有置空推理規(guī)則和-后件收縮推理規(guī)則兩條推理規(guī)則。

        定理1 驗證了上述分析的正確性。

        令={0,1},L為封閉的受限可變決策蘊(yùn)涵,則置空推理規(guī)則和-后件收縮推理規(guī)則相對于受限可變決策蘊(yùn)涵的語義是完備的,即對L的完備集D?L,(→,)∈L當(dāng)且僅當(dāng)(→,)可以使用置空推理規(guī)則和-后件收縮推理規(guī)則從D推出。

        充分性。由置空推理規(guī)則和-后件收縮推理規(guī)則的合理性可知結(jié)論成立。

        必要性。若(→,0)∈L,則該受限可變決策蘊(yùn)涵可由置空推理規(guī)則得到。若(→,1)∈L,由D是L的完備集可知,D?L,因此D?(→,1)。此時,由命題3 可知,存在′滿足?′,(→′,1)∈D,應(yīng)用-后件收縮推理規(guī)則到(→′,1)即可得到(→,1)。

        由定理1 可以看出,受限可變決策蘊(yùn)涵上的推理規(guī)則僅僅是決策蘊(yùn)涵上推理規(guī)則的特殊情形。具體來說,-后件收縮推理規(guī)則僅僅是擴(kuò)增推理規(guī)則的一個特例;而從推理過程來看,置空推理規(guī)則也是決策蘊(yùn)涵上的推理規(guī)則。事實上,如果只關(guān)注有效度為1 的可變決策蘊(yùn)涵,-后件收縮推理規(guī)則也可以保證推出所有可以語義導(dǎo)出的有效度為1 的受限可變決策蘊(yùn)涵。

        3 受限可變決策蘊(yùn)涵和決策蘊(yùn)涵關(guān)系研究

        可變決策蘊(yùn)涵是處理有效度為[0,1] 的決策類型,決策蘊(yùn)涵是處理經(jīng)典情形{0,1}的決策類型。從處理類型看,似乎可以得出決策蘊(yùn)涵是可變決策蘊(yùn)涵的特例,但從語構(gòu)角度看,受限可變決策蘊(yùn)涵上的推理規(guī)則僅僅是決策蘊(yùn)涵上擴(kuò)增推理規(guī)則的一個特例。因此,決策蘊(yùn)涵并不是可變決策蘊(yùn)涵的特例,相反,受限可變決策蘊(yùn)涵的推理規(guī)則僅僅是決策蘊(yùn)涵推理規(guī)則的特殊情形。下面將從語義的角度論述該結(jié)論產(chǎn)生的原因。

        下面的定理說明,如果受限可變決策蘊(yùn)涵集L可以語義導(dǎo)出某些受限可變決策蘊(yùn)涵,則該受限可變決策蘊(yùn)涵對應(yīng)的決策蘊(yùn)涵也可以被相應(yīng)的決策蘊(yùn)涵集L語義導(dǎo)出。

        令={0,1},L為受限可變決策蘊(yùn)涵集,L為L對應(yīng)的決策蘊(yùn)涵集。若L?(→,1),則L?→。

        由L?(→,1)和命題3可知,存在?′滿足(→′,1)∈L,因此有→′∈L;再由定義3可知L?→′。此時,假設(shè)╞L,則╞→′,因此當(dāng)??時有′??;再由?′可知,當(dāng)??時有?′??,因此╞→,從而L?→。

        需要注意的是,定理2的逆并不成立,如例3所示。

        假設(shè)受限可變決策蘊(yùn)涵集及其相應(yīng)的決策蘊(yùn)涵集為:

        應(yīng)用擴(kuò)增推理規(guī)則到→有→?→。顯然,此時并不存在{?′滿足(→′,1)∈L,由命題3可知(→,1)并不能由L語義導(dǎo)出。

        例3 說明,可以由決策蘊(yùn)涵集L推導(dǎo)出的決策蘊(yùn)涵不一定可以由L推導(dǎo)出來;換句話說,在受限的情況下,可變決策蘊(yùn)涵的推理能力弱于決策蘊(yùn)涵。該結(jié)論事實上驗證了語構(gòu)推理的正確性,即受限可變決策蘊(yùn)涵的推理規(guī)則一方面僅能推導(dǎo)出后件縮小的可變決策蘊(yùn)涵(如→),推導(dǎo)不出前件擴(kuò)大的可變決策蘊(yùn)涵(如→);另一方面,受限可變決策蘊(yùn)涵的推理規(guī)則僅能應(yīng)用于單個可變決策蘊(yùn)涵,無法像合并推理規(guī)則一樣應(yīng)用于兩個或兩個以上的可變決策蘊(yùn)涵,因此難以推導(dǎo)出合并推理規(guī)則可以推導(dǎo)出的決策知識。例如,在例3中,應(yīng)用合并推理規(guī)則到L可以推導(dǎo)出決策蘊(yùn)涵→,但該決策蘊(yùn)涵無法由置空推理規(guī)則和-后件收縮推理規(guī)則推出。

        在語義方面,受限可變決策蘊(yùn)涵較弱的推理能力會導(dǎo)致難以生成更為緊湊的決策知識集。

        令={0,1},L為受限可變決策蘊(yùn)涵集,L 為對應(yīng)的決策蘊(yùn)涵集。若L是冗余的,則L 必是冗余的。

        假設(shè)L是冗余的,則存在(→,1)滿足L?(→,1)?(→,1)。由命題3 可知,必存在?′滿足(→′,1)∈L?(→,1)。顯然有→′∈L?→。由定義3可知L?→?→′。假設(shè)╞L?→,則╞→′,因此當(dāng)??時有′??,再由?′可知,當(dāng)??時有?′??,因此╞→,從而L?→?→,L必是冗余的。

        定理3 的逆命題并不成立,如例4 所示。

        假設(shè)受限可變決策蘊(yùn)涵集:

        可驗證,對任意(→,1)∈L,都有L?(→,1)?(→,1),因此L是無冗余的。對于L,→可由→應(yīng)用擴(kuò)增推理規(guī)則推出,→可由→和→應(yīng)用合并推理規(guī)則推出。

        定理3 和例4 說明,若L是冗余的,則L必是冗余的;換句話說,若L是無冗余的,則L必是無冗余的。因此,L比L更容易冗余,因而更需要簡化,也可以更加緊湊。同樣以例4 為例,因為決策蘊(yùn)涵→和→在L中是冗余的,所以可以簡化,即L′={→,→} 可以保持L的所有決策知識,但比L更加精簡。相比較而言,在受限可變決策蘊(yùn)涵框架下,L是無冗余的,因此不可以進(jìn)一步精簡;在決策蘊(yùn)涵框架下,其中的受限可變決策蘊(yùn)涵(→,1)和(→,1)事實上是可以精簡的。

        4 結(jié)束語

        本文基于已有的決策蘊(yùn)涵和可變決策蘊(yùn)涵知識表示框架,分析了受限可變決策蘊(yùn)涵的語義特征和語構(gòu)特征,并將不確定性剝離后的可變決策蘊(yùn)涵與決策蘊(yùn)涵進(jìn)行了比較研究。研究結(jié)果表明:(1)受限可變決策蘊(yùn)涵上的推理規(guī)則只存在置空推理規(guī)則和-后件收縮推理規(guī)則兩條推理規(guī)則,其中置空推理規(guī)則并無實際價值,-后件收縮推理規(guī)則只是擴(kuò)增推理規(guī)則的一個特例;(2)受限可變決策蘊(yùn)涵的知識推理能力弱于決策蘊(yùn)涵;(3)相對于受限可變決策蘊(yùn)涵,決策蘊(yùn)涵的知識表示形式更加精簡。

        雖然受限可變決策蘊(yùn)涵只是可變決策蘊(yùn)涵的特例,但無論在語義上還是在語構(gòu)上都有其獨特的特征。主要體現(xiàn)在:(1)語義上,受限可變決策蘊(yùn)涵不僅允許取值為1,而且允許取值為格中的最大元(如(1,1)),因此受限可變決策蘊(yùn)涵的語義更為寬泛;(2)語構(gòu)上,受限可變決策蘊(yùn)涵上的推理規(guī)則為決策蘊(yùn)涵的特例,但這些推理規(guī)則值得進(jìn)一步研究。一方面,這種研究可以進(jìn)一步揭示推理規(guī)則間的聯(lián)系,對決策蘊(yùn)涵來說,有助于發(fā)現(xiàn)最優(yōu)的推理規(guī)則;另一方面,受限可變決策蘊(yùn)涵上的推理規(guī)則為決策蘊(yùn)涵的特例事實上說明這些推理規(guī)則更為簡潔,因此,基于受限可變決策蘊(yùn)涵的推理會更為高效。

        另外,當(dāng)前的研究還缺少對決策蘊(yùn)涵、模糊決策蘊(yùn)涵和可變決策蘊(yùn)涵的知識表示和推理能力的比較性研究。接下來將對以上決策類型進(jìn)行比較性研究。

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