何紀(jì)輝，王 倩，趙 瑛

(內(nèi)蒙古科技大學(xué)信息工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014010)

0 引言

在圖像信息加密的過(guò)程中，信息加密的速度、空間的占用率、密文的復(fù)雜程度、抗噪能力以及抗攻擊性都是反映圖像加密算法優(yōu)劣性的重要指標(biāo)。

1 傳統(tǒng)加密技術(shù)

1.1 對(duì)稱(chēng)加密

對(duì)稱(chēng)加密機(jī)制是目前研究當(dāng)中應(yīng)用最為廣泛的一種，也是理論研究和現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中使用較多的一種，整個(gè)加密解密流程呈對(duì)稱(chēng)的狀態(tài)。又因?yàn)檎麄€(gè)過(guò)程中只使用了一種密鑰，故對(duì)稱(chēng)密鑰加密也被稱(chēng)為單鑰體制。1977 年，美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)局發(fā)布了數(shù)據(jù)加密標(biāo)準(zhǔn)（DES），該加密算法是由IBM 公司研制，是迄今為止運(yùn)用最為廣泛的分組密碼算法。伴隨著時(shí)間的推移和密碼破解技術(shù)的不斷進(jìn)步，DES 的安全性能不足以滿(mǎn)足后續(xù)的需求，于是新加密標(biāo)準(zhǔn)（AES）被推出。而DES 仍是一項(xiàng)具有里程碑意義的技術(shù)，其對(duì)于后續(xù)技術(shù)的發(fā)展與設(shè)計(jì)有著很大的參考價(jià)值。

1.2 非對(duì)稱(chēng)加密

非對(duì)稱(chēng)加密的原理大體上與對(duì)稱(chēng)加密相似，主要區(qū)別在于：對(duì)稱(chēng)加密機(jī)制中加密密鑰和解密密鑰是相同的，而非對(duì)稱(chēng)加密機(jī)制中加密密鑰為公鑰，解密密鑰為私鑰。其中公鑰的信息是可以公開(kāi)的，同時(shí)，信息的接收者只有擁有私鑰才能獲得明文信息，因此非對(duì)稱(chēng)加密也稱(chēng)為雙鑰體制或者公鑰體制。1978 年，RSA 算法由R.Rivest、L.Adleman 和A.Shamir 提出，該算法是目前最具影響力的公鑰加密算法，被ISO 列為公鑰數(shù)據(jù)加密標(biāo)準(zhǔn)。在對(duì)RSA 算法的攻擊上，只有短長(zhǎng)度的RSA 密鑰才能被暴力破解，理論上只要RSA密鑰長(zhǎng)度夠長(zhǎng)，就無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)加密信息的破獲。

2 基于矩陣變換[3]和像素置換的加密技術(shù)

2.1 Arnold變換

Arnold 變換是由俄國(guó)數(shù)學(xué)家Vladimir Igorevich Arnold提出的一種矩陣變換方式。Arnold變換在矩陣變換技術(shù)當(dāng)中占有極高的地位，并在加密算法的使用層面有著非常成熟的體系，其變換公式為：

其中(x，y)為矩陣變換前的值且取值范圍為1至N-1的整數(shù)，(x'，y')為進(jìn)行一次置亂變換的值，而Arnold 變換的本質(zhì)其實(shí)就是置亂系統(tǒng)不斷迭代的過(guò)程，左側(cè)輸出的(x'，y')將作為下一次迭代的初值輸入該系統(tǒng)。當(dāng)Arnold 變換迭代到一定次數(shù)時(shí)，得到的輸出圖像會(huì)與原始圖像重新吻合。在Arnold 變換的周期性研究當(dāng)中，F(xiàn).J.Dyson 和H.Falk 的實(shí)驗(yàn)結(jié)果給出了這樣的答案，當(dāng)?shù)螖?shù)N＞2 時(shí)，變換的周期T＜(N)/2，這也是目前為止得到的最好的結(jié)果。2021年，Liu Xingbin等人曾提出過(guò)將Arnold 變換與混沌映射相結(jié)合的加密算法，得到了良好的效果。

2.2 幻方變換

幻方的定義為一個(gè)n 階的幻方矩陣，在此基礎(chǔ)之上，該n 階矩陣還需滿(mǎn)足一項(xiàng)條件，即n 階矩陣的行元素總和、列元素總和、對(duì)角線元素總和相等，且總和數(shù)值都等于n(n+1)/2，這個(gè)值被稱(chēng)為幻和，其公式為：

幻方變換的方案當(dāng)中，將明文圖像對(duì)應(yīng)于n 階的幻方矩陣，將幻方矩陣中元素1 的位置移動(dòng)到元素2的位置，逐數(shù)位增加，以此類(lèi)推，元素n的位置再歸為1，由此完成一輪的變換操作。每進(jìn)行完一輪變換過(guò)后得到新的幻方矩陣，下一次變換又基于新的幻方矩陣。經(jīng)過(guò)這樣的矩陣變換，打亂了原本像素之間的排列順序，從而達(dá)到圖像加密的效果?；梅骄仃嚨闹芷跒門(mén)=n，當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到n時(shí)，加密圖像又將重新恢復(fù)為明文圖像。但在實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)密文圖像在視覺(jué)上顯現(xiàn)出明文圖像中部分信息的情況，在不同階別的幻方矩陣類(lèi)型當(dāng)中會(huì)有不同程度的現(xiàn)象產(chǎn)生?；诖祟?lèi)情況，會(huì)降低攻擊方的破譯難度，影響到明文圖像的安全性。2019 年，胡克亞等人提出的分塊壓縮感知和改進(jìn)幻方變換的算法很好的解決了這一問(wèn)題。在此也能看出，糅合更為成熟的加密技術(shù)，能有效提高保證算法的抗攻擊性。

2.3 Gray變換

Gray 碼最初由貝爾實(shí)驗(yàn)室的Frank Gray 提出，其變換進(jìn)程主要在二進(jìn)制數(shù)上進(jìn)行。對(duì)于任意非負(fù)整數(shù)u，與之相對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制碼為u=(uu???)，非負(fù)整數(shù)u 的Gray 碼為()=(gg…)。其中Gray碼的最高位u=g，其余位數(shù)當(dāng)中g= u⊕u，其中i的取值范圍為從0 到p-1 的整數(shù)。Gray 變換實(shí)際運(yùn)用過(guò)程中主要是對(duì)圖像灰度值進(jìn)行數(shù)值變換，但因其最高位與原二進(jìn)制相同，而使得最終圖像變換幅度有限。

基于Gray碼變換，后續(xù)研究中又推出了廣義Gray碼變換。廣義Gray 碼變換中原始數(shù)值u 的二進(jìn)制碼表現(xiàn)形式仍與Gray 碼相同，區(qū)別于u 值與g 值的變換過(guò)程，其定義變換如下：

其中q 為大于等于2 的整數(shù)，且a為整數(shù)，i 和j 的取值范圍是從0 到p 的整數(shù)，在系數(shù)矩陣的行列式| (a) |與q互素時(shí)，此時(shí)上述變換稱(chēng)為廣義Gray變換，最終得到的列向量轉(zhuǎn)置后得到u的廣義Gray碼。

廣義Gray 碼在Gray 碼的基礎(chǔ)上雖有改進(jìn)，但距理想的數(shù)值幅度仍有差距，于是又產(chǎn)生了置亂廣義Gray 碼變換。u 值二進(jìn)制表達(dá)形式仍不變，變換的定義式為g=⊕⊕…⊕u，g= u ，i 取值區(qū)間為1到p-1 的整數(shù)，計(jì)算得出的g(u)值即為置亂廣義Gray碼，且置亂廣義Gray 碼變換為可逆變換。2021 年，Wang Xingyuan 等人提出了Gray 碼與蛇形擴(kuò)散混合的加密算法，使得擴(kuò)散效果更加突出。

三種Gray 碼變換中置亂廣義Gray 碼變換的性能最為優(yōu)越，數(shù)值序列分布雜亂無(wú)章，置亂效率高，相鄰數(shù)值相關(guān)性較低，擁有較好的離散性。同時(shí)，該變換能滿(mǎn)足矩陣變換加密中的基本要求，具有良好的應(yīng)用前景。

3 混沌圖像加密技術(shù)

3.1 混沌理論

于20 世紀(jì)初期，美國(guó)數(shù)學(xué)家Pocicare J.H 提出了Pocicare 猜想，這一猜想的提出，為混沌理論的發(fā)展埋下了種子，同時(shí)，該猜想結(jié)合了動(dòng)力學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)這兩個(gè)領(lǐng)域，證明了混沌存在的可能性。到了1963 年，美國(guó)氣象學(xué)家Lorenz 在《大氣科學(xué)》上發(fā)表了一篇名為“決定性非周期流”的文章，該文章的出現(xiàn)徹底打開(kāi)了混沌學(xué)的大門(mén)，隨即，Lorenz 提出了經(jīng)典的Lorenz系統(tǒng)。此后，有越來(lái)越多的混沌系統(tǒng)被提出，其中就包括Logistic映射、Chen系統(tǒng)、Rossler系統(tǒng)等。

在理論科學(xué)界，對(duì)混沌理論仍然沒(méi)有一個(gè)完整統(tǒng)一的定義，相對(duì)符合的看法是，混沌是在明確固定的系統(tǒng)中產(chǎn)生的一種看似無(wú)法預(yù)測(cè)，且具有隨機(jī)性的現(xiàn)象。而對(duì)于混沌系統(tǒng)的解，更多的認(rèn)為是在對(duì)確定性的非線性系統(tǒng)中隨機(jī)性部分的求解。在對(duì)解的預(yù)測(cè)上，只能做到對(duì)短期迭代部分的預(yù)測(cè)，一旦時(shí)間線拉長(zhǎng)，就很難對(duì)解進(jìn)行預(yù)測(cè)。同時(shí)，系統(tǒng)能預(yù)測(cè)到的只是確定的解，對(duì)于隨機(jī)性的部分，即便是短期的預(yù)測(cè)都很難實(shí)現(xiàn)。實(shí)際上，混沌的不可預(yù)測(cè)性并不能理解為完全的隨機(jī)散列，混沌現(xiàn)象也并非是簡(jiǎn)單的無(wú)序表現(xiàn)，而是沒(méi)有明顯的周期性和線性過(guò)程。從混沌的內(nèi)部看，結(jié)構(gòu)層次更偏向于有規(guī)律的序列走向，是非線性系統(tǒng)的的一種新的存在形式。

從動(dòng)力學(xué)角度上看，混沌系統(tǒng)是存在對(duì)稱(chēng)性和耗散性以及形式上的平衡態(tài)。早在1971年，法國(guó)數(shù)學(xué)物理學(xué)家D.Ruelle 和荷蘭學(xué)者F.Takens發(fā)表了著名論文《論湍流的本質(zhì)》，在論文提到了吸引子這一概念。而吸引子的出現(xiàn)做到了對(duì)混沌系統(tǒng)的幾何特征描述。大量混沌系統(tǒng)的混沌吸引子，在它們的平面圖中都體現(xiàn)出了系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性和耗散性。耗散理論中，自組織是混沌系統(tǒng)形成耗散結(jié)構(gòu)的過(guò)程，在此過(guò)程中，混沌系統(tǒng)向平衡態(tài)轉(zhuǎn)移，整體結(jié)構(gòu)趨于穩(wěn)定。對(duì)于確定的初始值，能通過(guò)混沌系統(tǒng)得出后續(xù)的數(shù)據(jù)走向。同時(shí)由于混沌的初值敏感性，可以通過(guò)數(shù)學(xué)手段判斷系統(tǒng)是否具有混沌性質(zhì)，其中使用較多的方法為計(jì)算混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)。

混沌理論最初被發(fā)現(xiàn)并不是在加密學(xué)的研究當(dāng)中，之所以受到加密領(lǐng)域的關(guān)注，是因?yàn)榛煦绲奶匦耘c現(xiàn)代密碼體制設(shè)計(jì)的思路相符合。根據(jù)混沌系統(tǒng)自身良好的偽隨機(jī)性可以使得圖像信號(hào)的分布具有混淆性，這符合Shannon 在現(xiàn)代密碼體制設(shè)計(jì)中提出的混淆原則。經(jīng)過(guò)混沌系統(tǒng)處理過(guò)后的圖像信號(hào)，在水平、垂直和對(duì)角方向上的像素值分布情況都由明文信號(hào)中的強(qiáng)相關(guān)變?yōu)槿跸嚓P(guān)，滿(mǎn)足了Shannon 提出的擴(kuò)散原則。在雪崩效應(yīng)中，要求高質(zhì)量的密碼塊能通過(guò)較小的輸入變化引發(fā)劇烈的輸出變化，由于混沌理論中的初值敏感性，使得混沌系統(tǒng)也符合雪崩效應(yīng)的要求。因此，能滿(mǎn)足以上三大原則的混沌系統(tǒng)，適用于加密算法系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。

為了追求圖像加密的復(fù)雜性和抗攻擊性，實(shí)際上現(xiàn)有的大部分加密算法都不是單一的混沌加密算法，混沌序列的使用只是完整算法當(dāng)中的一環(huán)，往往是混沌系統(tǒng)與其他加密方式結(jié)合起來(lái)使用的過(guò)程。

3.2 基于DNA編碼的混沌圖像加密

20 世紀(jì)90 年代，DNA 編碼技術(shù)的提出，受到了許多密碼學(xué)研究者的關(guān)注，DNA 信息中的核苷酸堿基匹配二進(jìn)制當(dāng)中的00、01、10、11 位，其中有8 種DNA 編碼規(guī)則，每種規(guī)則對(duì)應(yīng)于自身的加法、減法和異或運(yùn)算規(guī)則。同時(shí)，在DNA編碼的運(yùn)算過(guò)程中只有同種規(guī)則的編碼運(yùn)算才是正確有效的，使用不同規(guī)則進(jìn)行交互會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。2021年，周紅亮等人通過(guò)融合DNA編碼與混沌系統(tǒng)獲得了更好的復(fù)雜性。

3.3 基于壓縮感知的混沌圖像加密

壓縮感知理論由Donoho、Candes 和陶哲軒等人提出，該理論受到信息論、模式識(shí)別、圖像處理及光學(xué)成像等領(lǐng)域的高度關(guān)注。在圖像加密領(lǐng)域中，大多數(shù)研究都偏向于提高加密算法的復(fù)雜性，使得明文圖像經(jīng)過(guò)加密后得到更高復(fù)雜度的、抗攻擊性更強(qiáng)的和相關(guān)性更低的密文圖像，而缺少對(duì)密文圖像的空間占用率進(jìn)行進(jìn)一步的優(yōu)化。壓縮感知理論的出現(xiàn)，使得加密算法在保證圖像質(zhì)量低損失的情況下，能大幅減少加密過(guò)程中存儲(chǔ)空間的占用率，同時(shí)，因?yàn)檫@一特性的緣故，該理論同樣適用于多圖像加密的應(yīng)用當(dāng)中。2021 年，杜鑫昌等人提出將壓縮感知與混沌系統(tǒng)相結(jié)合的加密方法，有效的實(shí)現(xiàn)了這一特性。

信號(hào)的表示一般體現(xiàn)在時(shí)間域或者空間域。大多數(shù)信號(hào)一般不會(huì)以絕對(duì)稀疏的狀態(tài)呈現(xiàn)出來(lái)，因此需要將信號(hào)通過(guò)變換域轉(zhuǎn)化而達(dá)到近似稀疏的狀態(tài)，信號(hào)的稀疏性是壓縮感知得以實(shí)現(xiàn)的重要前提。常用的稀疏變換有離散余弦變換、離散小波變換和離散傅里葉變換，在實(shí)現(xiàn)完變換后，信號(hào)會(huì)被分為高頻部分和低頻部分，而稀疏圖像的主要能量分布在圖像的左上角部分，通過(guò)保留主要能量區(qū)域而舍去其他區(qū)域就能做到讓重構(gòu)信號(hào)的質(zhì)量不受大的影響，從而實(shí)現(xiàn)節(jié)約空間的情況下保證圖像的質(zhì)量。

3.4 基于光學(xué)成像的混沌圖像加密

首個(gè)光學(xué)加密系統(tǒng)由Javidi 和Ref.regier 提出，自此以后，光學(xué)圖像的加密應(yīng)用變得越來(lái)越頻繁。以往大多數(shù)的圖像加密技術(shù)面向的都是單圖像，到了近些年來(lái)，為了提高加密系統(tǒng)的整體加密效率，人們對(duì)多圖像加密的關(guān)注度逐漸升高。其中比較典型的就是通過(guò)構(gòu)建光場(chǎng)成像系統(tǒng)來(lái)完成對(duì)多圖像的加密，如韓思敏等人于2020 年提出的光場(chǎng)成像的多圖像加密方法。將n 幅圖像拼接為一幅圖像，光場(chǎng)系統(tǒng)能獲取到目標(biāo)文件的位置與方向信息，利用微透鏡陣列提取出明文圖像的子孔徑圖像。在系統(tǒng)的解密端，重構(gòu)在陣列中獲得的光場(chǎng)信息，將整體密文圖像分割為n 個(gè)子圖像，最終通過(guò)光場(chǎng)系統(tǒng)把子圖像恢復(fù)為原始圖像。

上述內(nèi)容僅為光場(chǎng)成像技術(shù)在圖像加密中的應(yīng)用，實(shí)際上光學(xué)技術(shù)在圖像加密算法中還有許多其他的運(yùn)用方式，如光學(xué)密鑰技術(shù)，光學(xué)掃描技術(shù)等等，在未來(lái)的理論研究中還有很大的發(fā)展空間。

3.5 研究方向及展望

在未來(lái)的研究和探索當(dāng)中，以上幾項(xiàng)技術(shù)在圖像加密領(lǐng)域可能會(huì)有越來(lái)越多的應(yīng)用場(chǎng)景。根據(jù)現(xiàn)有的發(fā)展情況，還有很多地方值得研究者去改進(jìn)。

⑴DNA 編碼技術(shù)在編碼運(yùn)算的方式中僅有加減以及異或操作，DNA 編碼運(yùn)算的變換算法不夠復(fù)雜，在運(yùn)算基礎(chǔ)上如何進(jìn)一步提高矩陣序列的復(fù)雜程度，將會(huì)是一個(gè)值得關(guān)注的方向。

⑵壓縮感知技術(shù)通過(guò)高低頻來(lái)獲取圖像重要信息，能有效節(jié)約空間，但是在圖像質(zhì)量和速率上是很難做到兩全其美的。根據(jù)壓縮感知在空間占用和高速率的優(yōu)良特性，在保證圖像質(zhì)量的情況下，加快速率，會(huì)有更多的應(yīng)用場(chǎng)景。

⑶光學(xué)圖像加密本身對(duì)算法的安全性有較大的依賴(lài)。一方面，研究者應(yīng)該發(fā)揮光場(chǎng)成像在多圖像加密上的優(yōu)勢(shì)，在圖像數(shù)量上要有進(jìn)一步的突破；另一方面，提高加密算法的復(fù)雜性，加強(qiáng)多張圖像之間的置亂擴(kuò)散，使攻擊者對(duì)截取到的單張圖像束手無(wú)策。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文基于傳統(tǒng)的圖像加密技術(shù)、混沌系統(tǒng)的圖像加密技術(shù)以及其他交叉領(lǐng)域所運(yùn)用的圖像加密技術(shù)做了一個(gè)簡(jiǎn)單的總結(jié)，根據(jù)每項(xiàng)加密技術(shù)的特性得出各自加密算法的優(yōu)缺點(diǎn)。在近期的圖像加密研究方向當(dāng)中，混沌系統(tǒng)中所表現(xiàn)出的初值敏感性，偽隨機(jī)等特性，在密碼學(xué)中將會(huì)有很大的應(yīng)用空間，但同時(shí)在未來(lái)研究方向上也面臨著許多問(wèn)題。現(xiàn)有模式中更多是對(duì)于單圖像的混沌系統(tǒng)加密，缺乏對(duì)于多圖像的混沌系統(tǒng)加密。多圖像的加密過(guò)程中，如何在保證明文圖像的加解密質(zhì)量的同時(shí)，提高圖像加密的速率變得尤為關(guān)鍵。離開(kāi)速率層面，最重要的還是加密算法的復(fù)雜性與安全性，有研究表明，混沌系統(tǒng)在經(jīng)過(guò)離散處理時(shí)會(huì)面臨混沌退化現(xiàn)象，這會(huì)對(duì)算法系統(tǒng)的安全產(chǎn)生威脅。后續(xù)有不少研究者提出了解決方案，但仍沒(méi)有完整的理論依據(jù)?？傊谠O(shè)計(jì)加密算法時(shí)，需盡可能地消除退化現(xiàn)象，或是進(jìn)一步得出理論成果從根源上解決問(wèn)題。與此同時(shí)，隨著量子計(jì)算技術(shù)的不斷提出，使得現(xiàn)有基礎(chǔ)上的所有加密體制都將受到?jīng)_擊，一旦最終量子計(jì)算機(jī)成果研發(fā)而出，一切受限于算力的加密體制都將存在被破譯的危險(xiǎn)。能否提出有效的解決方案，將成為密碼學(xué)研究者未來(lái)的關(guān)注重點(diǎn)。