沈 超，郭雅娟，俞家融，楊靜泊，徐江濤

（1.國網(wǎng)江蘇省電力有限公司無錫供電分公司，無錫 214000；2.國網(wǎng)江蘇省電力有限公司電力科學(xué)研究院，南京 211103）

引 言

脈沖超寬帶技術(shù)以傳輸極短持續(xù)時間脈沖為特征，即以納秒級甚至亞納秒級脈沖為載體傳輸信息的無線通信技術(shù)，能夠?qū)崿F(xiàn)非常精確的測距和定位應(yīng)用，因而廣泛應(yīng)用于雷達、物流、搜救和交通導(dǎo)航等領(lǐng)域［1-2］。在無線定位系統(tǒng)中，定位參數(shù)主要包括到達時間（Time-of-arrival，TOA）［3］、波達方向（Direction-of-arrival，DOA）［4］、到達時間差（Time-difference-of-arrival，TDOA）［5］和接收信號強度（Received signal strength，RSS）［6］。其中，TOA參數(shù)估計由于超寬帶（Ultrawideband，UWB）信號的高時間分辨率，成為UWB系統(tǒng)中位置估計的一個很好的方法。

事實上，大多數(shù)UWB系統(tǒng)的定位技術(shù)都是基于TOA參數(shù)估計方法，因為它們能夠利用大信號帶寬。由于TOA參數(shù)只能獲得距離信息，僅利用TOA參數(shù)進行定位的系統(tǒng)需要的觀測節(jié)點數(shù)較多，增大了系統(tǒng)的成本?；贒OA估計的定位技術(shù)有助于減少位置估計所需的節(jié)點數(shù)。綜合利用TOA參數(shù)提供的距離信息和DOA參數(shù)提供的方向信息，只需單個觀測節(jié)點即可實現(xiàn)目標(biāo)源的位置估計，能有效降低系統(tǒng)的復(fù)雜度。同時，若TOA參數(shù)和DOA參數(shù)的估計精度較高，還可以使得系統(tǒng)的定位精度更高。

目前，超寬帶系統(tǒng)中TOA參數(shù)和DOA參數(shù)的聯(lián)合估計方法已經(jīng)得到了較為廣泛的研究［7-21］。按照信號處理的域的不同進行分類，可將現(xiàn)有的方法分成時域估計算法和頻域估計算法兩種。傳統(tǒng)基于時域信號處理的參數(shù)估計方法主要包括采用高采樣速率匹配濾波技術(shù)的相干檢測方法以及采用較低采樣率的能量檢測方法。文獻［7］提出了一種閾值檢測匹配濾波器輸出的三步TOA估計算法。該算法首先通過峰值檢測匹配濾波的輸出，得到直達單徑（Direct path，DP）的TOA搜索區(qū)域，然后在該搜索區(qū)域進行閾值檢測，得到直達路徑的TOA粗估計結(jié)果，最后精確搜索粗估計值附近的TOA參數(shù)，得到精估計值。由于相干方法依賴于極高的采樣率，因而對采樣設(shè)備的要求很高，不易于硬件實現(xiàn)。文獻［8］提出了一種易于實際應(yīng)用的基于雙脈沖信號自相關(guān)的TOA估計方法，該方法從搜索區(qū)域中的不同起點開始執(zhí)行長度等于脈沖持續(xù)時間的自相關(guān)步驟，通過確定自相關(guān)結(jié)果第一次顯著下降的位置，即遇到多徑分量的位置，結(jié)合門限檢測實現(xiàn)TOA參數(shù)估計。該方法無需高速率采樣，因而實現(xiàn)起來比較簡單。但是由于在低信噪比或非視距環(huán)境中DP成分的能量衰落嚴(yán)重，性能極易受到干擾，并且該方法中最優(yōu)門限的選擇依賴于脈沖自動增益控制和信噪比估計，不可避免地會增加系統(tǒng)的復(fù)雜度。

由于傳統(tǒng)基于時域信號處理的參數(shù)估計方法分辨率低、對接收設(shè)備要求高，學(xué)者們又對超分辨率TOA和DOA估計技術(shù)進行了研究，提出了基于多信號分類算法（Multiple signal classification，MUSIC）［9-10］、矩陣束［11-12］、傳播算子（Propagator method，PM）［13-14］和總體最小二乘基于旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)的信號參數(shù)估計（Estimating signal parameter via rotational invariance techniques，ESPRIT）［15-21］的一系列聯(lián)合估計算法。文獻［10］利用了具有超分辨力的二維MUSIC算法，通過擴展頻域自相關(guān)矩陣得到擴展的噪聲子空間，然后利用信號子空間和噪聲子空間的正交性，構(gòu)造二維譜函數(shù)實現(xiàn)TOA估計。該方法在提高分辨率的同時也增加了系統(tǒng)實現(xiàn)的復(fù)雜性，在處理短時信號時由于僅有單快拍數(shù)據(jù)導(dǎo)致相關(guān)矩陣的秩虧，性能大大下降。針對這個問題，文獻［12］提出的矩陣束算法不需要計算信號的協(xié)方差矩陣，可以直接對接收到的信號數(shù)據(jù)進行處理，具有分辨率高、計算速度快的優(yōu)點，只需要單快拍就可以估計出位置參數(shù)；缺點是對信噪比要求高，在低信噪比下性能差。文獻［14］將PM算法應(yīng)用到TOA估計中，通過空間平滑方法解決了超寬帶（Ultrawideband，UWB）環(huán)境下信號振幅相關(guān)導(dǎo)致的相關(guān)矩陣秩不足的問題。該方法在提升算法估計精度的同時無需MUSIC方法中的特征值分解步驟，因此與MUSIC方法相比需要較少的計算量。但是該方法中的廣義逆求解和額外的空間平滑仍具有較高的復(fù)雜性，不利于硬件實現(xiàn)。

為了進一步提升參數(shù)估計的精度，同時避免額外的計算復(fù)雜度，本文提出了一種基于離散傅里葉變換的TOA和DOA聯(lián)合估計方法。該算法首先對接收信號頻域內(nèi)建模，得到相應(yīng)協(xié)方差矩陣。充分利用導(dǎo)向矩陣的范德蒙德特性，通過對協(xié)方差矩陣進行離散傅里葉變換（Discrete Fourier transform，DFT）處理，得到信號到達兩根天線的TOA粗估計結(jié)果。然后通過設(shè)計補償矩陣對時延矢量進行相位補償，搜索得到TOA粗估計結(jié)果的補償值，從而獲得TOA精估計結(jié)果。最后進行參數(shù)配對并根據(jù)信號到達兩根天線的到達時間差得到DOA估計結(jié)果。該方法無需特征值分解以及廣義逆求解步驟，在獲得較好的參數(shù)估計性能的同時，復(fù)雜度也比較低，易于工程實現(xiàn)。大量仿真實驗結(jié)果證明，本文所提方法能夠很好地實現(xiàn)TOA和DOA的聯(lián)合估計，相比于文獻［12］中的矩陣束算法和文獻［14］中的傳統(tǒng)PM算法，本文提出的方法性能有很大幅度的提高。相比于基于陣列天線的參數(shù)估計系統(tǒng)，本文的方法僅需兩根天線即可實現(xiàn)TOA和DOA的聯(lián)合估計，降低了成本。

1 脈沖無線電超寬帶系統(tǒng)中的數(shù)據(jù)模型

考慮一個基帶信號為直接序列二進制相移鍵控（Direct sequence binary phase shift keying，DS-BPSK）調(diào)制的脈沖無線電超寬帶（Impulse radio ultra wideband，IR-UWB）系統(tǒng)，利用Nc個重復(fù)的二進制數(shù)據(jù)符號的脈沖完成發(fā)射信號的傳輸。設(shè)二進制數(shù)據(jù)符號的周期為Ts，脈沖重復(fù)周期為Tc，則超寬帶系統(tǒng)的發(fā)射信號可表示為［11，21］

式中：bm為被調(diào)制的二進制數(shù)據(jù)符號序列；cn為用于多址通信的偽隨機序列；bm、cn∈{-1，+1}；p(t)為高斯脈沖的二階導(dǎo)數(shù)，形式如下

式中Γ為脈沖形成因子，與脈沖寬度相關(guān)。

假設(shè)超寬帶信道傳輸?shù)男盘柎財?shù)為K，每一簇中存在的多徑數(shù)為L。不失一般性地，假設(shè)各多徑分量的傳輸時延與信號簇數(shù)無關(guān)，則第k簇傳輸信號的多徑衰落傳播信道可以表示成［18-20］

式中τl和分別為信道傳輸過程中第k簇第l徑的傳輸時延和衰落幅度為信道衰減系數(shù)，服從瑞利分布為隨機變量，服從均勻分布。則UWB系統(tǒng)的接收信號可以表示為發(fā)射信號和信道沖激響應(yīng)的卷積，即

式中v(k)(t)為第k簇信號接收時產(chǎn)生的加性高斯白噪聲。將式（4）轉(zhuǎn)換到頻域并進行N(N＞L)點等間隔采樣，得到離散頻域接收信號的形式為

式中ωn=nΔω，n=0，1，…，N-1，Δω=2π/N為頻域采樣間隔。將采樣的離散數(shù)據(jù)排列成N×1維列向量[Y(k)(ω0)，…，Y(k)(ωN-1)]T，記為yk，則可以得到第k簇頻域接收信號的向量表示［11，21］

2 IR-UWB系統(tǒng)中TOA和DOA聯(lián)合估計

2.1 IR-UWB系統(tǒng)的信號接收模型

考慮如圖1所示的陣列接收模型，接收系統(tǒng)由兩根相距距離為d的天線組成。假設(shè)信號源位置為陣列天線的遠(yuǎn)場，則入射到天線陣列的信號可以被視為一束平行波，天線1和天線2的接收信號僅在時延上有差異。

圖1 陣列天線示意圖Fig.1 Schematic diagram of array antennas

根據(jù)式（6）表示的第k簇頻域接收信號的向量形式，采集K簇接收信號，則可得天線1和天線2的頻域接收信號的矩陣形式Y(jié)1和Y2，分別表示為［21］

式中：B=[β1，…，βk，…，βK]為由信道的復(fù)數(shù)衰落幅度組成的L×K維矩陣；V1和V2分別為由天線1的頻域噪聲向量和天線2的頻域噪聲向量組成的N×K維矩陣；Eτ和E?分別為天線1和天線2的時延矩陣，表示為

假設(shè)第l個多徑的入射角為θl，則天線1的接收信號相對于天線2的接收信號的到達時間差可以表示為式中c為真空中光傳播的速度。根據(jù)式（7）可得第l個多徑的DOA估計表達式為

2.2 基于DFT的TOA粗估計

將式（7）和式（8）兩邊同時除以矩陣S，得到新的矩陣分別記為則新的接收信號矩陣形式為

式中：W1=S-1V1；W2=S-1V2。考慮到S是對角矩陣，因此只需計算S的N個對角元素的倒數(shù)組成的對角矩陣即可得到S-1。在不考慮噪聲的情況下，式（13，14）構(gòu)造的接收信號的采樣協(xié)方差矩陣可以計算為

式中RB=E[BBH]?？紤]到DFT方法只能作用于單快拍數(shù)據(jù)，因此分別取協(xié)方差矩陣R?1和R?2的第1列，可得

定義N×N維歸一化DFT矩陣

為了簡便，記qτ=RB IL×1/K，q?=RB IL×1/K。對構(gòu)造的單快拍接收信號r1和r2分別進行DFT處理，得到DFT后的數(shù)據(jù)形式為

式 中：xi為向 量x的 第i個 元 素分 別 為 單快 拍 接收 信 號 向量r1和r2經(jīng) 過DFT處 理 后的 結(jié) 果和分別為由時延矩陣Eτ和E?的第l列組成的列向量。

將式（19）中矩陣F的表達式代入式（20，21），可得

將式（26，27）得到的TOA估計結(jié)果代入式（12），可以得到DOA估計為

根據(jù)商務(wù)英語專業(yè)跨境電商方向人才培養(yǎng)目標(biāo)和對行業(yè)企業(yè)的調(diào)研，在全面分析跨境電商崗位所需知識結(jié)構(gòu)和崗位技能的基礎(chǔ)上，我們提出基于職業(yè)素養(yǎng)的崗位基本能力、崗位核心能力和拓展能力構(gòu)建跨境電商方向的課程體系。

2.3 基于DFT的TOA精估計

在實際中，由于硬件設(shè)備的限制，信號到達天線陣列的時延可能不會落在采樣點上，同時由于頻域采樣點數(shù)N是有限的以及噪聲的影響，式（24，25）的離散序列無法呈現(xiàn)理想稀疏形式，總能量會分散在TOA及其附近的采樣點上。考慮到頻域采樣點數(shù)N?1，仍然可以通過式（24，25）的峰值位置來估計TOA參數(shù)，但是TOA參數(shù)估計的精度總是受限于頻域采樣間隔，以第1根天線為例說明，即通過式（26）得到的TOA估計結(jié)果可能為，該結(jié)果與真實的TOA參數(shù)之間總是存在一個微小誤差。因此本文進一步對TOA粗估計結(jié)果進行補償，通過搜索得到微小誤差的估計值，從而得到精確的TOA估計結(jié)果。

定義相位補償因子的間隔為ξ，搜索次數(shù)為J+1，相位補償因子μ∈[-Jξ/2，Jξ/2]，則N×N維相位補償矩陣可以表示為

對相位補償后的數(shù)據(jù)再次進行DFT處理，可以得到與式（22，23）類似的形式如下

則最終的TOA精估計結(jié)果可以表示為

2.4 配對

2.5 基于DFT的TOA和DOA聯(lián)合估計步驟

至此，可以將IR-UWB系統(tǒng)中基于DFT的TOA和DOA聯(lián)合估計方法的主要過程總結(jié)為如下步驟：

（1）將兩根天線的接收信號轉(zhuǎn)換為頻域形式，并通過兩邊同時除以式（6）中的對角矩陣S構(gòu)造新的接收信號矩陣，根據(jù)式（15，16）得到的協(xié)方差矩陣估計值

（3）利用DFT后的離散序列r?1和r?2的稀疏性質(zhì)，根據(jù)式（26，27）得到信號到達兩根天線的TOA粗估計結(jié)果

（4）根據(jù)式（29）構(gòu)造相位補償矩陣Τ(μ)，根據(jù)式（30，31）對相位補償后的數(shù)據(jù)再次進行DFT處理，根據(jù)式（34，35）得到最優(yōu)相位補償因子的估計值，根據(jù)式（36，37）得到TOA精估計結(jié)果

（5）根據(jù)式（38）將兩根天線的估計結(jié)果中對應(yīng)于同一多徑分量的TOA估計值進行配對，根據(jù)式（39）得到DOA估計結(jié)果。

2.6 算法的復(fù)雜度分析

本文所提算法的復(fù)雜度主要包括以下方面：構(gòu)造N×K維頻域接收信號矩陣，計算復(fù)雜度為O(N2+2KN2+N+2KN)；計算的協(xié)方差矩陣估計值，計算復(fù)雜度為O(2KN2)；對N×1維列向量r1和r2做DFT處理，計算復(fù)雜度為O(2N2)；對N×1維列向量r1和r2進行相位補償，計算復(fù)雜度為O(2N2)；搜索得到最優(yōu)相位補償因子，計算復(fù)雜度為O((J+1)N)；兩根天線的TOA估計值匹配，計算復(fù)雜度為O(L2(L3+2L2+2NL+N+1))。

綜上所述，本文所提算法的總復(fù)雜度為O((5+4K)N2+(J+3+2K+2L3)N+L5+2L4+L2)。對于文獻［12］中的矩陣束算法，總的計算復(fù)雜度為O((2K+1)N2+(2K+6KL2)N-2KL3)。對于文獻［14］中的傳統(tǒng)PM算法，總的計算復(fù)雜度為O((4K+2L+1)N2+(2K+2L2)N+2L3+4(NL)3+4N(N-L)2+2m(N+1)(N-L))。圖2為本文所提算法與矩陣束算法、傳統(tǒng)PM算法在相同條件下的復(fù)雜度比較，參數(shù)設(shè)置為信號簇數(shù)K=500，多徑數(shù)L=3，PM算法譜峰搜索次數(shù)m=2 000，所提算法精搜索次數(shù)J=401。本文所提算法的計算復(fù)雜度在頻域采樣點為512點以下時計算復(fù)雜度低于另外兩種算法，在頻域采樣點高于512點時略高于傳統(tǒng)PM算法，顯著低于傳統(tǒng)PM算法。

圖2 各算法復(fù)雜度對比Fig.2 Comparison of the complexity of each algorithm

2.7 算法優(yōu)點

本文提出的TOA和DOA聯(lián)合估計算法具有以下優(yōu)點：

（1）所提算法無需MUSIC類算法中所需的復(fù)雜特征值分解步驟。

（2）與矩陣束算法［12］相比，所提算法不需要復(fù)雜的廣義逆求解，大大降低了系統(tǒng)的復(fù)雜性。

（3）在相同的仿真條件下，所提算法的TOA和DOA聯(lián)合估計性能優(yōu)于矩陣束算法［12］和PM算法［14］，且復(fù)雜度低，易于工程實現(xiàn)。

3 計算機仿真

為了驗證本文所提算法的有效性，本節(jié)采用Monte Carlo仿真實驗來評估算法的TOA和DOA聯(lián)合估計性能。定義信噪比采用均方根誤差（Root mean square error，RMSE）來衡量算法的參數(shù)估計性能，定義如下

式中：Q為蒙特卡洛仿真實驗的次數(shù)分別為第i次蒙特卡洛仿真實驗中對應(yīng)于第l個多徑參數(shù)的真實值和估計值。

假設(shè)仿真中涉及的噪聲均為加性高斯白噪聲，發(fā)射信號參數(shù)設(shè)置為：脈沖形成因子τm=0.1 ns，脈沖重復(fù)周期Tc=2 ns，單個符號的脈沖重復(fù)次數(shù)Nc=5，頻域采樣點數(shù)N=64，信號簇數(shù)K=500，每一簇的多徑數(shù)L=3。

仿真1假設(shè)L=3個多徑入射到天線1的到達時間分別為0.2、0.3、0.4 ns，信號波達方向分別為10°、20°、30°，在信噪比為20 dB的情況下，用本算法進行50次Monte Carlo仿真，得到TOA和DOA聯(lián)合估計散布圖分別如圖3和4所示?？梢钥闯霰疚乃岬乃惴ň哂辛己玫穆?lián)合參數(shù)估計性能。

圖3 SNR=20 dB時的TOA估計散布圖Fig.3 Scattered plot of the estimated TOA at SNR=20 dB

圖4 SNR=20 dB時的DOA估計散布圖Fig.4 Scattered plot of the estimated DOA at SNR=20 dB

仿真2圖5為本文所提算法在不同多徑數(shù)L下的TOA估計性能，多徑入射到天線1的到達時間分別為0.2、0.3、0.4 ns，信號波達方向分別為10°、20°、30°。由圖5可以看出，在信噪比相同的條件下，所提算法的TOA估計性能隨著多徑數(shù)L的減少而提升。圖6為本文所提算法在不同頻點下的TOA估計性能，多徑入射到天線1的到達時間分別為0.2、0.3、0.4 ns，信號波達方向分別為10°、20°、30°。由圖6可以看出，在信噪比相同的條件下，所提算法的TOA估計性能隨著頻點的增加而提升。

圖5 本文算法在不同多徑數(shù)下的TOA估計性能Fig.5 Estimated performance of the proposed algorithm for TOA at different multipath numbers

圖6 本文算法在不同頻點數(shù)下的TOA估計性能Fig.6 Estimated performance of the proposed algorithm for TOA at different numbers of frequency points

仿真3圖7、8為本文所提算法與傳統(tǒng)PM算法［12］、矩陣束算法［14］在不同信噪比下的參數(shù)估計性能比較，仿真參數(shù)設(shè)置與仿真1相同。由圖7、8可以看出，本文所提算法在復(fù)雜度降低的情況下，還可以獲得優(yōu)于文獻［12］中的矩陣束算法和文獻［14］中的傳統(tǒng)PM算法的TOA和DOA聯(lián)合估計性能，并且隨著信噪比的增大，所提算法的優(yōu)勢越來越明顯，當(dāng)信噪比達到12 dB時，所提算法的DOA參數(shù)估計誤差的數(shù)量級迅速降低，這是因為當(dāng)信噪比較大時，得到的DFT離散序列受噪聲的影響變小，離散序列的稀疏性質(zhì)顯著提升，沒有出現(xiàn)太大的能量泄漏效應(yīng)，因此能夠得到比較精確的TOA參數(shù)估計結(jié)果，DOA參數(shù)是根據(jù)TOA參數(shù)的估計結(jié)果計算出的，誤差也較小。

圖7 3種算法在不同信噪比下的TOA估計性能比較Fig.7 Comparison of TOA estimation performance of three algorithms at different SNRs

圖8 3種算法在不同信噪比下的DOA估計性能比較Fig.8 Comparison of DOA estimation performance of three algorithms at different SNRs

仿真4圖9，10為本文所提算法與傳統(tǒng)PM算法［12］、矩陣束算法［14］在不同信號簇數(shù)K下的參數(shù)估計性能比較，仿真參數(shù)設(shè)置與仿真1相同。仿真結(jié)果表明，本文所提算法的TOA和DOA聯(lián)合估計性能大大優(yōu)于矩陣束算法和傳統(tǒng)PM算法。由圖9，10可以看出，隨著信號簇數(shù)K的增大，矩陣束算法和傳統(tǒng)PM算法的TOA和DOA估計誤差變化不明顯，而當(dāng)K增加到300時，所提算法的TOA和DOA估計誤差大大降低。當(dāng)信號簇數(shù)K的值小于300時，所提算法的TOA和DOA的估計性能主要與信號簇數(shù)有關(guān)，下降較為明顯，而當(dāng)信號簇數(shù)K的值大于300時，所提算法的TOA和DOA的估計性能主要與除信號簇數(shù)外的其他參數(shù)有關(guān)，如信噪比和快拍數(shù)等，估計誤差變化不明顯。

圖9 3種算法在不同信號簇數(shù)K下的TOA估計性能比較Fig.9 Comparison of TOA estimation performance of three algorithms at different signal clusters

圖10 3種算法在不同信號簇數(shù)K下的DOA估計性能比較Fig.10 Comparison of DOA estimation performance of three algorithms at different signal clusters

4 結(jié)束語

本文提出了一種基于DFT的TOA和DOA聯(lián)合估計算法。算法對接收信號進行頻域上的建模，計算得到頻域接收信號的協(xié)方差矩陣，并對該矩陣進行DFT處理，從而得到兩根天線的TOA粗估計結(jié)果。然后設(shè)計補償矩陣對時延向量進行相位補償，通過搜索得到粗估計結(jié)果的補償值，根據(jù)粗估計結(jié)果和補償值估計出精確的TOA參數(shù)。最后根據(jù)兩根天線的到達時間差與DOA之間的關(guān)系得到信號的DOA估計值，從而實現(xiàn)TOA和DOA的聯(lián)合估計。相比DOA估計中的譜峰搜索類算法，所提算法的粗估計過程受DFT點數(shù)影響，其估計精度有限。在高信噪比的條件下，信號簇數(shù)K的提升對TOA和DOA估計性能提升有限。本文所提算法無需復(fù)雜的特征值分解和廣義逆求解步驟，復(fù)雜度低。仿真結(jié)果表明，本文所提算法具有較好的TOA和DOA聯(lián)合估計性能，相比于矩陣束算法和傳統(tǒng)PM算法，所提算法具有最小的參數(shù)估計誤差，性能優(yōu)越且易于實現(xiàn)。